第四章 函数的数值逼近

第四章 函数的数值逼近
4.1 代数多项式插值 4.2 多项式插值的进一步分析 4.3 分段插值与保形插值 4.4 样条函数插值 4.5 函数的最佳平方逼近
4.1 代数插值多项式
什么是插值与拟合？有何区别？ 什么是插值与拟合？有何区别？
xi 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 yi 0.5 1 1.5 3 4 2 0 -1 1 4
ωn+1( x) ， k = 0,1,2,L, n ′+1( xk ) ( x − xk )ωn
Rn( x) = f ( x) − Ln( x)
插值的截断误差为
连续， 定理 4.1 设函数 f ( x)的 n 阶导数 f (n) ( x)在[a,b] ⊂ R连续， 它 的 n+1 阶导数 f (n+1) ( x)在[a,b]内存在 Langrange 插值多项式 Ln( x)满足 Ln( xk ) = yk ，则存在ξ ∈(a, b)，使
点斜式 y1 − y0 L1 ( x ) = y0 + ( x − x0 ) x1 − x0 对称式 x − x0 x − x1 L1 ( x ) = y0 + y1 x0 − x1 x1 − x0
x0
x1
x
x − x0 x − x1 L1 ( x ) = y0 + y1 x0 − x1 x1 − x0
求一个经验函数y=g(x)，使g(xi)=f(xi), i=1,…n. ， 求一个经验函数
●
y
●
●
y=f(x)
●
y2
●
g(x)
y1
y0 o x0 x1 x2
yn
xn
x
Lagrange插值 Lagrange插值
线性插值(n=1) 线性插值 求次数≤ 的多项式L 求次数≤1 的多项式 1(x). L1(x1)=y1 , 满足条件L 满足条件 1(x0)=y0 , y y=L1(x) y=f(x)
（5）求解正规方程组，得 a, b。 ）求解正规方程组，
y* = a + bx的具体表达式 （6）确定 ）
例4.3 直线拟合
的数值如下： 已知 x与 y的数值如下： x y 编号 1 1.9 1.4 2 2 1.3 3 2.1 1.8 4 2.5 2.5 5 2.7 2.8 6 2.7 2.5 7 3.5 3.5 8 3.5 3.5 9 4 3.5 10 4 4.2 11 4.5 4.5 12 4.6 3.5 x 5 5.2 6 6.3 6.5 7.1 8 8 8.9 9 9.5 10 y 5.5 5 5.5 6.4 6 5.3 6.5 7 8.5 8 8.1 8.1
Ln( x) = ∑ yklk ( x)
k= k=0
n
插值多项式， 称为插值基函数。 称为 Langrange 插值多项式， lk ( x)称为插值基函数。 ( x − x0 )L( x − xk−1 )( x − xk+1 )L( x − xn ) lk ( x) = ( xk − x0 )L( xk − xk−1 )( xk − xk+1 )L( xk − xn )
编号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
∑
xi 5 5.2 6 6.3 6.5 7.1 8 8 8.9 9 9.5 10 127.5
4.2 多项式插值的进一步分析
如何估计插值的截断误差？ 如何估计插值的截断误差？
考 虑 实 函 数 y = f ( x) ， x ∈[a,b] ⊂ R ， 设 函 数 在 已 知 节 点 a ≤ x0 < x1 < L< xn ≤ b处的函数值 y1, y2 ,L, yn。满足插值条件 Ln( xk ) = yk ， k = 0,1,2,L, n 其 n 次插值多项式为
为了便于分析， 为了便于分析，引入记号 ωn+1 = ( x − x0 )( x − x1 )L( x − xn ) 则
′ ωn+1( xk ) = ( xk − x0 )L( xk − xk−1 )( xk − xk+1 )L( xk − xn )
这样插值基函数为 这样插值基函数为
lk ( x) =
记 x − x1 , l0 ( x ) = x0 − x1 x − x0 l1 ( x ) = x1 − x0
L1 ( x ) = l0 ( x ) y0 + l1 ( x ) y1
l 0 ( x0 ) = 1 l1 ( x0 ) = 0
l0 ( x1 ) = 0 l1 ( x1 ) = 1
称l0 ( x )和l1 ( x )为以x0 , x1为节点的插值基函数
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
作最小二乘拟合， 的值。 作最小二乘拟合， y = a + bx ，求出 a, b，的值。
相关数值如下 数值如下： 已知 x与 y的相关数值如下： yi xi yi xi2 编号 xi 1 1.9 1.4 3.61 2.66 2 2 1.3 4.00 2.60 3 2.1 1.8 4.41 3.78 4 2.5 2.5 6.25 6.25 5 2.7 2.8 7.29 7.56 6 2.7 2.5 7.29 6.75 7 3.5 3.5 12.25 10.50 8 3.5 3.5 12.25 9.45 9 4 3.5 16.00 16.00 10 4 4.2 16.00 14.00 11 4.5 4.5 20.25 18.90 12 4.6 3.5 21.16 16.10
将 l j ( x )代入 L n( x ) = ∑ l j ( x ) y j 得
j=0
n
L n( x ) = ∑ l j ( x ) y j
j=0
n
( x − x 0 )( x − x 1)...( x − x j −1)( x − x j +1)...( x − x n ) =∑ yj j = 0 ( x j − x 0 )( x j − x 1)...( x j − x j −1)( x j − x j + 1)...( x j − x n )
4.3 分段插值与保形插值（略） 分段插值与保形插值（ 4.4 样条函数插值（略） 样条函数插值（ 4.5 曲线拟合的最小二乘方法
直线拟合： 由给定的一组测定的离散数据 ( xi , yi ) i = 1,2,L, N ） 求 直线拟合： （ ， 的方法。 自变量 x和因变量 y的近似表达式 y = ϕ( x)的方法。 影响因变量 y 只有一个 自变量 x。 直线拟合最常用的近似标准是最小二乘原理。 直线拟合最常用的近似标准是最小二乘原理。
( x − x0 )( x − x2 ) l1 ( x ) = ( x1 − x0 )( x1 − x2 )
( x − x 0 )( x − x1 ) l2 ( x ) = ( x 2 − x 0 )( x 2 − x1 )
l0(x) , l1(x) , l2(x) 称为以 x0 , x1 , x2为节点的插值基函数。 为节点的插值基函数
n 次插值多项式 :求次数 的多项式Ln(x), 使其满足 求次数≤n的多项式 求次数 的多项式 Ln(x0)=y0 , Ln(x1)=y1 , ...... , Ln(xn)=yn 令 Ln(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 +… +ln(x)yn ..(7)
求n 次多项式 lj(x) ,(j=0,1,…,n)使其满足条件 使其满足条件 0, i ≠ j l j ( xi ) = 1, i = j 容易求得 n ( x− x0 )L( x− x j −1 )( x− x j +1 )L( x − xn ) x − xi l j ( x) = = ∏ ( x j − x0 )L( x j − x j −1 )( x j − x j +1 )L( x j − xn ) i =0,i ≠ j x j − xi lj(x)(j=0,1,…,n)称为以 0 , x1,... , xn为节点的 称为以x 为节点的Lagrange 称为以 插值基函数。 插值基函数。
f (n+1) (ξ ) Rn( x) = f ( x) − Ln( x) = ω ( x) (n + 1)! n+1
例 4．2 考虑函数表 ． 考虑函数表 1 2 16 18
3 21
4 17
5 15
6 12
生成Langrange插值多项式： x=1:6; y=[16 18 21 17 15 12]; disp([x;y]) u=.75: .05:6.25; v=polyinterp(x,y,u); plot(x,y,'o',u,v,'-');
n
= ∑ (∏
j=0 i =0 i≠ j
n
n
x − xi )yj x j − xi
....(9)
公式（ ）就是n次 插值多项式. 公式（9）就是 次Lagrange插值多项式 插值多项式 特点：构造容易， 型插值基函数理论上有意义 型插值基函数理论上有意义， 特点：构造容易，L-型插值基函数理论上有意义， 但增加节点要重新计算，不适合编程计算。 但增加节点要重新计算，不适合编程计算。 实际应用：只用低次插值。 实际应用：只用低次插值。
， 用待定系数法，通过 Matlab 计算 Vander（范得蒙）行列式 （范得蒙） V=vander(x); >> c=V\y' 也可得到以上多项式。 也可得到以上多项式。
计算插值多项式系数： 计算插值多项式系数： function v=polyinterp(x,y,u) n=length(x); v=zeros(size(u)); for k=1:n w=ones(size(u)); for j=[1:k-1 k+1:n] w=(u-x(j))./(x(k)-x(j)).*w; end v=v+w*y(k); end