复变函数单元测试题

复变函数第三章单元测试题

一、 判断题（正确打√，错误打⨯）

1.设C 为)(z f 的解析域D 内的一条简单正向闭曲线,则⎰=C

dz z f 0)( . （ ） 2.若,u v 都是调和函数，则iv u z f +=)(是解析函数。 （ ）

3.设)(z f 在单连通区域D 内解析，)(z F 是)(z f 的一个原函数，C 为D 内的一条正向闭曲线，则⎰=C n dz z F 0)()(.

( )

4.设),(y x v v =是区域D 内的调和函数，则函数x y v i v z f '+'=)(在D 内解析。

( )

5.若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内解析，则函数x

y u y x u ∂∂∂=∂∂∂22. ( ) 二、填空题

1.设C 为从点i z -=1到点02=z 的直线段，则=⎰C

zdz _______. 2.若C 为正向圆周2=z ，则=⎰C dz z

1________. 3.若C 为正向圆周1=z ，则[]=++++⎰C

dz z z z )1cos()1()2ln(52________. 4.若函数y e y x f px sin ),(=为区域D 内的调和函数，则=p _____.

5.若dz z z z f z ⎰=-++=2212)(ξξ，2≠ξ，则

=+)53(i f _____,____)1(=f .____)1(='f .

三、计算、证明题

1．设点A ，B 分别为i z =1和i z +=12，试计算⎰C dz z 2

的值，其中C 为 （1） 点0=z 到点2z 的直线段；（2）由点0=z 沿直线到1z 再到2z 的折线段

OAB .

2．设C 为从-2到2的上半圆周，计算积分⎰

-C dz z

z 32的值。 3．计算⎰i zdz 0cos 4．计算⎰++++C dz i z z i z )

2)(1(212，其中C 为正向圆周3=z . 5．计算积分dz z z e i C z

⎰-3)

1(21π，(1)当点0在C 内，点1在C 外；(2)当点1在C 内，点0在C 外；(3)当点0，1均在C 内；(4)当点0，1均在C 外。

6．证明y x y y x u 233),(-=为调和函数，再求其共轭函数),(y x v ，并写出iv u z f +=)( 关于z 的表示式。