对一道高考题解法“争议”的反思
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度 ，“ 议” 争 解法 则持 否 定态度 ．可 见 ，都 是“ 向量” 零 惹 的祸—— “ 向量” 不是 问题 的问题变 成 了 问题 ． 零 把 ２ ．依 据
争论事实上并无存在的价值 ． １ ．材 料 １１ ． 试题
（０ ０ 高考福建 卷 ・ １） 设平 面 向量 ａ ２１ 年 文 ８ ｍ＝
（ １， ＝ ２ ” ，其中ｍ ∈ １２ ３ ４ ． ， ） （ ，） ｛， ， ，｝
（Ｉ）请 列 出有序数 组 （ ） ｍ， 的所有可 能结果 ； （ Ⅱ）记 “ 得 ｊ（ ） 使 －ａ 一 成立 的 （ ）为事 ｍ， ” 件 Ａ，求事 件 发 生 的概率 ．
１ ．参考答案 ．１ １ 解 （ Ｉ）略 ；
（ Ⅱ）ａ 一 ＝（ ｍ一２ １ ＂ ，由 上（ ） ，一 ） ａ 一 得
ｍ 一 ｍ＋ 一 ２ １ ”＝０ ，即 月 ｍ—１ ． ＝（ ）
２１ 争议” ．“ 解法的依据 以下均 为人 民教 育 出版社 Ａ 版 普通 高 中课 程标 准实验 教科 书 数学 ４ 必修 课 本 中的 内容 （ 以下简 称 为 数 学 ４ ） ．
．
概 为（ 率 Ｐ） 言 Ａ ・
１１ 争 议 ” ．． ２“ 解法
呢？
解
（ ）略； Ｉ
设 ＝（ ， １ ， ＝（ ， ２ ， Ｙ） Ｙ） 则 ａ ｂ《 Ｘ ２ Ｙ ＝０．， 一 上一 ＝ Ｉ ＋ ｌ２ ＞ Ｘ ’
（ 一 ＝（ ２ １ ） Ⅱ） ｍ一 ，一” ，由 上（ 一 得 ａ ）
１ ０
福建中学数学
２ １ 年第 ｌ 期 ００ ２
可 见 ，在 上述 讨论 两 向量垂直 或者 向量 数 量积 等 问题 时 ，涉 及 到大 量 的 非零 向量 ．但 这都 只 是首 先 限 定为 非零 向量来 讨论 两 向量 垂 直 或者 向量 数量 积 等 问题 ，并 没 有说 明是 零 向量 就 不能 讨论 两 向量
２ １ 年第 １ 期 ００ ２
福建 中学数 学
９
方程 的数 学思 想方法 。
点 ：Ｘ 处 的切 线 与 Ｙ轴是 否 垂直 ？ ０ 学生 必须 熟 悉导
设 计 思路 本题 将 两 个 小 题 都 设 计 为 探 究 性 问
题 ，其 目的是 考查 学 生 的探 究能 力 ，体 现课 标、 方程 、不 等式 相 关知 识 才
能作 答 ． 难 度估计 ：０４左右 ． ．
参 考文 献 ［］ １教育 部考 试 中心 ．普通 高 等学校 招 生全 国统一 考试 大纲 ［ ．北京 ：高 Ｍ】
等 教育 出版 社 ，２ １ ００
念． （ ） 第 Ｉ 小题让学生探究函数 ｆｘ 在区问 （ ，ｌ （） ０ｅ
第 １３页 ：“ ０ 已知 两个 非零 向量 ａ ｂ，我们 把 与 数量 ｌ ｂ Ｓ ｌ Ｏ０叫做 ａ与 ｂ的数 量积 （ 内积 ） ａ＿ｌ Ｃ 或 ，记
作 ａ・ 即 ａ ｂ＝ａｌ Ｏ ０，其 中 ０是 ａ与 ｂ的夹 ｂ， ・ Ｉ ｂ Ｓ ｌＪ Ｃ 角 ，… …” 第 １４ 页 ：“ ａ和 ｂ都 是 非 零 向 量 ，则 ： ０ 设 ① ａｊｂ ａ・ ＝０；… …” ＿ ｂ
上是 否有 最小 值 ？学 生 只要 掌握 求 导公 式 和 利 用导
数 求 函数 最小 值 方法 ，就可 以顺 利 作答 ．第 （ Ⅱ）
小 题 要 求 学 生探 究 曲线 Ｙ （） ｆ ｘ 一 ） ＝ｇｘ ＝（ （） Ｚ ｅ ＋Ｘ在
对一道高考题解法 “ 争议 ”的反思
吴 文 中
１ 建师 范大 学数学 与计 算机科 学学 院 （５０ ７ 福 ３ ００ ） ２ １ 年高考福 建卷 的参 考答案 公布 后 ，文科数 ００ 学卷 第 １ 题 第 Ⅱ问 的参 考答 案 （ ８ 以下简称 参考 答案 ） 引发 了一 些争 论 ．笔者 在 一番 探 究之 后 认为 ，这 些
２福建 省泉 州市 泉港 区第 二 中学 （６ ８ １ ３ ２０）
本事件的总数为 １ ，故所求的概率为 ＰＡ ＝ １． ６ （ ）
Ｊ０
１２“ ． 争议 ” 点 焦 上 述两种 解 法孰 是孰 非？ 关键 是 向量 ａ 上ｂ时 ， 向量 ａ或 ｂ 否可 为零 向量 ． 考解 法显 然持 肯定态 是 参
垂直 或者 向量数 量积 等 问题 ．
三版 ） （ 吕林根 、许 子道 编）第 ３ ９页 ： “ 定理 １ ． 两 向量 ａ ｂ 互垂直 的充要条 件 ．１ ７ 与 相
是 ・ ：０． ｂ 一
证 当 ａ 时 ， Ｃ Ｓ ａ， ＝０，于是 ａ・ ：０； 上ｂ Ｏ ＜ ｂ＞ ｂ
２ ． ２客观的依据 ２． ． １人教版 的依据 ２ 数学 ４ 》定义 了长 度为 ０的 向量 叫做零 向量 ， 规定 零 向量 与任 向量平行 ．并且第 ９ 有 ：“ ４页 不 共线 向量有 不 同方向 ， 们 的位 置 ｎ 它 关系可 用夹 角来表 示 ．关于 向量 的 夹角 ，我们 规定 ：
由于 ｍ， ∈ １２ ３ ４ ， ｎ ｛， ， ，｝ 故事件 Ａ包含的基本事
件为 （ ，） （ ， ） ２ １和 ３ ４ ，共 ２个 ．
又由 （ Ｉ）知 基本 事件 的总数 为 １ ，故 所求 的 ６
第 １６ 页 探 究 栏 目 ：“已 知 两 个 非 零 向 量 ０ ａ ｘ， ， ｂ Ｘ ，２ ，怎样 用 ａ ｂ的坐标 表示 ＝（１Ｙ） ＝（ Ｙ） 与
ｍ 一 ｍ＋１ ，＝０，即 刀 ，一 ） ． ２ 一ｚ ：（ １ 卯
由于 ， ｛， ，，｝ 又一 一 ≠ 故事件 ∈ １２ ３４ ， ａ ６， ｍ
包含的基本事件为 （，） ３ ４ ，共 １ ，又 由 （ ）知基 个 Ｉ
第 １８ 习题 Ｂ组第 １ ：已知 ａ ０页 题 “ 一 是非零向量 ， 且 一 一，求证 ：ａ・ ＝ａ・ § ａ上（ 一 ）．， ｂ ≠Ｃ 一一 一一 一 苫 ’ ｂ ｃ
争论事实上并无存在的价值 ． １ ．材 料 １１ ． 试题
（０ ０ 高考福建 卷 ・ １） 设平 面 向量 ａ ２１ 年 文 ８ ｍ＝
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（Ｉ）请 列 出有序数 组 （ ） ｍ， 的所有可 能结果 ； （ Ⅱ）记 “ 得 ｊ（ ） 使 －ａ 一 成立 的 （ ）为事 ｍ， ” 件 Ａ，求事 件 发 生 的概率 ．
１ ．参考答案 ．１ １ 解 （ Ｉ）略 ；
（ Ⅱ）ａ 一 ＝（ ｍ一２ １ ＂ ，由 上（ ） ，一 ） ａ 一 得
ｍ 一 ｍ＋ 一 ２ １ ”＝０ ，即 月 ｍ—１ ． ＝（ ）
２１ 争议” ．“ 解法的依据 以下均 为人 民教 育 出版社 Ａ 版 普通 高 中课 程标 准实验 教科 书 数学 ４ 必修 课 本 中的 内容 （ 以下简 称 为 数 学 ４ ） ．
．
概 为（ 率 Ｐ） 言 Ａ ・
１１ 争 议 ” ．． ２“ 解法
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（ ）略； Ｉ
设 ＝（ ， １ ， ＝（ ， ２ ， Ｙ） Ｙ） 则 ａ ｂ《 Ｘ ２ Ｙ ＝０．， 一 上一 ＝ Ｉ ＋ ｌ２ ＞ Ｘ ’
（ 一 ＝（ ２ １ ） Ⅱ） ｍ一 ，一” ，由 上（ 一 得 ａ ）
１ ０
福建中学数学
２ １ 年第 ｌ 期 ００ ２
可 见 ，在 上述 讨论 两 向量垂直 或者 向量 数 量积 等 问题 时 ，涉 及 到大 量 的 非零 向量 ．但 这都 只 是首 先 限 定为 非零 向量来 讨论 两 向量 垂 直 或者 向量 数量 积 等 问题 ，并 没 有说 明是 零 向量 就 不能 讨论 两 向量
２ １ 年第 １ 期 ００ ２
福建 中学数 学
９
方程 的数 学思 想方法 。
点 ：Ｘ 处 的切 线 与 Ｙ轴是 否 垂直 ？ ０ 学生 必须 熟 悉导
设 计 思路 本题 将 两 个 小 题 都 设 计 为 探 究 性 问
题 ，其 目的是 考查 学 生 的探 究能 力 ，体 现课 标、 方程 、不 等式 相 关知 识 才
能作 答 ． 难 度估计 ：０４左右 ． ．
参 考文 献 ［］ １教育 部考 试 中心 ．普通 高 等学校 招 生全 国统一 考试 大纲 ［ ．北京 ：高 Ｍ】
等 教育 出版 社 ，２ １ ００
念． （ ） 第 Ｉ 小题让学生探究函数 ｆｘ 在区问 （ ，ｌ （） ０ｅ
第 １３页 ：“ ０ 已知 两个 非零 向量 ａ ｂ，我们 把 与 数量 ｌ ｂ Ｓ ｌ Ｏ０叫做 ａ与 ｂ的数 量积 （ 内积 ） ａ＿ｌ Ｃ 或 ，记
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上是 否有 最小 值 ？学 生 只要 掌握 求 导公 式 和 利 用导
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小 题 要 求 学 生探 究 曲线 Ｙ （） ｆ ｘ 一 ） ＝ｇｘ ＝（ （） Ｚ ｅ ＋Ｘ在
对一道高考题解法 “ 争议 ”的反思
吴 文 中
１ 建师 范大 学数学 与计 算机科 学学 院 （５０ ７ 福 ３ ００ ） ２ １ 年高考福 建卷 的参 考答案 公布 后 ，文科数 ００ 学卷 第 １ 题 第 Ⅱ问 的参 考答 案 （ ８ 以下简称 参考 答案 ） 引发 了一 些争 论 ．笔者 在 一番 探 究之 后 认为 ，这 些
２福建 省泉 州市 泉港 区第 二 中学 （６ ８ １ ３ ２０）
本事件的总数为 １ ，故所求的概率为 ＰＡ ＝ １． ６ （ ）
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垂直 或者 向量数 量积 等 问题 ．
三版 ） （ 吕林根 、许 子道 编）第 ３ ９页 ： “ 定理 １ ． 两 向量 ａ ｂ 互垂直 的充要条 件 ．１ ７ 与 相
是 ・ ：０． ｂ 一
证 当 ａ 时 ， Ｃ Ｓ ａ， ＝０，于是 ａ・ ：０； 上ｂ Ｏ ＜ ｂ＞ ｂ
２ ． ２客观的依据 ２． ． １人教版 的依据 ２ 数学 ４ 》定义 了长 度为 ０的 向量 叫做零 向量 ， 规定 零 向量 与任 向量平行 ．并且第 ９ 有 ：“ ４页 不 共线 向量有 不 同方向 ， 们 的位 置 ｎ 它 关系可 用夹 角来表 示 ．关于 向量 的 夹角 ，我们 规定 ：
由于 ｍ， ∈ １２ ３ ４ ， ｎ ｛， ， ，｝ 故事件 Ａ包含的基本事
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又由 （ Ｉ）知 基本 事件 的总数 为 １ ，故 所求 的 ６
第 １６ 页 探 究 栏 目 ：“已 知 两 个 非 零 向 量 ０ ａ ｘ， ， ｂ Ｘ ，２ ，怎样 用 ａ ｂ的坐标 表示 ＝（１Ｙ） ＝（ Ｙ） 与
ｍ 一 ｍ＋１ ，＝０，即 刀 ，一 ） ． ２ 一ｚ ：（ １ 卯
由于 ， ｛， ，，｝ 又一 一 ≠ 故事件 ∈ １２ ３４ ， ａ ６， ｍ
包含的基本事件为 （，） ３ ４ ，共 １ ，又 由 （ ）知基 个 Ｉ
第 １８ 习题 Ｂ组第 １ ：已知 ａ ０页 题 “ 一 是非零向量 ， 且 一 一，求证 ：ａ・ ＝ａ・ § ａ上（ 一 ）．， ｂ ≠Ｃ 一一 一一 一 苫 ’ ｂ ｃ