第1章桥梁结构稳定

13
Aug. 27th
A9L
57
3、魁北克桥第一次事故
1907 年 8 月 29 日 ， 魁 北 克 桥的第一次破坏事故，造 成了75名工人当场死亡， 另有11名重伤；
3、魁北克桥第二次事故
1913年，大桥开始重建，新桥主要受压构件的截面积比原设 计增加了一倍以上。然而，在1916年9月，由于悬臂安装时一 个锚固支撑构件断裂，挂梁再次落入圣劳伦斯河中，并导致 13名工人丧生；
2、能量准则与能量法
能量准则：
结构体系的总势能为：Ep = Eε + (−W )
若该体系受到微小的扰动，在初始平衡位置足够小的邻域内 发生某一可能变形，则体系的总势能Ep存在一个增量Δ Ep ： 当Δ Ep >0，总势能增大(Ep为最小值)，说明初始平衡位置是 稳定的；
当Δ Ep <0，总势能减小(Ep为最大值)，说明初始平衡位置是 不稳定的；
主讲：徐略勤 副教授 土木建筑学院桥梁工程系
xulueqin@
² 李国豪. 桥梁结构稳定与振动. 中国铁道出版社， 1992
² Timoshenko SP, Gere J. Theory of Elastic Stability, 2nd Edition. McGraw Hill Inc. 1961
当轴向荷载较小时，杆件只产生 轴向压缩变形，保持平直的直线 平衡状态；
若此时给杆件施加一微小扰动水 平力，杆件会发生微小弯曲，取 消这一水平力后，杆件将恢复原 来的直线平衡状态，即该平衡状 态是稳定的。
2、理想压杆的稳定问题
当轴向荷载达到Fcr时，施加微小的扰动水平力使杆件产生弯 曲，取消这一扰动后，杆件仍保持微弯状态，不会恢复到原 来的直线平衡状态，这个平衡是随
2）若产生负恢复力，则平衡是不稳定的； 3）若不产生任何作用力，则体系处于中性平衡，处于该平衡 状态的荷载即为临界荷载。
静力法：
在压杆微弯曲的中性平衡状态下建立平衡微分方程来求解临 界荷载的方法。
1、静力准则与静力法
对于两端铰接的理想压杆，当荷载F达到临界荷载Fcr时，在 微弯状态(随遇平衡状态)下可建立其平衡方程(忽略压缩和剪 切变形的微小影响)：M = F·y
1925年，前苏联的莫兹尔桥在试车时由于压杆失稳而发生事 故；
2、澳大利亚西门桥（West Gate Bridge）
1970年，澳洲墨尔本附近的西门桥在架设拼装左右两个半孔 的钢箱梁时，钢箱梁的上翼缘板在跨中央失稳，导致整跨 112m的上部结构倒塌；
3、加拿大魁北克桥（Quebec Bridge）
3、魁北克桥第一次事故
1907年，魁北克桥在架设过程中，由于悬臂端下弦杆的腹板 翘曲而产生严重的破坏事故；
Date
Jun. Jun. Aug. 6th
Element
A3R、A4R、 A7R、A8R、
A9R A8R、A9R
7L、8L
Deform /mm
1.5~6.5
19 19
Aug. 23th
5R、6R
0
l
2
3、动力准则与动力法
∫ d 2θ
dt 2
l / 2 z2 m dz + 2θ R − F l θ = 0
0
l
2
一般解为：
d 2θ dt 2
+
(2R − Fl )θ 2
ml2 / 24
=0
θ = Acosωt + B sinωt
式中：
ω2 = (2R − Fl ) ( ml2 ) 2 24
ω为体系的固有振动频率，根据动力准则ω =0，得到临界荷
当Δ Ep =0，总势能保持不变，说明初始平衡位置是中性的。 具体方法：Timoshenko法、Rayleigh-Ritz法、Galerkin法、 势能驻值原理等
3、动力准则与动力法
动力准则： 处于平衡状态的结构体系，受到微小扰动，然后放松： 1）若体系在平衡位置附近振动，则体系的平衡是稳定； 2）振动频率随压力增大而减小，当压力达到某一临界值时， 频率为零且振动无界，则体系的平衡是中性的。 动力法： 假定体系由于扰动在原平衡位置附近作微小自由振动，写出 振动方程，并求出自振频率的表达式，根据体系处于临界状 态时频率等于零这一条件确定临界荷载。
遇的，称为随遇平衡或中性平衡；
可见，当轴向荷载达Fcr时，杆件 除了直线平衡状态外，还存在微 弯的平衡状态，这一现象称为 “平衡分支”；
当轴向荷载超过Fcr时，微小的扰 动将导致杆件产生很大的弯曲变 形而破坏，即弯曲屈曲/弯曲失稳。
3、稳定问题的分类
杆件发生弯曲失稳时，杆件由直线平衡形式变为弯曲平衡形 式，失稳前后的平衡形式发生了变化，这种失稳现象称为第 一类稳定问题；
1、刚性球在曲面上的稳定性
稳定是关于结构平衡状态性质的定义： ——平衡指结构处于静止或匀速运动状态； ——稳定指结构原有平衡状态不因微小干扰而改变。 失稳指结构因微小干扰而失去原有平衡状态、并转移到另一 新的平衡状态。
2、理想压杆的稳定问题
理想压杆：两端铰支、荷载作用在形心轴（轴心受压）、杆 轴线沿杆长完全平直、横截面双轴对称且沿杆长不变、杆件 内无初始应力、材料符合胡克定律。
实际结构的稳定问题属第二类稳定问题，但研究第一类稳定仍 然重要，原因是： (1) 某些结构的极限荷载与分支屈曲荷载很接近； (2) 某些结构的屈曲后强度远远大于分支屈曲; (3) 第一类稳定问题体现了结构的刚度特征。
1、静力准则与静力法
静力准则：
处于平衡状态的结构体系，收到微小扰动后：
1）若在体系上产生一指向直线平衡位置的力(正恢复力)，当 扰动去除后，体系恢复到原始的平衡位置，则平衡是稳定的；
D=0是稳定的一个准则，通常称为稳定特征方程或稳定方程， 实际工程中，该方程一般为超越方程，需借助计算机。
2、能量准则与能量法
1）当球处于凹面底部时，如果有侧向扰动使其偏离底部，则 球的重心抬高，其势能增加；当除去侧向扰动后，球在自重 作用下又重新恢复原来的位置，说明稳定平衡的势能最小； 2）当球在凸面顶点处，如果有侧向扰动使其偏离顶部，则球 的重心降低，其势能减小；当除去侧向扰动后，球将远离原 始的平衡位置，说明不稳定平衡状态的势能最大； 3）当球处于随遇平衡状态，如果有侧向扰动使其偏离原始平 衡位置，刚性球的势能不变。
D (α
)
=
0 sin α l
1 =0 cos α l
稳定特征方程 或稳定方程
1、静力准则与静力法
求解稳定特征方程：
sinαl = 0
αl = nπ （n=1，2，3，…）
F
=
n2π 2EI l2
y = Asin nπ x l
两端简支轴心受 压构件挠度曲线
1、静力准则与静力法
Fcr
=
n2π 2EI l2
在微弯状态下，压杆的近似平衡方程可写成：
−EIy′′ = Fy
EIy′′ + Fy = 0
设 α 2 = F / EI ，上述方程转 变为一个常系数的齐次线性 微分方程：
y′′ + α 2 y = 0
1、静力准则与静力法
上述齐次线性微分方程的通解为：
y = C1 sinα x + C2 cosα x
——特 征 ： 在 失 稳 前 后 变 形 的性质不变，原来的变形大 大发展直至破坏，不会出现 新的变形形式。
相 应 的 临 界 荷 载 Fu 为 偏 心 压 杆的最大承载能力，即极限 荷载/压溃荷载。
3、稳定问题的分类
第一类稳定问题 平衡分支问题(Bifurcation Buckling)，即达到临界荷载时，除结 构原来的平衡状态理论上仍有可能外，出现第二个平衡状态。 第二类稳定问题 极值点失稳问题(Snap-through Buckling)，结构保持平衡状态， 随着荷载的增加，在应力较大的区域出现塑性变形，结构的变 形很快增大，当荷载达到一定的数值时，即使不再增加，结构 变形也迅速增稳（Tacoma Bridge）
1940年，美国华盛顿州第一座塔科马海峡大桥，于7月1日建 成通车，同年11月7日，主梁在68km/h的风速下发生了气弹颤 振，被严重摧毁。
5、比较著名的桥梁失稳事故
Ø 1847年，英格兰Dee Bridge； Ø 1875年，俄罗斯克夫达敞开式桥； Ø 1907年，加拿大Quebec桥； Ø 1925年，前苏联莫兹尔桥； Ø 1940年，美国Tacoma桥 Ø 1969年，奥地利The Fourth Danube 桥 Ø 1970年，英国 Milford Haven Bridge Ø 1970年，澳大利亚West Gate桥； Ø 1971年，原联邦德国Koblenz桥；
=
π 2EI Al 2
=
π 2E
(l i)2
=
π 2E λ2
1、静力准则与静力法
求解过程： 1）假定杆件处于微弯曲中性平衡状态，然后取隔离体列出平 衡微分方程； 2）求解方程通解，引入边界条件，得出一组与未知常数数量 相等的齐次方程组； 3）齐次方程组有非零界，则其系数行列式为零，即D=0，从 而接触临界荷载Fcr。
——特征：结构在失稳前后的变形产生了性质上的改变，原 来的平衡形式不稳定后，可能出现与原来平衡形式有本质差 别的新平衡形式。
中性平衡状态是从稳定平衡过渡到不稳定平衡的临界状态， 此时的轴向荷载Fcr称为临界荷载/临界力；相应截面上的应力 称为临界应力σcr。
3、稳定问题的分类
杆件在偏心力F的作用下始终会产生压缩和弯曲变形，当F达 到临界荷载Fu时，即使不增大荷载，杆件的变形都会继续增 大直至破坏，这种失稳前后杆 件的变形形式不发生变化的 失稳为第二类稳定问题；
3、动力准则与动力法
保守力 ：
力在其作用的任意可能位移上所作的功与力作用点的移动路 径无关，只依赖于力移动的起点和终点。一般弹性力和重力 都是保受力
保守体系：
作用于体系的所有力（荷载和约束力）都是保守的。
结构工程中发生的稳定问题大多数都是保守体系的稳定问题， 静力法和能量法只适用于保守体系；动力法是一般的求解稳 定的方法，既能适用保守体系，也能适用非保守体系。
载为：
Fcr
=
4R l
4、稳定问题与强度问题的区别
强度问题：结构或构件在稳定平衡状态下荷载所引起的最大 应力是否超过材料的强度极限值，是一个应力问题。
稳定问题：主要是要找出外荷载与内部抗力间的不平衡状态 （即变形开始急剧增长的状态），从而设法避免进入该状态， 是一个变形问题。
4、稳定问题与强度问题的区别
魁 北 克 桥 是 一 座 采 用 铆 钉 连 接 的 钢 桁 架 悬 臂 梁 桥 （ riveted steel truss bridge），全长987m，宽29m，高104m。主跨达 549m，由177m的悬臂支承着195m长的挂梁，该桥至今仍保 持着世界第一的悬臂梁桥跨径记录。该桥于1919年建成通车， 但在建设过程中发生了2次失稳破坏，前后经历了30年、有88 名工人因此丧生。
² 周绪红. 结构稳定理论. 高等教育出版社，2010 ² 唐家祥. 结构稳定理论. 中国铁道出版社，1989
² 1.1 桥梁结构的失稳现象 ² 1.2 稳定问题及其分类 ² 1.3 稳定性的判别准则及求解方法 ² 1.4 桥梁结构稳定的研究现状
1、克夫达敞开式桥 & 莫兹尔桥
1875年，俄罗斯的克夫达敞开式桥因上弦压杆失稳导致全桥 破坏；
根据两端铰接杆件的边界条件：
x = 0时 y = 0
x
=
l时
y=0
C1
C1 sin
× α
0 + C2 ×1 l + C2 cos
= α
0 l=
0
当C1=C2=0时，上述方程组成立，但y=0，表示杆件处于直线
平衡状态，不是所研究的微弯状态；若要求y≠0，即C1、C2有
非零解，则方程的系数行列式必须等于零，即：
y
=
C1
sin
nπ l
x
实际上，当n=1时，上述方程对应的临界荷载最小，因此， n=2，3，…对应的临界荷载不再存在。因此，临界荷载时杆 件保持中性平衡状态的最小荷载。即：
F
=
π
2 EI l2
y = Asin π x 欧拉临界荷载
l
如果用杆件的截面积A去除以上式，可得到欧拉临界应力：
σ cr
=
Fcr A
3、动力准则与动力法
简单实例：如图，AC和BC是两根刚性链杆，铰C处有一抵抗 转动的弹簧，刚度系数为R，当AC和BC在一直线上时弹簧不 受力。
设刚性杆的总质量为m ，沿杆长均匀分布，则 微段 dm = m dz
l
根据达朗贝尔原理，隔离体的运 动平衡方程为：
∫ d 2θ
dt 2
l / 2 z2 m dz + 2θ R − F l θ = 0