1_数字信号处理基础知识

δ(t)
系统
h(t) h(t) FT H ( f )
IFT
x (t)
Y(t)
H（f ) = F[ y(t)] = Y ( f ) F[x(t)] X ( f )
Y（f ) = H（f ) X（f ) y（t) = h（t) ∗ x（t)
∫= ∞ x(τ )h(t −τ )dτ −∞
此即 Duhamel 积分。
Sx ( f )—双边谱 Gx ( f ) —单边谱
Gx
(
f
)
=
⎧2S ⎨ ⎩0
x
(
f
)
f ≥0 f <0
T
∫ ∫ ∫ P = lim 1 T →∞ T
2 −T
x2 (t)d
t
=
∞ S( f )df
=
∞ G( f )df
2
−∞
0
上式称为 Perceval 定理
V2 PSD 单位： Hz
，
g2 Hz
，
5、 微分： dt
dnx dt n
⎯⎯FT →(
j2πf
)n
X
(
f
)
∫ 6、
积分：
t x(τ )dτ ⎯⎯FT→
−∞
1 j2πf
X(f )
18
7、 卷积定理： x(t)⋅ y(t) ⎯⎯FT → X ( f )*Y ( f ) x(t)* y(t)⎯⎯FT → X ( f )⋅Y ( f )
其中
x(t )*
t≠0 t=0
δ
(t
−
t0
)
=
⎧0 ⎩⎨∞
t ≠ t0 t = t0
∫∞ δ (t)dt = 1
−∞
∫∞ δ
−∞
(t
−
t0
)dt
=
1
可视为宽度为τ ，幅值为 1/τ 的矩形脉冲在τ → 0 的极限情况。
用冲激函数激励系统，产生的响应称为冲激响应，表为 h(t) 。系统的
冲激响应 h(t) 与系统的频响函数 H ( f ) 为傅里叶变换对，即
，
g2 ⋅S Hz
，
N 2 ⋅ S HzL
对功率有限信号，如平稳随机信号
令 xT (t) ⎯⎯FT → XT ( f ) T 表示截断
取
Sx( f
)=
lim
T →∞
1 T
XT
(f
)⋅
( X
* T
f
)
称之为 x(t) 的功率谱密度函数或 PSD
( PSD : Powwer Spectrum Density )
πτf
X ( f ) = X ( f ) e jϕ( f )
幅值谱
X(f )
= Aτ
sin(πτf )
πτf
相位谱
ϕ(
f
)=ຫໍສະໝຸດ ⎪⎪⎧0 ⎨,⎪⎪⎩π ,
2n ≤ τ
f
≤
2n +1 τ
,
2n +1 ≤ f ≤ 2(n +1)
τ
τ
n 为整数
14
(a) 幅值谱 (b)相位谱
(c) 相量谱
15
ESD & PSD
ϕn
=
arctg
an bn
∫ a 0
=
1 T
T
2 −T
x
d
t
2
∫ an
=
2 T
T
2 −T
x cos nω1
t
d
t
2
∫ bn
=
2 T
T
2 −T
x sin
nω1
t
d
t
2
( n = 1、2、3、…… )
7
傅里叶级数的复指数形式
Fourier series 缩写为 FS
( ) ∑[ ] ∞
x t = X0 +
N 2 HzL
16
傅里叶变换( FT )的重要性质
设 F[x(t)] = X ( f ) ， F[y(t)] = Y ( f ) 1、 线性性： F[ax(t)+ by(t)] = aX ( f )+ bY ( f ) 2、 对称性： F[X (t)] = x(− f )
证：
∫ x(t) =
( ) ∞
j = −1
A = Ae jϕ —复振幅 （相量—Phasor）
相互关系： Asin(ω t + ϕ ) = Asinϕ cosω t + Acosϕ sinω t
= A1 cosω t + A2 sinω t
5
( ) A1 cosω t
=
A1 2
e jω t + e− jω t
= A1 e jω t + A1 e j(−ω t )
随机过程
确定性过程 连续过程 瞬态过程
各态历经 非各态历经
周期过程 准周期过程
3
4
简谐过程两种数学表达形式
1 三角函数形式
x(t) = Asin(ω t + ϕ )
A —振幅 ϕ —初相角 ω —角频率
ω =2πf= 2π/T
2 复指数形式
( ) x t = Ae j(ω t+ϕ ) = Ae jω t
∫ x av
=
1 T
T 0
x dt
3、均值 µ x 或 x ( µ : mean )
∫ µ
x
=
x
=
1 T
T
xdt
0
µx = a0 = c0 = X 0 ( 称直流分量或 DC 分量 )
4、均方值（平均功率） p 或 x2
p ： power
P
=
x2
=
1 T
∫T
0
x2
dt
∑ ∑ ∑ P
= c02
+
∞ ⎜⎛ n=1 ⎝
20
1、 抽样特性：
δ (t)的重要性质
∫∞ δ
−∞
(t )x(t ) dt
=
∫∞ δ
−∞
(t ) x(0)dt
=
x(0)
∫∞ δ (t
−∞
− t0 )x(t)dt
=
∫∞ δ
−∞
(t
− t0 )x(t0 )dt
=
x(t0 )
2、 偶函数性质： δ (t) = δ (− t)
证：
∫∞ δ −∞
(−
t )x(t )dt
)
⎡ ⎢⎣
∞ −∞
y(t
−τ
)e− j2πftdt⎥⎦⎤dτ
∫=
∞ x(τ )Y ( f )
−∞
e− j2πfτ
dτ
∫ =Y ( f
)
∞ x(τ )
−∞
e− j2πfτ
dτ
= X( f )⋅Y( f )
19
冲激函数δ (t)
冲激函数，也称δ 函数，或狄拉克( Dirac )函数。
定义
δ
(t )
=
⎧0 ⎩⎨∞
cn ⎟⎞2 2⎠
=
∞
X
2 n
n=−∞
=
∞
Xn
n=−∞
⋅
X
* n
5、均方根值（有效值） x rms ( rms : root of mean square )
∫ xrms =
1 T x2dt T0
正弦信号：
x rms =
2 2
xp
=
0.707xp
x av
=
2 π
xp
=
0.637 x p
10
周期矩形波的幅值谱和功率谱
=
∫∞ δ
−∞
(τ
)x(−τ
)d (− τ
)
=
∫∞ δ −∞
(τ
) x(0)dτ
=
x(0)
3、 卷积特性： x(t)*δ (t) = δ (t)* x(t) = x(t)
12
傅里叶变换
非周期过程：令T → ∞ 、
ω1
=
2π T
→ dω
,
nω1 → ω ，
∑ → ∫ , X n = X (nω1) → X (ω )⋅ dω
∫ ( ) X n
=
1 T
T
2 −T
x
t
e− jnω1t
dt
2
∫ →
X (ω ) = 1 ∞ x(t)e− jωt d t
2π −∞
∞
∑ ( ) x t = X n e jnω1t n=−∞
y(t )
=
y(t )*
x(t )
=
∞
∫− ∞
x(τ
)y(t
−τ
)dτ
X(
f
)*Y( f
)
=
Y(
f
)*
X
(
f
)
=
∞
∫− ∞
X (ξ )Y(
f
−ξ )dξ
证明：
∫ ∫ F[x(t)* y(t)]=
∞⎡ −∞ ⎢⎣
∞ x(τ )y(t
−∞
−τ
)dτ
⎤ ⎥⎦
e− j 2πf t
dt
∫ ∫ =
∞ −∞
x(τ
17
4、 时移和频移： x(t − t0 ) ⎯⎯FT → X ( f )e− j2πft0 ( ) x t e j2πf0t ⎯⎯FT → X ( f − f0 )
证：设τ = t − t0 ， t = τ + t0
[ ] ∫ ( ) ( ) F x t − t0