函数概念、单调性、奇偶性

§2.1.1函数的概念与图象

[自学目标]

1．体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念； 2．了解构成函数的要素有定义域、值域与对应法则； [知识要点]

1．函数的定义：)(x f y =，A x ∈.

2．函数概念的三要素：定义域、值域与对应法则. 3．函数的相等. [预习自测]

例1．判断下列对应是否为函数： （1）2

,0,;x x x R x

→

≠∈ （2）,x y →这里2

,y x =,.x N y R ∈∈

练习：（1）,{A R B x ==∈R ︱0x >}，:f x y x →=；

（2）,:3A B N f x y x ==→=-；

（3）{A x R =∈︱0}x >

，,:B R f x y =→=

（4）{0A x =≤x ≤6},{0B x =≤x ≤3},:2

x

f x y →=

分析：判断是否为函数应从定义入手，其关键是是否为单值对应，单值对应的关键是元素对应的存在性和唯一性。

例2． 下列各图中表示函数的是------------------------------------------[

]

]

x

C ．2

x y =与2)1(+=x y D ．)(x f =∣x ∣，)(x g =2

x

[课内练习]

1．下列四组函数中，表示同一函数的是----------------------------------( ) A

．y 32y x =-

B ．2

y x =和y x x = C ．y x =和y = D ．y x =和2

y =

2．下列四个命题

（1）f(x)=x x -+-12有意义; （2）)(x f 表示的是含有x 的代数式 （3）函数y=2x(x N ∈)的图象是一直线；

（4）函数y=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0

,0

,2

2x x x x 的图象是抛物线，其中正确的命题个数是

（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．0

3.下列函数中，不满足(2)2()f x f x =的是( )

A. ()||f x x =

B. y x x =-

C. ()1f x x =+

D. ()f x x =-

４．设=

)(x f 1,1

1

±≠-+x x x ，则)(x f -等于--------------------------------[ ] A ．

)

(1

x f

B ．)(x f -

C ．)

(1

x f -

D ． )(x f

5.已知f(x)=23,12

3,25

x x x x ⎧--≤≤⎨-<<⎩，则方程f(x)=1的解为 ；

6．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f

=

7. 10．若12)(

2

+=

x x f ，1)(-=x x

g ，求)]([x g f ，)]([x f g .

§2.1.1函数的概念与图象（2）

[自学目标]

掌握求函数定义域的方法以及步骤； [知识要点]

1、函数定义域的求法：

(1)由函数的解析式确定函数的定义域； (2)由实际问题确定的函数的定义域；

(3)不给出函数的解析式，而由)(x f 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域。 [预习自测]

例1．求下列函数的定义域：

（1）()1f x x x =+- （2）)(x f =

x x -1（3）1

()21f x x

=+ （4）)(x f =+-x 5x -21

分析：如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母0≠的实数的集合；如果()f x 是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的表达式≥0的实数的集合。★注意定义域的表示可以是集合或区间。

例2．周长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x ，求此框架

围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域

例3．若函数=y )(x f 的定义域为[]1,1-,求函数(1)f x +的定义域；

变式训练：⑴已知)(x f 的定义域为[2,2-]，求)21(x f -的定义域； ⑵若函数(1)f x +的定义域为[]1,1-，求函数(1)f x -的定义域.

[课内练习]

１．函数()1

f x x x

=-的定义域是―――――――――――――――――（ ） Ａ．(),0-∞

Ｂ．()0,+∞

Ｃ．[0,)+∞

Ｄ．Ｒ

２．函数f(x)的定义域是[

1

2,1]，则y=f(3-x)的定义域是―――――――――（ ） A ［0,1］ B ［2，52］ C ［0，5

2

］ D (),3-∞

３．函数()f x =()0

11x x -+-的定义域是：

[归纳反思]

１．函数定义域是指受限制条件下的自变量的取值； ２．求函数的定义域常常是归结为解不等式和不等式组； [巩固提高]

1．函数y =2

1x -+12

-x 的定义域是----------------------------[ ] A ．[1-，1] B ．（),1[]1,+∞-∞-Y C ．[0，1] D ．{1,1-}

2．已知)(x f 的定义域为[2,2-]，则)21(x f -的定义域为------------[ ] A ．[2,2-] B ．[]23,21-

C ．[]3,1-

D ．[,2-]2

3 3．函数0

1x y x x

+=

-的定义域是------------------------------------[ ]

A ．{}

0x x > B ．{}0x x < C ．{}0,1x x x <≠- D ．{}

0,1x x x ≠≠-

4．函数y =

x

x 1

+的定义域是 5．函数)(x f =1+x 的定义域是 ；值域是 。 6．函数1

1y x

=-的定义域是：