艺术生高考数学专题讲义：考点5 函数的性质——单调性、奇偶性与周期性

考点五函数的性质——单调性、奇偶性、周期性

知识梳理

1．函数的单调性

(1) 单调函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．

从图象来看，增函数图象从左到右是上升的，减函数图象从左到右是下降的，如图所示：

（2）单调性与单调区间

如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M称为单调区间)．

2．函数的奇偶性

(1) 奇函数、偶函数的概念

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．

(2) 判断函数的奇偶性的步骤与方法

判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：

①考察定义域是否关于原点对称．

②考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：

若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；

若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；

若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；

若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．3．函数的周期性

(1) 周期函数的概念：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f (x ＋T )＝f (x )都成立，则称y ＝f (x )为周期函数，非零常数T 叫做函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．

(3)一般地，如果T 为函数f (x )的周期，则nT （n ∈Z ）也是函数f (x )的周期，即有f (x ＋nT )＝f (x )．

(4)最小正周期是指是函数值重复出现的自变量x 要加上的最小正数，这个正数是相对x 而言的．并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如常数函数f (x )＝C （C 为常数）就没有最小正周期．

典例剖析

题型一 函数单调性的判断

例1 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________. (填序号)

① y ＝x ＋1 ② y ＝(x －1)2 ③ y ＝2－x ④ y ＝log 0.5(x ＋1)

答案 ①

解析 由基本初等函数的性质得，选项②中的函数在(0，1)上递减，选项③，④中的函数在(0，＋∞)上为减函数，选①.

变式训练 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是________. (填序号) ① f (x )＝x 12 ②

f (x )＝x 3 ③ f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ④ f (x )＝3x 答案 ④

解析 f (x )＝x 12，f (x ＋y )＝(x ＋y )12≠x 12·y 12，不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，①不满足题意． f (x )＝x 3，f (x ＋y )＝(x ＋y )3≠x 3·y 3，不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，②不满足题意．

f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x ＋y )＝⎝⎛⎭

⎫12x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫12x ·⎝⎛⎭⎫12y ，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，但f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x

不是增函数，③不满足题意．

f (x )＝3x ，f (x ＋y )＝3x ＋y ＝3x ·3y ，满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (x )＝3x 是增函数，④满足题意． 解题要点 确定函数单调性的常用方法：

(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．

(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性．

(3)转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增＋增得增”“减＋减得减”“同增异减”得待确定函数的单调性．

(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性．

题型二 函数单调性的应用

例2 如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是________.

答案 －14

≤a ≤0 解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；

当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a

， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14

≤a <0. 综合上述得－14

≤a ≤0. 变式训练 函数f (x )＝

1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________. 答案 6

解析 易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧ 1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝2，

b ＝4.∴a ＋b ＝6. 解题要点 1.利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③注意数形结合思想的运用，借助图形列出对应不等式，从而求出参数范围．

2.利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．

题型三 求函数的单调区间

例3 求函数y ＝log 13

(x 2－4x ＋3)的单调区间．

解析 令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝log 13

u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．

令u ＝x 2－4x ＋3>0，则x <1或x >3.

∴函数y ＝log 13

(x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．

又u ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴为x ＝2，且开口向上，

∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．

而函数y ＝log 13

u 在(0，＋∞)上是减函数，