一道高考题的解后反思
对一道光学高考题的错解纠正和反思
对 比 以 上 两 种 解
法， 主 要 问 题 是 在 哪 里
标挡住 ， 此 处 看 不 到 船 尾 端 Ｑ； 继 续下潜 Ａ ｈ 一４ ． ０ ｍ， 恰 好 能看见 Ｑ ． 求： （ １ ）水 的 折 射 率 ｎ ； （ ２ ）赛 艇 的长 度 ｚ ． （ 可 用
给 出 正 确 的解 答 ．
方法 ２ ： 变质量二体 系 动量定 理． 对 由空 中绳段 ， 和 分离质元 ｄ ｍ 构 成 的二 体 系 ， 由质 点 系 动量 定 理 有
进 入 眼睛 ， 则 Ｒ 点 以下 则 必 能 进 入 眼 睛 ，这 是 符 合 题
意 的． 反 思： 高 考 试
ｓ ｉ ｎ ｃ 一 一 手 ．
ｔ ａ ｎ ｃ 一 丽 ． ‘
㈩
（ ５ ）
／
图５
题的解 析版一 般 出
由 （ ４ ） 、 （ ５ ） 式 得 ｚ 一 （ 学一 ３ ． ８ ） ｍ ≈ ３ ． ３ ｍ ．
根式表示 ） 解析： （ １ ）如 图 ２所
‘ ：
浮标
Ｑ
发 生 全 反 射． 错 解 认 为 在 Ｒ 点 发 生 全反 射 ， 如 图 ４所 示 ， 理 解 为 Ｑ 点 发 出 的 光 线 在 Ｒ 点 发 生
示， 设过 Ｐ点光 线 ， 恰 好 被 浮标挡 住 时 ， 入射角、 折射 角分别为 ａ 、 卢 ， 则
习 中 引 起误 导 ．
题 目． （ ２ ０ １ １
错 误 的． 今 给 出 正 确
的解 法 如 下 ． （ ２ ）当 潜 水 员 恰 好能看见 船尾 Ｑ时 ， 船 尾 发 出 到 人 眼 光
会选择恰当方法是一题多解反思后的更高境界——一道高考参数取值范围问题的解题策略比较
ｇ ：号 ＝ ） 一 ＋ １
因此 ｇ ｘ 在 （ ， ］ 调递增 ， （ ） ０１单 此时
＞， ０
因此
６ 一 ≥
．
综 上所 述 ， ０＞１时 ， ≥ 一 ； ０＜口 １ 当 ６ 当 ≤
时 ，≥ ～ ６ ．
Ｃ ］ 值 ｇ１＝ 孚一 ＝ ， ｇ ）最 ＝（ 一 了 一 （ 大 ） １
题目 已知函数 ） ÷ ＋ ＋ ３其 ＝ ＋ ，
中口 ． ≠０
１ 上恒成 立 ， ］ 即
（ ） ｎ ６ 足什 么条件 时 ） 得极 值 ？ １ 当 ，满 取 （） ２ 已知 ｎ＞ ， ０ 且 ） 区间 （ １ 上 单 调递 在 ０， ］
增 ， 用 。表示 出 ６的取值 范 围． 试 下 面仅 给 出第 （ ） ２ 小题 的求 解方法 ．
由题 意知 ｆ （ ）＝ ｔ ２ｘ＋１ Ｃ， ｂ Ｘ ＋ ｉ ＞０在 区 间 （ ， ０
或 ：一 １ ２ （ 去） ＝一 管 舍云Ｊ ・ ．
１ 上恒成 立 ， ］ 即
６ 一 ， （１ ≥ 芋一 ｏ ］ １ ∈ ，． 设 （ ＝ 警 ， （１则 ｇ ） 一 一 ０］ １ ∈ ，，
① 当 １∈（ ，］ 即 口 ０ １ ， ≥ｌ时 ，
√０
①去 （） 时 Ｅ’， 当 ’ ， （Ⅱ √ ０， 、 ， ８ １ ∈ ０ 得 ＾ ， ｇ） ；（， ， ）． ｇ） ＞ ∈１）ｇ ＜于 （ （ 。 时 ｏ是 （ 在 （ 上调增 （ 单递， 。 单递，去］ 调减 此 ， 在， 上 因
［ ）
即
１
ｇ） 芋 ≤２ 一Ｃ （一（＋）一 ｘ ａ － ，
等 号成 立 的条 件为 ＝ １∈（ ， ］ 此 时 ０１ ，
√０
思解 思源 思教——一道高考试题的探究及反思
（） ２ 思路 ： 二 次 曲线 系 方 程， 过 两 曲线 用 经
（ Ｙ ０ ． Ｙ ，）＝ （ ）＝０的公 共 点 的 曲线 系 方程 是 ， （ Ｙ Ａ・ （ Ｙ Ｏ 但不 包括 曲线 （ Ｙ ，）＋ ，）＝ （ ，）＝
０； ） 反之 ， 曲线 系方 程 （ ＇ ． ）＋Ａ ・ （ ｙ ０并 ， ． ）＝
二
上 两点 ， Ⅳ（ ，） 线段 Ａ 点 １２ 是 Ｂ的 中点． （） １ 求直 线 Ａ Ｂ的方 程 ； （） ２ 如果 线 段 Ａ 的垂 直平 分 线 与 双 曲线 相 交 Ｂ
于 Ｃ Ｄ 两 点 ， 么 Ａ Ｂ， ， 四 点 是 否 共 圆？ 为 ， 那 ， ＣＤ 什么？
（ ０ ５年 湖北 卷 ） Ａ， ２０ 设 Ｂ是椭 圆 ３ ＋ ＝ Ｙ Ａ上
径 圆 在 的 圆
解法 三 ：
＋ 一） （÷ ＝ ｙ
（） ２ 思路 ： 根据 圆的几何性质 圆心一定在 弦的
垂直 平 分线 上 ， 以根 据 两 条 弦 的 垂直 平 分 线 的 交 所 点 找 出圆心 Ｎ， 证 明 Ⅳ到 四个点 Ａ， Ｐ， 然后 Ｂ， Ｑ的距 离 相等 即可．
１２ ２ 源 于高 考 ．． 类 似 的高考 题前 几年就 出现过 ：
１
线 Ｐ 的方程 ：Ｙ Ｙ＝０ 则 过 Ａ， Ｐ， 的二 次 曲 Ｑ ４ ｘ— ， Ｂ， Ｑ 线 系方程 为 ： （Ｙ Ｙ一 ） ４ ｘ— ）＋ ２ ＋，一 ４ ｘ＋ １ （Ｙ Ｙ Ａ（ ） ２）＝ （ ０Ａ 为参 数 ） 展 开整理 得 ： ．
（ ） 点 Ｐ关 于原 点 ０的对称 点 为 Ｑ， 明 ： ２设 证 Ａ，
Ｐ， Ｑ 四点 在 同一 圆上 ． Ｂ，
√芋 ＋ ÷＝ｆ （ 鞠２ ） ． ＿ （ ｆ ３－ 丁ｆ ．
一道高考题引发的教学思考
一道高考题引发的教学思考2022全国甲卷 14 题：若双曲线C：y2 一= 1(m> 0)的渐近线与圆x2 + (y 一 2)2 = 1相切，则m=.双曲线渐近线方程x一my= 0，由点 (0,2)到直线距离易得= 1 不m=该题属于基础题，但对于该题命题者背后到底想考查一个二次曲线间什么关系？双曲线渐近线 (离心率)刻画双曲线张口大小，换言之与渐近线相切刻画出圆与双曲线恒有 3 个交点. 因此可以考虑将该题作如下变式：变式 1：若双曲线C：y2 一= 1(m> 0)与圆E：x2 + (y一 2)2 = 1有三个不同交点，则m取值范围是 .学生解决问题过程如下：〈y2 一= 1 不(m2 +1)y2 一4y 一m2 +3=0........ *|l x2 +(y一2)2 =1= 16一 4(m2 +1)(3 一m2 ) = 4(m2 一 1)2学生试图用判别式刻画二次曲线间交点个数，却出现了 > 0恒成立的情况. 问题出在哪儿？学生思路是否正确呢？其实仔细观察发现双曲线C与圆E恒有一个公共点 (0,1) ，由两条曲线对称性可知关于y的二次方程*只需要在(1,+w)再产生一个解即可满足条件. 由韦达定理得4 3 一m21+y1 = 2 不y1 = 2 >1不0<m<1这样就可以顺利得到答案.反思：学生为何会m+1 m+1走入这样的解题误区而导致解题出错？原因一：还停留在初中对二次函数(方程) 研究仅限于整个实数集；原因二：受限于直线与二次曲线研究，而对于二次曲线与二次曲线研究不够深入，缺乏深度思考.对该题继续作以下变式：变式 2:已知点P为椭圆C：x2 + y2 = 1上一动点，点 A (0，1)，求线段PA最大值.4 32学生在解决变式 2 ，3 时非常迅速，作图很快出答案，大多数都认为当点 P 运动到椭圆下顶点(0,一)时线段PA达到最大 . 可事实真的如此？我们用代数法探究：变式 2：设点P(m,n), A(0,1), f (n) = PA= m+ (n一 1) = 一3n一2n+ 5,n=[一, ]关于 n 的二次函数开口向下，对称轴n=一3 ，：在 [一, ] 单调递减，f (n)max= f (一)= 2+ 4：PA max = +1，答案与学生预期吻合.变式3：设P(m, n), A(0, 1 ), f (n) = PA2 = m2 + (n一1 )2 = 一1n2 一n+ 17, n=[一, ]关于 n 的二次函数开口向下，对称轴n=一，：在[一, 一]单调递增， [一, ]单调递减f (n)max = f (一) = 5：PA max= ，答案与学生预期发生了冲突.那么到底问题出在哪儿？将问题一般化，探究点 A 坐标对于最值影响.变式 4：已知点 P 为椭圆C：+ = 1(a> b> 0)上一动点，点A (0，t) (t> 0) ，求线ab段PA最大值.P(m, n), A(0,t), f (n) = PA= m+ (n一t) = (1 一)n一 2tn+ a+ t , n=[一b, b]关于n2bb2t的二次函数开口向下，对称轴n=一 2 .c当n= 一共一b不t> c2时，f (n)在[一b, b]单调递减f(n)max =f(一b)=(b+t)2当n= 一>一b不t想c2时，f(n)在[一b,一]单调递增，[一,b]单调递减cbccb2ta2t22 a2t221学生的疑问便可以迎刃而解，华罗庚老先生说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，该题能够很好的诠释这句话.数学教学中要立足于学生问题产生的原因，针对学生问题去解决问题，做学生学习生活的陪伴者，将课堂还给学生立足于立德树人，服务选材.。
一道高考题的解后反思
（Ｉ 是 否 存在平行 于 Ｏ １） Ａ的直 线 ， 使 得直 线 ， ， 与 椭 圆 Ｃ有 公共 点 ，且直 线 Ｏ Ａ与 ， 的距 离等 于 ４ ７ 若 存在 ， 出直线 ， 求 的方程 ； 不存在 ， 若 请说 明理 由． １试题 评析 本题 巧妙 地 把直 线 与 椭 圆 的位置 关系 的考 查 和
平行 线 间 的距 离公 式 的考 查 融合 在 一 起 ，直 线 只要 满 足题 目所 给 的两个 条件 即可 ．
则 ： 解 ± 有 ４ 得： ， 挣 ， ２
由于 ｍ＝ ２ １ 仨 ４ ３ ４ ３ ， ＋ ＿ ４ ３ 卜 √ ，√ ］
故 这样 的直线 ， 不存在 ．
法 二 依 题意 ，直线 的方程为 ： ３ 一２ ｘ ｙ＝０，
体 意识 和 参 与度 ，才能 在教 学 活 动 中不 断 发展 学 生
良好的个性 ，如好奇心 ；坚强的信念与意志 ；数学
思维 品质 等 ．教 师 要做 到 胜不 骄 败 不馁 ，这样 才 能
意 识 和 能力 ，使 学 生处于 自觉能 动 的 学 习状态 ，感
受 学 习的成 功和乐 趣 ．
设椭 圆 Ｃ上的任意一点Ｐ４ｏＯ ２３ｉ ） ＜ ｚ ， （ ｓ ， ｓ ００ ｃ ４ ｎ （ ２）
则 点 Ｐ到 直线 ， 的距 离
２解法剖析
ｖ
２
１，
２
解
（ Ｉ）椭 圆 Ｃ： ＋ ＝１．过 程 略 ．
１ Ｏ ｌＺ
ｄ ｌ ｓ ｓ ｌ８ｓ 詈 ＝２ ｉ ｉ ） ｃ 。 ｎ ｌ 一
２ ６ ３１ 师要转 变教 育观念 ．教
福 建 中学数 学
２ １ 年 第 ９期 ０２
身 的知识 结 构 ，适 应新 课 程 的要 求 ，不断 提 高 自身 理 论专 业素养 ．
在反思中探索 在探索中创新——记一次解高考题的经历
所 以异面直线 ｃ Ｄ与 Ｓ Ｂ所成 的角为 ａｃ０ ． ｒｃｓ （） ２ 由题 意 ， Ｂ 为 等腰 三角 形 ， Ｂ Ｅ ＝ ＡＡ Ｅ Ａ
１０， ２ 。
‘ ． ．
所以 Ｓ Ｃ＝
， Ｈ＝ Ｂ
，Ｈ ＝ Ｃ
， 理 同
Ｓ Ｄ＝Ｓ ｎ ， Ｃ＝
推关 系中 ｎ ＝ｌ ＋—Ｌ 也有 “ ”把 两个 ” １， １ 都改 为 Байду номын сангаас
‘ — ｌ ‘
｛” 就成为了全日 制普通高级中学教科书（ 必
＇ １
常数 “ ” 结果会 怎样 ？把 一个 “ ” 为常数 “ ” 把 ｎ， １改 ｎ、
１
修） 数学第一 册 （ ）人 教 版 ） １０页习 题 ３ １ ３ 上 （ 第 １ ， ．
。 ＡＣ Ｆ为正三角形 ， Ｄ
。
．
．
Ｃ ＝ ＤＦ ， Ｆ
又 Ｂ Ｃ＝ＤＥ，
‘
．
／ ＢＣＤ ＝ ／ ＣＤＥ＝ １ ０ ． ２ 。
．
ＢＦ＝ ＥＦ ．
（） １求异 面直线 ∞ 与 ｓ Ｂ所成 的 角（ 用反 三角 函数值表示） ；
（） ２ 证明 Ｂ ＿ ＣＪ 平面 Ｓ Ｂ； Ａ
为常数“ ”把 另一个 “ ” 为常数 “ ” ｎ， １改 一ａ 结果会 怎
样 ？把一 个“ ” ｌ 改为常数“ ” 把另一个 “ ” 为常数 ａ， １改 “” ６ 结果又怎样 ？
（） ３这个数列 ｎ 的变化趋 势怎样？有没 有极限
存在 ？这 个数列 有没 有通 项公 式 ａ ， 如果有 ， 样 怎
（） ３ 用反三角函数值表示 二面角 Ｂ—Ｓ Ｃ—Ｄ 的 大小 （ 本小 问不必写 出解答过 程） ． 第 ３小问括号 里的 内容 “ 小 问不必 写 出解答 本 过程” 引起笔者的兴趣 ， 于是对该 小问的 解法 作了一
一道试题的解法探究与教学反思
一道试题的解法探究与教学反思广西南宁市第三十六中学（530001） 庞 毅［摘 要］通过对一道高三摸底试题进行考情分析、解法探究和问题拓展，揭示试题的本质，并从注重解题经验积累培养数学运算素养、注重信息技术应用培养学生数字素养两个方面提出教学反思。
［关键词］解法探究；教学反思；圆锥曲线；信息技术［中图分类号］ G 633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）05-0025-03解析几何是高考加强“综合性”考查的重要载体。
广西南宁市2024届高中毕业班摸底测试第21题将直线与椭圆的位置关系以及长度计算相结合，问题设计紧扣高考评价体系的“基础性、综合性、应用性、创新性”考查要求，既基础又开放，对高三数学复习备考具有重要的参考意义。
一、试题呈现与考情分析（一）试题呈现已知平面上动点E 到点A （1，0）与到圆B ：x 2+y 2+2x -15=0的圆心B 的距离之和等于该圆半径。
记Ε的轨迹为曲线Γ。
（1）说明Γ是什么曲线，并求Γ的方程；（2）设C 、D 是Γ上关于x 轴对称的不同两点，点M 在Γ上，且M 异于C 、D 两点，O 为原点，直线CM 交x 轴于点P ，直线DM 交x 轴于点Q ，试问||OP ·||OQ 是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。
评析：本题主要考查椭圆的定义、标准方程、几何性质和直线方程等主干知识，考查通过代数运算结果判断几何性质的坐标法和函数与方程、转化与化归以及数形结合等数学思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养。
第（2）问是开放性问题，重点考查学生的创新能力和探索精神。
（二）考情分析本题的考试情况如表1所示。
表1 考情分析题目第21题实考人数54110满分12平均分1.15标准差1.77难度0.15区分度0.21满分率0.16零分率29.52从统计的结果来看，本题总体平均分1.15，难度0.15，这个结果出乎命题组的预料。
高三试卷反思数学
时光荏苒，转眼间我们已迈入高三这个紧张而关键的阶段。
数学作为高考的重要科目之一，一直以来都备受重视。
在这段时间里，我认真对待每一次的数学试卷，但成绩总是不尽如人意。
通过对最近一次数学试卷的反思，我总结出以下几点：一、基础知识掌握不牢固在这次数学试卷中，我发现自己在基础知识方面存在不少漏洞。
比如，对于一些基本概念、公式和定理，我虽然能够熟练背诵，但在实际应用中却容易出现错误。
这主要是因为我在学习过程中没有注重知识的理解和运用，只是死记硬背。
因此，在今后的学习中，我要加强对基础知识的理解和掌握，做到灵活运用。
二、解题思路不够清晰在解答数学题时，我发现自己的解题思路不够清晰。
有时候，面对一道题目，我明明知道答案，却无法找到合适的解题方法。
这主要是因为我在解题过程中没有养成良好的思维习惯，没有及时总结归纳解题方法。
为了提高解题能力，我要在平时的学习中多思考、多总结，形成一套适合自己的解题思路。
三、计算能力有待提高在这次数学试卷中，我犯了较多的计算错误。
这主要是因为我在平时的学习中，对计算题不够重视，导致计算能力没有得到很好的锻炼。
为了提高计算能力，我要在今后的学习中多做一些计算题，特别是那些需要细心和耐心完成的题目。
四、时间分配不合理在这次数学试卷中，我因为时间分配不合理，导致有些题目没有足够的时间去思考和解答。
这主要是因为我在做题时，对于难题和易题没有做好区分，导致在难题上浪费了过多的时间。
为了提高时间利用效率，我要在今后的学习中，合理分配时间，确保在规定时间内完成所有题目。
五、心态调整不到位在这次数学试卷中，我因为紧张和焦虑，导致在考试过程中出现了一些失误。
这主要是因为我在考试前没有做好心态调整，没有保持良好的心态。
为了在今后的考试中发挥出更好的水平，我要学会调整心态，保持冷静和自信。
总结：通过对这次数学试卷的反思，我认识到了自己在数学学习上的不足之处。
在今后的学习中，我要努力改进，不断提高自己的数学能力。
考后反思(通用13篇)
考后反思（通用13篇）考后反思篇1可是，老师给我们判卷，告诉我们卷子的一、二、三、四题丢分儿丢得很多，这下我心里也没底了，因为我平时老也写错字，而且还有一个给“高”字加部首组成新字的题不会，平时还不注意留心这种类型题，使这次考试造成了无法弥补的失误！唉！考试已经过去，考试的过失也无法弥补了，只能今后注意、并改正。
以后，我会多积累形近字、给字加部首组成新字等类型题。
我要多积累错题，分析错题原因，对比正确答案，使我更好掌握丰富的语文基础知识，活学活用。
考试题是多变的，我们不但要积累，还要灵活运用，这样我们才能对考试题应对自如。
时间如流水般淌过，转眼间期中段考也已结束，成绩也已经公布了。
望着试卷上的分数，我惊讶了。
因为这并不是我真正想要的'分数。
为什么我不能考得再高一些呢！于是，我开始自我检查。
我每到考试的时候总因紧张而很着急，为此，我想出了几个办法。
1.解答题时，不要急于下笔，要先在草稿纸上列出这道题的主要步骤，然后按照步骤一步步做下来，不忽略每一个细节，尽量把每一道题都答得完整；2.平时多做一些不同类型的题，这样就会对大多数题型熟悉，拿到试卷心中就有把握；3.适当做一些练习。
我想如果我能做到我以上提到的这几点，我一定能把考试中的失误降到最低。
因此，我一定会尽力做到以上几点的。
但我想单单只靠以上几点还是不够的，我还就该拥有几点科学应试技巧。
于是，我根据我自己的实际情况想出了几点。
第一点：拿到考卷后，应把考卷整体审视一遍，看一看哪些题目比较容易，哪些题目比较难。
第二点：先从简单的题做起，把那些好拿的分数全部拿过来。
第三点：遇到难题，实在不能马上写出来的话，不要死死地盯着那道题，而忽略了别的题，应把所有会做的题做完才努力解答那道题。
第四点：考完后，认真地检查，看看自己有没有把题目看错或抄错。
在下一次考试中,我一定会尽自己最大的努力做到最好考后反思篇2月考过去了，迎来的是七天长假，可我总是打不起精神，日日夜夜都在思念着我那宝贝试卷。
让解题思路来得更自然一些——对一道高考题的解法反思
厂（ ）一 ０， 是 当 ≥ ０时 ， ）≥ ０ 由 ｅ Ｏ 于 厂（ ， ＞ １ ＋ ｘ（ ｘ≠ Ｏ ）可 得 ｅ ＞ １ 一 一 （ ≠ Ｏ ， 而 当 ｎ＞ ）从
１
（ ） 对 于 任 意 ≥ ｏ 有 ， （ ） ｅ 一 １ ２若 都 厂 ｚ 一 一 ａ 。 ｏ 即 对 任 意 ｚ≥ ｏ 有 甜 。 ｅ 一 １ ．， ２ ≥ ， ｃ 都 ≤ 一 ７ ２ 则 对 任 意 ＞ ０都 有 口≤ 二
故 ｇ ） （ ， ２ ） 单调递 减 ， Ｅｎ ａ ＋ （ 在 ０ｌ ａ 上 ｎ 在 ｌ２ ，
ｃ ） 单 调 递 增 ， ∈ （ ， ２ ）时 ， （ ＜ ｇ Ｏ 。 上 ０ｌ ａ ｎ ｇ ） （）
一
解法 １ （ 命题 者提供 的 参考 答案 ） （ ） ： １ｎ一
０时 ， ｚ）一 ｅ １一 ｚ， ）一 ｅ ，（ 一 ｆ（ 一 ｌ 当 ∈ － （ 。 Ｏ 一 。， ）时 ， （ ｚ）＜ ０ 当 ∈ （ ＋ Ｃ ）时 ， ； ｏ， Ｘ Ｄ
设 函数 厂 Ｉ （ ）一 ｅ 一 １ ｚ 一 一 船 ．
当 ∈ （ ，ｎ ａ ０ ｌ ２ ）时 ， ）＜ ０， Ｅ （ｎ ａ， ｇ（ Ｉ２
＋ 。 ）时 ， ）＞ ０ 。 ｇ（ ，
（ ） ａ一 ０ 求 厂（ １若 ， ）的单调 区 间 ；
（ ） 当 ｚ≥ ０ 厂 ≥ ０求 ｎ的取 值 范 围． ２ 若 时 （） ，
极 限 ， 出参 数 的取 值 范 围 ， 证 明 所 求 口 范 围 求 再 的
上 单 调 递 增 ， ｇ ） ｇ ０ 一 ０ 即 ｆ （ ≥ ０ 故 （ ≥ （） ， ） ． 故 ｆ Ｊ 在 ［ ， 一 ） 单 调 递 增 ， ＿ ｚ ≥ （） Ｏ ＋ ｃ 上 故 ， ） ’ （
浅谈高考真题的解析与理解
浅谈高考真题的解析与理解众所周知，高考真题由命题专家反复揣摩、巧妙构思后精心命制，所以有明确的导向性、权威性、规范性和科学性，加之命题专家队伍有一定的稳定性，因而试题的考查内容、形式等具有一定的延续性和规律性，对高考备考有重要的指导意义和借鉴价值。
所以不管是教师还是学生，真题可谓是备战高考最常见，也是最宝贵的资料。
但真题又像是一个巨大的宝藏库，我们都想找到它的正确打开方式，12道选择题、5道主观题被进行了无数次、N多种的排列组合，但还有一个不容忽视的问题：真题，学生真的会用吗？教学过程中，我们经常会被问到这样的问题：“老师，我真题都做了6遍了，答案都会背了，可为什么一做文综题，历史选择题还是错很多？大题还是无从下手？”学生的疑问带给我的最大反思便是“教师不仅要会深度解读高考真题，还应该教会学生怎样去使用它。
”学生在利用真题的过程中普遍存在这些问题：一是仅把真题当作练习题使用，查漏补缺。
二是挑着做，以为高考不常考的知识点略略带过，高频考点反复做，会的就可以不做。
三是只做真题，脱离教材，这个问题在备考的冲刺阶段最为普遍。
其实这些问题归结起来就是学生不会解读和利用真题。
学生总是认为那是老师该做的事情，学生只需跟着老师走即可。
这样做带来的结果就是学生听得懂，但一旦让他自己来讲这道题，就无所适从了。
其实教师和学生的知识背景、思维方式是有很大不同的，老师总结的不一定就适合所有学生，甚至有的学生会对老师所讲的方法技巧进行生搬硬套，所以“授之以鱼不如授之以渔”，我们要让学生试着去找到打开真题的正确解锁方式。
那么学生如何利用高考真题呢？其一，懂得分阶段利用。
大多数高中的高三历史复习教学都是分阶段进行的，多是一轮、二轮或三轮，我校历史复习教学多是一轮小主题通史，二轮大主题通史，三轮热点主题史，那么每个阶段真题的使用情况是不同的。
一轮教学重在夯实主干知识，有效拓宽教材视野。
此阶段真题应按照知识点进行练习，重点放在主干知识的记忆和拓展上。
一道高考压轴小题的多解探究与反思
一道高考压轴小题的多解探究与反思
本文将探究一道高考压轴小题的多解解法，并就其答题思路和考点进行反思和总结。
这道题为“有两个正整数，它们的和等于15，积等于26，求这
两个数”，是一道较为基础的代数题目，但其不同解法和思路却引起
了广泛讨论。
一种解法是通过列方程求解，设两个数分别为x和y，则有x+y=15，xy=26，进而解得x=2，y=13。
另一种解法是通过观察题目中给出的两个条件，可以发现15和26均为质数，因此只有1和15以及2和13两组数字相加等于15，
而只有2和13的积等于26，因此这组数字即为答案。
再一种解法是通过勾股定理，将26分解为2*13，设两个数分别为a和b，则有a+b=15，a^2+b^2=169，即a^2+(15-a)^2=169，解得a=4，b=11，进而得到另一组答案。
这三种解法均可得到正确答案，但考生在考场上应根据自己的能力和经验选择最适合自己的解法。
同时，这道题目也考察了考生的代数、数学推理和勾股定理等多个知识点，因此考生在备考过程中应加强对这些知识点的掌握和理解。
总之，这道高考压轴小题的多解探究和反思说明了数学题目的多样性和复杂性，考生需要在备考过程中不断提高自己的解题能力和思维水平，才能在考场上取得优异的成绩。
- 1 -。
由一道“变态”高考题的几组解法引起的教学反思
从而 Ａ Ｆ ＝厢
ｍ
— — —
Ｙ ＝ ｌ 一 ，ｌ ｙ 。
：
＋ （ １ ｍ＋）
— ～
根 ）这种方法是容易想到 的， ． 但很 多学生未付诸 于行动， 担心难于运算 ， 这也与平时教学有关 ， 很多 教师不重视这种方法． 第②小题充分利用 了转化思 想 ， 住相 似 三 角 形 ， Ｐ ＋Ｐ ： 化 为 Ａ 与 抓 把 Ｆ Ｆ转 Ｆ Ｂ Ｆ 表示 ， 在第①小题的基础上才能完成． 第 Ⅱ组 （ 解 延长 Ａ 交 椭 圆于 点 Ｂ ， Ｆ 根
ｌ
解得 代入 式 （ ） 得 ２ ，来自ｍ ＾ 凡＝ ６
，
：
（） ２
将 ＝ 一 代入 得
２ ＋（ ｘ ６—２ ） ＋ ４—３ ＝ ｏ，
ｆ
Ｊ
即
荷
（ 一１ ｚ一 ）
等 荷 ‘
ｔ一
： ，
（ ＋１ 一 。 ）
＿ｌ ＿ ＝＿ ＿ －
２
＋（ ｙ ： Ａ一 ） ； （ ） Ａ ） ：（ １ １ 。、 “ 一 ’
化 简 得
２ １２ ３ １ ４＝ ． ｘ ＋ （２一 ）一 ０
眠
（ ２一 Ｆ ） ２√ ２ 一 ２， Ｂ （ ￣－ Ｆ ） ２ ４ Ａ １，
： 一 ＝２ ．
①若 ４ 一
＝ ， 求
图ｌ
由 第① 小 题 知
。 ） ＋１ 一ｍ （ ＋１ 。ｍ （ ２ ｍ ＋ ）
±
＋２ ’
‘
彻
。
：
ｔ， ＋ ２ ｅ‘ ｌ
。 ＋
解得
去） 故 ，
ｍ ， ｚ
即 ｍ ＝， 因 Ａ Ｆ ／ ２（ Ｆ ∥Ｂ ２且 Ａ Ｆ ， 负 值 舍 Ｆ ＞Ｂ ２ 故
一道高考压轴题的另解及反思
分离参数解决恒成立问题 的基本思路在综合性问题中是有 效的， 当然这种方法不是万能的， 但它能为学生提供一个思考方 向， 导 数是 高 中数 学 和 大学 数 学 衔 接 的 内容 ， 近几 年 的 高考 题 中
导 数题 的综合 性加 强 ， 在教 学 中要强 化 导数 工 具在 研 究 函数 性 质 中的应 用 ， 拓展 学生 的思路 ， 提 高学生 解决 综合 问题 的能力 。
－ ｎ Ｉ ＂ 以用这种方法解决但与上面题 目略有不同。
ｈ （ ） 在（ Ｏ ， ＋ ） 上为增函数 ， ｈ （ ） ＞ ｈ （ ０ ） ＝ ０ ｈ （ ｘ ） 在（ ０ ， ＋ ） 上为 增 函数 ， ｈ （ ） ＞ｈ （ ０ ） ＝ ０
ｇ （ ） ＞ ０ ， ｇ （ ｘ ） 在（ Ｏ ， ＋ ） 上 为增 函数 。
中图分类 号 ： ０ ５ ３ ３ 文献 标识码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ０ ０ ５— ６ ３ ５ １ （ ２ ０ １ ３ ） 一 ｏ ４— ０ ０ ３ ６ － ０ １
（ Ｉ Ｉ ） ￣ ｉ ０ ， 且 ≠ ｌ 时 （ ） ＝ 当 ＋ ÷， ＋ 告 等 价
于 ＜
‘
．
．
由 罗 比 达 法 则 得 ，
・
．
＝
＝ 等 ＝ ÷
．
ｌ
ｌ
） 在点（ １ １ ） ） 处的切线方程为 ＋ ２ ｙ － ３ ＝ ｏ 。
（ Ｉ ） 求ｎ ， ｂ 的值 ；
ｇ （ ） ＞ ÷ ． ０ ≤ ÷， 综 上， 口 的 取值 范围 为（ 一 ， １ ］ 。
二 瓮 卜 ． ’ ． ｇ （ ～ ＿ ｇ （ ３ ３ 丽 “ ２ ｅ ，
由 罗 比 达 法 则 可 得 ， （ 一 ｊ ） ＝ …… 警＝ Ｉ 型 竺 … ＝ 一 １
对一道高考题解法“争议”的反思
争论事实上并无存在的价值 ． １ ．材 料 １１ ． 试题
（０ ０ 高考福建 卷 ・ １） 设平 面 向量 ａ ２１ 年 文 ８ ｍ＝
（ １， ＝ ２ ” ，其中ｍ ∈ １２ ３ ４ ． ， ） （ ，） ｛， ， ，｝
（Ｉ）请 列 出有序数 组 （ ） ｍ， 的所有可 能结果 ； （ Ⅱ）记 “ 得 ｊ（ ） 使 －ａ 一 成立 的 （ ）为事 ｍ， ” 件 Ａ，求事 件 发 生 的概率 ．
１ ．参考答案 ．１ １ 解 （ Ｉ）略 ；
（ Ⅱ）ａ 一 ＝（ ｍ一２ １ ＂ ，由 上（ ） ，一 ） ａ 一 得
ｍ 一 ｍ＋ 一 ２ １ ”＝０ ，即 月 ｍ—１ ． ＝（ ）
２１ 争议” ．“ 解法的依据 以下均 为人 民教 育 出版社 Ａ 版 普通 高 中课 程标 准实验 教科 书 数学 ４ 必修 课 本 中的 内容 （ 以下简 称 为 数 学 ４ ） ．
．
概 为（ 率 Ｐ） 言 Ａ ・
１１ 争 议 ” ．． ２“ 解法
呢？
解
（ ）略； Ｉ
设 ＝（ ， １ ， ＝（ ， ２ ， Ｙ） Ｙ） 则 ａ ｂ《 Ｘ ２ Ｙ ＝０．， 一 上一 ＝ Ｉ ＋ ｌ２ ＞ Ｘ ’
（ 一 ＝（ ２ １ ） Ⅱ） ｍ一 ，一” ，由 上（ 一 得 ａ ）
１ ０
福建中学数学
２ １ 年第 ｌ 期 ００ ２
可 见 ，在 上述 讨论 两 向量垂直 或者 向量 数 量积 等 问题 时 ，涉 及 到大 量 的 非零 向量 ．但 这都 只 是首 先 限 定为 非零 向量来 讨论 两 向量 垂 直 或者 向量 数量 积 等 问题 ，并 没 有说 明是 零 向量 就 不能 讨论 两 向量
一道高考题的错解分析和反思
’
的技 能；因为只有深入是不够的 ，还需要浅出，也就 是说要将数学知识经过教学法的加工，使得学生易懂 、 易理解、易掌握；由此启示我们在 日常的概念学习中， 应强调学习新概念有一个完整的流程 ：熟悉新概念产 生的背景一 掌握新概念 中最本质的成分一突出概念中 的关键属性一研究概念的应用一并排地呈现出正例和
的 充 要 条 件 ；（３） Ａ＜Ｂ 是 ｔｎ ａ Ａ＞ｔ Ｂ 或 者 ａ ｎ ｔ ａ ａ Ａ＜ｔ Ｂ的既非充分又非必要条件． ｎ ｎ
＝
（ 一 ，以ｓ＝ ，取最 ｓ 所当 ２ ” ｉ］ ｎ２ ｉ 得 ｎ 时
３．
学习三角 函数一 定要有严密 的计算和 严谨 的思
维 ，同时要有 数形 结合的思想． 在学习中要不断磨
考生， 答案虽正确 ， 实属幸运 ， 本质上也 是错误 的． 这 是一道考查基本概念 的好题 ，考查学生是 否深刻理
解了导数 的意义 ，特别 是物理意义 ．此题 的关 键是
才能提高学生解题正确率和解题能力．
Ｂ ．成正 比。比例系数为 ２ Ｃ Ｃ ．成反 比，比例系数为 ｃ
正确 解答 由 题意可知球的 体积为 ）＇ （， ， 三 『 ： ）
ｊ
则 ｃ ） １ ｆ尺（ ， ＝Ｖ（ ＝４ｃ （ ，） ｆ Ｒ ） ，
Ｄ．成反 比 ，比例系数为 ２ Ｃ
一
而球 的表面积为 ｓ ｔ＝４－。ｆ ， （ ） ｎ （ Ｒ ）
上 是 减 函 数 ， 所 以 Ａ＜Ｂ铮 ＣＳ Ｏ Ａ＞Ｃ Ｓ ； 但 ＯＢ
：
２丌＋ ＋ 盘 三
２
ｎ
．
ｙ ｌ ｌ
Ｊ＝ｓ 与 Ｙ＝ｔｎ ， ｉ ｎ ａ 在 （ ，＂不 是单 调函数 ，所 以 ０７ ｔ ）
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
高考数学卷压轴题往往是难度最大、思维最复杂的一道题目。
对于考生来说，这不仅是一件考验智商的事情，更是挑战思维和解题能力的机会。
在解答这种类型的题目时，要有耐心、细心、理智，思路清晰，方法得当。
首先，要认真阅读题干，明确问题。
在阅读中须注意数据和条件，梳理各种信息，尤其是一些重要的条件和限制，如区间、范围、等式、不等式以及与相关变量的关系等，对于解题过程中的把握和计算将起到至关重要的作用。
其次，要找到合适的方法和解决思路。
针对不同的题型，应该灵活运用代数、几何、统计、推理、概率等各种数学知识，找到最简单、最快捷的方法来求解问题。
如对于一些图形变换题目或者容斥原理等组合问题，我们可以运用几何知识去思考、解题；对于一些像余弦值或正切值之类的三角函数问题，我们可以通过代数和几何相结合想办法求出其近似值，并进一步搭配其他相关性函数来解决; 使用几何思想推导数学定理等都是一些灵活应用的例子。
最后，在解答过程中也要注意细节，严密把握每一步计算、推导。
不要心急，一定要认真检查，以防万一出错。
此外，要保持冷静，乐观态度，坚定信念，不要让不必要的紧张和焦虑影响到正常解题思路和效率。
总的来说，对于一道高考数学卷压轴题，解答的关键在于平时复习的基础和对综合运用各种解题思路的灵活性。
要不断摸索，积累经验并灵活运用，带着问题思考和解决问题的能力在高考时打出好成绩。
一道高考题的解后反思
２ １ （
一 ＝ ４口－ ｅ ） 一２ｅ ｚ 一２ － 筹 一
一 （ 一１ ） 一
± ＝ 旦璺 ！ 旦一（ ） ± （ 壁曼 ２一 ＝ ＝
（ 一１ ）
Ａ， 使得 Ｅ Ｆ＝９￣ Ｉ ＥＩ ＦＩ求双 Ａ ０， Ａ ＝３ Ａ Ｉ ， 曲线的离心率 （ 以下称 问题 ） ．
Ｉ 一 乃Ｉ：２口 ｍ
ｒ２ ） （ ｎ ＋乃 一２ ｎｃ ｓ ４ ２ ｏ６＝ ｃ
定理 ２ Ｅ， Ｆ是椭 圆 ＋ ＝１ 口＞６ （
ｌ 乃 乃２ ４２ 一１ ａ Ｉ ：
ｆ ＋１ ２ ｏＯ ：４ 乃（ —２ ｃｓ ） ｃ
＞） ０ 的左右焦点， Ａ是椭圆上的一点， 若
ｃ
＋
２
＝
４＋ （ ｃ ）４ ｓ詈 ｃ ａ ２ １ 。 ＝ｃ ｉ ＝ 一 ２ 一ｓ ２ ｎ
。
＝
６ｃ导筹ｃ ＝． 。 ＝ ｓ ÷ ｓ ｚ 。 詈
故我 们得 到
定 理 ４ Ｅ， 是椭 圆 ＋ ：ｌ ０＞６ Ｆ （
０ ｂ
２
＝
６ｓ导筹ｓ ＝． ｉ ＝ ｎ ÷ ｎ ２ ｉ 导
由两 条焦半 径之 比联想 到两 条焦半 径 的
积， 得
设 Ｉ Ｉ ｍ， Ａ ＝ｎ， Ｅ Ｆ＝０ Ａ ＝ Ｉ ＦＩ Ａ ，
ｍＢ＝ ， Ｉ ＝２ ， ， 而 ＦＩ ｃ 由题 意 、 曲线 定 义 双 及余 弦定理得
ｒ， ｎ ＝ ２ ｎ
三
一
４
｛ｚ ｚ ｎ ｌ ＋ ｍ
一
２ｍｎ ｏ Ｏ＝４ｃ ｊ ｃｓ
Ｉｎ — ｎ Ｉ ２ａ ，
＝
２ ／ １ ｏＯ ＝４ ｍｒ ＋ｃｓ ） ｃ ， （
２０
由一道高考题反思解析几何的教学
’ IN N 二 !E N I C )ID . IEF I- e"IA I" BI, IA BI } ，
即N 为 E l ， 中点 ， M 与 N 重 合 ， A , 故 即 M ,刀 三 点 共 线 . 2. 3 必 须 豆 视 运 算 技 能 的训 练 用 代 数 方 法 解 几何 问 题 是 解 析 几 何 的 特 点 ，因 此 ， 算 在 解 析 几 何 中 有 很 重 要 的 地 计 位 . 在 实 际 教 学 中 ， 多教 师 侧 重 于 思 路 的 剖 很 析 ， 法 的 多 样 ， 忽 视 计 算 技 能 的训 练. 如 解 而 何避免繁 杂的运 算、 何寻 找更加合 理 简捷 如 的运 算 途 径 ， 非 常 重 要 的 一 个 问 题. 为 此 ， 是 不 少 同仁 总 结 出很 多 行 之 有 效 的 方 法 . 从 培 养 学 生 良好 的 个 性 品 质 的 角 度 来 说 ， 强 计 加 算 技 能 的 训 练 ， 以银 炼 学 生 知 难 而 进 的 坚 可 强 意 志 ， 而 不馁 的 求 真 精 神 ， 丝 不 苟 的 学 败 一 习 品 质 ， 于 探 索 的创 新 精 神. 波 利 亚 说 过 ， 勇 教 学生解题是 意 志的教育 ， 学生 求解那 些 当 对 他 来 说 并 不 太 容 易 的题 目时 ， 学 会 了 败 他 而 不馁 ， 会 了赞 赏 微 小 的 进 步 . 如 果 学 生 在 学 学校里没有机会尝尽 为求解而奋斗的各种 情 绪 变 化 ， 么他 的 数 学 教 育 就 在 最 重 要 的 地 那
Y, y
① ②
平 面解 析 儿 何 的 主 要 任 务 有 两 个 : ( 1) 根 据 条 件 ， 出表 示 平 面 曲 线 的 方 程 号2 ) 通 过 求 ( 程 ， 究平 面 曲 线 的 性 质 . 已知 曲线 求 研 程 的 常 用 法有 : 直 接 法 、 关 点 法 、 义 法 、 相 定 参 法等 解 题 的 一 般 步 骤 是 : 建 系、设 点 、列
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
２０ 年 １ ０４ 月第 ３ ．０ ．２ 版 ２１２１
充分性： 因为ｌ ＋Ｐ ： ｃ所以ｌ 葡 一 Ｆｌ ２ ， 葡
维普资讯
２ ０ 第 ２期 ０８年
河北理 科教 学研 究
短 文 集锦
＋ Ｆ ４２ Ｉ ＋Ｉ Ｆ 一 ． Ｐ ＋ 帝 Ｉ Ｅ Ｐ ： ｃ ｉ ＋ Ｐ ・ ＝ ｊ — ２ 帝 Ｉ ２ Ｅ Ｐ Ｐ １ 一 Ｐ —
Ｐ≥３
Ｇｒ ｔ ｎ ｅｒ ｓ 不等式知 ：Ｐ ≤４ ＋ Ｒ ＋ ｅｅ ４ ｒ
３ｒ ２
的新颖的填空题 ， 若将其推广为一般， 则得
定 理 Ｅ， Ｆ是 椭 圆 ２ Ｘ
２
＝
＋
１ 。＞６＞ （
Ｅ ｌ 不等式 ：Ｒ＞２ ｕｒ ｅ １ ｒ
进 而 得 ： ∑ ｔ ＜ ｔ ｔ ２ ｔ ２
焦点 ， Ｐ是椭 圆或双 曲线 上一点 ， ｆ 若
＋
ｔ 成等差数列 ， 比数列 ｛ 的前 ｎ项和为 等 ａ｝ ｓ ， ｐ ， ， 成 等 差 数 列 ， 有 ： 若 ｒ ｔ 则
２ ａ ＋ ｐ ｋ ｌ ａ ＋ ． １ ｒ ｍ １ ａ ＋ ＋ｔｎ １（ ）
Ｊ ２， ＝ 半焦距为 ， 则△ Ｆ的面积 ＝
３ 问题 的引 申
２０ ０７高考全 国卷 （ 第 １ 题是 ： 比 Ｉ） ５ 等
数列 ｛ 的前 ｎ项 和为 ， ａ｝ 已知 ｌ２ ， ， ２ ３３ Ｓ 成等差数列 ， ｛ 的公 比为 则 ａ｝ 人教社高 中数学教 材 （０ ３ ２ ０ 年版 ） 第一 册（ ） １８例 ４是 ： 上 Ｐ２ 已知 是等 比数 列 ｛ 的前 ｎ ａ｝ 项和 ， ， ， 成等差数列 ， ３ ６ ９ 求 证 ａ ， ８ａ 成等差数列． ２ａ ， ５
≤— — —
≤—
＿ 一
曲线上的半焦距为 。则葡 ・ ：０的充分 ， 膏 必要条件是Ｉ ＋Ｐ － ｃ 葡 一 ＦＩ ２ ． 证明 必要性： 因为葡 ． ：０ 所以 ，
Ｅ Ｐ上 即 ， Ａ Ｆ 是 直 角 三 角 形 ， 即 ＥＰ 且
４Ｒ２ ２Ｒｒ４４ｒ ４Ｒ２ Ｒ２４ Ｒ２ ２ － ４ － ２ － ４ － Ｒ２
２ ｒ的一个 有趣 的隔离 ：
推论 ：２ ≤２ ＋ ｒ ｒ １ ∑ （ ６一ｃ Ｒ≤ ）≤ ２ ＋ １∑ （ 一ｃ ｒ ６ ） 定 ∑ ＜
≥ ｚ ≥
：
反 思
ｌ遥 ＿
＿ ＿ ＿ ＿
…
２ ０ 年高考全国卷 Ⅱ有这样一题 ：Ｆ ， ０７ ｌ
２
Ｆ是 曲 ２号＝ 的 右 点 在Ｐ ２ 双 线Ｘ 一 １左 焦 ，
＝
４ ｃ①
在 △ Ｆ 中 由 向量 几 何 意 义 得 Ｉ Ｅ 一 — Ｐ
一
＿ ＿ 秽 ．的 ： ！霉
， 。
＿ ＿
Ｐ ：ＩＰ一 Ｉ 商 Ｉ ２ ， ＦＩ Ｐ 葡 ：Ｉ ： ｃ所以。葡 Ｉ Ｉ ２
＋ＩＦ ２ Ｅ Ｆ 一 ． ４ ⑦ 帝 Ｉ— 葡 ・ ： ｃ Ｐ ２ Ｐ 一 ＝ （ Ｐ ４ ①一 ②得化简整理即 ． ： ． 商 帝 ０
一
ｔ ｔ
３
：
０ 或双 曲线 一 ：１ 口＞０ ｂ＞０ 的左 右 ） 一点， 椭圆或双
（ 二 ＝！ 垒 ）
ｒ Ｐ
— 一
（ ＝ ＝ ２一
２
ｐ 一２ ｒ ｆ Ｒ２ ４ －３ 一２ － ｒ Ｚ Ｒｒ － ２ ４ ４ ４ Ｒｒ４ ｒ ） － Ｒｒ４ ２
‘ ．
① ， Ｊ Ｆ Ｐ ２ ０， ｌ ￣ － ｌ Ｆ ：９。故 Ｚ
： ｃ ： ，
ｌ ：
代入 得ｌ ＋ Ｆｌ ２ ． ① 丽 一２： Ｐ
’
． 一 ＜ √ 号卜
・ ． ・
２ 问题 的推广
∑ ０ ＝２ （ Ｒｒ ） ３ Ｐ Ｐ 一６ 一３ ， ｒ
ｒ．
该 问题将 向量 数 量 积 、 向量 的模 和 圆锥 曲线 焦点 三 角形 融 为一 体 ， 一 道难 易 适 中 是
维普资讯
２０ ０ ８年 第 ２期 故 ： ≤２ ＋上 ∑ （ ｒ ８ ６一ｃ ）
ｒ
河 北理科 教 学研 究
短 文集锦
（ 安徽 省 舒 城县 杭 埠镇 中心 学校 丁遵 标
２ １２ ） ３ ３ ３
。ｔ 曩
由此 ，我 们便 可得 到欧拉 不 等式 ：Ｒ≥
—
Ｅ ：９￣故 知 ｌ ０，
．
ｌ ：
：。设 ０ ，
故 ：∑ ＜
是坐标 原 点， 由向量 中点 公 式 知葡 ＝ 则
幽
，
参考文献
１ 匡继 昌 ． 常用 不等 式 ［ Ｍ］ ． 山东 科 学技 术 出版 社
．
即 ＋ Ｆ： 葡 铮ｌ ＋ 葡 一 ２ Ｐ 南
．
ｌ：２Ｉ — ｌ ＰＯ ：２ｃ
在 双曲 线上， 且两 ・ ： ， ｌ ＋ ０则 两
Ｐ ２＝ Ｆ Ｉ
１ 问题 的解法
证 明： ‘ ． ‘
√ ＿ 厂 （ 。
＝ ｒ
（ Ｐ一０ （ ） Ｐ—ｂ （ ） Ｐ—ｃ ）
２ ０２
（ 以下简 称 问题 ） ．
２Ｐ
０
‘
解 ： 坐 标 原 点 是 ０， 三 角 形 Ｆ Ｐ ２ 设 在 ｌ Ｆ
‘ ・
≤
０
云 而
２
Ｐ
＿＿ 二
一Ｔ ｜一 １旦 ： Ｐ
中， 由题意及 向量 中点 公 式知 ２ ： ＋ 所以 ｌ ＋ ｌ ｌ Ｏ ：２ — Ｐ ｌ ： Ｐ ｌ Ｏ ２一 Ｉ
，
又． ＜一 蒂＝１ ‘一 １ ‘ １ ＋ （ ） 一 ，
若引 申到焦点三角形的面积 ， 进行思考 ，
则 可得 到 定理 Ｅ、 Ｆ是 椭 圆 ＋ ＝１ ０＞ｂ＞ （
ａ‘ 。 ０‘ 。
ｏ 或 曲线 一 ＝１ 。＞０ ６＞ｏ 的左 右 ） （ ， ）
他们都可用如下命题来解答 ．
命 题 ： Ｐ， ， ， ， ， ∈ Ｎ 且 Ｐ， ， 设 ｒ ｔ ｋ ｍ ｎ ， ｒ