反比例函数知识点与题型归纳非常全面
(完整版)初中数学反比例函数知识点及经典例
04
利用相似三角形求解线段长度或角度大小
通过相似三角形的性质，我们可以建立 比例关系，从而求解未知线段长度或角 度大小。
解方程求解未知量。
具体步骤
根据相似比建立等式关系。
确定相似三角形，找出对应边或对应角 。
经典例题讲解和思路拓展
例题1
解题思路
例题2
解题思路
已知直角三角形ABC中， ∠C=90°，AC=3，BC=4，将 △ABC沿CB方向平移2个单位 得到△DEF，若AG⊥DE于点G ，则AG的长为____反比例函数$y = frac{m}{x}$的图像经过点$A(2,3)$，且与直线$y = -x + b$相 交于点$P(4,n)$，求$m,n,b$的
值。
XXX
PART 03
反比例函数与不等式关系 探讨
REPORTING
一元一次不等式解法回顾
一元一次不等式的定义
01
在材料力学中，胡克定律指出弹簧的 伸长量与作用力成反比。这种关系同 样可以用反比例函数来描述。
牛顿第二定律
在物理学中，牛顿第二定律表明物体 的加速度与作用力成正比，与物体质 量成反比。这种关系也可以用反比例 函数来表示。
经济学和金融学领域应用案例分享
供需关系
在经济学中，供需关系是决定商品价 格的重要因素。当供应量增加时，商 品价格下降；反之，供应量减少时， 商品价格上升。这种供需关系可以用 反比例函数来表示。
XXX
PART 02
反比例函数与直线交点问 题
REPORTING
求解交点坐标方法
方程组法
将反比例函数和直线的方程联立 ，解方程组得到交点坐标。
图像法
在同一坐标系中分别作出反比例 函数和直线的图像，找出交点并 确定其坐标。
反比例函数知识点总结和重点题型归纳(汇编)
精品文档 反比例函数重点知识总结和归纳1. 反比例函数定义2.反比例函数的性质3.待定系数法4.反比例函数的图像和画法一、 反比例函数的比较大小问题1.若点A （1，y 1）和点B （2，y 2）在反比例函数y =图象上，则y 1与y 2的大小关系是：y 1 y 2（填“＞”、“＜”或“=”）．2.已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)是反比例函数y ＝－4x的图象上的三点，且x 1＜x 2＜0，x 3＞0，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )．A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 3＜y 2＜y 1二、反比例函数与直线相交问题3.直线y=mx 与双曲线y ＝k x相交于A 、B 两点，A 点的坐标为（1，2） （1）求反比例函数的表达式；（2）计算线段AB 的长．（3）根据图象直接写出当mx ＞k x时，x 的取值范围；4.已知：如图，反比例函数y 1＝k x的图象与一次函数y 2=x +b 的图象交于点A （1，4）、点B （﹣4，n ）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB 的面积；（3）直接写出y 1＞y 2，y 1＜y 2，y 1=y 2时自变量x 的取值范围．精品文档5.如图，一次函数y =kx +b 与反比例函数的图象交于A （m ，6），B （3，n ）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出的x 的取值范围； （3）求△AOB 的面积．6.如图,在平面直角坐标系中,直线y =x －2与y 轴相交于点A ,与反比例函数k y x在第一象限内的图象相交于点B （m ,2）. ⑴ 求反比例函数的关系式;⑵ 将直线y =x －2向上平移后与该反比例函数的图象在第一象限内交于点C ，且△ABC 的面积为18,求平移后的直线的函数关系式.精品文档三、 反比例函数交点问题7.函数y=的图像与直线y=2x 没有交点，k 的取值范围？8.y= 与y=x-2的图像的交点横坐标为a,b,则 的值四、 反比例函数中线段比的问题---转化为点的坐标问题9.如图，直线y=与双曲线y=（k ＞0，x ＞0）交于点A ，将直线y=向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，与双曲线y=（k ＞0，x ＞0）交于点B ，若OA=3BC ，则k 的值为（ ）精品文档10.如图，已知函数y=x 与反比例函数y=（x ＞0）的图象交于点A ．将y=x 的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B ，与x 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）若=2，求反比例函数的解析式．五、 k 的几何意义------面积问题11.如图，反比例函数（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ．4 12.如图，A 、B 是双曲线y=上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为（ ）A ．B ．C ． 3D ． 4精品文档13.如图，已知双曲线)0(k y >=k x经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交与点C 。
反比例函数专题知识点归纳 常考(典型)题型 重难点题型(含详细答案)
反比例函数专题知识点归纳+常考（典型）题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (2)1.知识结构 (2)2.反比例函数的概念 (2)3.反比例函数的图象 (2)4.反比例函数及其图象的性质 (2)5.实际问题与反比例函数 (4)三、常考题型 (6)1.反比例函数的概念 (6)2．图象和性质 (6)3．函数的增减性 (8)4．解析式的确定 (10)5．面积计算 (12)6．综合应用 (17)三、重难点题型 (22)1.反比例函数的性质拓展 (22)2.性质的应用 (23)1.求解析式 (23)2.求图形的面积 (23)3. 比较大小 (24)4. 求代数式的值 (25)5. 求点的坐标 (25)6. 确定取值范围 (26)7. 确定函数的图象的位置 (26)二、基础知识点1.知识结构2.反比例函数的概念（k≠0）可以写成y=x−1（k≠0）的形式，注意自变量x 1．y=kx的指数为－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件；（k≠0）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反2．y=kx比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点．3．反比例函数y=kx3.反比例函数的图象的图象时，应注意自变量x的取值在用描点法画反比例函数y=kx不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．4.反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：y=k（k≠0）x2．自变量的取值范围：x≠03．图象：（1）图象的形状：双曲线．|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：①与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．②当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；③当k＜0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（－a，－b）在双曲线的另一支上．②图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（－b，－a）在双曲线的另一支上．（4）k的几何意义图1上任意一点，作PA⊥x①如图1，设点P（a，b）是双曲线y=kx轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO|k|）．和三角形PBO的面积都是12图2②如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|．（5）说明：①双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．的关系：②直线y=k1x与双曲线y=k2x当k1k2＜0时，两图象没有交点；当k1k2＞0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．5.实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．三、常考题型1.反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．y－3=2x C．3xy=1 D．y=x2答案：A为正比例函数B为一次函数C变型后为反比例函数D为二次函数（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=14x B．y=−1x2C．y=1x−1D．y=1+1x答案：A为反比例函数，k为14B、C、D都不是反比例函数2．图象和性质（1）已知函数y=（k+1）x k2+k−3是反比例函数。
(完整版)中考——反比例函数知识点【经典】总结
反比例函数一、基础知识1.定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。
还可以写成xk y =k o k ≠x ky =kxy =1-2.反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分y k k 母中含有自变量，且指数为1.x ⑵比例系数0≠k ⑶自变量的取值为一切非零实数。
x ⑷函数的取值是一切非零实数。
y 3.反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法①列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）②描点（有小到大的顺序）③连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所xky =k 0≠k 0≠x 0≠y 以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。
x y =x y -=⑷反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意引x k y =0≠k k xky =0≠k 轴轴的垂线，所得矩形面积为。
x y k 4．反比例函数性质如下表：的取值k 图像所在象限函数的增减性ok >一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小y xo k <二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大y x 5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）k 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。
xky =7. 反比例函数的应用题型总结：一．反比例函数的图象与性质【例1】对与反比例函数，下列说法不正确的是（ ）xy 2=A ．点（）在它的图像上 1,2--B ．它的图像在第一、三象限C ．当时，0>x 的增大而增大随x yD ．当时，0<x 的增大而减小随x y 【例2】已知反比例函数的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定经过（ ()0ky k x=≠）A 、（2，1）B 、（2，-1）C 、（2，4）D 、（-1，-2）【例3】在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么和的关系x k y 1=xk y 2=1k 2k 一定是（ ）A. +=0B. ·<0C. ·>0D.=1k 2k 1k 2k 1k 2k 1k 2k 【例4 】已知,且反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大,如果点3=b xby +=1y x 在双曲线上，求a 是多少？()3,a xb y +=1【例5】两个反比例函数y=k x 和y=1x 在第一象限内的图像如图3所示， 点P 在y=kx的图像上，PC⊥x 轴于点C ，交y=1x 的图像于点A ，PD⊥y 轴于点D ，交y=1x的图像于点B ， 当点P 在y=kx的图像上运动时，以下结论： ①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上， 少填或错填不给分）．二．反比例函数的判定l t y ABC【例1】若与成反比例，与成正比例，则是的（ ）y x x z y z A 、正比例函数 B 、反比例函数 C 、一次函数 D 、不能确定【例2】如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长cm 与宽cm 之间的函数图象大致为（ ）y x 三．反比例函数的解析式特征（的指数，值与图像分布关系）：x k 【例1】如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？222-+=k k kxy 【例2】如果函数22(1)my m x -=-为反比例函数，则m 的值是 （ ）A 、1-B 、0C 、21 D 、1四.比较反比例函数图象上点的横纵坐标大小关系：【例1】在反比例函数的图像上有三点，，，，，。
九年级数学反比例函数重点、难点、综合运用题型
九年级数学反比例函数重点、难点、综合运用题型☞考点归纳归纳 1：反比例函数的概念基础知识归纳：一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成的形式。
自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．基本方法归纳：判断一个函数是否是反比例函数关键是看它的横纵坐标的乘积k是否为一个非零常数．注意问题归纳：当k及自变量x的指数含字母参数时，要同时考虑k0及指数为-1．【例1】（株洲）已知反比例函数y=的图象经过点（2，3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．（﹣6，1）B．（1，6）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）【例2】（宁夏）已知两点、在函数的图象上，当时，下列结论正确的是（）A. B. C. D.【例3】（呼和浩特）已知函数的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c＋1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根x1，x2判断正确的是（）A．x1 ＋ x2 >1，x1·x2 > 0 B．x1 ＋ x2 < 0，x1·x2 > 0C．0 < x1 ＋ x2 < 1，x1·x2 > 0 D．x1 ＋ x2与x1·x2 的符号都不确定【例4】【山东省聊城市】如图，一次函数y1=k1x+b的图象和反比例函数y2=的图象交于A（1，2），B （﹣2，﹣1）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（）A． x＜1 B． x＜﹣2 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D． x＜﹣2或0＜x＜1【例5】（遵义）如图，反比例函数（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E是AB 的中点，S△BEF=2，则k的值为．同步练习1．（山东省威海市乳山市中考一模）在平面直角坐标系中，若一个点的横纵坐标互为相反数，则该点一定不在（）A．直线y=-x上 B．直线y=x上 C．双曲线y= D．抛物线y=x2上2．（山东省济南市平阴县中考二模）下列函数中，在0≤x≤2上y随x的增大而增大的是（）A．y=-x+1 B．y=x2-4x+5 C．y=x2 D．y=3．（四川省成都市外国语学校中考直升模拟）一次函数y=-kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点，点（-，y1）、（-1，y2）、（，y3）是函数图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y14．（山东省威海市乳山市中考一模）如图，等边△ABC的边长是2，内心O是直角坐标系的原点，点B在y轴上．若反比例函数y=（x＞0），则k的值是（）A． B．C． D．5．（山东省聊城市中考模拟）如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD．其中正确的结论是（）A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④6．（山东省青岛市李沧区中考一模）函数（a≠0）与y=a（x﹣1）（a≠0）在同一坐标系中的大致图象是（）7．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）点A为双曲线y=（k≠0）上一点，B为x轴上一点，且△AOB为等边三角形，△AOB的边长为2，则k的值为（）A．2 B．±2 C． D．±8．（广东省广州市中考模拟）如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，-2），则点F的坐标是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）9．（河北省中考模拟二）如图，两双曲线y=与y=-分别位于第一、四象限，A是y轴上任意一点，B是y=-上的点，C是y=上的点，线段BC⊥x轴于点 D，且4BD=3CD，则下列说法：①双曲线y=在每个象限内，y随x的增大而减小；②若点B的横坐标为3，则点C的坐标为（3，-）；③k=4；④△ABC的面积为定值7，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（湖北省黄石市6月中考模拟）如图，反比例函数（k＞0）与一次函数的图象相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB交y轴与C，当|x1﹣x2|=2且AC=2BC时，k、b的值分别为（）A．k=，b=2 B．k=，b=1 C．k=，b= D．k=，b=11．（山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）设函数y=x+5与y=的图象的两个交点的横坐标为a、b，则的值是．12．（四川省成都市外国语学校中考直升模拟）双曲线y=（x＞0）与直线y=x在坐标系中的图象如图所示，点A、B在直线上AC、BD分别平行y轴，交曲线于C、D两点，若BD=2AC 则4OC2-OD2的值为．13．（安徽省安庆市中考二模）如图，直线y1=x+b与双曲线y2=交于点A（1，4）和点B，经过点A的另一条直线与双曲线y2=交于点C．则：①直线AB的解析式为y1=x+3；②B（﹣1，﹣4）；③当x＞1时，y2＜y1；④当AC的解析式为y=4x时，△ABC是直角三角形．其中正确的是．（把所有正确结论的序号都写在横线上）14．（山东省日照市中考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象过点B，E．若AB=2，则k的值为．15．（山东省日照市中考模拟）如图，一次函数y=mx与反比例函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM=3，则k的值是．17．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，点P在双曲线（k≠0）上，点P′（1，2）与点P 关于y轴对称，则此双曲线的解析式为．18．（广东省深圳市龙华新区中考二模）如图，已知反比例函数y=（k＞0）的图象与正方形OABC的边AB、BC分别交于点D、E．若正方形OABC的边长为1，△ODE是等边三角形，则k的值为．19．（江苏省南京市建邺区中考一模）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y1=（k为常数，k≠0）的图象与正比例函数y2=ax（a为常数，a≠0）的图象相交于A．B两点．若点A的坐标为（2，3），则点B的坐标为．20．（浙江省宁波市江东区4月中考模拟）如图，点A在双曲线y=第三象限的分支上，连结AO并延长交第一象限的图象于点B，画BC∥x轴交反比例函数y=的图象于点C，若△ABC的面积为6，则k的值是．（20题图）（21题图）21．（湖北省黄石市6月中考模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3），反比例函数y=（x＞0）的图象过点D，点P是一次函数y=kx+3﹣3k（k≠0）的图象与该反比例函数的一个公共点．对于一次函数y=kx+3﹣3k（k≠0），当y随x的增大而增大时，则点P横坐标a的取值范围__________．22．（山东省聊城市中考模拟）如图，已知A（-4，0.5），B（-1，2）是一次函数y=ax+b与反比例函数y＝（m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．23．（山东省潍坊市昌乐县中考一模）已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为P点，已知△OAP的面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且点B的横坐标为2，在x轴上求一点M，使MA+MB最小．24．（四川省成都市外国语学校中考直升模拟）如图（1），直线y=k1 x+b与反比例函数y=的图象交于点A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2的值；（2）如图（1），等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点F，当梯形OBCD的面积为12时，请判断FC和EF的大小，并说明理由；（3）如图（2），已知点Q是CD的中点，在第（2）问的条件下，点P在x轴上，从原点O出发，沿x轴负方向运动，设四边形PCQE的面积为S1，△DEQ的面积为S2，当∠PCD=90°时，求P点坐标及S1：S2的值．25．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），tan∠AOB=．（1）求k的值；（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过DC上一点E，且DE：EC=2：1，求直线AE的函数表达式；（3）若直线AE与x轴交于点，N，与y轴交于点M，请你探索线段AM与线段NE的大小关系，写出你的结论并说明理由．26．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴的正半轴上，且OA=3，OC=2，将矩形OABC向上平移4个单位得到矩形O1A1B1C1．（1）若反比例函数y=和y=的图象分别经过点B、B1，求k1和k2的值；（2）将矩形O1A1B1C1向左平移得到O2A2B2C2，当点O2、B2在反比例函数y=的图象上时，求平移的距离和k3的值．27．（湖北省黄石市6月中考模拟）如图，正方形ABCO的顶点A，C分别在x轴，y轴上，O为坐标原点，点B在第二象限，边长为m，双曲线线y=（x≠0）经过BC的中点H．（1）用m的代数式表示出k；（2）当m=3时，过B作直线BD，分别交x轴，y轴于G、F，分别交双曲线线y=（x≠0）的两个分支于E、D，求证：GE=DF；（3）在（2）的前提下，将直线BD绕点B旋转适当的角度在第二象限与双曲线线y=（x≠0）交于P、Q，分别过P、Q作直线AC的垂线PM、QN，垂足为M、N，试探究PQ与PM+QN的数量关系并证明．九年级数学反比例函数重点、难点、综合运用题型参考答案☞考点归纳归纳 1：反比例函数的概念基础知识归纳：一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。
第1章 反比例函数 知识点清单 最新最全
第1章反比例函数1.1反比例函数知识点1反比例函数的定义1.定义：一般地，如果两个变量y与x的关系可表示成y= k（k为常x数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数.2.反比例函数的三种形式:①y=kx②y= kx -1,③xy=k (其中k为常数，k≠0)三种基本形式要牢记,这是识别反比例函数的关键特别提醒：①形如y= 1+1,(x+1)y=3,y=(x+1)-1等的函数都不是y关于x的反x比例函数.②反比例函数的表达式y= k中无论变量x, y怎样变化,k的值始终x等于x与y的乘积.若k=0,则y= k=0恒成立,为常数函数,失去了x反比例函数x, y成反比例的意义,所以k≠0.知识点2 反比例关系与反比例函数的关系1.如果两个量x,y满足xy=k(k为常数，k≠0),那么x,y就成反比例关系，这里的x和y既可以代表单项式，也可以代表多项式；当x,y只代表一次单项式时，x,y这两个量才成反比例函数关系.2.成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量必成反比例关系.示例：y= k(k为不等于0的常数),y与x²成反比例，x2但y不是关于x的反比例函数.3.反比例函数中有自变量和函数的区分，而反比例关系中的两个变量没有这种区分.示例解读( k为常数,k≠0);若y+2与x - 5成反比例,则y+2=kx − 5若y与x2成反比例,则y = k( k为常数, k≠0).x2知识点3求反比例函数表达式1.确定反比例函数表达式的方法是待定系数法，由于在反比例函数y=k(k≠0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x,y的对应值或图×象上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其表达式.2 用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤特别解读1.用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对应值，解一元一次方程.2.当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关（k为常数，k≠0).系”时，可直接设函数的表达式为y= kx1.2反比例函数的图象与性质知识点1 反比例函数的图象1.图象的画法(描点法):画实际问题中的反比例函数的图象时,要考虑自变量的取值范围,一般地,实际问题的图象是反比例函数图象，在第一象限内的一支或其中一部分.(1)列表：先取一些自变量的值，在原点的两边取三对或三对以上互为相反数的值，如1和-1,2和-2,3和-3等. 求y值时，只需计算原点一侧的函数值，另一侧的函数值可以随之得出.(2)描点：根据表中提供的数据，即点的坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点.(3)连线：用平滑的曲线顺次把这些点连接起来并延伸，注意双曲线的两支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交.2.图象的特点：(1)反比例函数y= k(k为常数，k≠0)的图象是双曲线.x(2)反比例函数图象的两支分别位于第一、三象限或第二、四象限.(3)双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.(4)双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点),又是轴对称图形(对称轴是直线y=x和直线y=-x).示意图(如图1.2-1).y知识点2 反比例函数的性质反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况，如下表所示.特别提醒在描述反比例函数的增减性时,必须指明"在每个象限内"因为当k> 0（k<0)时,整个函数不是y随x的增大而减小(增大)的,而是函数在每个象限内,y随x的增大而减小(增大).知识点3 反比例函数y= kx(k≠0)中k 的几何性质1.矩形的面积如图所示，过双曲线y= kx(k≠0)上任意一点p（x,y）分别作x轴，y轴的垂线PM，PN ,所得得矩形PMON得面积为S=PM ·PN =I y I·I x I,因为y= kx, 所以xy= k ,所以S =y=I k I，即过双曲线y= kx(k≠0)上任意一点作x轴，y轴的垂线，所得得矩形面积为I k I.2.三角形的面积：如图1.2-3, 过双曲线y= kx(k≠0)上的任意一点E作EF垂直于y轴，垂足为F,连接EO,则S▲EOF= I k I2, 即过双曲线y= kx任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为I k I 2.因为y= kx( k≠0)中只有正、负之分,所以在利用函数表达式求矩形或三角形面积时,都要加上绝对值符号.1.3反比例函数的应用知识点1 建立反比例函数模型解实际问题1.在生活与生产中，如果某些问题的两个量成反比例关系,那么可以根据这种关系建立反比例函数模型，再利用反比例函数的有关知识解决实际问题.运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路：(1)通过问题提供的信息，明确变量之间的函数关系，设出相应的函数表达式，再根据题目条件确定函数表达式中待定系数的值；(2)已知反比例函数模型的表达式，运用反比例函数的图象及性质解决问题.2.建立反比例函数表达式常用的两种方法：(1)待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数是反比例函数，则设函数表达式为y=k,( k为常数，k≠0),再求出k的值；x(2)列方程法：若题目所给的信息中两个变量之间的函数关系不明确，通常列出关于两个变量的方程，通过变形得到反比例函数表达式 .3.用反比例函数解决实际问题的一般步骤：(1)审：审清题意，找出题目中的常量、变量；(2)设：根据常量、变量间的关系，设出函数表达式，待定的系数用字母表示；(3)列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；(4)写：用函数的图象和性质去解决实际问题.。
初中数学反比例函数知识点与题型总结大全
一、概述反比例函数是初中数学中的重要知识点之一。
掌握反比例函数的知识，对于学生理解数学规律和解决实际问题具有重要意义。
本文将系统总结反比例函数的相关知识点和常见题型，帮助学生更好地掌握这一部分内容。
二、反比例函数的定义1. 反比例函数的概念反比例函数是指两个变量之间的关系，当一个变量的值增加时，另一个变量的值减少。
通常用y=k/x（k≠0）来表示，其中k为比例系数。
2. 反比例函数的特点（1）反比例函数图像呈现出一条经过原点且斜率逐渐减小、趋近于x轴的曲线。
（2）当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。
（3）反比例函数的图像经过点（1，k）和（k，1），其中k为比例系数。
三、反比例函数的性质1. 零点问题反比例函数y=k/x的零点为x≠0，y=0时的值。
2. 单调性问题当x1<x2时，y1>y2；当x1>x2时，y1<y2。
即当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。
3. 渐近线问题反比例函数的图像有两个渐近线，分别为x轴和y轴。
四、反比例函数的图像与性质1. 反比例函数的图像（1）当k>0时，反比例函数图像位于第一象限和第三象限。
（2）当k<0时，反比例函数图像位于第二象限和第四象限。
2. 反比例函数图像的特点（1）当k>0时，图像呈现出y轴的镜像关系；当k<0时，图像呈现出x轴的镜像关系。
（2）当k的绝对值增大时，图像离x轴和y轴越远。
五、反比例函数的题型1. 反比例函数的应用题（1）水管填水：如何选择合适的水管来填满一个容器。
（2）工人齐心协力地工作，完成相同的工作需要的时间和工人数量。
（3）如何选择合适的空调功率。
2. 实际问题的数学抽象（1）根据实际问题找出反比例函数的表达式。
（2）利用反比例函数解决实际问题，如何做到最大效益。
3. 反比例函数的图像题（1）根据给定的k值绘制反比例函数的图像。
（2）根据图像判断k值的大小和符号。
六、结语反比例函数作为初中数学中的一个重要知识点，涉及到很多实际问题的解决。
(word完整版)反比例函数知识点总结和重点题型归纳,推荐文档
反比例函数重点知识总结和归纳1. 反比例函数定义2.反比例函数的性质3.待定系数法4.反比例函数的图像和画法一、反比例函数的比较大小问题1•若点A( 1，y i)和点B(2，y2)在反比例函数y=—图象上，则y i与y2x的大小关系是：y i __________ y2 (填 \”、Z”或“=)'.42. 已知(x i, y i), (X2, y2),(X3, y3)是反比例函数y=— -的图象上的三点，X且X i V X2V 0, X3> 0,贝y y i, y2, y3 的大小关系是().A . y3V y i V y2B . y2V y i V y3C . y i V y2 V y3D . y3V y2V y i二、反比例函数与直线相交问题3. 直线y=mx与双曲线y= ’相X(i)求反比例函数的表达式；(2)计算线段AB的长.k(3)根据图象直接写出当mx>k时，X的取值范围；X5. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数尸戈O0)6), B (3, n)两点.(i)求一次函数的解析式；(2、根据图象直接写出:I的x的取值范围;(3)求厶AOB的面积.2)为阳0 %k4. 已知：如图，反比例函数y i= -的图象与一X(i, 4)、点 B (- 4, n).(i、求一次函数和反比例函数的解析式；(3、直接写出y i>y2, y i V y2, y仁y2时自变量(2)求厶OAB的面积；/X的取值范围. yK O Ja叭交于A、B两点，A点的坐标为(i ,次函数y2=x+b的图象交于点A6•如图,在平面直角坐标系中，直线y=x—2与y轴相交于点A,与反比例函数ky 在第一象限内的图象相交于点 B (m,2) •x⑴求反比例函数的关系式；(2)将直线y=x—2向上平移后与该反比例函数的图象在第一象限内交于点。
且厶ABC的面积为18,求平移后的直线的函数关系式•'/J/J Z/B''/ Ox/A三、反比例函数交点问题7. 函数y=』的图像与直线y=2x没有交点，k的取值范围?x1 1 18. y=-与y=x-2的图像的交点横坐标为a,b,则-+-的值x a b四、反比例函数中线段比的问题---转化为点的坐标问题1 I 19如图，直线y=—•「与双曲线丫=二(k > 0, x> 0)交于点A ,将直线y=—K2 X 2 \向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C,与双曲线y=^(k>0, x>0)x第11题图 第12题图 第13题图 10. 如图，已知函数 y=x 与反比例函数y=— (x >0)的图象交于点 A .将 y=x 的图象向下平移6个单位后与双曲线(1) 求点C 的坐标；(2) 若一=2,求反比例函数的解析式. CB五、k 的几何意义------面积问题11. 如图，反比例函数尸卫(x > 0)的图象经过矩形 OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC 交于点D 、E ,若四边形 ODBE 的面积为9,贝U k 的 值为( )A . 1B . 2C . 3D . 412. 如图，A 、B 是双曲线y=-上的两点，过A 点作AC 丄x 轴，交OB 于D 点，垂足为C .若△ ADO 的面积为1, D 为OB 的中点，贝y k 的值为()C . 3D .4 k(k 0)经过直角三角形 OAB 斜边OB 的中点xD ，与直角边AB 相交与点 C 。
北师版九年级数学 第六章 反比例函数 知识归纳与题型突破(十类题型清单)
第六章反比例函数知识归纳与题型突破（十类题型清单）01思维导图02知识速记一、反比例函数的概念一般地，形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.要点：在ky x=中，自变量x 的取值范围是，k y x=()可以写成()的形式，也可以写成的形式.二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数ky x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.三、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象反比例函数()0ky k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．要点：观察反比例函数的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①)0(≠=k x ky 的图象是轴对称图形，对称轴为x y x y -==和两条直线；②)0(≠=k x ky 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③xky x k y -==和(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称.注：正比例函数x k y 1=与反比例函数xk y 2=，当021<⋅k k 时，两图象没有交点；当021>⋅k k 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质当0k >时，x y 、同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，x y 、异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大.（2）若点(a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点（a b --，）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.（3）正比例函数与反比例函数的性质比较正比例函数反比例函数解析式图像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位置0k >，一、三象限；0k <，二、四象限0k >，一、三象限0k <，二、四象限增减性0k >，y 随x 的增大而增大0k <，y 随x 的增大而减小0k >，在每个象限，y 随x 的增大而减小0k <，在每个象限，y 随x 的增大而增大（4）反比例函数y＝中k 的意义①过双曲线xky =(k ≠0)上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k .②过双曲线x ky =(k ≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k .四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.03题型归纳题型一反比例函数的概念及应用例题1．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（）A ．3x y =B ．321y x =+C ．k y x=D ．134y x -=巩固训练2．下列问题中的两个变量是成反比例的是（）A ．被除数（不为零）一定，除数与商B ．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量C ．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长D ．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间3．下列函数表达式中，表示y 是x 的反比例函数的有（）（1）4x y =；（2）34y x=；（3）3xy -=；（4）1y 3x -=-；（5）21y x =+；（6）52y x =+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下列各点在反比例函数2y x=图象上的是（）A ．()1,2-B ．()2,1-C ．()1,3D ．()1,2--5．已知关于x 的反比例函数()32m y m x -=-，则m 的值为．6．如果2212n n n n y x+++=是反比例函数，那么n 的值是．题型二反比例函数的图像与性质例题7．关于反比例函数6y x=，下列说法不正确．．的是（）A ．函数图像分别位于第一、三象限B ．函数图像经过点()3,2--C ．函数图像过()()23A m B n -，、，，则m n >D ．函数图像关于原点成中心对称巩固训练8．如图是三个反比例函数11k y x=，22ky x =，33k y x =在x 轴上方的图象，则1k ，2k ，3k 的大小关系为（）A ．123k k k >>B ．231k k k >>C ．132k k k >>D ．312k k k >>9．关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是（）A ．函数图像经过点()2,2B ．函数图像位于第一、三象限C ．函数值y 随着x 的增大而增大D ．当1x >时，4y >-10．若点()11,A y -，()22,B y ，()33,C y 是反比例函数2y x=-图像上的三个点，则下列结论正确的是（）A ．132y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．312y y y >>题型三根据图像或性质求参数范围例题11．反比例函数2y x=的图象上有一点(),P m n ，当1n ≥-，则m 的取值范围是．巩固训练12．若反比例函数13ky x-=的图象不经过第一象限，则k 的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy 中，对于每一象限内的反比例函数3m y x+=图像，y 的值都随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是．14．若反比例函数2221(21)kk y k x --=-的图象位于第二、四象限，则k 的值（）A ．0B ．0或1C ．0或2D ．4题型四参数范围、图像与性质的相互判断例题15．在同一坐标系中，函数ky x=和2y kx =-+的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．巩固训练16．一次函数=−1与反比例函数()0ky k x=≠在同一直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．17．已知反比例函数21k y x+=，则下列说法正确的是（）A ．函数图像分布在第二、四象限B ．y 随x 的增大而减小C ．如果两点()11,y -，()22,y 都在图像上，则12y y >D ．图像关于原点中心对称18．在函数21m y x+=-(m 为常数)的图象上有三个点1(1)y -，，2(2)y -，，3(3)y ，，则函数值123、、y y y 的大小关系是()．A ．231y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<题型五反比例函数与方程、不等式例题19．如图，一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的图象与反比例函数my x=（m 为常数，且0m ≠）的图象交于A 、B 两点．则关于x 的方程mkx b x+=的解为．巩固训练20．如图，已知一次函数=B +与反比例函数．ky x=的图象交于()()3,11,3A B --，两点．观察图象可知，不等式kmx n x+>的解集是．21．已知一次函数2y x =-+与反比例函数ky x=在同一坐标系内的图象没有交点，则k 的取值范围为．题型六k 的几何意义例题22．如图，过双曲线上任意一点P 分别作x 轴，y 轴的垂线PM ，PN ，交x 轴、y 轴于点M 、N ，所得矩形PMON 的面积为8，则k 的值是（）A ．4B ．4-C ．8D ．8-巩固训练23．如图，反比例函数()40y x x-=>的图像上有一点P ，PA x ⊥轴于点A ，点B 在y 轴上，则PAB 的面积为（）A ．1B ．2C ．4D ．824．如图，在平面直角坐标系中，AOC △的边OA 在y 轴上，点C 在第一象限内，点B 为AC 的中点，反比例函数()0k y x x=>的图象经过B ，C 两点．若AOC △的面积是6，则k 的值为．25．函数1(0)y x x =>与8(0)y x x=>的图象如图所示，点C 是y 轴上的任意一点．直线AB 平行于y 轴，分别与两个函数图象交于点A 、B ，连接AC BC 、．当AB 从左向右平移时，ABC V 的面积是．26．如图，点A B ，是反比例函数()0ky x x=>图像上的点，点,C D 分别在x 轴，y 轴正半轴上．若四边形ABCD 为菱形，BD x ∥轴，6ABCD S =菱形，则k 的值（）A ．3B ．6C ．12D ．24题型七反比例函数的代数应用例题27．已知点1()2P a b -，与点2)1(2Pa b +-，在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，()A ．若0k >，则202a b ><<，B ．若0k >，则12a b <->，C ．若0k <，则22a b <>，D ．若0k <，则1202a b -<<<<，巩固训练28．已知点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在反比例函数()0ky k x=>的图象上，123x x x <<，则下列结论一定成立的是（）A ．若130x x <，则23y y <B ．若230x x <，则130y y >C ．若130x x >，则23y y >D ．若230x x >，则130y y >题型八反比例函数的实际应用例题29．验光师检测发现近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，y 关于x 的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（）度．A ．150B ．200C ．250D ．300巩固训练30．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度()m/s v 是载重后总质量(kg)m 的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量60kg m =时，它的最快移动速度6m/s v =；当其载重后总质量90kg m =时，它的最快移动速度=v m/s ．31．为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强p （kPa ）是气体体积V （ml ）的反比例函数，其图像如图所示．则下列说法中错误的是（）A ．这一函数的表达式为6000p V=B ．当气体体积为40ml 时，气体的压强值为150kPaC ．当温度不变时，注射器里气体的压强随着气体体积增大而减小D ．若注射器内气体的压强不能超过400kPa ，则其体积V 不能超过15ml 题型九最值问题、其他问题例题32．已知函数1k y x =，()20ky k x=->，当13x ≤≤时，函数1y 的最大值为a ，函数2y 的最小值为4a -，则a 的值为．巩固训练33．反比例函数1k y x =，()220ky k x =-≠，当a x b ≤≤（b ，a 为常数，且0b a >>）时，1y 的最小值为m ，2y 的最大值为n ，则mn的值为（）A ．2-B ．12-C ．12-或2-D ．2b a-34．在同一坐标系中，若正比例函数1y k x =与反比例函数2k y x=的图象没有交点，则1k 与2k 的关系，下面四种表述：①120k k +≤；②120k k <；③1212||k k k k +<-；④121k k k +<或122k k k +<．正确的有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个题型十解答综合题例题35．已知y 与2x +成反比例，且当5x =时，y =-6，求：(1)y 与x 之间的函数关系式；(2)当5y =时，x 的值．巩固训练36．如图，函数()120y x x =≥与2(0)ay x x=>的图象交于点()1,A b ，直线2x =与函数12,y y 的图象分别交于B ，C 两点．(1)求a 和b 的值；(2)求BC 的长度；(3)根据图象写出120y y >>时x 的取值范围（不需说明理由）．37．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强(kPa)p 与气体的体积()3m V 成反比例．当气体的体积30.8m V =时，气球内气体的压强112.5kPa p =．(1)当气体的体积为31m 时，它的压强是多少？(2)当气球内气体的压强大于150kPa 时，气球就会爆炸．问：气球内气体的体积应不小于多少气球才不会爆炸？38．如图，已知()4,A n -，()2,4B -是反比例函数ky x=的图象和一次函数y ax b =+的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求AOB V 的面积；(3)根据图象直接写出不等式0k ax b x+-<的解集．39．已知一次函数y ax b =+与反比例函数y =kx的图象交于()()3,2,6A n B --，两点．(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；②求AOB 的面积．(2)在x 轴的负半轴上，是否存在点P ，使得PAO 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．40．已知：如图，直线4y kx =+与函数()0,0my x m x=>>的图像交于A ，B 两点，且与x ，y 轴分别交于C ，D 两点．(1)若直线4y kx =+与直线2y x =--平行，且AOD △面积为2，求m 的值；(2)若COD △的面积是AOB V倍，过A 作AE x ⊥轴于E ，过B 作BF y ⊥轴于F ，AE 与BF 交于H 点．①求:AH OD 的值；②求k 与m 之间的函数关系式．(3)若点P 坐标为2,0，在（2）的条件下，是否存在k ，m ，使得APB △为直角三角形，且90APB ∠=︒，若存在，求出k ，m 的值；若不存在，请说明理由．第六章反比例函数知识归纳与题型突破（十类题型清单）01思维导图02知识速记一、反比例函数的概念一般地，形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.要点：在ky x=中，自变量x 的取值范围是，k y x=()可以写成()的形式，也可以写成的形式.二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数ky x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.三、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象反比例函数()0ky k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．要点：观察反比例函数的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①)0(≠=k x ky 的图象是轴对称图形，对称轴为x y x y -==和两条直线；②)0(≠=k x ky 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③xky x k y -==和(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称.注：正比例函数x k y 1=与反比例函数xk y 2=，当021<⋅k k 时，两图象没有交点；当021>⋅k k 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质当0k >时，x y 、同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，x y 、异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大.（2）若点(a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点（a b --，）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.（3）正比例函数与反比例函数的性质比较正比例函数反比例函数解析式图像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位置0k >，一、三象限；0k <，二、四象限0k >，一、三象限0k <，二、四象限增减性0k >，y 随x 的增大而增大0k <，y 随x 的增大而减小0k >，在每个象限，y 随x 的增大而减小0k <，在每个象限，y 随x 的增大而增大（4）反比例函数y＝中k 的意义①过双曲线xky =(k ≠0)上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k .②过双曲线x ky =(k ≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k .四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.03题型归纳题型一反比例函数的概念及应用例题1．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（）A ．3x y =B ．321y x =C ．k y x=D ．134y x -=2．下列问题中的两个变量是成反比例的是（）A ．被除数（不为零）一定，除数与商B ．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量C ．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长D ．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间D ．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间是正比例函数的关系，故此选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查反比例函数，正确区分正比例函数与反比例函数是解题关键．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系．3．下列函数表达式中，表示y 是x 的反比例函数的有（）（1）4x y =；（2）34y x=；（3）3xy -=；（4）1y 3x -=-；（5）21y x =+；（6）52y x =+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下列各点在反比例函数y x=图象上的是（）A ．()1,2-B ．()2,1-C ．()1,3D ．()1,2--5．已知关于x 的反比例函数()32m y m x -=-，则m 的值为．6．如果2212nn n n y +++=是反比例函数，那么n 的值是．例题7．关于反比例函数6y x=，下列说法不正确．．的是（）A ．函数图像分别位于第一、三象限B ．函数图像经过点()3,2--C ．函数图像过()()23A m B n -，、，，则m n >D ．函数图像关于原点成中心对称8．如图是三个反比例函数11k y x=，22ky x =，33k y x =在x 轴上方的图象，则1k ，2k ，3k 的大小关系为（）A ．123k k k >>B ．231k k k >>C ．132k k k >>D ．312k k k >>【答案】C9．关于反比例函数y x=-，下列说法正确的是（）A ．函数图像经过点()2,2B ．函数图像位于第一、三象限C ．函数值y 随着x 的增大而增大D ．当1x >时，4y >-【答案】D【分析】根据反比例函数的图象及其性质即可求解．【解析】A 、点()2,2不在它的图象上，不符合题意；B 、它的图象在第二、四象限，不符合题意；C 、在每个象限内，y 随x 的增大而增大，不符合题意；D 、当1x >时，4y >-，正确，符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了反比函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．10．若点()11,A y -，()22,B y ，()33,C y 是反比例函数2y x=-图像上的三个点，则下列结论正确的是（）A ．132y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．312y y y >>【答案】A【分析】根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，结合反比例函数的增减性，进而判断在同一象限内的点B 和点C 的纵坐标例题11．反比例函数2y x =的图象上有一点(),P m n ，当1n ≥-，则m 的取值范围是．12．若反比例函数13k y x -=的图象不经过第一象限，则k 的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy 中，对于每一象限内的反比例函数y x +=图像，y 的值都随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是．14．若反比例函数2221(21)kk y k x --=-的图象位于第二、四象限，则k 的值（）A ．0B ．0或1C ．0或2D ．4故选：A ．题型四参数范围、图像与性质的相互判断例题15．在同一坐标系中，函数k y x =和2y kx =-+的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．16．一次函数=−1与反比例函数()0k y k x=≠在同一直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．17．已知反比例函数1k y x+=，则下列说法正确的是（）A ．函数图像分布在第二、四象限B ．y 随x 的增大而减小C ．如果两点()11,y -，()22,y 都在图像上，则12y y >D ．图像关于原点中心对称18．在函数y x+=-(m 为常数)的图象上有三个点1(1)y -，，2(2)y -，，3(3)y ，，则函数值123、、y y y 的大小关系是()．A ．231y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<例题19．如图，一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的图象与反比例函数m y x =（m 为常数，且0m ≠）的图象交于A 、B 两点．则关于x 的方程m kx b x +=的解为．【答案】1-和2【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图像和性质是解题的关键；根据反比例函数和一次函数的图像和性质求解即可；【解析】解：观察函数图象可知：点A 的横坐标为1-，点B 的横坐标为2，20．如图，已知一次函数=B +与反比例函数．k y x =的图象交于()()3,11,3A B --，两点．观察图象可知，不等式k mx n x +>的解集是．21．已知一次函数2y x =-+与反比例函数k y x =在同一坐标系内的图象没有交点，则k 的取值范围为．解得：1k >．故答案为：1k >．题型六k 的几何意义例题22．如图，过双曲线上任意一点P 分别作x 轴，y 轴的垂线PM ，PN ，交x 轴、y 轴于点M 、N ，所得矩形PMON 的面积为8，则k 的值是（）A ．4B ．4-C ．8D ．8-23．如图，反比例函数()40y x x-=>的图像上有一点P ，PA x ⊥轴于点A ，点B 在y 轴上，则PAB 的面积为（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于k ，并根据面积关系得出方程是解题的关键．设s ，则4xy =-，再由三角形的面积公式即可得出结论．【解析】解：设s ，∵点P 在反比例函数()40y x x-=>的图象上，∴4xy =-．∵PA x ⊥轴，∴11142222PAB S PA OA xy =⨯⨯==⨯= ．故选：B ．24．如图，在平面直角坐标系中，AOC △的边OA 在y 轴上，点C 在第一象限内，点B 为AC 的中点，反比例函数()0ky x x =>的图象经过B ，C 两点．若AOC △的面积是6，则k 的值为．【答案】4【分析】过B ，C 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为D ，E ，设B 点坐标为k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则BD m =，由点B 为AC 的中点，推出C 点坐标为22k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求得直线BC 的解析式，得到A 点坐标，根据AOC △的面积是6，列式计算即可求解．∴BD CE ∥，∴ABD ACE ∽，∴BD AB CE AC=，设B 点坐标为k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则BD m =，∵点B 为AC 的中点，25．函数1(0)y x x =>与8(0)y x x=>的图象如图所示，点C 是y 轴上的任意一点．直线AB 平行于y 轴，分别与两个函数图象交于点A 、B ，连接AC BC 、．当AB 从左向右平移时，ABC V 的面积是．【点睛】此题考查了反比例函数的OP BP AP 、、的长度，难度一般．26．如图，点A B ，是反比例函数()0ky x x=>图像上的点，点,C D 分别在x 轴，y 轴正半轴上．若四边形ABCD为菱形，BD x ∥轴，6ABCD S =菱形，则k 的值（）A ．3B ．6C ．12D ．24AC BD ∴⊥，OA OC =，6ABCD S = 菱形，∴11222AC BD OC BD ⨯⨯=⨯⨯=6OC BD ∴⨯=，BD x ∥轴，BE x ⊥轴，题型七反比例函数的代数应用例题27．已知点1()2P a b -，与点2)1(2Pa b +-，在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，()A ．若0k >，则202a b ><<，B ．若0k >，则12a b <->，C ．若0k <，则22a b <>，D ．若0k <，则1202a b -<<<<，∴020b b >⎧⎨-<⎩，∴02<<b ，故选项D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．巩固训练28．已知点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在反比例函数()0ky k x=>的图象上，123x x x <<，则下列结论一定成立的是（）A ．若130x x <，则23y y <B ．若230x x <，则130y y >C ．若130x x >，则23y y >D ．若230x x >，则130y y >故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是掌握当比例系数0k >时，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当比例系数0k <时，函数图象在第二、四象限内，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．题型八反比例函数的实际应用例题29．验光师检测发现近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，y 关于x 的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（）度．A ．150B ．200C ．250D ．30030．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度()m/s v 是载重后总质量(kg)m 的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量60kg m =时，它的最快移动速度6m/s v =；当其载重后总质量90kg m =时，它的最快移动速度=v m/s ．31．为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强p （kPa ）是气体体积V （ml ）的反比例函数，其图像如图所示．则下列说法中错误的是（）A ．这一函数的表达式为6000p V=B ．当气体体积为40ml 时，气体的压强值为150kPaC ．当温度不变时，注射器里气体的压强随着气体体积增大而减小D ．若注射器内气体的压强不能超过400kPa ，则其体积V 不能超过15ml 【答案】D例题32．已知函数1k y x =，()20ky k x=->，当13x ≤≤时，函数1y 的最大值为a ，函数2y 的最小值为4a -，则a 的值为．33．反比例函数1k y x =，()220ky k x=-≠，当a x b ≤≤（b ，a 为常数，且0b a >>）时，1y 的最小值为m ，2y 的最大值为n ，则mn的值为（）A ．2-B ．12-C ．12-或2-D ．2b a-34．在同一坐标系中，若正比例函数1y k x =与反比例函数2y x=的图象没有交点，则1k 与2k 的关系，下面四种表述：①120k k +≤；②120k k <；③1212||k k k k +<-；④121k k k +<或122k k k +<．正确的有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】根据题意得出1k 和2k 异号，再分别判断各项即可．例题35．已知y与2x=时，y=-6，求：x+成反比例，且当5(1)y与x之间的函数关系式；y=时，x的值．(2)当536．如图，函数()120y x x =≥与2(0)ay x x=>的图象交于点()1,A b ，直线2x =与函数12,y y 的图象分别交于B ，C 两点．(1)求a 和b 的值；(2)求BC 的长度；(3)根据图象写出120y y >>时x 的取值范围（不需说明理由）．当2x =时，21,y =∴点C 的纵坐标为1．413BC ∴=-=．（3）解：当120y y >>时x 的取值范围是1x >．37．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强(kPa)p 与气体的体积()3m V 成反比例．当气体的体积30.8m V =时，气球内气体的压强112.5kPa p =．(1)当气体的体积为31m 时，它的压强是多少？(2)当气球内气体的压强大于150kPa 时，气球就会爆炸．问：气球内气体的体积应不小于多少气球才不会爆炸？38．如图，已知()4,A n -，()2,4B -是反比例函数k y x=的图象和一次函数y ax b =+的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求AOB V 的面积；(3)根据图象直接写出不等式0k ax b x+-<的解集．39．已知一次函数y ax b =+与反比例函数y =x的图象交于()()3,2,6A n B --，两点．(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；②求AOB 的面积．(2)在x 轴的负半轴上，是否存在点P ，使得PAO 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．由022x =--得1x =-；40．已知：如图，直线4y kx =+与函数()0,0m y x m x=>>的图像交于A ，B 两点，且与x ，y 轴分别交于C ，D 两点．(1)若直线4y kx =+与直线2y x =--平行，且AOD △面积为2，求m 的值；(2)若COD △的面积是AOB V倍，过A 作AE x ⊥轴于E ，过B 作BF y ⊥轴于F ，AE 与BF 交于H 点．①求:AH OD 的值；②求k 与m 之间的函数关系式．(3)若点P 坐标为2,0，在（2）的条件下，是否存在k ，m ，使得APB △为直角三角形，且90APB ∠=︒，若存在，求出k ，m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3m =①设1,1，2,2（其中∵2COD AOB S S = ，∴()2COD AOC BOC S S S =- ，∴111222OC OD OC y ⎛⋅=⋅-若90APB ∠=︒，则90APE BPN ∠+∠=︒，∵90APE PAE ∠+∠=︒，∴EAP BPN ∠=∠，∵90AEP PNB ∠=∠=︒，相似比计算线段的长．。
反比例函数知识点与题型归纳非常全面
反比例函数讲义第1节 反比例函数■例1下列函数中是反比例关系的有___________________填序号; ①3x y -= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤xy 23-= ⑥21=xy ⑦28xy = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x ky =k (为常数,)0≠k■ 例2由欧姆定律可知,电压不变时,电流强度I 与电阻R 成反比例,已知电压不变,电阻R=欧姆,电流强度I=安培;（1） 求I 与R 的函数关系式； （2） 当R=5欧姆时,求电流强度;本节作业：1、小明家离学校,小明步行上学需x min,那么小明的步行速度min)/(m y 可以表示为xy 1500=；水名地面上重1500N 的物体,与地面的接触面积为x 2m ,那么该物体对地面的压强)/(2m N y 可以表示为x y 1500=;函数表达式xy 1500=还可以表示许多不同情境中变量之间的函数关系,请你再列举一例; 2、某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为2m 的矩形模具,假设模具的长与宽分别为y 与x ;1你能写出y 与x 之间的函数表达式吗 变量y 与x 之间是什么函数2若想使模具的长比宽多,已知每米这种不锈钢条6元钱,求加工这个模具共花多少钱3、若函数满足023=+xy,则y 与x 的函数关系式为______________,你认为y 是x 的______________函数;4、已知y =21y y +,1y 与x 成正比例,2y 与x 成反比例,并且当x =2时,y = —4；当x = —1时,y =5,求出y 与x 的函数关系式;5、已知y 是x 的函数,且其对应数据如下表所示,你认为y 是x 的正比例函数还是反比例函数你能写出函数的表达式,并填上表格中的空缺吗6、函数xky =的图象经过点A1,—2,则k 的值为 ; A ．21 B. 21- C. 2 D. —27、若函数132)1(+++=m mx m y 是反比例函数,则m 的值为 ;A ．m = —2 B. m = 1 C. m = 2或m = 1 D. m = —2,或m = —1 8、若甲、乙两城市间的路程为1000千米,车速为每小时x 千米,从甲市到乙市所需的时间为y 小时,那么y 与x 的函数表达式是_______________________不必写出x 的取值范围,y 是x 的__________函数;9、已知y 是x 的反比例函数,当x =5时,y = —1,那么,当y =3时,x =_________；当x =3时,y =________;第2节 反比例函数的图象与性质1、 反比例函数的图象及其画法 反比例函数图象的画法——描点法：（1） 列表——自变量取值应以0但)0(≠x 为中心,向两边取三对或三对以上互为相反数的数,再求出对应的y 的值；（2） 描点——先描出一侧,另一侧可根据中心对称点的性质去找；（3） 连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸,注意双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交;反比例函数xky =的图象是由两支曲线组成的;当0>k 时,两支曲线分别位于第一、三象限内,当0<k 时,两支曲线分别位于第二、四象限内;小注：1这两支曲线通常称为双曲线;2这两支曲线关于原点对称; 3反比例函数的图象与x 轴、y 轴没有公共点; 例1：画出反比例函数x y 6=与xy 6-=的图象; 解：1列表：2描点：（3） 连线;1 反比例函数的性质反比例函数 xky =)0(≠k k 的符号k >0k<0图象 双曲线x 、y 取值范围 x 的取值范围x ≠0 y 的取值范围y ≠0 x 的取值范围x ≠0 y 的取值范围y ≠0 位置第一,三象限内第二,四象限内增减性 每一象限内,y 随x 的增大而减小 每一象限内,y 随x 的增大而增大渐近性 反比例函数的图象无限接近于x,y 轴,但永远达不到x,y 轴,画图象时,要体现出这个特点.对称性 反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形.例2 已知 2(1)m y m x -=+是反比例函数,则函数的图象在A 、一、三象限B 、二、四象限C 、一、四象限D 、三、四象限例3 函数2y kx =-与ky x=k ≠0在同一坐标系内的图象可能是例4 已知反比例函数xky =的图象经过点P 一l,2,则这个函数的图象位于 A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限3反比例函数xky =)0(≠k 中的比例系数k 的几何意义难点k 的几何含义：反比例函数y ＝k x k ≠0中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y ＝kxk ≠0上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线,设垂足分别为A 、B,则所得矩形OAPB 的面积为 .例5 A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点,BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,△ABC 的面积记为S ,则A ． 2S =B ． 4S =C ．24S <<D ．4S >例6如图A 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上,AM x ⊥轴于点M ,AMO △的面积为3,则k =4反比例函数与正比例函数图象的交点凡是交点问题就联立方程例7如图,一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点．1试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； 2求AOB △的面积．O BxyC A 图1OyxBA本节练习一、选择题每小题6分,共36分1. 已知2(1)my m x-=+是反比例函数,则函数的图象在A、一、三象限B、二、四象限C、一、四象限D、三、四象限2.若反比例函数kyx=的图象经过点(12)-，,则这个函数的图象一定经过点Ａ、(21)--，Ｂ、122⎛⎫-⎪⎝⎭，Ｃ、(21)-，Ｄ、122⎛⎫⎪⎝⎭，3.反比例函数5nyx+=的图象经过点2,3,则n的值是A、－2B、－1C、0D、14.反比例函数1kyx-=的图象在每个象限内,y随x的增大而减小,则k的值可为A、1- B、0 C、1 D、25.如果两点1P1,1y和2P2,2y都在反比例函数1yx=的图象上,那么A．2y＜1y＜0B．1y＜2y＜0C．2y＞1y＞0 D．1y＞2y＞06.函数(0)ky kx=≠的图象如图所示,那么函数y kx k=-的图象大致是A B C D二、填空题每小题6分,共24分7.如果反比例函数kyx=0k≠的图象经过点1,－2,则这个函数的表达式是_________.当0x<时,y随x的增大而______ 填“增大”或“减小8.如图7,双曲线xky=与直线mxy=相交于A、B两点,B点坐标为－2,－3,则A点坐标为_________．9. 如图8,点A 在反比例函数xky =的图象上,AB 垂直于x 轴,若4=∆AOB S ,那么这个反比例函数的解析式为__________.图810.老师给出一个函数,甲、乙各指出了这个函数的一个性质：甲：第一、三象限有它的图象； 乙：在每个象限内,y 随x 的增大而减小． 请你写一个满足上述性质的函数______________________三、解答题每小题,共40分11. 20分如图,一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =图象交于A －2,1、B1,n 两点．1求反比例函数和一次函数的解析式；2根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．12. 20分如图,已知反比例函数1(0)my m x=≠的图象经过点(21)A -，,一次函数2(0)y kx b k =+≠的图象经过点(03)C ，与点A ,且与反比例函数的图象相交于另一点B ．1分别求出反比例函数与一次函数的解析式；2求点B 的坐标．第3节 反比例函数的应用 本节内容：运用函数的图象和性质解答实际问题例题1 .面积一定的梯形,其上底长是下底长的21,设下底长x =10 cm 时,高y =6 cm 1求y 与x 的函数关系式； 2求当y =5 cm 时,下底长多少16.一定质量的二氧化碳,当它的体积V=6 m 3时,它的密度ρ= kg/m 3. 1求ρ与V 的函数关系式.2当气体体积是1 m 3时,密度是多少3当密度为 kg/m 3时,气体的体积是多少例题2如图,Rt △AOB 的顶点A 是一次函数y =－x +m +3的图象与反比例函数y =xm的图象在第二象限的交点,且S △AOB =1,求点A 的坐标.例题3某厂要制造能装250mL1mL=1 cm 3饮料的铝制圆柱形易拉罐,易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是 cm,顶部厚度是底部厚度的3倍,这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来,设一个底面半径是x cm 的易拉罐用铝量是y cm 3.用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度,求y 与x 间的函数关系式.综合检测题一、填空题：1、u 与t 成反比,且当u ＝6时,81=t ,这个函数解析式为 ； 2、函数2x y -=和函数xy 2=的图像有 个交点； 3、反比例函数x k y =的图像经过－23,5点、a ,－3及10,b 点,则k ＝ ,a ＝ ,b ＝ ；4、若函数()()414-+-=m x m y 是正比例函数,那么=m ,图象经过 象限；5、若反比列函数1232)12(---=k kx k y 的图像经过二、四象限,则k = _______6、已知y -2与x 成反比例,当x =3时,y =1,则y 与x 间的函数关系式为 ；7、已知正比例函数kx y =与反比例函数3y x=的图象都过A m ,1,则m ＝ ,正比例函数与反比例函数的解析式分别是 、 ； 8、 设有反比例函数y k x=+1,(,)x y 11、(,)x y 22为其图象上的两点,若x x 120<<时,y y 12>,则k 的取值范围是___________9、右图3是反比例函数xk y =的图象,则k 与0的大小关系是k 0.10、函数xy 2-=的图像,在每一个象限内,y 随x 的增大而 ； 11、反比例函数()0>=k xky 在第一象限内的图象如图,点M 是图像上一点,MP 垂直x 轴于点P,如果△MOP 的面积为1,那么k 的值是 ； 12、()7225---=m mx m y 是y 关于x 的反比例函数,且图象在第二、四象限,则m 的值为 ；二、选择题： 分数3分×14=42分,并把答案填在第12题后的方框内 1、下列函数中,反比例函数是 A 、 1)1(=-y x B 、 11+=x y C 、 21xy = D 、 x y 31=2、已知反比例函数的图像经过点a ,b ,则它的图像一定也经过yO PMA 、 －a ,－bB 、 a ,－bC 、 －a ,bD 、 0,0 3、如果反比例函数xky =的图像经过点－3,－4,那么函数的图像应在 A 、 第一、三象限B 、 第一、二象限C 、 第二、四象限D 、 第三、四象限 4、若y 与－3x 成反比例,x 与z4成正比例,则y 是z 的 A 、 正比例函数B 、 反比例函数C 、 一次函数 D 、 不能确定 5、若反比例函数22)12(--=m x m y 的图像在第二、四象限,则m 的值是A 、 －1或1B 、小于21的任意实数 C 、 －1 Ｄ、 不能确定 6、函数x k y =的图象经过点－4,6,则下列各点中不在xky =图象上的是A 、 3,8B 、 3,－8C 、 －8,－3D 、 －4,－67、正比例函数kx y =和反比例函数ky =在同一坐标系内的图象为8、如上右图,A 为反比例函数xky =图象上一点,AB垂直x 轴于B 点,若S △AOB ＝3,则k的值为 A 、6B 、3C 、23 D 、不能确定9、如果矩形的面积为6cm 2,那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数关系用图象表示大致A10、在同一直角坐标平面内,如果直线x k y 1=与双曲线xk y 2=没有交点,那么1k 和2k 的关系一定是 A 1k <0,2k >0B 1k >0,2k <0C 1k 、2k 同号D 1k 、2k 异号11、已知变量y 与x 成反比例,当x =3时,y =―6；那么当y =3时,x 的值是 A 6 B ―6 C 9 D ―912、当路程s 一定时,速度v 与时间t 之间的函数关系是A 正比例函数B 反比例函数C 一次函数D 二次函数 13、2001北京西城在同一坐标系中,函数x ky =和3+=kx y 的图像大致是14、已知反比例函数)0(<=k xky 的图像上有两点A 1x ,1y ,B 2x ,2y ,且21x x <,则21y y -的值是A 、 正数B 、 负数C 、 非正数D 、 不能确定 三、解答题：第1、2小题各7分、第3小题8分,共22分1、在某一电路中,保持电压不变,电流I 安培与电阻R 欧姆成反比例,当电阻R=5欧姆时,电流I=2安培;1求I 与R 之间的函数关系式 2当电流I=安培时,求电阻R 的值；2、如图,Rt △ABO 的顶点A 是双曲线xky =与直线)1(+--=k x y 在第二象限的交点, AB ⊥x 轴于B 且S △ABO =23 1求这两个函数的解析式2求直线与双曲线的两个交点A,C 的坐标和△AOC 的面积;3、如图,一次函数b kx y +=的图像与反比例函数xmy =的图像相交于A 、B 两点, 1利用图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式2根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围2001江苏苏州。
反比例函数知识点知识点总结
反比例函数知识点知识点总结反比例函数知识点总结一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。
其中，x 是自变量，y 是因变量。
因为 x 在分母上，所以自变量 x 的取值范围是x≠0。
例如，y ＝ 3/x，y ＝－5/x 等都是反比例函数。
二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）2、 xy ＝ k（k 为常数，k≠0）3、 y ＝ kx^（－1)（k 为常数，k≠0）这三种形式在本质上是相同的，只是形式上有所不同，我们可以根据具体的题目条件灵活选择使用。
三、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线。
当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。
需要注意的是，反比例函数的图象永远不会与坐标轴相交，因为自变量x≠0，函数值y≠0。
四、反比例函数图象的性质1、对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形。
对称轴有两条，分别是直线 y ＝ x 和直线 y ＝ x。
对称中心是坐标原点（0，0）。
2、增减性在每个象限内，当 k＞0 时，y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，y 随 x 的增大而增大。
3、渐近线双曲线无限接近于 x 轴和 y 轴，但永远不会与它们相交。
五、反比例函数中 k 的几何意义1、过反比例函数 y ＝ k/x（k≠0）图象上任意一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN，垂足为 M、N，则矩形 PMON 的面积 S ＝ PM·PN ＝｜y|·｜x| ＝｜xy| ＝｜k|。
2、三角形面积若连接 PO，则三角形 POM 的面积 S ＝ 1/2 ｜k| 。
六、反比例函数与一次函数的综合应用1、求交点坐标联立反比例函数和一次函数的解析式，组成方程组，解方程组即可得到交点坐标。
(完整word版)反比例函数知识点及经典例题
反比率函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如yk （ k 为常数， ko ）的函数称为反比率函数。
x( 自变量x 的取值 :xo )2. 反比率函数的等价形式： ① y k（ k o ） ② y kx 1 ( k o) ③xy=k( ko)x3. 反比率函数的图像⑴图像的画法：描点法① 列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）② 描点（有小到大的次序） ③ 连线（从左到右圆滑的曲线） ⑵反比率函数的图像 :①反比率函数的图像是双曲线，由两条曲线构成。
②双曲线永久不与坐标轴订交，但无穷凑近坐标轴。
③反比率函数的图像是轴对称图形 （对称轴是 y x 或 y x ），也是中心对称图形（原点）。
4．反比率函数性质以下表：k 的取值 图像所在象限函数的增减性ko 一、三象限在每个象限内 ， y 值随 x 的增大而减小ko二、四象限在每个象限内 ， y 值随 x 的增大而增大5. 反比率函数分析式确实定：① 利用待定系数法（只要一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出 k ）② k 的几何意义。
6．反比率函数 yk（ k0 ）中比率系数 k 的几何意义是： 过双曲线 ykxx（ k 0）上随意引 x 轴 y 轴的垂线，所得矩形面积为 k 。
7.反比率函数的应用二、例题【例 1】假如函数 y kx2k2k 2的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【分析】有函数图像为双曲线则此函数为反比率函数y k，（ k0）即y kx1 x（k 0 ）又在第二，四象限内，则 k 0能够求出的值【答案】由反比率函数的定义，得：2k 2k21解得 k1或 k12 k 0k0k1k1时函数 y kx2 k2k 2为 y1x【例 2】在反比率函数 y 1 的图像上有三点x1， y1， x2， y2， x3， y3。
x若 x1x20x3则以下各式正确的选项是（）A．y3y1y2B． y3y2y1C． y1 y2 y3 D ．y1y3y2【分析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特别值法。
反比例函数讲义(知识点+典型例题)
变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值 ．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。
（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。
（3）增减性： 当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。
(完整版)反比例函数知识点归纳总结与典型例题
反比例函数知识点归纳总结与典型例题(一)反比例函数的概念：知识要点：1、一般地，形如y = — ( k是常数,k = 0 )的函数叫做反比例函数。
x注意：(1)常数k称为比例系数，k是非零常数；(2)解析式有三种常见的表达形式：(A) y = k (k w 0) , (B) xy = k (k 丰 0) (C) y=kx-1 (kw0)x例题讲解：有关反比例函数的解析式1 1 1 x 1 (1)下列函数，① x(y 2) 1②.y ——③y /④.y ——⑤y —⑥y —；其中是y关x 1 x 2x 2 3x 于x的反比例函数的有：。
a2 2 ....... …(2)函数y (a 2)x 是反比例函数,则a的值是( )A.—1B. — 2C. 2D.2 或—21 .................(3)若函数y 七彳勤是常数)是反比例函数，则m=,解析式为 .xk(4)反比例函数y — (k 0)的图象经过(一2, 5)和(J2 , n),x求1) n的值；2)判断点B ( 4J2 , 短)是否在这个函数图象上，并说明理由(二)反比例函数的图象和性质：知识要点：1、形状：图象是双曲线。
2、位置：(1)当k>0时双曲线分另位于第象限内；(2)当k<0时，双曲线分另位于第象限I 3、增减性：(1)当k>0 时,,y 随x的增大而 ;(2)当k<0时,,y随x的增大而。
4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴，但永远不会与坐标轴相交5、对称性：(1)对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点; (2)对于k取互为相反数的两个反比例函数(如：y = 6和丫= ―)来说，它们是关于x轴，y轴。
x x例题讲解：反比例函数的图象和性质：(1)写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限m2 2⑵若反比例函数v (2m 1)x的图象在第二、四象限，则m的值是( )A—1或1； B、小于-的任意实数；C、一1; D、不能确定2(3)下列函数中，当x 0时，y随x的增大而增大的是( )1 一一4 _ 1A y 3x 4B y - x 2 C. y - D. y ——.3 x 2x2 ____ ,. 一 . 一(4)已知反比例函数y ——的图象上有两点A ( x1，y1)，B ( x2, y2),且x1 x2,则y i y 的值是（）A.正数B.负数C.非正数D.不能确定2 .（5）右点（x i, y 1）、（X 2, y 2）和（X 3,y 3）分别在反比例函数 y —的图象上，且X iX 2 0 X 3,x则下列判断中正确的是（）A . y i y y 3B . y 3 y i y 2C . y 2 y 3 y iD . y 3 y y ik 1 ................... 一 ...（6）在反比例函数 y --- 的图象上有两点（x1，y 1）和（x 2, y 2）,右x 10 x 2时，y i y 2 ,则k 的x取值范围是.（7）老师给出一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第二象限；乙:函数的图象经过第四象限；丙:在每个象限内，y 随x 的增大而增大.请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数 ：.（三）反比例函数与面积结合题型。
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6.函数 的图象如图所示，那么函数 的图象大致是（ ）
ABCD
二、填空题（每小题6分，共24分）
7.如果反比例函数 （ ）的图象经过点（1，－2），则这个函数的表达式是_________.当 时， 随 的增大而______（填“增大”或“减小）
5、若反比列函数 的图像经过二、四象限，则 = _______
6、已知 -2与 成反比例，当 =3时， =1，则 与 间的函数关系式为；
7、已知正比例函数 与反比例函数 的图象都过A（ ，1），则 ＝，正比例函数与反比例函数的解析式分别是、；
8、设有反比例函数 ， 、 为其图象上的两点，若 时， ，则 的取值范围是___________
x的取值范围x≠0
y的取值范围y≠0
位置
第一,三象限内
第二,四象限内
增减性
每一象限内,y随x的增大而减小
每一象限内,y随x的增大而增大
渐近性
反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴,画图象时,要体现出这个特点.
对称性
反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形.
9、右图3是反比例函数 的图象，则k与0的大小关系是k0.
10、函数 的图像，在每一个象限内， 随 的增大而；
11、反比例函数 在第一象限内的图象如图，点M是图像上一点，
MP垂直 轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么 的值是；
12、 是 关于 的反比例函数，且图象在
第二、四象限，则 的值为；
二、选择题：（分数3分×14=42分，并把答案填在第12题后的方框内）
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式
（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 的取值范围（2001江苏苏州）
（1）求I与R的函数关系式；
（2）当R=5欧姆时，求电流强度。
本节作业：
1、小明家离学校1.5km，小明步行上学需 min，那么小明的步行速度 可以表示为 ；水名地面上重1500N的物体，与地面的接触面积为 ，那么该物体对地面的压强 可以表示为 。函数表达式 还可以表示许多不同情境中变量之间的函数关系，请你再列举一例。
反比例函数讲义
第1节反比例函数
1、反比例函数的定义
一般地，如果两个变量 、 之间的关系可以表示成 为常数， 的形式，那么称 是 的反比例函数。
反比例函数的自变量 不能为零。
小注：
（1） 也可以写成 或 的形式；
（2） 若是反比例函数，则 、 、 均不为零；
（3） 通常表示以原点及点 为对角线顶点的矩形的面积。
（1）求I与R之间的函数关系式
（2）当电流I=0.5安培时，求电阻R的值；
2、如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线 与直线 在第二象限的交点，
AB⊥ 轴于B且S△ABO=
（1）求这两个函数的解析式
（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积。
3、如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像相交于A、B两点，
请你写一个满足上述性质的函数______________________
三、解答题每小题，共40分
11.（20分）如图，一次函数 的图象与反比例函数 图象交于A（－2，1）、B（1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
12.（20分）如图，已知反比例函数 的图象经过点 ，一次函数 的图象经过点 与点 ，且与反比例函数的图象相交于另一点 ．（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）求点 的坐标．
9、已知 是 的反比例函数，当 =5时， =—1，那么，当 =3时， =_________；当 =3时， =________。
第2节反比例函数的图象与性质
1、反比例函数的图象及其画法
反比例函数图象的画法——描点法：
（1）列表——自变量取值应以0（但 为中心，向两边取三对（或三对以上）互为相反数的数，再求出对应的 的值；
A． B. C. 2 D.—2
7、若函数 是反比例函数，则 的值为（）。
A． =—2 B. = 1 C. = 2或 = 1 D. =—2，或 =—1
8、若甲、乙两城市间的路程为1000千米，车速为每小时 千米，从甲市到乙市所需的时间为 小时，那么 与 的函数表达式是_______________________（不必写出 的取值范围）， 是 的__________函数。
1、下列函数中，反比例函数是（）
A、 B、 C、 D、
2、已知反比例函数的图像经过点（ ， ），则它的图像一定也经过（）
A、(－ ,－ ) B、( ,－ ) C、(－ ， ) D、（0，0）
3、如果反比例函数 的图像经过点（－3，－4），那么函数的图像应在（）
A、第一、三象限B、第一、二象限C、第二、四象限D、第三、四象限
7、正比例函数 和反比例函数 在同一坐标系内的图象为（）
ABCD
8、如上右图，A为反比例函数 图象上一点，AB垂直 轴于B点，若S△AOB＝3，则 的值为（）
A、6B、3C、 D、不能确定
9、如果矩形的面积为6cm2，那么它的长 cm与宽 cm之间的函数关系用图象表示大致（）
ABCD
10、在同一直角坐标平面内，如果直线 与双曲线 没有交点，那么 和 的关系一定是（）
例2已知 是反比例函数，则函数的图象在（）
A、一、三象限B、二、四象限C、一、四象限D、三、四象限
例3函数 与 （k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（）
例4已知反比例函数 的图象经过点P(一l，2)，则这个函数的图象位于
A．第二、三象限B．第一、三象限C．第三、四象限D．第二、四象限
3反比例函数 中的比例系数 的几何意义（难点）
小注：（1）这两支曲线通常称为双曲线。（2）这两支曲线关于原点对称。
（3）反比例函数的图象与 轴、 轴没有公ห้องสมุดไป่ตู้点。
例1：画出反比例函数 与 的图象。
解：（1）列表：
（2）描点：
（3）连线。
1反比例函数的性质
反比例函数
k的符号
k >0
k<0
图象
（双曲线）
x、y
取值范围
x的取值范围x≠0
y的取值范围y≠0
的几何含义：反比例函数y＝ (k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y＝ (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为.
例5A、B是函数 的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥ 轴，AC∥ 轴，△ABC的面积记为 ，则（）
A． B． C． D．
例6如图 在反比例函数 的图象上， 轴于点 ， 的面积为3，则
2.若反比例函数 的图象经过点 ，则这个函数的图象一定经过点（ ）
Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、
3.反比例函数 的图象经过点（2，3），则 的值是（）
A、－2 B、－1 C、0 D、1
4.反比例函数 的图象在每个象限内， 随 的增大而减小，则 的值可为（）
A、 B、0 C、1 D、2
5.如果两点 （1， ）和 （2， ）都在反比例函数 的图象上，那么（ ）
■例1
下列函数中是反比例关系的有___________________（填序号）。
① ② ③ ④ ⑤
⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 为常数，
2、反比例函数定义的应用（重点）
由于在反比例函数 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值，即可求出 的值，从而确定其解析式。
■例2
由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I与电阻R成反比例，已知电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。
A B C D
14、已知反比例函数 的图像上有两点A( ， )，B( ， )，且 ，则 的值是（）
A、正数B、负数C、非正数D、不能确定
三、解答题：（第1、2小题各7分、第3小题8分，共22分）
1、在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)与电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培。
4、已知 = ， 与 成正比例， 与 成反比例，并且当 =2时， =—4；当 =—1时， =5，求出 与 的函数关系式。
5、已知 是 的函数，且其对应数据如下表所示，你认为 是 的正比例函数还是反比例函数？你能写出函数的表达式，并填上表格中的空缺吗？
…
-3
-2
1
3
4
…
…
3
—
…
6、函数 的图象经过点A（1，—2），则 的值为（）。
4反比例函数与正比例函数图象的交点
凡是交点问题就联立方程
例7如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求 的面积．
本节练习
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.已知 是反比例函数，则函数的图象在（）
A、一、三象限B、二、四象限C、一、四象限D、三、四象限
(1)求ρ与V的函数关系式.
(2)当气体体积是1 m3时，密度是多少？
(3)当密度为1.98 kg/m3时，气体的体积是多少？
例题2如图，Rt△AOB的顶点A是一次函数y=－x+m+3的图象与反比例函数y= 的图象在第二象限的交点，且S△AOB=1，求点A的坐标.
例题3某厂要制造能装250mL(1mL=1 cm3)饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是0.02 cm，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来，设一个底面半径是xcm的易拉罐用铝量是ycm3.
A <0， >0B >0， <0C 、 同号D 、 异号