九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题(供参考)
九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题(附答案解析)
九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题一、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．答案：（1）C；（2）A．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（1）A；（2）D；（3）B．注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B；（2）4，8，（，）；（3）依题意，且，解得．（4）①依题意，解得②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．（5）①，，；②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x 轴，△ABC的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x 轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．第（5）题图第（6）题图（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．①求B点坐标和k的值；②当时，求点P的坐标；③写出S关于m的函数关系式．答案：（1）D；（2）C；（3）6；（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（5）1．（6）①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），因此面积为4．（7）①B（3，3），；②时，E（6，0），；③．6．综合应用（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．①求反比例函数和一次函数的解析式；②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．①求点A、B、D的坐标；②求一次函数和反比例函数的解析式．（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；②双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（5）不解方程，判断下列方程解的个数．①；②．（2）①反比例函数为，一次函数为；②范围是或．（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；②一次函数为，反比例函数为．（4）①反比例函数为，；②存在（2，2）．（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．。
部编版初中九年级数学反比例函数(含中考真题解析答案)
部编版初中九年级数学反比例函数(含中考真题解析答案)反比例函数（含答案）?解读考点知识点 1.反比例函数概念反比例函数概2.反比例函数图象念、图象和性3.反比例函数的性质质 4.一次函数的解析式确定名师点晴会判断一个函数是否为反比例函数。
知道反比例函数的图象是双曲线，。
会分象限利用增减性。
能用待定系数法确定函数解析式。
会用数形结合思想解决此类问题．反比例函5.反比例函数中比例系数的几何能根据图象信息，解决相应的实际问题．数的应用意义能解决与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明。
?2年中考【2021年题组】y?1．（2021崇左）若反比例函数kx的图象经过点（2，－6），则k的值为（）A．－12 B．12 C．－3 D．3【答案】A．【解析】y?试题分析：∵反比例函数kx的图象经过点（2，��6），∴k?2?(?6)??12，解得k=��12．故选A．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 2．（2021苏州）若点A（a，b）在反比例函数A．0 B．��2 C．2 D．��6 【答案】B．【解析】y?y?2x的图象上，则代数式ab��4的值为（）试题分析：∵点（a，b）反比例函数22b?x上，∴a，即ab=2，∴原式=2��4=��2．故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 3．（2021来宾）已知矩形的面积为10，长和宽分别为x和y，则y关于x的函数图象大致是（）- 1 -A． B． C．D．【答案】C．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．4．（2021河池）反比例函数y1?mx（x?0）的图象与一次函数y2??x?b的图象交于A，B两点，其中A（1，2），当y2?y1时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜1或x＞2 【答案】B．【解析】试题分析：根据双曲线关于直线y=x对称易求B（2，1）．依题意得：如图所示，当1＜x＜2时，y2?y1．故选B．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．- 2 -5．（2021贺州）已知k1?0?k2，则函数y?k1x和y?k2x?1的图象大致是（）A．【答案】C．B．C． D．考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象． 6．（2021宿迁）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（��3，0），（3，0），点P在y?反比例函数2x的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D．【解析】y?试题分析：①当∠PAB=90°时，P点的横坐标为��3，把x=��3代入此时P点有1个；22y??x得3，所以2222222(x?3)?()(x?3)?()22x，PB=x，AB2 ②当∠APB=90°，设P（x，x），PA=222222(x?3)?()?(x?3)?()222(3?3)xxPA?PB?AB==36，因为，所以=36，整理得2x4?9x2?4?0，所以x2?9?659?65x2?22，或，所以此时P点有4个；y?22y?x得3，所以此时P点有1个；③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，把x=3代入综上所述，满足条件的P点有6个．故选D．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．圆周角定理；3．分类讨论；4．综合题．7．（2021自贡）若点（的点，并且x1，y1），（x2，y2），（x3，y3y??），都是反比例函数1x图象上y1?0?y2?y3，则下列各式中正确的是（）- 3 -A．D．x1?x2?x3 B．x1?x3?x2 C．x2?x1?x3x2?x3?x1【答案】D．【解析】试题分析：由题意得，点（的点，且（x1，y1）xy，xy，（2，2）（3，3）都是反比例函数y??1x上y1?0?y2?y3，xy，xy位于第三象限，x?x3，则（2，2）（3，3）y随x的增大而增大，2 x1，y1）位于第一象限，x1最大，故x1、x2、x3的大小关系是x2?x3?x1．故选D．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．8．（2021凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面y?直角坐标系，双曲线3x经过点D，则正方形ABCD的面积是（）A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C．考点：反比例函数系数k的几何意义．y?9．（2021眉山）如图，A、B是双曲线kx上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）48A．3 B．3 C．3 D．4- 4 -【答案】B．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定与性质． 10．（2021内江）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点Ay?的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线有公共点，则k的取值范围为（）kx与正方形ABCDA．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16 【答案】C．【解析】试题分析：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则Ay?的坐标是（1，1），∵AB=BC=3，∴C点的坐标是（4，4），∴当双曲线kx经过点（1，1）时，k=1；当双曲线kx经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．故选C．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题．- 5 -11．（2021孝感）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函y?数1ky?x的图象上．若点B在反比例函数x的图象上，则k的值为（）A．��4 B．4 C．��2 D．2【答案】A．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题．41012．（2021宜昌）如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（）- 6 -【答案】A．B． C． D．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．y?13．（2021三明）如图，已知点A是双曲线2x在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（）A．n??2m B．【答案】B．【解析】n??24n??m C．n??4m D．m2试题分析：∵点C的坐标为（m，n），∴点A的纵坐标是n，横坐标是：n，∴点A 的坐22标为（n，n），∵点C的坐标为（m，n），∴点B的横坐标是m，纵坐标是：m，∴点B2nm?2222mmn??mn，∴m2n2?4，又∵m＜0，n＞0，∴的坐标为（m，m），又∵n，∴- 7 -mn??2，∴n??2m，故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．y?14．（2021株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数图象上的概率是（）12x1111A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D．考点：1．列表法与树状图法；2．反比例函数图象上点的坐标特征．OA3?OB4．15．（2021乌鲁木齐）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，∠y?AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数kx的图象2过点C．当以CD为边的正方形的面积为7时，k的值是（）- 8 -A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D．考点：1．反比例函数综合题；2．综合题；3．压轴题． 16．（2021重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴y?平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数ABCD的面积为（）3x的图象经过A，B两点，则菱形A．2 B．4 C．22 D．42 【答案】D．【解析】y?试题分析：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数3x的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=22，S菱形ABCD=底×高=22×2=42，故选D．- 9 -考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题．17．（2021临沂）在平面直角坐标系中，直线y??x?2与反比例函数1y?x的图象有2个公共点，则b的取值范围是公共点，若直线y??x?b与反比例函数（）y?1x的图象有唯一A．b＞2 B．��2＜b＜2 C．b＞2或b＜��2 D．b＜��2 【答案】C．考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 18．（2021滨州）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA12y??y?x、x的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为的两边分别与函数（）- 10 -A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 19．（2021扬州）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是．【答案】（��1，��3）．【解析】试题分析：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，∴该点的坐标为（��1，��3）．故答案为：（��1，��3）．考点：反比例函数图象的对称性．20．（2021泰州）点（a��1，1）、（a+1，2）在反比例函数yyy?k?k?0?x的图象上，若y1?y2，- 11 -则a的范围是．【答案】��1＜a＜1．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．分类讨论．y?21．（2021南宁）如图，点A在双曲线23ky?x（x?0）上，x（x?0）点B在双曲线上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k= ．【答案】63．【解析】y?试题分析：因为点A在双曲线2323x（x?0）上，设A点坐标为（a，a），因为四23边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a，a），可得：3a?k=23a=63，故答案为：63．考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 22．（2021桂林）如图，以?ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直y?角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是．kx的图象- 12 -【答案】9．考点：1．平行四边形的性质；2．反比例函数系数k的几何意义；3．综合题；4．压轴题． 23．（2021贵港）如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y?x?1上，点B1，B2，…，y??Bn均在双曲线1x上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若则a2021= ．a1??1，【答案】2．- 13 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．规律型；4．综合题．24．（2021南京）如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1?1x，则y2与x的函数表达式是．【答案】【解析】y2?4x．试题分析：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，∵点A在反比例函数y1?1x上，11∴设A（a，a），∴OC=a，AC=a，∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴AC∥BD，∴△OAC∽△ACOCOAACOCOA12?????OBD，∴BDODOB，∵A为OB的中点，∴BDODOB2，∴BD=2AC=a，- 14 -2k2y2?2a??4yx，∴k=aOD=2OC=2a，∴B（2a，a），设，∴2与x的函数表达式是：y2?44y2?x．故答案为：x．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题；3．压轴题．y?25．（2021攀枝花）如图，若双曲线kx（k?0）与边长为3的等边△AOB（O为坐标原点）的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k的值为．363【答案】25．- 15 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题．93(x＞0)y?x26．（2021荆门）如图，点A1，A2依次在的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为．【答案】（62，0）．- 16 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题；4．压轴题． 27．（2021南平）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OCy?是△OAB的中线，点B，C在反比例函数于．3x（x?0）的图象上，则△OAB的面积等9【答案】2．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．综合题． 28．（2021烟台）如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比y?例函数kx（x＞0）的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为．- 17 -15【答案】4．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．反比例函数综合题；3．综合题． 29．（2021玉林防城港）已知：一次函数y??2x?10的图象与反比例函数y?kx（k?0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当A（a，��2a+10），B（b，��2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交BC5?BD2，求△ABC的面积．于另一点C，连接BC交y轴于点D．若y?【答案】（1）81?x，B（1，8）；（2）（��4，��2）、（��16，2）；（3）10．- 18 -【解析】y?试题分析：（1）把点A的坐标代入kx，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；（2）①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=��2x+10，当y=0时，��2x+10=0，解得x=5，∴点E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5��4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴AHMH2MH??EHAH，∴12，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y?mx，1?y?x??2??x?4811?y??y?xy?2?x，2，则有4m?2，解得m=2，∴直线AP的解析式为解方程组?得：??x??4?y??2，∴点P的坐标为（��4，��2）或?．1②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（��16，2）．?- 19 -1综上所述：符合条件的点P的坐标为（��4，��2）、（��16，2）；?（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，CDCTBC5CTCD3????BD2．∵A（a，��2a+10）∴△CTD∽△BSD，∴BDBS．∵BD2，∴BS，B（b，��2b+10），∴C（��a，2a��考点：1．反比例函数综合题；2．待定系数法求一次函数解析式；3．反比例函数与一次函数的交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．【2021年题组】1. （2021年湖南湘潭）如图，A、B两点在双曲线线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）y?4x上，分别经过A、B两点向轴作垂- 20 -④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）．【答案】①④．考点：1.反比例函数综合题；2. 反比例函数的图象和k的几何意义；3.平行四边形、矩形的性质和菱形的性质．- 26 -9. （2021年湖北荆州）如图，已知点A是双曲线y?2x在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线是．y?kx（k＜0）上运动，则k的值【答案】��6．考点：1.单动点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3. 等边三角形的性质；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.特殊角的三角函数值．- 27 -10. （2021年江苏淮安）如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数y?kx（x＞0）的图象上，（1）k的值为；（2）当m=3，求直线AM的解析式；（3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．【答案】（1）6；（2）y=��2x+8；（3）直线BP与直线AM的位置关系为平行，．- 28 -考点：1.反比例函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似三角形的判定和性质；5.平行的判定．?考点归纳归纳 1：反比例函数的概念基础知识归纳：一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。
反比例函数知识点归纳和典型例题
反比例函数知识点归纳和典型例题反比例函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的建模和解决中起着重要作用。
本文将对反比例函数的知识点进行归纳，并给出一些典型例题进行解析。
一、定义和性质反比例函数又称为倒数函数，其定义如下：设x和y是实数，且y ≠ 0，若存在一个实数k，使得y = k/x，那么称y是x的反比例函数。
反比例函数的图象通常是一个拋物线的两支或一支，不包括原点。
其一般形式为y = k/x，其中k为常数。
反比例函数具有以下重要性质：1. 定义域：定义除数x不能为0，所以反比例函数的定义域为x ≠ 0。
2. 值域：值域取决于常数k的正负，当k > 0时，值域为(0, +∞)，当k < 0时，值域为(-∞, 0)。
3. 对称性：反比例函数关于两个坐标轴都具有对称性。
二、图象和特殊情况反比例函数的图象通常是一个拋物线的两支或一支，不包括原点。
当常数k > 0时，反比例函数的图象在第一象限和第三象限，当常数k< 0时，反比例函数的图象在第二象限和第四象限。
对于一些特殊情况，我们有以下例子：1. 当k > 0时，反比例函数的图象经过点(1, k)，且在x轴和y轴上有渐进线。
2. 当k < 0时，反比例函数的图象经过点(-1, k)，且在x轴和y轴上有渐进线。
三、典型例题解析下面通过几个典型例题来进一步理解反比例函数的应用。
例题1：已知y和x成反比例关系，且当x = 2时，y = 5，求当x =4时，y的值。
解析：根据反比例函数的定义，有y = k/x。
代入已知条件x = 2时，y = 5，得到5 = k/2，解得k = 10。
因此，当x = 4时，y = 10/4 = 2.5。
例题2：如果一根细木杆以每分钟1.5cm的速度缩短，那么多少分钟后长度为60cm？解析：设时间为t分钟，根据题意可以列出反比例函数y = k/x。
已知当t = 0时，y = 100，即杆子的初始长度是100cm。
初中数学-反比例函数典型例
反比例函数性质
当 $k > 0$ 时，图像位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而减小； 当 $k < 0$ 时，图像位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
拓展延伸：其他类型函数典型例题介绍
特征来快速识别问题类型。
理解反比例关系
理解反比例关系中两个量之间的变 化规律，即一个量增大时，另一个 量会减小，且它们的乘积保持不变 。
转化问题类型
将实际问题中的情境抽象为数学模 型，即转化为反比例函数的形式， 以便应用相关知识进行求解。
选择合适方法进行求解
直接代入法
当已知反比例函数中的某个量时 ，可以直接将其代入函数表达式
初中数学-反比例函数典型例
汇报人：XXX 2024-01-28
目 录
• 反比例函数基本概念与性质 • 典型例题分类解析 • 复杂情境下反比例函数应用问题 • 解题技巧与策略分享 • 总结回顾与拓展延伸
01
反比例函数基本概念与性 质
反比例函数定义及表示方法
定义
形如 $y = frac{k}{x}$ (其中 $k$ 是常数，且 $k neq 0$) 的函数称 为反比例函数。
积保持不变，要注意区分。
忽视单位换算
03
在实际问题中，不同物理量的单位可能不同，需要进行单位换
算。忽视单位换算可能导致结果错误。
05
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
反比例函数定义
形如 $y = frac{k}{x}$ (其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$) 的函数称为反比例函数。
反比例函数图像
专题14反比例函数及其应用(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
2021年中考数学 专题14 反比例函数及其应用（知识点总结+例题讲解）一、反比例函数、图像、性质：1.反比例函数的概念： （1）定义：一般地，函数ky x(k 是常数，k ≠0)叫做反比例函数； （2）变形：反比例函数的解析式也可以写成y=kx -1或xy=k(k ≠0)的形式；（3）自变量x 的取值范围：x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
【例题1】下列函数是y 关于x 的反比例函数的是（ ） A ．y =1x−1 B ．y =1x 3C ．y =−3xD ．y =−x4【答案】C【解析】利用反比例函数定义进行分析即可．解：A 、不是y 关于x 的反比例函数，故此选项不合题意； B 、不是y 关于x 的反比例函数，故此选项不合题意； C 、是y 关于x 的反比例函数，故此选项符合题意；D 、不是y 关于x 的反比例函数，是正比例函数，故此选项不合题意；故选：C ． 【变式练习1】若y =(a +1)x a2−2是反比例函数，则a 的取值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．任意实数【答案】A【解析】先根据反比例函数的定义列出关于a 的方程组，求出a 的值即可． 解：∵此函数是反比例函数，∴{a +1≠0a 2−2=−1，解得a ＝1．故选：A ．2.反比例函数的图象：（1）反比例函数的图像是双曲线；它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限；它们关于原点对称；（2）反比例函数关于直线y=x和y=-x成轴对称；（对称中心：原点）（3）由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
和y＝﹣kx+2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图【例题2】(2020•德州)函数y=kx象可能是( )【答案】D【解析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．和y＝﹣kx+2(k≠0)中，解：在函数y=kx的图象在第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、四当k＞0时，函数y=kx象限，故选项A、B错误，选项D正确；的图象在第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、三当k＜0时，函数y=kx象限，故选项C错误。
中考数学复习----《反比例函数之综合应用》知识点总结与练习题(含答案解析)
中考数学复习----《反比例函数之综合应用》知识点总结与练习题（含答案解析）知识点总结1. 反比例函数k 的集合意义：①过反比例函数图像上任意一点作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴构成一个矩形，矩形的面积等于k 。
②过反比例函数图像上任意一点作其中一条坐标轴的垂线，并连接这个点与原点，则构成一个三角形。
这个三角形的面积等于2k 。
2. 待定系数法求反比例函数解析式：在反比例函数中只有一个系数k ，所以只需要在图像上找一个对应的点即可求出k 的值，从而求出反比例函数解析式。
3. 反比例函数与一次函数的不等式问题： 若反比例函数()0≠=k x ky 与一次函数()0≠+=k b kx y 有交点，则不等式b kx xk +＞的解集取反比例函数图像在一次函数图像上方的部分所对应的自变量取值范围；等式b kx xk+＜的解集取反比例函数图像在一次函数图像下方的部分所对应的自变量取值范围。
反比例函数与一次函数的交点把自变量分成三部分。
练习题1、（2022•日照）如图，矩形OABC 与反比例函数y 1＝xk1（k 1是非零常数，x ＞0）的图像交于点M ，N ，与反比例函数y 2＝xk2（k 2是非零常数，x ＞0）的图像交于点B ，连接OM ，ON ．若四边形OMBN 的面积为3，则k 1﹣k 2＝（ ）A ．3B ．﹣3C ．23 D ．﹣23【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k 的几何意义即可得出结论． 【解答】解：∵y 1、y 2的图像均在第一象限， ∴k 1＞0，k 2＞0，∵点M 、N 均在反比例函数y 1＝（k 1是非零常数，x ＞0）的图像上，∴S △OAM ＝S △OCN ＝k 1，∵矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y 2＝（k 2是非零常数，x ＞0）的图像上，∴S 矩形OABC ＝k 2，∴S 四边形OMBN ＝S 矩形OABC ﹣S △OAM ﹣S △OCN ＝3， ∴k 2﹣k 1＝3， ∴k 1﹣k 2＝﹣3， 故选：B ．2、（2022•牡丹江）如图，等边三角形OAB ，点B 在x 轴正半轴上，S △OAB ＝43，若反比例函数y ＝xk（k ≠0）图像的一支经过点A ，则k 的值是（ ）A ．233 B ．23C ．433 D ．43【分析】根据正三角形的性质以及反比例函数系数k 的几何意义，得出S △AOC ＝S △AOB ＝2＝|k |，即可求出k 的值．【解答】解：如图，过点A 作AC ⊥OB 于点C ， ∵△OAB 是正三角形， ∴OC ＝BC ，∴S △AOC ＝S △AOB ＝2＝|k |，又∵k ＞0， ∴k ＝4，故选：D ．3、（2022•郴州）如图，在函数y ＝x2（x ＞0）的图像上任取一点A ，过点A 作y 轴的垂线交函数y ＝﹣x8（x ＜0）的图像于点B ，连接OA ，OB ，则△AOB 的面积是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．10【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义进行计算即可． 【解答】解：∵点A 在函数y ＝（x ＞0）的图像上， ∴S △AOC ＝×2＝1，又∵点B 在反比例函数y ＝﹣（x ＜0）的图像上， ∴S △BOC ＝×8＝4， ∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝1+4 ＝5， 故选：B ．4、（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数y ＝x 3的图像上，顶点A 在反比例函数y ＝xk的图像上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2【分析】设B （a ，），根据四边形OBAD 是平行四边形，推出AB ∥DO ，表示出A 点的坐标，求出AB ＝a ﹣，再根据平行四边形面积公式列方程，解出即可．【解答】解：设B （a ，）， ∵四边形OBAD 是平行四边形， ∴AB ∥DO ， ∴A （，），∴AB ＝a ﹣，∵平行四边形OBAD 的面积是5， ∴（a ﹣）＝5，解得k ＝﹣2， 故选：D ．5、（2022•十堰）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数y ＝xk 1（k 1＞0）和y ＝xk 2（k 2＞0）的图像上．若BD ∥y 轴，点D 的横坐标为3，则k 1+k 2＝（ ）A ．36B ．18C ．12D ．9【分析】连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，设AE＝BE＝CE＝DE ＝m，D（3，a），根据BD∥y轴，可得B（3，a+2m），A（3+m，a+m），即知k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），从而m＝3﹣a，B（3，6﹣a），由B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图像上，得k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，即得k1+k2＝18﹣3a+3a＝18．【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图像上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B ．6、（2022•邵阳）如图是反比例函数y ＝x1的图像，点A （x ，y ）是反比例函数图像上任意一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，则△AOB 的面积是（ ）A ．1B ．C ．2D ．【分析】由反比例函数的几何意义可知，k ＝1，也就是△AOB 的面积的2倍是1，求出△AOB 的面积是．【解答】解：∵A （x ，y ）， ∴OB ＝x ，AB ＝y ，∵A 为反比例函数y ＝图像上一点， ∴xy ＝1，∴S △ABO ＝AB •OB ＝xy ＝1＝，故选：B ．7、（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数y ＝x 8和y ＝xk的图像交于P 、Q 两点．若S △POQ ＝15，则k 的值为（ ）A ．38B ．22C ．﹣7D ．﹣22【分析】利用k 的几何意义解题即可． 【解答】解：∵直线l ∥y 轴， ∴∠OMP ＝∠OMQ ＝90°，∴S △OMP ＝×8＝4，S △OMQ ＝﹣k ． 又S △POQ ＝15， ∴4﹣k ＝15， 即k ＝11，∴k ＝﹣22． 故选：D ．8、（2022•东营）如图，△OAB 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B 在反比例函数y ＝x1（x ＞0）的图像上，则经过点A 的函数图像表达式为 ．【分析】作AD ⊥x 轴于D ，BC ⊥x 轴于C ，根据△OAB 是等腰直角三角形，可证明△BOC ≌△OAD ，利用反比例函数k 的几何意义得到S △OBC ＝，则S △OAD ＝，所以|k |＝，然后求出k 得到经过点A 的反比例函数解析式． 【解答】解：如图，作AD ⊥x 轴于D ，BC ⊥x 轴于C ， ∴∠ADO ＝∠BCO ＝90°，∵∠AOB ＝90°， ∴∠AOD +∠BOC ＝90°， ∴∠AOD +∠DAO ＝90°， ∴∠BOC ＝∠DAO ， ∵OB ＝OA ，∴△BOC ≌△OAD （AAS ），∵点B 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图像上， ∴S △OBC ＝， ∴S △OAD ＝， ∴k ＝﹣1，∴经过点A 的反比例函数解析式为y ＝﹣． 故答案为：y ＝﹣．9、（2022•盐城）已知反比例函数的图像经过点（2，3），则该函数表达式为 ． 【分析】利用反比例函数的定义列函数的解析式，运用待定系数法求出函数的解析式即可． 【解答】解：令反比例函数为y ＝（k ≠0）， ∵反比例函数的图像经过点（2，3）， ∴3＝， k ＝6，∴反比例函数的解析式为y ＝． 故答案为：y ＝．10、（2022•湖北）在反比例函数y ＝xk 1−的图像的每一支上，y 都随x 的增大而减小，且整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ． 【分析】由整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式，可得k ＝±4，由反比例函y ＝的图像的每一支上，y 都随x 的增大而减小，可得k ﹣1＞0，解得k ＞1，则k ＝4，即可得反比例函数的解析式．【解答】解：∵整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式，∴k ＝±4， ∵反比例函数y ＝的图像的每一支上，y 都随x 的增大而减小，∴k ﹣1＞0， 解得k ＞1， ∴k ＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝． 故答案为：y ＝．35．（2022•陕西）已知点A （﹣2，m ）在一个反比例函数的图像上，点A '与点A 关于y 轴对称．若点A '在正比例函数y ＝21x 的图像上，则这个反比例函数的表达式为 ．【分析】根据轴对称的性质得出点A '（2，m ），代入y ＝x 求得m ＝1，由点A （﹣2，1）在一个反比例函数的图像上，从而求得反比例函数的解析式． 【解答】解：∵点A '与点A 关于y 轴对称，点A （﹣2，m ）， ∴点A '（2，m ），∵点A '在正比例函数y ＝x 的图像上， ∴m ＝＝1，∴A （﹣2，1），∵点A （﹣2，1）在一个反比例函数的图像上， ∴反比例函数的表达式为y ＝﹣， 故答案为：y ＝﹣．11、（2022•攀枝花）如图，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝xk 2的图像交于A （1，m ）、B 两点，当k 1x ≤xk2时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣1≤x ＜0或x ≥1B ．x ≤﹣1或0＜x ≤1C ．x ≤﹣1或x ≥1D ．﹣1≤x ＜0或0＜x ≤1【分析】根据反比例函数的对称性求得B 点的坐标，然后根据图像即可求得． 【解答】解：∵正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝的图像交于A （1，m ）、B 两点，∴B （﹣1，﹣m ）， 由图像可知，当k 1x ≤时，x 的取值范围是﹣1≤x ＜0或x ≥1，故选：A ．37．（2022•东营）如图，一次函数y 1＝k 1x +b 与反比例函数y 2＝xk 2的图像相交于A ，B 两点，点A 的横坐标为2，点B 的横坐标为﹣1，则不等式k 1x +b ＜xk2的解集是（ ）A ．﹣1＜x ＜0或x ＞2B ．x ＜﹣1或0＜x ＜2C ．x ＜﹣1或x ＞2D ．﹣1＜x ＜2【分析】根据两函数图像的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式k 1x +b ＜的解集，此题得解．【解答】解：观察函数图像可知，当﹣1＜x ＜0或x ＞2时，一次函数y 1＝k 1x +b 的图像在反比例函数y 2＝的图像的下方，∴不等式k 1x +b ＜的解集为：﹣1＜x ＜0或x ＞2，故选：A ．12、（2022•朝阳）如图，正比例函数y ＝ax （a 为常数，且a ≠0）和反比例函数y ＝xk（k 为常数，且k ≠0）的图像相交于A （﹣2，m ）和B 两点，则不等式ax ＞xk的解集为（ ）A ．x ＜﹣2或x ＞2B ．﹣2＜x ＜2C ．﹣2＜x ＜0或x ＞2D ．x ＜﹣2或0＜x ＜2【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得B （2，﹣m ），然后根据函数的图像的交点坐标即可得到结论．【解答】解：∵正比例函数y ＝ax （a 为常数，且a ≠0）和反比例函数y ＝（k 为常数，且k ≠0）的图像相交于A （﹣2，m ）和B 两点， ∴B （2，﹣m ），∴不等式ax ＞的解集为x ＜﹣2或0＜x ＜2， 故选：D ．13、（2022•无锡）一次函数y ＝mx +n 的图像与反比例函数y ＝xm的图像交于点A 、B ，其中点A 、B 的坐标为A （﹣m1，﹣2m ）、B （m ，1），则△OAB 的面积是（ ） A ．3B ．413C ．27D ．415【分析】根据反比例函数图像上点的坐标特征求出m ，进而求出点A 、B 的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵点A （﹣，﹣2m ）在反比例函数y ＝上， ∴﹣2m ＝，解得：m ＝2，∴点A 的坐标为：（﹣，﹣4），点B 的坐标为（2，1）， ∴S △OAB ＝××5﹣××4﹣×2×1﹣×1＝，故选：D ．14、（2022•荆州）如图是同一直角坐标系中函数y 1＝2x 和y 2＝x2的图像．观察图像可得不等式2x ＞x2的解集为（ ）A ．﹣1＜x ＜1B ．x ＜﹣1或x ＞1C ．x ＜﹣1或0＜x ＜1D ．﹣1＜x ＜0或x ＞1【分析】结合图像，数形结合分析判断．【解答】解：由图像，函数y 1＝2x 和y 2＝的交点横坐标为﹣1，1， ∴当﹣1＜x ＜0或x ＞1时，y 1＞y 2，即2x ＞， 故选：D ．15、（2022•怀化）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y ＝xa 1−（a ＞1）的图像于A 、B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为（ ）A．8B．9C．10D．11【分析】设点B的坐标为（m，），然后根据三角形面积公式列方程求解．【解答】解：设点B的坐标为（m，），∵S△BCD＝5，且a＞1，∴×m×＝5，解得：a＝11，故选：D．16、（2022•宁夏）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压U一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积V与电路中总电阻R总（R总＝R+R0）是反比例关系，电流I与R总也是反比例关系，则I与V的函数关系是（）A．反比例函数B．正比例函数C．二次函数D．以上答案都不对【分析】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得V＝I（为常数），即可得到答案．【解答】解：由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，设V•R总＝k（k为常数），由电流I与R总是反比例关系，设I•R总＝k'（k为常数），∴＝，∴V＝I（为常数），∴I与V的函数关系是正比例函数，故选：B．17、（2022•宜昌）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为（）A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b【分析】根据等量关系“电流＝”，即可求解．【解答】解：∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，∴40a＝80b，∴a＝2b，∴a＞b，故选：A．18、（2022•丽水）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R（Ω），下列说法正确的是（）A．R至少2000ΩB．R至多2000ΩC．R至少24.2ΩD．R至多24.2Ω【分析】利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵电压U一定时，电流强度I（A）与灯泡的电阻为R（Ω）成反比例，∴I＝．∵已知电灯电路两端的电压U为220V，∴I＝．∵通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A，∴≤0.11，∴R≥2000．故选：A．19、（2022•郴州）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系：I＝U，测得数据如下：那么，当电阻R＝55Ω时，电流I＝A．【分析】由表格数据求出反比例函数的解析式，再将R＝55Ω代入即可求出答案．【解答】解：把R＝220，I＝1代入I＝得：1＝，解得U＝220，∴I＝，把R＝55代入I＝得：I＝＝4，故答案为：4．20、（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图像如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为Pa．【分析】设p＝，把（0.1，1000）代入得到反比例函数的解析式，再把S＝0.25代入解析式即可解决问题．【解答】解：设p＝，∵函数图像经过（0.1，1000），∴k＝100，∴p＝，当S＝0.25m2时，物体所受的压强p＝＝400（Pa），故答案为：400．。
专题20反比例函数(3个知识点4种题型1种中考考法)(解析版)-初中数学北师大版9年级上册
专题20反比例函数（3个知识点4种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数的概念及表达式（重点）知识点2.反比例函数表达式的确定（重点）知识点3.根据实际问题列反比例函数的表达式（重点）【方法二】实例探索法题型1.根据反比例函数的概念求未知字母的值题型2.反比例关系的应用题型3.反比例函数关系的判断及应用题型4.应用几何图形中的数量关系建立反比例函数关系【方法三】仿真实战法考法.反比例函数的概念【方法四】成果评定法【学习目标】1.理解反比例函数的概念，会判断一个函数是不是反比例函数。
2.能结合具体问题确定反比例函数的表达式，并会确定实际问题中自变量的取值范围，求出函数值。
【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数的概念及表达式（重点）如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy k =，或表示为ky x=，其中k 是不等于零的常数.一般地，形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.注意：（1）在k y x =中，自变量x 是分式k x 的分母，当0x =时，分式kx无意义，所以自变量x 的取值范围是，函数y 的取值范围是0y ≠.故函数图象与x 轴、y 轴无交点.（2）k y x =()可以写成()的形式，自变量x 的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）k y x=()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式.【例1】（2023春•邗江区期末）下列式子中，表示y 是x 的反比例函数的是（）A ．xy ＝1B ．y ＝C ．y ＝D ．y ＝【答案】A【解答】解：A 、由原式得到y ＝，符合反比例函数的定义．故本选项正确；B 、该函数式表示y 与x 2成反比例关系，故本选项错误；C 、该函数式表示y 与x 成正比例关系，故本选项错误；D 、该函数不属于反比例函数，故本选项错误；故选：A ．【变式】（2022秋•怀化期末）下列函数不是反比例函数的是（）A ．y ＝3x﹣1B ．y ＝﹣C ．xy ＝5D ．y ＝【答案】B【解答】解：A 、y ＝3x ﹣1＝是反比例函数，故本选项错误；B 、y ＝﹣是正比例函数，故本选项正确；C 、xy ＝5是反比例函数，故本选项错误；D 、y ＝是反比例函数，故本选项错误．故选：B ．知识点2.反比例函数表达式的确定（重点）待定系数法求反比例函数解析式一般步骤：【例2】（2022秋·九年级单元测试）已知y ＝y 1－y 2，y 1与x 成反比例，y ＝5；当x ＝1时，y ＝－1；求当x ＝－1时，y 的值．【答案】3-【分析】设出解析式，利用待定系数法求得解析式，代入x 【详解】设1ay x=，()22y b x =-，（a 、b 不等于0）∵12y y y =-，a【方法二】实例探索法题型1.根据反比例函数的概念求未知字母的值一、单选题解得62 km=⎧⎨=⎩，故选：B．【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．2.（2022秋•岳阳县期末）若函数y＝（m+4）x|m|﹣5是反比例函数，则m的值为（）A．4B．﹣4C．4或﹣4D．0【答案】A【解答】解：由题意得，|m|﹣5＝﹣1，且m+4≠0，解得：m＝4．故选：A．3.（2022秋•惠来县期末）函数y＝x k﹣1是反比例函数，则k＝（）A．3B．2C．1D．0【答案】D【解答】解：由题意得：k﹣1＝﹣1，解得：k＝0，故选：D．k6,104【答案】()【点睛】本题主要考查了坐标系的新定义问题，理解“雁点”的定义，是解题的关键．题型3.反比例函数关系的判断及应用48【方法三】仿真实战法考法.反比例函数的概念1．（2023•临沂）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（）A．反比例函数关系B．正比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系【分析】列出V与t的关系式，根据反比例函数的定义可得答案．【解答】解：根据题意得：Vt＝105，∴V＝，V与t满足反比例函数关系；故选：A．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握反比例函数的定义．2．（2018•柳州）已知反比例函数的解析式为y＝，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a≠﹣2C．a≠±2D．a＝±2【分析】根据反比例函数解析式中k是常数，不能等于0解答即可．【解答】解：根据反比例函数解析式中k是常数，不能等于0，由题意可得：|a|﹣2≠0，解得：a≠±2，故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数，关键是根据反比例函数关系式中k的取值范围解答．【方法四】成果评定法一、单选题A．①②B．【答案】B【分析】分别求出三个问题中变量【详解】解：①∵正方形的周长为二、填空题【答案】2（答案不唯一）【分析】根据矩形写出B ，取值范围．【详解】解：∵矩形ABCD ∴()1,1B ,()3,4D ,三、解答题。
北师版九年级数学 第六章 反比例函数 知识归纳与题型突破(十类题型清单)
第六章反比例函数知识归纳与题型突破（十类题型清单）01思维导图02知识速记一、反比例函数的概念一般地，形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.要点：在ky x=中，自变量x 的取值范围是，k y x=()可以写成()的形式，也可以写成的形式.二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数ky x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.三、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象反比例函数()0ky k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．要点：观察反比例函数的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①)0(≠=k x ky 的图象是轴对称图形，对称轴为x y x y -==和两条直线；②)0(≠=k x ky 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③xky x k y -==和(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称.注：正比例函数x k y 1=与反比例函数xk y 2=，当021<⋅k k 时，两图象没有交点；当021>⋅k k 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质当0k >时，x y 、同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，x y 、异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大.（2）若点(a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点（a b --，）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.（3）正比例函数与反比例函数的性质比较正比例函数反比例函数解析式图像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位置0k >，一、三象限；0k <，二、四象限0k >，一、三象限0k <，二、四象限增减性0k >，y 随x 的增大而增大0k <，y 随x 的增大而减小0k >，在每个象限，y 随x 的增大而减小0k <，在每个象限，y 随x 的增大而增大（4）反比例函数y＝中k 的意义①过双曲线xky =(k ≠0)上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k .②过双曲线x ky =(k ≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k .四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.03题型归纳题型一反比例函数的概念及应用例题1．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（）A ．3x y =B ．321y x =+C ．k y x=D ．134y x -=巩固训练2．下列问题中的两个变量是成反比例的是（）A ．被除数（不为零）一定，除数与商B ．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量C ．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长D ．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间3．下列函数表达式中，表示y 是x 的反比例函数的有（）（1）4x y =；（2）34y x=；（3）3xy -=；（4）1y 3x -=-；（5）21y x =+；（6）52y x =+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下列各点在反比例函数2y x=图象上的是（）A ．()1,2-B ．()2,1-C ．()1,3D ．()1,2--5．已知关于x 的反比例函数()32m y m x -=-，则m 的值为．6．如果2212n n n n y x+++=是反比例函数，那么n 的值是．题型二反比例函数的图像与性质例题7．关于反比例函数6y x=，下列说法不正确．．的是（）A ．函数图像分别位于第一、三象限B ．函数图像经过点()3,2--C ．函数图像过()()23A m B n -，、，，则m n >D ．函数图像关于原点成中心对称巩固训练8．如图是三个反比例函数11k y x=，22ky x =，33k y x =在x 轴上方的图象，则1k ，2k ，3k 的大小关系为（）A ．123k k k >>B ．231k k k >>C ．132k k k >>D ．312k k k >>9．关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是（）A ．函数图像经过点()2,2B ．函数图像位于第一、三象限C ．函数值y 随着x 的增大而增大D ．当1x >时，4y >-10．若点()11,A y -，()22,B y ，()33,C y 是反比例函数2y x=-图像上的三个点，则下列结论正确的是（）A ．132y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．312y y y >>题型三根据图像或性质求参数范围例题11．反比例函数2y x=的图象上有一点(),P m n ，当1n ≥-，则m 的取值范围是．巩固训练12．若反比例函数13ky x-=的图象不经过第一象限，则k 的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy 中，对于每一象限内的反比例函数3m y x+=图像，y 的值都随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是．14．若反比例函数2221(21)kk y k x --=-的图象位于第二、四象限，则k 的值（）A ．0B ．0或1C ．0或2D ．4题型四参数范围、图像与性质的相互判断例题15．在同一坐标系中，函数ky x=和2y kx =-+的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．巩固训练16．一次函数=−1与反比例函数()0ky k x=≠在同一直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．17．已知反比例函数21k y x+=，则下列说法正确的是（）A ．函数图像分布在第二、四象限B ．y 随x 的增大而减小C ．如果两点()11,y -，()22,y 都在图像上，则12y y >D ．图像关于原点中心对称18．在函数21m y x+=-(m 为常数)的图象上有三个点1(1)y -，，2(2)y -，，3(3)y ，，则函数值123、、y y y 的大小关系是()．A ．231y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<题型五反比例函数与方程、不等式例题19．如图，一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的图象与反比例函数my x=（m 为常数，且0m ≠）的图象交于A 、B 两点．则关于x 的方程mkx b x+=的解为．巩固训练20．如图，已知一次函数=B +与反比例函数．ky x=的图象交于()()3,11,3A B --，两点．观察图象可知，不等式kmx n x+>的解集是．21．已知一次函数2y x =-+与反比例函数ky x=在同一坐标系内的图象没有交点，则k 的取值范围为．题型六k 的几何意义例题22．如图，过双曲线上任意一点P 分别作x 轴，y 轴的垂线PM ，PN ，交x 轴、y 轴于点M 、N ，所得矩形PMON 的面积为8，则k 的值是（）A ．4B ．4-C ．8D ．8-巩固训练23．如图，反比例函数()40y x x-=>的图像上有一点P ，PA x ⊥轴于点A ，点B 在y 轴上，则PAB 的面积为（）A ．1B ．2C ．4D ．824．如图，在平面直角坐标系中，AOC △的边OA 在y 轴上，点C 在第一象限内，点B 为AC 的中点，反比例函数()0k y x x=>的图象经过B ，C 两点．若AOC △的面积是6，则k 的值为．25．函数1(0)y x x =>与8(0)y x x=>的图象如图所示，点C 是y 轴上的任意一点．直线AB 平行于y 轴，分别与两个函数图象交于点A 、B ，连接AC BC 、．当AB 从左向右平移时，ABC V 的面积是．26．如图，点A B ，是反比例函数()0ky x x=>图像上的点，点,C D 分别在x 轴，y 轴正半轴上．若四边形ABCD 为菱形，BD x ∥轴，6ABCD S =菱形，则k 的值（）A ．3B ．6C ．12D ．24题型七反比例函数的代数应用例题27．已知点1()2P a b -，与点2)1(2Pa b +-，在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，()A ．若0k >，则202a b ><<，B ．若0k >，则12a b <->，C ．若0k <，则22a b <>，D ．若0k <，则1202a b -<<<<，巩固训练28．已知点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在反比例函数()0ky k x=>的图象上，123x x x <<，则下列结论一定成立的是（）A ．若130x x <，则23y y <B ．若230x x <，则130y y >C ．若130x x >，则23y y >D ．若230x x >，则130y y >题型八反比例函数的实际应用例题29．验光师检测发现近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，y 关于x 的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（）度．A ．150B ．200C ．250D ．300巩固训练30．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度()m/s v 是载重后总质量(kg)m 的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量60kg m =时，它的最快移动速度6m/s v =；当其载重后总质量90kg m =时，它的最快移动速度=v m/s ．31．为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强p （kPa ）是气体体积V （ml ）的反比例函数，其图像如图所示．则下列说法中错误的是（）A ．这一函数的表达式为6000p V=B ．当气体体积为40ml 时，气体的压强值为150kPaC ．当温度不变时，注射器里气体的压强随着气体体积增大而减小D ．若注射器内气体的压强不能超过400kPa ，则其体积V 不能超过15ml 题型九最值问题、其他问题例题32．已知函数1k y x =，()20ky k x=->，当13x ≤≤时，函数1y 的最大值为a ，函数2y 的最小值为4a -，则a 的值为．巩固训练33．反比例函数1k y x =，()220ky k x =-≠，当a x b ≤≤（b ，a 为常数，且0b a >>）时，1y 的最小值为m ，2y 的最大值为n ，则mn的值为（）A ．2-B ．12-C ．12-或2-D ．2b a-34．在同一坐标系中，若正比例函数1y k x =与反比例函数2k y x=的图象没有交点，则1k 与2k 的关系，下面四种表述：①120k k +≤；②120k k <；③1212||k k k k +<-；④121k k k +<或122k k k +<．正确的有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个题型十解答综合题例题35．已知y 与2x +成反比例，且当5x =时，y =-6，求：(1)y 与x 之间的函数关系式；(2)当5y =时，x 的值．巩固训练36．如图，函数()120y x x =≥与2(0)ay x x=>的图象交于点()1,A b ，直线2x =与函数12,y y 的图象分别交于B ，C 两点．(1)求a 和b 的值；(2)求BC 的长度；(3)根据图象写出120y y >>时x 的取值范围（不需说明理由）．37．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强(kPa)p 与气体的体积()3m V 成反比例．当气体的体积30.8m V =时，气球内气体的压强112.5kPa p =．(1)当气体的体积为31m 时，它的压强是多少？(2)当气球内气体的压强大于150kPa 时，气球就会爆炸．问：气球内气体的体积应不小于多少气球才不会爆炸？38．如图，已知()4,A n -，()2,4B -是反比例函数ky x=的图象和一次函数y ax b =+的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求AOB V 的面积；(3)根据图象直接写出不等式0k ax b x+-<的解集．39．已知一次函数y ax b =+与反比例函数y =kx的图象交于()()3,2,6A n B --，两点．(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；②求AOB 的面积．(2)在x 轴的负半轴上，是否存在点P ，使得PAO 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．40．已知：如图，直线4y kx =+与函数()0,0my x m x=>>的图像交于A ，B 两点，且与x ，y 轴分别交于C ，D 两点．(1)若直线4y kx =+与直线2y x =--平行，且AOD △面积为2，求m 的值；(2)若COD △的面积是AOB V倍，过A 作AE x ⊥轴于E ，过B 作BF y ⊥轴于F ，AE 与BF 交于H 点．①求:AH OD 的值；②求k 与m 之间的函数关系式．(3)若点P 坐标为2,0，在（2）的条件下，是否存在k ，m ，使得APB △为直角三角形，且90APB ∠=︒，若存在，求出k ，m 的值；若不存在，请说明理由．第六章反比例函数知识归纳与题型突破（十类题型清单）01思维导图02知识速记一、反比例函数的概念一般地，形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.要点：在ky x=中，自变量x 的取值范围是，k y x=()可以写成()的形式，也可以写成的形式.二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数ky x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.三、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象反比例函数()0ky k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．要点：观察反比例函数的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①)0(≠=k x ky 的图象是轴对称图形，对称轴为x y x y -==和两条直线；②)0(≠=k x ky 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③xky x k y -==和(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称.注：正比例函数x k y 1=与反比例函数xk y 2=，当021<⋅k k 时，两图象没有交点；当021>⋅k k 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质当0k >时，x y 、同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，x y 、异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大.（2）若点(a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点（a b --，）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.（3）正比例函数与反比例函数的性质比较正比例函数反比例函数解析式图像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位置0k >，一、三象限；0k <，二、四象限0k >，一、三象限0k <，二、四象限增减性0k >，y 随x 的增大而增大0k <，y 随x 的增大而减小0k >，在每个象限，y 随x 的增大而减小0k <，在每个象限，y 随x 的增大而增大（4）反比例函数y＝中k 的意义①过双曲线xky =(k ≠0)上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k .②过双曲线x ky =(k ≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k .四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.03题型归纳题型一反比例函数的概念及应用例题1．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（）A ．3x y =B ．321y x =C ．k y x=D ．134y x -=2．下列问题中的两个变量是成反比例的是（）A ．被除数（不为零）一定，除数与商B ．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量C ．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长D ．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间D ．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间是正比例函数的关系，故此选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查反比例函数，正确区分正比例函数与反比例函数是解题关键．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系．3．下列函数表达式中，表示y 是x 的反比例函数的有（）（1）4x y =；（2）34y x=；（3）3xy -=；（4）1y 3x -=-；（5）21y x =+；（6）52y x =+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下列各点在反比例函数y x=图象上的是（）A ．()1,2-B ．()2,1-C ．()1,3D ．()1,2--5．已知关于x 的反比例函数()32m y m x -=-，则m 的值为．6．如果2212nn n n y +++=是反比例函数，那么n 的值是．例题7．关于反比例函数6y x=，下列说法不正确．．的是（）A ．函数图像分别位于第一、三象限B ．函数图像经过点()3,2--C ．函数图像过()()23A m B n -，、，，则m n >D ．函数图像关于原点成中心对称8．如图是三个反比例函数11k y x=，22ky x =，33k y x =在x 轴上方的图象，则1k ，2k ，3k 的大小关系为（）A ．123k k k >>B ．231k k k >>C ．132k k k >>D ．312k k k >>【答案】C9．关于反比例函数y x=-，下列说法正确的是（）A ．函数图像经过点()2,2B ．函数图像位于第一、三象限C ．函数值y 随着x 的增大而增大D ．当1x >时，4y >-【答案】D【分析】根据反比例函数的图象及其性质即可求解．【解析】A 、点()2,2不在它的图象上，不符合题意；B 、它的图象在第二、四象限，不符合题意；C 、在每个象限内，y 随x 的增大而增大，不符合题意；D 、当1x >时，4y >-，正确，符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了反比函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．10．若点()11,A y -，()22,B y ，()33,C y 是反比例函数2y x=-图像上的三个点，则下列结论正确的是（）A ．132y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．312y y y >>【答案】A【分析】根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，结合反比例函数的增减性，进而判断在同一象限内的点B 和点C 的纵坐标例题11．反比例函数2y x =的图象上有一点(),P m n ，当1n ≥-，则m 的取值范围是．12．若反比例函数13k y x -=的图象不经过第一象限，则k 的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy 中，对于每一象限内的反比例函数y x +=图像，y 的值都随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是．14．若反比例函数2221(21)kk y k x --=-的图象位于第二、四象限，则k 的值（）A ．0B ．0或1C ．0或2D ．4故选：A ．题型四参数范围、图像与性质的相互判断例题15．在同一坐标系中，函数k y x =和2y kx =-+的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．16．一次函数=−1与反比例函数()0k y k x=≠在同一直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．17．已知反比例函数1k y x+=，则下列说法正确的是（）A ．函数图像分布在第二、四象限B ．y 随x 的增大而减小C ．如果两点()11,y -，()22,y 都在图像上，则12y y >D ．图像关于原点中心对称18．在函数y x+=-(m 为常数)的图象上有三个点1(1)y -，，2(2)y -，，3(3)y ，，则函数值123、、y y y 的大小关系是()．A ．231y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<例题19．如图，一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的图象与反比例函数m y x =（m 为常数，且0m ≠）的图象交于A 、B 两点．则关于x 的方程m kx b x +=的解为．【答案】1-和2【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图像和性质是解题的关键；根据反比例函数和一次函数的图像和性质求解即可；【解析】解：观察函数图象可知：点A 的横坐标为1-，点B 的横坐标为2，20．如图，已知一次函数=B +与反比例函数．k y x =的图象交于()()3,11,3A B --，两点．观察图象可知，不等式k mx n x +>的解集是．21．已知一次函数2y x =-+与反比例函数k y x =在同一坐标系内的图象没有交点，则k 的取值范围为．解得：1k >．故答案为：1k >．题型六k 的几何意义例题22．如图，过双曲线上任意一点P 分别作x 轴，y 轴的垂线PM ，PN ，交x 轴、y 轴于点M 、N ，所得矩形PMON 的面积为8，则k 的值是（）A ．4B ．4-C ．8D ．8-23．如图，反比例函数()40y x x-=>的图像上有一点P ，PA x ⊥轴于点A ，点B 在y 轴上，则PAB 的面积为（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于k ，并根据面积关系得出方程是解题的关键．设s ，则4xy =-，再由三角形的面积公式即可得出结论．【解析】解：设s ，∵点P 在反比例函数()40y x x-=>的图象上，∴4xy =-．∵PA x ⊥轴，∴11142222PAB S PA OA xy =⨯⨯==⨯= ．故选：B ．24．如图，在平面直角坐标系中，AOC △的边OA 在y 轴上，点C 在第一象限内，点B 为AC 的中点，反比例函数()0ky x x =>的图象经过B ，C 两点．若AOC △的面积是6，则k 的值为．【答案】4【分析】过B ，C 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为D ，E ，设B 点坐标为k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则BD m =，由点B 为AC 的中点，推出C 点坐标为22k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求得直线BC 的解析式，得到A 点坐标，根据AOC △的面积是6，列式计算即可求解．∴BD CE ∥，∴ABD ACE ∽，∴BD AB CE AC=，设B 点坐标为k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则BD m =，∵点B 为AC 的中点，25．函数1(0)y x x =>与8(0)y x x=>的图象如图所示，点C 是y 轴上的任意一点．直线AB 平行于y 轴，分别与两个函数图象交于点A 、B ，连接AC BC 、．当AB 从左向右平移时，ABC V 的面积是．【点睛】此题考查了反比例函数的OP BP AP 、、的长度，难度一般．26．如图，点A B ，是反比例函数()0ky x x=>图像上的点，点,C D 分别在x 轴，y 轴正半轴上．若四边形ABCD为菱形，BD x ∥轴，6ABCD S =菱形，则k 的值（）A ．3B ．6C ．12D ．24AC BD ∴⊥，OA OC =，6ABCD S = 菱形，∴11222AC BD OC BD ⨯⨯=⨯⨯=6OC BD ∴⨯=，BD x ∥轴，BE x ⊥轴，题型七反比例函数的代数应用例题27．已知点1()2P a b -，与点2)1(2Pa b +-，在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，()A ．若0k >，则202a b ><<，B ．若0k >，则12a b <->，C ．若0k <，则22a b <>，D ．若0k <，则1202a b -<<<<，∴020b b >⎧⎨-<⎩，∴02<<b ，故选项D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．巩固训练28．已知点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在反比例函数()0ky k x=>的图象上，123x x x <<，则下列结论一定成立的是（）A ．若130x x <，则23y y <B ．若230x x <，则130y y >C ．若130x x >，则23y y >D ．若230x x >，则130y y >故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是掌握当比例系数0k >时，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当比例系数0k <时，函数图象在第二、四象限内，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．题型八反比例函数的实际应用例题29．验光师检测发现近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，y 关于x 的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（）度．A ．150B ．200C ．250D ．30030．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度()m/s v 是载重后总质量(kg)m 的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量60kg m =时，它的最快移动速度6m/s v =；当其载重后总质量90kg m =时，它的最快移动速度=v m/s ．31．为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强p （kPa ）是气体体积V （ml ）的反比例函数，其图像如图所示．则下列说法中错误的是（）A ．这一函数的表达式为6000p V=B ．当气体体积为40ml 时，气体的压强值为150kPaC ．当温度不变时，注射器里气体的压强随着气体体积增大而减小D ．若注射器内气体的压强不能超过400kPa ，则其体积V 不能超过15ml 【答案】D例题32．已知函数1k y x =，()20ky k x=->，当13x ≤≤时，函数1y 的最大值为a ，函数2y 的最小值为4a -，则a 的值为．33．反比例函数1k y x =，()220ky k x=-≠，当a x b ≤≤（b ，a 为常数，且0b a >>）时，1y 的最小值为m ，2y 的最大值为n ，则mn的值为（）A ．2-B ．12-C ．12-或2-D ．2b a-34．在同一坐标系中，若正比例函数1y k x =与反比例函数2y x=的图象没有交点，则1k 与2k 的关系，下面四种表述：①120k k +≤；②120k k <；③1212||k k k k +<-；④121k k k +<或122k k k +<．正确的有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】根据题意得出1k 和2k 异号，再分别判断各项即可．例题35．已知y与2x=时，y=-6，求：x+成反比例，且当5(1)y与x之间的函数关系式；y=时，x的值．(2)当536．如图，函数()120y x x =≥与2(0)ay x x=>的图象交于点()1,A b ，直线2x =与函数12,y y 的图象分别交于B ，C 两点．(1)求a 和b 的值；(2)求BC 的长度；(3)根据图象写出120y y >>时x 的取值范围（不需说明理由）．当2x =时，21,y =∴点C 的纵坐标为1．413BC ∴=-=．（3）解：当120y y >>时x 的取值范围是1x >．37．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强(kPa)p 与气体的体积()3m V 成反比例．当气体的体积30.8m V =时，气球内气体的压强112.5kPa p =．(1)当气体的体积为31m 时，它的压强是多少？(2)当气球内气体的压强大于150kPa 时，气球就会爆炸．问：气球内气体的体积应不小于多少气球才不会爆炸？38．如图，已知()4,A n -，()2,4B -是反比例函数k y x=的图象和一次函数y ax b =+的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求AOB V 的面积；(3)根据图象直接写出不等式0k ax b x+-<的解集．39．已知一次函数y ax b =+与反比例函数y =x的图象交于()()3,2,6A n B --，两点．(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；②求AOB 的面积．(2)在x 轴的负半轴上，是否存在点P ，使得PAO 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．由022x =--得1x =-；40．已知：如图，直线4y kx =+与函数()0,0m y x m x=>>的图像交于A ，B 两点，且与x ，y 轴分别交于C ，D 两点．(1)若直线4y kx =+与直线2y x =--平行，且AOD △面积为2，求m 的值；(2)若COD △的面积是AOB V倍，过A 作AE x ⊥轴于E ，过B 作BF y ⊥轴于F ，AE 与BF 交于H 点．①求:AH OD 的值；②求k 与m 之间的函数关系式．(3)若点P 坐标为2,0，在（2）的条件下，是否存在k ，m ，使得APB △为直角三角形，且90APB ∠=︒，若存在，求出k ，m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3m =①设1,1，2,2（其中∵2COD AOB S S = ，∴()2COD AOC BOC S S S =- ，∴111222OC OD OC y ⎛⋅=⋅-若90APB ∠=︒，则90APE BPN ∠+∠=︒，∵90APE PAE ∠+∠=︒，∴EAP BPN ∠=∠，∵90AEP PNB ∠=∠=︒，相似比计算线段的长．。
九年级数学下册第二十六章反比例函数经典大题例题(带答案)
九年级数学下册第二十六章反比例函数经典大题例题单选题1、春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开⁄)与药物在空气中的持续时间x(min)之间的函数关系，在门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y(mg m3打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（）A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3B．室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11minC．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效D．当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内答案：C分析：利用图中信息一一判断即可．解∶由图象可知，经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3，故A选项正确．不符合题意．设0<x<5时函数解析式为y1=k1x，把（5，10）代入得，k1=2，∴y1=2x，∴y1=8时，x=4，15-4=11，∴室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min，故B选项正确，不符合题意；由图象可知，y=5时，x<5或x>15，，设反比例函数解析式为y2=k2x，把（15，8）代入得：8=k215解得：k2=120，∴y2=120，x当y1=5时，x1=2.5，当y2=5时，x2=24，24-2.5=21.5＜35，故C选项错误，符合题意；当y1=2时，x1=1，当y2=2时，x2=60，60-1=59，故D选项正确．不符合题意，故选：C．小提示：本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，2、如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y=4x连接BC，则ΔABC的面积等于（）A．8B．6C．4D．2答案：C分析：由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则SΔOBA＝SΔOBC，再根据反比例函数系数k的几何意义作答即可．解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S =12|k|． 所以ΔABC 的面积等于2×12|k|=|k|=4． 故选C ．小提示：考查了反比例函数y =k x 中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k |，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S ＝12|k |．3、某城市市区人口x 万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y 与x 之间的函数表达式为（ ）A ．y =x +50B ．y =50xC ．y =50x D ．y =x 50 答案：C分析：根据：平均每人拥有绿地y =总面积总人数，列式求解．解：依题意，得：平均每人拥有绿地y =50x． 故选：C 小提示：本题考查了反比例函数，解题的关键是掌握题目中数量之间的相互关系．4、一次函数y =mx +n 的图像与反比例函数y =m x 的图像交于点A 、B ，其中点A 、B 的坐标为A （-1m ，-2m ）、B （m ，1），则△OAB 的面积（ ）A ．3B ．134C ．72D ．154 答案：D分析：将点A 的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B 的坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式；求出直线AB 与y 轴交点D 的坐标，确定OD 的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 解：∵A （-1m ，-2m ）在反比例函数y =m x 的图像上，∴m =(-1m ) • ( -2m )=2，∴反比例函数的解析式为y =2x ， ∴B （2，1），A （-12，-4），把B （2，1）代入y =2x +n 得1=2×2+n ，∴n =-3，∴直线AB 的解析式为y =2x -3，直线AB 与y 轴的交点D （0，-3），∴OD =3，∴S △AOB =S △BOD +S △AOD=12×3×2+12×3×12 =154．故选：D ． ．小提示：本题考查一次函数与反比例函数的交点，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法．5、为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y （万元）与月份x 之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误．．的是（ ）A．4月份的利润为50万元B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元D．9月份该厂利润达到200万元答案：C分析：直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．A、设反比例函数的解析式为y=kx，把(1,200)代入得，k＝200，∴反比例函数的解析式为：y=200x，当x＝4时，y＝50，∴4月份的利润为50万元，正确意；B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确；C、当y＝100时，则100=200x，解得：x＝2，则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确．D、设一次函数解析式为：y＝kx＋b，则{4k+b=506k+b=110，解得：{k=30b=−70，故一次函数解析式为：y＝30x−70，故y＝200时，200＝30x−70，解得：x ＝9，则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确．故选：C ．小提示：此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．6、如图，A ，B 是反比例函数y =4x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则△OAB 的面积是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1答案：B分析：先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A ，B 两点的横坐标，求出A （2，2），B （4，1）．再过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S △AOC =S △BOD =12×4=2．根据S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，得出S △AOB =S 梯形ABDC ，利用梯形面积公式求出S 梯形ABDC =12（BD +AC ）•CD =12×（1+2）×2=3，从而得出S △AOB =3．∵A ，B 是反比例函数y =4x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，∴当x =2时，y =2，即A （2，2），当x =4时，y =1，即B （4，1），如图，过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则S △AOC =S △BOD =12×4=2，∵S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，∴S △AOB =S 梯形ABDC ，∵S 梯形ABDC =12（BD +AC ）•CD =12×（1+2）×2=3， ∴S △AOB =3，故选B ．小提示：本题考查了反比例函数y =k x (k ≠0)中k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，熟知反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 与k 的关系为S =12|k |是解题的关键． 7、如图，点A 在反比例函数y =k x (x >0)图象上，AB ⊥x 轴于点B ，C 是OB 的中点，连接AO ，AC ，若△AOC 的面积为2，则k =（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16答案：B分析：根据三角形中线的性质得出S △AOB =4，然后根据反比例函数k 的几何意义得解．解：∵点C 是OB 的中点，△AOC 的面积为2，∴S △AOB =4,∵AB ⊥x 轴于点B ，∴12AB ⋅OB =4,∴AB ⋅OB =8,∴k =8，故选：B．小提示：本题考查了反比例函数k的几何意义以及三角形中线的性质，熟知反比例函数k的几何意义是解本题的关键．8、学校的自动饮水机，通电加热时水温每分钟上升10°C，加热到100°C时，自动停止加热，水温开始下降．此时水温y(°C)与通电时间x(min)成反比例关系．当水温降至20°C时，饮水机再自动加热，若水温在20°C 时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则水温要从20°C加热到100°C，所需要的时间为（）A．6min B．7min C．8min D．10min答案：C分析：由图像知加热时水温y(°C)与通电时间x(min)成正比例关系，通电加热时水温每分钟上升10°C，所以关系式为y=10x+20，进而可求得水温要从20°C加热到100°C所需要的时间．解：由图可知水温要从20°C加热到100°C，水温y(°C)与通电时间x(min)成正比例关系，关系式为y=10x+ 20，当y=100时，x=8．故选：C．小提示：本题考查一次函数的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．9、已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：U=IR（或者I=U），实际生活中，由于给定已知量R不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（）A．B．C．D．答案：A分析：在实际生活中，电压U、电流I、电阻R三者之中任何一个不能为负，依此可得结果．，但自变量R的取值为负值，故选项A错误；B、C、D选项正确，不符合题意．A图象反映的是I=UR故选：A．小提示：此题主要考查了现实生活中函数图象的确立，注意自变量取值不能为负是解答此题的关键．10、已知点（－2，a）（2，b）（3，c）在函数y=k2+2（k为常数）的图像上，则下列判断正确的是（）xA．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a答案：A（k为常数）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随分析：根据反比例函数的性质得到函数y=k2+2xx的增大而减小，则b＞c＞0，a＜0．∵k2+2＞0，∴函数y=k2+2（k为常数）的图像分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，x∵﹣2＜0＜2＜3，∴b＞c＞0，a＜0，∴a＜c＜b．故选：A．小提示：本题考查反比例函数的增减性比较大小，熟记函数性质，判断每个象限内的特点是解题关键．填空题11、每年春季为预防流感，某校利用休息日对教室进行药熏消毒，已知药物燃烧过程及燃烧完后空气中的含药量y（mg/m3）与时间x（h）之间的关系如图所示，根据消毒要求，空气中的含药量不低于3mg/m3且持续时间不能低于10h．请你帮助计算一下，当空气中的含药量不低于3mg/m3时，持续时间可以达到__h．答案：12分析：利用待定系数法求出反比例函数，利用y=6求出两函数交点坐标，再求正比例函数，利用y=3，求出两函数自变量值作差即可解：∵反比例函数经过点（24，2），∴k=xy=24×2=48，∴反比例函数的解析式为y＝48，x令y＝6，解得：x＝8，∴直线与双曲线的交点坐标为（8，6），∴正比例函数的解析式为y＝3x，4＝3，解得：x＝16，令y＝48xx＝3，解得：x＝4，令y＝34∴当空气中的含药量不低于3mg/m3时，持续时间可以达到16﹣4＝12h，所以答案是：12．小提示：本题考查正比例函数与反比例函数的联合应用，会用待定系数法求反比例函数解析式与正比例函数解析式，会求函数值是解题关键．12、如图，等腰ΔABC的两个顶点A(−1,−4)、B(−4,−1)在反比例函数y=k1（x<0）的图象上，AC=xBC．过点C作边AB的垂线交反比例函数y=k1（x<0）的图象于点D，动点P从点D出发，沿射线CD方向运动x3√2个单位长度，到达反比例函数y=k2（x>0）图象上一点，则k2=__________．x答案：1分析：由AC=BC，CD⊥AB，得到△ABC是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，即CD是反比例函数y=k1 x 的对称轴，直线CD的关系式是y=x，根据A点的坐标是A(−1,−4)，代入反比例函数y=k1x，得反比例函数关系式为y=4x ，在根据直线CD与反比例函数y=4x（x<0）的图象于点D，求得D点的坐标是（-2，-2），则OD=2√2，根据点P从点D出发，沿射线CD方向运动3√2个单位长度，到达反比例函数y=k2x图象上，得到OP=√2，则P点的坐标是（1，1），将P（1，1）代入反比例函数y=k2x，得k2=1．解：如图示，AB与CD相交于E点，P在反比例函数y=k2x（x>0）图象上，∵AC=BC，CD⊥AB，∴△ABC是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，∴CD是反比例函数y=k1x的对称轴，则直线CD的关系式是y=x，∵A点的坐标是A(−1,−4)，代入反比例函数y=k1x，得k1=xy=(−1)×(−4)=4则反比例函数关系式为y=4x又∵直线CD与反比例函数y=4x（x<0）的图象于点D，则有{y=xy=4x，解之得：{x=−2y=−2（D点在第三象限），∴D点的坐标是（-2，-2），∴OD=2√2，∵点P从点D出发，沿射线CD方向运动3√2个单位长度，到达反比例函数y=k2x图象上，∴OP=√2，则P点的坐标是（1，1）（P点在第一象限），将P（1，1）代入反比例函数y=k2x，得k2=xy=1×1=1，所以答案是：1．小提示：本题考查了用待定系数法求出反比例函数，反比例函数的对称性和解二元一次方程组的应用，熟悉相关性质是解此题的关键．13、如图，直线y=−x+3与y轴交于点A，与反比例函数y=kx(x<0)的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，若AO=3BO，则k的值为________．答案：-4分析：先求出点A的坐标，然后表示出AO、BO的长度，根据AO=3BO，求出点C的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式．解:∵直线y=−x+3与y轴的交点A的坐标为(0,3)，∴AO=3．∵AO=3BO，∴BO=1，∵CB⊥x轴∴点C的横坐标为−1．把x=−1代入y=−x+3，得y=−(−1)+3=4，∴点C的坐标为(−1,4)，把C(−1,4)代入y=kx，得k=−4．故答案是：-4.小提示：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意确定点C的横坐标并求出纵坐标是解题的关键．14、如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y=8x （x>0）和y=kx（x>0）的图象交于P、Q两点，若S∥POQ=13，则k的值为___________．答案：-18分析：根据反比例函数系数k的几何意义，则∥OPM和∥OMQ的面积都可求得（或用k表示），根据∥POQ的面积，即可得到一个关于k的方程，进而求解．解：由反比例函数的性质可知S∥OPM=12×8=4，S∥OMQ=12×|k|=-12k，∵S∥POQ=13，∴4-12k=13，解得k=-18，故答案是：-18.小提示：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，熟练掌握k的几何意义是解题的关键．15、已知△ABC的三个顶点为A(-1，1)，B(-1，3)，C(-3，-3)，将△ABC向右平移m(m>0)个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y= 3的图象上，则m的值为________．x答案：52分析：根据中点的坐标和平移的规律，利用点在函数图像上，可解出m的值.△ABC的三个顶点为A（-1,1），B（-1,3），C（-3,3）∴AB的中点（-1,2），BC的中点（-2,0），AC的中点（-2，-1）∴AB边的中点平移后为（-1+m，2），AC中点平移后为（-2+m，-1）∵△ABC某一边中点落在反比例函数上∴2（-1+m）=3或-1×（-2+m）=3m=2.5或-1（舍去）.故答案是：5.2小提示：考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．解答题(x>0)的图像交于点A(a,4)．点B为x轴正半轴上一16、如图，正比例函数y=kx的图像与反比例函数y=8x点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．（1）求a 的值及正比例函数y =kx 的表达式； （2）若BD =10，求△ACD 的面积． 答案：（1）a=2；y=2x ；（2）635分析：（1）已知反比例函数解析式，点A 在反比例函数图象上，故a 可求；求出点A 的坐标后，点A 同时在正比例函数图象上，将点A 坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B 点坐标为(b ，0)，则D 点坐标为(b ，2b)，根据BD=10，可求b 值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．（1）已知反比例函数解析式为y=8x ，点A(a ，4)在反比例函数图象上,将点A 坐标代入，解得a=2，故A 点坐标为(2，4)，又∵A 点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx ，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x ． 故a=2；y=2x ．（2）根据第一问的求解结果，以及BD 垂直x 轴，我们可以设B 点坐标为(b ，0)，则C 点坐标为(b ，8b )、D 点坐标为(b ，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B 的坐标为(5，0)，D 点坐标为(5，10)，C 点坐标为(5，85)，则在△ACD 中，S △ACD =12×(10−85)×(5−2)=635．故△ACD 的面积为635．小提示：（1）本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法是解答本题的关键．（2）本题根据第一问求解的结果以及BD 垂直x 轴，利用待定系数法，设B 、C 、D 三点坐标，求出B 、C 、D 三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解．17、心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．（1）上课后的第5分钟与第30分钟相比较，_______分钟时学生的注意力更集中．（2）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式．（3）一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？．（3）教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题．答案：（1）5；（2）y AB=2x+30；y CD=1000x分析：（1）（2）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，得出第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；（3）分别求出注意力指数为40时的两个时间，再将两时间之差和18比较，大于18则能讲完，否则不能．（1）（2）设线段AB所在的直线的解析式为y1＝k1x＋30，把B（10，50）代入得，k1＝2，∴AB解析式为：y1＝2x＋30（0≤x≤10）．设C、D所在双曲线的解析式为y2＝k2，x把C（20，50）代入得，k2＝1000，∴曲线CD的解析式为：y2＝1000（x≥20）；x当x1＝5时，y1＝2×5＋30＝40，，当x2＝30时，y2＝100030∴y1＞y2∴第5分钟注意力更集中．所以答案是：5；（3）当y=40时，2x+30=40,x=5．1000=40,x=25．x∴25−5=20>18．∴教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题．小提示：此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．18、反比例函数y=k与一次函数y=2x−4的图像都过A(n,4)．x(1)求A点坐标；(2)求反比例函数解析式．答案：(1)点A的坐标为（4，4）(2)y＝16x分析：（1）把点A（n，4）代入一次函数y=2x-4求出n的值即可得出A点的坐标；求出k的值即可．（2）再把点A的坐标代入反比例函数y=kx（1）解：将点A（n，4）代入y＝2x﹣4得：2n﹣4＝4，解得：n＝4，∴点A的坐标为（4，4）．（2）解：将点A（4，4）代入y=k得：k＝16，x∴反比例函数解析式为y＝16．x小提示：本题主要考查的是一次函数及反比例函数图像上点的坐标特点，掌握函数图像的交点坐标即为函数解析式组成的方程组的解是解答本题的关键．。
九年级上册数学第五章 反比例函数
九年级上册数学第5章反比例函数『一』 ．知识归纳：● 知识点1 反比例函数的概念1．xky =（0≠k ）可以写成1-=kx y （0≠k ）的形式，注意自变量x 的指数为-1，在解决有关自变量指0≠k 数问题时应特别注意系数0≠k 这一限制条件；2．xky =（0≠k ）也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数xky =的自变量0≠x ，故函数图象与x 轴、y 轴无交点． ● 知识点2 反比例函数的图象在用描点法画反比例函数xky =的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原点对称）．● 知识点3 反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：xky =（0≠k ） 2．自变量的取值范围：0≠x3．图象：（1）图象的形状：双曲线．k 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．k 越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当0>k 时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当0<k 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则),(b a --在双曲线的另一支上．图象关于直线x y ±=对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则),(a b 和),(a b --在双曲线的另一支上．4．k 的几何意义如图1，设点P （a ，b ）是双曲线xky =上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA 的面积是k （三角形PAO 和三角形PBO 的面k 21）． 积都是如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC ⊥PA 的延长线于C ，则有三角形PQC 的面积为k 2．5．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线x k y 1=与双曲线xk y 2=的关系： 当021<k k 时，两图象没有交点；当021>k k 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．●知识点4 实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． ● 知识点5 充分利用数形结合的思想解决问题． 『二』典型例题解析★例题解析1 反比例函数的概念图2（1）下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）．A ．y=3xB ．x y 23=-C ．3xy=1D ．22x y = （2）下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）． A ．x y 41=B ．21x y -=C ．21-=x y D ．x y 11+= 答案：（1）C ；（2）A ．★例题解析2 图象和性质 （1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y 随x 的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数xaby =的图象位于第________象限．（3）若反比例函数xk y =经过点（-1，2），则一次函数2+-=kx y 的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a ·b ＜0，点P （a ，b ）在反比例函数xay =的图象上， 则直线b ax y +=不经过的象限是（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 （5）若P （2，2）和Q （m ，2m -）是反比例函数xky =图象上的两点， 则一次函数y=kx+m 的图象经过（ ）．A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 （6）已知函数)1(-=x k y 和xky -=（k ≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ． 答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C ；（5）C ；（6）B ．★例题解析3 函数的增减性 （1）在反比例函数)0(<=k xky 的图象上有两点),(),,(2211y x B y x A ，且021>>x x ，则21y y -的值为（ ）．A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数（2）在函数xa y 12--=（a 为常数）的图象上有三个点),1(1y -，),41(2y -，),21(3y ，则函数值1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）．A ．2y ＜3y ＜1yB ．3y ＜2y ＜1yC ．1y ＜2y ＜3yD ．2y ＜1y ＜3y （3）下列四个函数中：①x y 5=；②x y 5-=；③x y 5=；④xy 5-=． y 随x 的增大而减小的函数有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 （4）已知反比例函数xky =的图象与直线y=2x 和y=x+1的图象过同一点，则当x ＞0时，这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”）． 答案：（1）A ；（2）D ；（3）B ． ★例题解析4 解析式的确定（1）若y 与x 1成反比例，x 与z1成正比例，则y 是z 的（ ）． A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数D ．不能确定（2）若正比例函数y=2x 与反比例函数xky =的图象有一个交点为 （2，m ），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数xm y 2=的图象经过点），（8-2-，反比例函数x m y =的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m 与反比例函数xm y 1+=（1≠m ）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒． 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克． 请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室； ③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B ； （2）4，8，（2-，4-）； （3）依题意，且，解得．（4）①依题意，⎩⎨⎧>+==+;013300m x m x 解得⎩⎨⎧==210m x②一次函数解析式为2+=x y ,，反比例函数解析式为xy 3=． （5）①x y 43=，80≤≤x ，)8(48>=x xy ； ②30；③消毒时间为1025.13433-348>=⨯（分钟），所以消毒有效． ★例题解析5 面积计算 （1）如图，在函数xy 3-=的图象上有三个点A 、B 、C ，过这三个点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为S 1、S 2、S 3，则（ ）． A ．321s s s >>B ．S 1<S 2<S 3C ．S 1<S 3<S 2D ．S 1=S 2=S 3第（1）题图 第（2）题图 （2）如图，A 、B 是函数xy 1=的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC//y 轴，BC//x 轴，△ABC 的面积S ，则（ ）．A ．S=1B ．1＜S ＜2C ．S=2D ．S ＞2（3）如图，Rt △AOB 的顶点A 在双曲线xmy =上，且S △AOB=3，求m 的值．第（3）题图 第（4）题图 （4）已知函数xy 4=的图象和两条直线y=x ，y=2x 在第一象限内分别相交于P 1和P 2两点，过P 1分别作x 轴、y 轴的垂线P 1Q 1，P 1R 1，垂足分别为Q 1，R 1，过P 2分别作x 轴、y 轴的垂线P 2 Q 2，P 2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P 1 R 1和O Q 2P 2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx （k ＞0）和反比例函数xy 1=的图象相交于A 、C 两点，过A 作x 轴垂线交x 轴于B ，连接BC ，若△ABC 面积为S ，则S=_________．（6）如图在Rt △ABO 中，顶点A 是双曲线xky =与直线)1(++-=k x y 在第四象限的交点，AB ⊥x 轴于B 且S △ABO=23．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积．（7）如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 在函数x k y =（k ＞0，x ＞0）的图象上，点P （m ，n ）是函数xky =（k ＞0，x ＞0）的图象上任意一点，过P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为E 、F ，设矩形OEPF 在正方形OABC 以外的部分的面积为S ． ① 求B 点坐标和k 的值；第5题图第6题图② 当29=S 时，求点P 的坐标； ③ 写出S 关于m 的函数关系式．答案：（1）D ； （2）C ；（3）6；（4）)22(1，P ，)222(2，P ，矩形O Q 1P 1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为26，前者大． （5）1．（6）①双曲线为xy 3-=，直线为2--=x y ；②直线与两轴的交点分别为（0，-2）和（-2，0），且A （1，-3）和C （-3，1）， 因此AOC ∆面积为4． （7）①B （3，3），9=k ；②29=S 时，E （6，0），），（236P ； ③mn S 22793219-=⋅⋅-=．★例题解析5 综合应用（一）（1）若函数y=k1x （k1≠0）和函数)0(22≠=k xk y 在同一坐标系内的图象没有公共点，则k 1和k 2（ ）．A ．互为倒数B ．符号相同C ．绝对值相等D ．符号相反 （2）如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例数xmy =的图象交于A 、B 两点：A （-2，1），B （1，n ）．① 求反比例函数和一次函数的解析式；② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数b kx y +=（k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数xmy =（m ≠0）的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，若OA=OB=OD=1．① 求点A 、B 、D 的坐标；② 求一次函数和反比例函数的解析式．（4）如图，一次函数b ax y +=的图象与反比例函数xky =的图象交于第一象限C 、D 两点，坐标轴交于A 、B 两点，连结OC ，OD （O 是坐标原点）． ① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m 的值；② 双曲线上是否存在一点P ，使得△POC 和△POD 的面积相等？若存在，给出证明并求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（5）不解方程，判断下列方程解的个数． ①041=+x x ； ②041=-x x．答案： （1）D ．（2）① 反比例函数为，一次函数为；②范围是或．（3）①A （0，），B （0，1），D （1，0）；②一次函数为，反比例函数为．（4）①反比例函数为，；②存在（2，2）．（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．『三』衔接中考：考题1:2013年潍坊市）设点()11,y x A 和()22,y x B 是反比例函数xky =图象上的两个点，当1x ＜2x ＜0时，1y ＜2y ，则一次函数k x y +-=2的图象不经过的象限是（ ）. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：A ．考题2:（2013泸州）如图、已知双曲线()0ky k x=<经过直角三角形△OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ，若点A 的坐标为（—6，4），则△AOC 的面积为 A 、12 B 、9 C 、6 D 、4考题3:(2013年南京)在同一直线坐标系中，若正比例函数y =k 1x 的图像与反比例函数y = k 2x 的图像没有公共点，则(A) k 1+k 2<0 (B) k 1+k 2>0 (C) k 1k 2<0 (D) k 1k 2>0 答案：C考题4:（2013•衢州）若函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随自变量x的增大而增大，则m 的取值范围是（ ） A ． m ＜﹣2 B ． m ＜0 C ． m ＞﹣2 D ． m ＞0答案：A ．考题5:（2013•滨州）若点A （1，y 1）、B （2，y 2）都在反比例函数的图象上，则y 1、y 2的大小关系为（ ） A ． y 1＜y 2 B ． y 1≤y 2 C ． y 1＞y 2 D ． y 1≥y 2考题6:（2013•宁夏）函数（a ≠0）与y=a （x ﹣1）（a ≠0）在同一坐标系中的大致图象是（ ） A ．B ．C ．D ．答案：C ．考题5:（2013•六盘水）下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D考题6:（2013•毕节地区）一次函数y=kx+b （k ≠0）与反比例函数的图象在同一直角坐标系下的大致图象如图所示，则k 、b 的取值范围是（ ）A ． k ＞0，b ＞0B ． k ＜0，b ＞0C ． k ＜0，b ＜0D ． k ＞0，b ＜0答案：C考题7:（2013•莱芜）M（1，a）是一次函数y=3x+2与反比例函数图象的公共点，若将一次函数y=3x+2的图象向下平移4个单位，则它与反比例函数图象的交点坐标为（﹣1，﹣5），（）．考题8:已知一个函数的图象与y=6x的图象关于y轴成轴对称，则该函数的解析式为y=﹣6x．考题9:（2013•自贡）如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、P n、P n+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、P n、P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、S n，则S1=4，S n=．（用含n的代数式表示）考题10:（2013•眉山）如图，在函数y1=（x＜0）和y2=（x＞0）的图象上，分别有A、B两点，若AB∥x轴，交y轴于点C，且OA⊥OB，S△AOC=，S△BOC=，则线段AB的长度=．考题11:（2013•雅安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）答案：解答：解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，∵C的坐标为（﹣2，0），A的坐标为（n，6），∴AD=6，CD=n+2，∵tan∠ACO=2，∴==2，解得：n=1，故A（1，6），∴m=1×6=6，∴反比例函数表达式为：y=，又∵点A、C在直线y=kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的表达式为：y=2x+4；（2）由得：=2x+4，解得：x=1或x=﹣3，∵A（1，6），∴B（﹣3，﹣2）；（3）分两种情况：①当AE⊥x轴时，即点E与点D重合，此时E1（1，0）；②当EA⊥AC时，此时△ADE∽△CDA，则=，DE==12，又∵D的坐标为（1，0），∴E2（13，0）．考题12:（2013•嘉兴）如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△ABC的面积？解答：解：（1）将A（1，2）代入一次函数解析式得：k+1=2，即k=1，∴一次函数解析式为y=x+1；将A（1，2）代入反比例解析式得：m=2，∴反比例解析式为y=；（2）设一次函数与x轴交于D点，令y=0，求出x=﹣1，即OD=1，∴A（1，2），∴AE=2，OE=1，∵N（3，0），∴到B横坐标为3，将x=3代入一次函数得：y=4，将x=3代入反比例解析式得：y=，∴B（3，4），即ON=3，BN=4，C（3，），即CN=，则S△ABC=S△BDN﹣S△ADE﹣S梯形AECN=×4×4﹣×2×2﹣×（+2）×2=．考题13:（2013•湖州压轴题）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．（1）若OA=10，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF 上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）过点A作AH⊥OB于H，∵sin∠AOB=，OA=10，∴AH=8，OH=6，∴A点坐标为（6，8），根据题意得：8=，可得：k=48，∴反比例函数解析式：y=（x＞0）；（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，∵sin∠AOB=，∴AH=a，OH=a，∴S△AOH=•aa=a2，∵S△AOF=12，∴S平行四边形AOBC=24，∵F为BC的中点，∴S△OBF=6，∵BF=a，∠FBM=∠AOB，∴FM=a，BM=a，∴S△BMF=BM•FM=a•a=a2，∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2，∵点A，F都在y=的图象上，∴S△AOH=k，∴a2=6+a2，∴a=，∴OA=， ∴AH=，OH=2，∵S 平行四边形AOBC =OB •AH=24， ∴OB=AC=3， ∴C （5， ）；（3）存在三种情况：当∠APO=90°时，在OA 的两侧各有一点P ，分别为：P 1（，），P 2（﹣，）， 当∠PAO=90°时，P 3（， ）， 当∠POA=90°时，P 4（﹣，）．『四』课堂练习： ▼（一）基础类型：1. 1下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+=x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2x y =-⑥13y x=；其中是y 关于x 的反比例函数的有：__④__⑥_____________。
最新反比例函数知识点归纳(重点)
中考复习反比例函数基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．图像越远离坐标轴越小，图象的弯曲度越大．图像越靠近坐标轴（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第______象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x，3）．①求x的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．。
新人教版初中数学——反比例函数-知识点归纳及典型题解析
新人教版初中数学——反比例函数知识点归纳及典型题解析一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念一般地，函数kyx=（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx-=的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）中x，y的取值范围反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．表达式kyx=（k是常数，k≠0）k k>0 k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x 的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+； （3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-． 五、反比例函数与一次函数的综合 1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如，如下图，当12y y >时，x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理，当12y y <时，x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．六、反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．考向一反比例函数的定义1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为1．典例1 下列函数中，y与x之间是反比例函数关系的是A．xy2B．3x+2y=0C．y=kxD．y=21x【答案】A【解析】A、xy=2属于反比例函数，故此选项正确；B、3x+2y=0是一次函数，故此选项错误；C、y=kx（k≠0），不属于反比例函数，故此选项错误；D 、y =21x +，是y 与x +1成反比例，故此选项错误． 故选A ．1．下列函数：①2x y =；②2y x =；③12y x=-；④12y x -=中，是反比例函数的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个考向二 反比例函数的图象和性质当k >0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增大而增大．双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．典例2 在同一平面直角坐标系中，函数y =﹣x +k 与y =kx（k 为常数，且k ≠0）的图象大致是 A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵函数y =﹣x +k 与y =kx（k 为常数，且k ≠0），∴当k >0时，y =﹣x +k 经过第一、二、四象限，y =k x 经过第一、三象限，故选项D 错误，当k <0时，y =﹣x +k 经过第二、三、四象限，y =kx经过第二、四象限，故选项C 正确，选项A 、B 错误，故选C ． 典例3 反比例函数3y x=-的图象在 A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限D ．第二、四象限【答案】D【解析】因为30k =-<，故图象在第二、四象限，故选D ． 典例4 已知点A （1，m ），B （2，n ）在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，则 A ．0m n << B ．0n m << C ．0m n >>D ．0n m >>【答案】A【解析】∵反比例函数(0)k y k x =<，它的图象经过A （1，m ），B （2，n ）两点，∴m =k <0，n =2k<0，∴0m n <<，故选A ．2．对于函数4y x=，下列说法错误的是 A ．这个函数的图象位于第一、第三象限B ．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C ．当x >0时，y 随x 的增大而增大D ．当x <0时，y 随x 的增大而减小3．下列函数中，当x <0时，y 随x 的增大而减小的是 A ．y =x B ．y =2x –1 C ．y =3x D ．y =–1x4．如图是三个反比例函数y =1k x ，y =2kx ，y =3k x在x 轴上方的图象，由此观察得到k 1，k 2，k 3的大小关系为A ．k 1>k 2>k 3B ．k 3>k 2>k 1C ．k 2>k 3>k 1D ．k 3>k 1>k 2考向三 反比例函数解析式的确定1．反比例函数的解析式ky x=（k ≠0）中，只有一个待定系数k ，确定了k 值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x ，y 的对应值或图象上一个点的坐标，代入k y x=中即可．2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在图象上，若乘积不等于k ，则点不在图象上．典例5 若反比例函数的图象经过点()32，-，则该反比例函数的表达式为 A ．6y x = B ．6y x =-C ．3y x=D ．3y x=-【答案】B【解析】设反比例函数为：ky x=．∵反比例函数的图象经过点（3，-2），∴k =3×（-2）=-6．故反比例函数为：6y x=-，故选B ． 典例6 如图，某反比例函数的图象过点M （-2，1），则此反比例函数表达式为A．y=2xB．y=-2xC．y=12xD．y=-12x【答案】B【解析】设反比例函数表达式为y=kx，把M（2-，1）代入y=kx得，k=（-2）×1=-2，∴2yx=-，故选B．典例7 如图，C1是反比例函数y=kx在第一象限内的图象，且过点A（2，1），C2与C1关于x轴对称，那么图象C2对应的函数的表达式为__________（x>0）．【答案】y=–2 x【解析】∵C2与C1关于x轴对称，∴点A关于x轴的对称点A′在C2上，∵点A（2，1），∴A′坐标（2，–1），∴C2对应的函数的表达式为y=–2x，故答案为y=–2x．5．已知反比例函数y=-6x，下列各点中，在其图象上的有A．（-2，-3）B．（2，3）C．（2，-3）D．（1，6）6．点A为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，则x轴的距离为3，若点A在第二象限内，则这个函数的解析式为A．y=12xB．y=-12xC．y=112xD．y=-112x7．在平面直角坐标系中，点P（2，a）在反比例函数y=2x的图象上，把点P向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点Q，则经过点Q的反比例函数的表达式为__________．考向四反比例函数中k的几何意义三角形的面积与k的关系（1）因为反比例函数kyx中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为12|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．典例8 如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣2，0）．将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD，若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过A、D两点，则k值为__________．163【解析】如图，过点D作DE⊥x轴于点E，∵点B 的坐标为（﹣2，0），∴AB =﹣2k ，∴OC =﹣2k ， 由旋转性质知OD =OC =﹣2k，∠COD =60°，∴∠DOE =30°， ∴DE =12OD =﹣14k ，OE =OD ·cos30°=32×（﹣2k ）=﹣34k ， 即D （﹣34k ，﹣14k ），∵反比例函数y =kx（k ≠0）的图象经过D 点， ∴k =（﹣34k ）（﹣14k ）=316k 2，解得：k =0（舍）或k =﹣1633，故答案为：﹣1633． 典例9 如图，已知双曲线ky x经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ，若 △OBC 的面积为9，则k =__________．【答案】6【解析】如图，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，∵△ODE的面积和△OAC的面积相等．∴△OBC的面积和四边形DEAB的面积相等且为9．设点D的横坐标为x，纵坐标就为kx，∵D为OB的中点．∴EA=x，AB=2kx，∴四边形DEAB的面积可表示为：12（kx+2kx）x=9；k=6．故答案为：6．【名师点睛】过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段，垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，结合函数图象所在的象限可以确定k的值，反过来，根据k的值，可以确定此矩形的面积．在解决反比例函数与几何图形综合题时，常常需要考虑是否能用到k的几何意义，以简化运算．8．如图，A、B两点在双曲线4yx=的图象上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知1S=阴影，则12S S+=A．8 B．6 C．5 D．49．如图，点A，B是反比例函数y=kx（x>0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA、BC，已知点C（2，0），BD=3，S△BCD=3，则S△AOC为A．2 B．3 C．4 D．610．如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=kx（x>0）的图象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是A．一直不变B．先增大后减小C．先减小后增大D．先增大后不变考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．典例10 在同一平面直角坐标系中，函数1yx=-与函数y=x的图象交点个数是A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】∵y=x的图象是过原点经过一、三象限，1yx=-的图象在第二、四象限内，但不过原点，∴两个函数图象不可能相交，故选A．典例11 已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=kx在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1<y2时，x的取值范围是A．x<-1或0<x<3 B．-1<x<0或x>3 C．-1<x<0 D．x>3【答案】B【解析】根据图象知，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=kx的交点是（-1，3），（3，-1），∴当y1<y2时，-1<x<0或x>3，故选B．【名师点睛】本题主要考查函数图象的交点，把不等式转化为函数图象的高低是解题的关键，注意数形结合思想的应用．典例12 如图，已知直线y=–13x+10与双曲线y=kx（x>0）交于A、B两点，连接OA，若OA⊥AB，则k的值为A．910B．2710C 910D2710【答案】B【解析】如图，过A 作AE ⊥OD 于E ，∵直线解析式为y =–13x +10，∴C （0，10），D （310，0）， ∴OC =10，OD =310，∴Rt △COD 中，CD =22 O C OD +=10， ∵OA ⊥AB ，∴12CO ×DO =12CD ×AO ， ∴AO =3，∴AD =22OD OA -=9， ∵12OD ×AE =12AO ×AD ，∴AE =91010， ∴Rt △AOE 中，OE =22AO AE -=229103()10-=31010，∴A （31010，91010）， ∴代入双曲线y =k x ，可得k =31010×91010=2710，故选B ．11．已知反比例函数y =kx（k ≠0），当x >0时，y 随x 的增大而增大，那么一次函数y =kx -k 的图象经过 A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限12．如图，已知A （–4，n ），B （2，–4）是一次函数y =kx +b 和反比例函数y =mx的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积．考向六反比例函数的应用用反比例函数解决实际问题的步骤（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；（5）解：用函数解析式去解决实际问题．典例13 某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用了40min，之后将对泄漏有害气体进行清理，线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（0≤x≤40），反比例函数y=kx对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（40≤x≤？）．根据图象解答下列问题：（1）危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是__________；（2）求反比例函数y =__________的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x 的值．【解析】（1）当0≤x ≤40时，设y 与x 之间的函数关系式为y =ax +b ， （10，35）和（30，65）在y =ax +b 的图象上， 把（10，35）和（30，65）代入y =ax +b ，得10353065a b a b +=+=⎧⎨⎩，得 1.520a b ==⎧⎨⎩， ∴y =1.5x +20，当x =0时，y =1.5×0+20=20， 故答案为：20；（2）将x =40代入y =1.5x +20，得y =80，∴点E （40，80）， ∵点E 在反比例函数y =kx的图象上， ∴80=40k，得k =3200， 即反比例函数y =3200x ，当y =20时，20=3200x，得x =160，即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x 的值是160．13．如图为某种材料温度y （℃）随时间x （min ）变化的函数图象．已知该材料初始温度为15℃，温度上升阶段y 与时间x 成一次函数关系，且在第5分钟温度达到最大值60℃后开始下降；温度下降阶段，温度y 与时间x 成反比例关系．（1）分别求该材料温度上升和下降阶段，y 与x 间的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度高于30℃时，可以进行产品加工，问可加工多长时间？1．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是 A ．x (y –1)=1B ．15y x =- 1C 3y x=． 21D y x=．2．已知反比例函数y =8k x-的图象位于第一、三象限，则k 的取值范围是 A ．k >8 B ．k ≥8 C ．k ≤8D ．k <83．如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1=1k x（x >0）及y 2=2k x （x >0）的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为2，则k 1-k 2的值为A ．2B ．3C ．4D ．-44．若点A （–5，y 1），B （–3，y 2），C （2，y 3）在反比例函数3y x=的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 A ．y 1<y 3<y 2 B ．y 2<y 1<y 3 C ．y 3<y 2<y 1D ．y 1<y 2<y 35．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y 1=kx +b （k 、b 是常数，且k ≠0）与反比例函数y 2=cx（c 是常数，且c ≠0）的图象相交于A （-3，-2），B （2，3）两点，则不等式y 1>y 2的解集是A ．-3<x <2B ．x <-3或x >2C ．-3<x <0或x >2D ．0<x <26．一次函数y =ax +b 与反比例函数a by x-=，其中ab <0，a 、b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是 A ． B ．C．D．7．反比例函数y=ax(a>0，a为常数)和y=2x在第一象限内的图象如图所示，点M在y=ax的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=2x的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=2x的图象于点B．当点M在y=ax的图象上运动时，以下结论：①S△ODB=S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B 是MD的中点．其中正确结论的个数是A．0个B．1个C．2个D．3个8．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，点B坐标为（6，4），反比例函数y=6x的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连接DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE处，点B'恰好落在正比例函数y=kx图象上，则k的值是A．-25B．-121C．-15D．-1249．已知(),3A m、()2,B n-在同一个反比例函数图像上，则mn=__________．10．如图，直线分别与反比例函数2yx=-和3yx=的图象交于点A和点B，与y轴交于点P，且P为线段AB的中点，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴交于点D，则四边形ABCD的面积是__________．11．如图，正方形ABCD的边长为2，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=kx（x<0）的图象经过点B和CD边中点E，则k的值为__________．12．如图，点A，B在反比例函数kyx=（k>0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是__________．13．如图，已知反比例函数kyx=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，-k+4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．14．如图，已知A （-4，n ），B （2，-4）是一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数my x=的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； （3）求方程0x xk b m+-<的解集（请直接写出答案）．15．一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x （分钟）的变化规律如图所示（其中AB 、BC 为线段，CD 为双曲线的一部分）． （1）分别求出线段AB 和双曲线CD 的函数关系式；（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？1．已知点A （1，–3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y=kx的图象上，则实数k的值为A．3 B．1 3C．–3 D．–1 32．若点（–1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y=kx（k<0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是A．y1>y2>y3B．y3>y2>y1 C．y1>y3>y2D．y2>y3>y13．在同一平面直角坐标系中，函数y=﹣x+k与y=kx（k为常数，且k≠0）的图象大致是A．B．C．D．4．如图，函数y=1(0)1(0)xxxx⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩的图象所在坐标系的原点是A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q5．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数y =1x上，顶点B 在反比例函数y =5x上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC 的面积是A ．32B ．52C ．4D ．66．在平面直角坐标系xOy 中，点A （a ，b ）（a >0，b >0）在双曲线y =1k x上，点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线y =2k x，则k 1+k 2的值为__________． 7．如图，在平面直角坐标中，点O 为坐标原点，菱形ABCD 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点A 坐标为（–4，0），点D 的坐标为（–1，4），反比例函数y =k x（x >0）的图象恰好经过点C ，则k 的值为__________．8．如图，菱形ABCD 顶点A 在函数y =3x （x >0）的图象上，函数y =kx（k >3，x >0）的图象关于直线AC 对称，且经过点B 、D 两点，若AB =2，∠BAD =30°，则k =__________．9．已知y 是x 的反比例函数，并且当x =2时，y =6． （1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x =4时，求y 的值．10．如图，一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y =2k x的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（–1，4），点B 的坐标为（4，n ）． （1）根据图象，直接写出满足k 1x +b >2k x的x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且S △AOP ∶S △BOP =1∶2，求点P 的坐标．1．【答案】C【解析】①不是正比例函数，②③④是反比例函数，故选C ． 2．【答案】C【解析】根据反比例函数的图象与性质，可由题意知k =4>0，其图象在一三象限，且在每个象限内y 随x 增大而减小，它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故选C ． 3．【答案】C【解析】A 、为一次函数，k 的值大于0，y 随x 的增大而增大，不符合题意； B 、为一次函数，k 的值大于0，y 随x 的增大而增大，不符合题意； C 、为反比例函数，k 的值大于0，x <0时，y 随x 的增大而减小，符合题意；变式拓展D、为反比例函数，k的值小于0，x<0时，y随x的增大而增大，不符合题意；故选C．4．【答案】B【解析】由图知，y y y k1<0，k2>0，k3>0，又当x=1时，有k2<k3，∴k3>k2>k1，故选B．5．【答案】C【解析】∵反比例函数y=-6x中，k=-6，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为-6的点在函数图象上，四个选项中只有C选项符合，故选C．6．【答案】B【解析】设A点坐标为（x，y）．∵A点到x轴的距离为3，∴|y|=3，y=±3．∵A点到原点的距离为5，∴x2＋y2=52，解得x=±4，∵点A在第二象限，∴x=-4，y=3，∴点A的坐标为（-4，3），设反比例函数的解析式为y=kx，∴k=-4×3=-12，∴反比例函数的解析式为y=12x，故选B．7．【答案】y=15 x【解析】∵点P（2，a）在反比例函数y=2x的图象上，∴代入得：a=22=1，即P点的坐标为（2，1），∵把点P向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点Q，∴Q的坐标是（5，3），设经过点Q的反比例函数的解析式是y=cx，把Q点的坐标代入得：c=15，即y=15x，故答案为：y=15x．8．【答案】B【解析】∵点A、B是双曲线y=4x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S1+S2=4+4-1×2=6，故选B．9．【答案】D【解析】在Rt △BCD 中， ∵12×CD ×BD =3，∴12×CD ×3=3，∴CD =2， ∵C （2，0），∴OC =2，∴OD =4，∴B （4，3）， ∵点B 是反比例函数y =kx（x >0）图象上的点，∴k =12， ∵AC ⊥x 轴，∴S △AOC =2k=6，故选D ． 10．【答案】A【解析】如图，作CD ⊥AB 交AB 于点D ，则S △ACD =2k，∵AC =BC ，∴AD =BD ，∴S △ACD =S △BCD ， ∴S △ABC =2S △ACD =2×2k =k ，∴△ABC 的面积不变，故选A ．11．【答案】B【解析】∵当x >0时，y 随x 的增大而增大，∴反比例函数ky x=（k ≠0）的图象在二、四象限，∴k <0，∴一次函数y =kx -k 的图象经过第一、二、四象限，故选B ． 12．【解析】（1）∵B （2，–4）在y =mx图象上， ∴m =–8．∴反比例函数的解析式为y =–8x． ∵点A （–4，n ）在y =–8x图象上， ∴n =2，∴A （–4，2）．∵一次函数y =kx +b 图象经过A （–4，2），B （2，–4），∴4224k b k b -+=+=-⎧⎨⎩，解得12k b =-=-⎧⎨⎩．∴一次函数的解析式为y =–x –2；（2）如图，令一次函数y =–x –2的图象与y 轴交于C 点，当x=0时，y=–2，∴点C（0，–2）．∴OC=2，∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=12×2×4+12×2×2=6．13．【解析】（1）当0≤x<5时，为一次函数，设一次函数表达式为y=kx+b，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以15560bk b=+=⎧⎨⎩，解得：159bk==⎧⎨⎩，所以y=9x+15，当x≥15时，为反比例函数，设函数关系式为：y=mx，由于图象过点（5，60），所以m=300．则y=300x；（2）当0≤x<5时，y=9x+15=30，得x=53，因为y随x的增大而增大，所以x>53，当x≥5时，y=300x=30，得x=10，因为y随x的增大而减小，所以x<10，10–53=253．答：可加工253min．1．【答案】C考点冲关【解析】由反比例函数的定义知，13y x=是y 关于x 的反比例函数，其余的不是y 关于x 的反比例函数.故选C ． 2．【答案】A【解析】∵反比例函数y =8k x-的图象位于第一、三象限，∴k –8>0，解得k >8，故选A ． 3．【答案】C【解析】根据反比例函数k 的几何意义可知：△AOP 的面积为12k ，△BOP 的面积为22k， ∴△AOB 的面积为12k −22k ， ∴12k −22k =2，∴k 1–k 2=4，故选C ． 4．【答案】B【解析】∵点（–5，y 1）、（–3，y 2）、（2，y 3）都在反比例函数y =3x上， ∴y 1=–35，y 2=–1，y 3=32． ∵–35<–1<32，∴y 2<y 1<y 3，故选B ．5．【答案】C【解析】∵一次函数y 1=kx +b （k 、b 是常数，且k ≠0）与反比例函数y 2=cx（c 是常数，且c ≠0）的图象相交于A （-3，-2），B （2，3）两点， ∴不等式y 1>y 2的解集是-3<x <0或x >2， 故选C ． 6．【答案】C【解析】A ．由一次函数图象过一、三象限，得a >0，交y 轴负半轴，则b <0，满足ab <0， ∴a −b >0，∴反比例函数y =a bx-的图象过一、三象限，所以此选项不正确； B ．由一次函数图象过二、四象限，得a <0，交y 轴正半轴，则b >0，满足ab <0， ∴a −b <0，∴反比例函数y =a bx-的图象过二、四象限，所以此选项不正确； C ．由一次函数图象过一、三象限，得a >0，交y 轴负半轴，则b <0，满足ab <0， ∴a −b >0，∴反比例函数y =a bx-的图象过一、三象限，所以此选项正确； D ．由一次函数图象过二、四象限，得a <0，交y 轴负半轴，则b <0，满足ab >0，与已知相矛盾，所以此选项不正确，故选C ． 7．【答案】D【解析】根据反比例函数的图象与系数k 的意义，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1y 1=x 2y 2=2可知S △ODB =S △OCA =1，故①正确；同样可知四边形OCMD 的面积为a ，因此四边形OAMB 的面积为a –2，故不会发生变化，故②正确；当点A 是MC 的中点时，y 2=2y 1，代入x 1y 2=a 中，得2x 1y 1=a ，a =4，由题得1242x x =，整理得x 1=2x 2，因此B 为MD 的中点，故③正确，故选D ． 8．【答案】B【解析】∵矩形OABC ，∴CB ∥x 轴，AB ∥y 轴，∵点B 坐标为（6，4），∴D 的横坐标为6，E 的纵坐标为4，∵D ，E 在反比例函数y =6x 的图象上，∴D （6，1），E （32，4），∴BE =6-32=92，BD =4-1=3，∴ED =22BE BD +=3213，连接BB ′，交ED 于F ，过B ′作B ′G ⊥BC 于G ，∵B ，B ′关于ED 对称，∴BF =B ′F ，BB ′⊥ED ，∴BF •ED =BE •BD ，即3213BF =3×92，∴BF =913，∴BB ′=1813，设EG =x ，则BG =92-x ，∵BB ′2-BG 2=B ′G 2=EB ′2-GE 2，∴（1813）2-（92-x ）2=（92）2-x 2，∴x =4526，∴EG =4526，∴CG =4213，∴B ′G =5413，∴B ′（4213，-213），∴k =-121，故选B ．9．【答案】23-【解析】设反比例函数解析式为()0ky k x=≠，将(),3A m 、()2,B n -分别代入，得 3k m =，2k n =-，∴2332k m k n ==--， 故答案为：23-． 10．【答案】5【解析】如图，过点A 作AF y ⊥轴，垂足于点F ；过点B 作BE y ⊥轴，垂足为点E ．∵点P 是AB 中点，∴PA PB =．易得△APF ≌△BPE ， ∴APFBPESS=,∴ABCDACOFEODBSSS=+23=-+5=，故答案为5．11．【答案】-4【解析】∵正方形ABCD 的边长为2，∴AB =AD =2，设B （2k ，2），∵E 是CD 边中点，∴E （2k-2，1），∴2k-2=k ，解得k =-4，故答案为：-4． 12．【答案】372【解析】如图，过点B 作直线AC 的垂线交直线AC 于点F ，∵△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，E 是AB 的中点， ∴S △ABC =2S △BCE ，S △ABD =2S △ADE ，∴S △ABC =2S △ABD ，且△ABC 和△ABD 的高均为BF ， ∴AC =2BD ，∴OD =2O C ． ∵CD =k ， ∴点A 的坐标为（3k ，3），点B 的坐标为（–23k ，–32）， ∴AC =3，BD =32， ∴AB =2AC =6，AF =AC +BD =92， ∴CD =k2==13．【解析】（1）∵已知反比例函数ky x=经过点A （1，-k +4）， ∴41kk -+=，即-k +4=k ， ∴k =2，∴A （1，2）．∵一次函数y =x +b 的图象经过点A （1，2）， ∴2=1+b ，∴b =1，∴反比例函数的表达式为2y x=， 一次函数的表达式为y =x +1．（2）由12y x y x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，消去y ，得x 2+x -2=0， 即（x +2）（x -1）=0， ∴x =-2或x =1． ∴y =-1或y =2． ∴21x y ⎧=-⎨=-⎩或12x y ⎧=⎨=⎩．∵点B 在第三象限， ∴点B 的坐标为（-2，-1），由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x 的取值范围是x <-2或0<x <1．14．【解析】（1）∵B （2，-4）在y =mx上， ∴m =-8．∴反比例函数的解析式为y =-8x． ∵点A （-4，n ）在y =-8x上， ∴n =2． ∴A （-4，2）．∵y =kx +b 经过A （-4，2），B （2，-4），∴4224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解之得12k b =-⎧⎨=-⎩．∴一次函数的解析式为y =-x -2． （2）∵C 是直线AB 与x 轴的交点， ∴当y =0时，x =-2． ∴点C （-2，0）．∴OC =2． ∴S △AOB =S △ACO +S △BCO =12×2×2+12×2×4=6． （3）不等式0mkx b x+-<的解集为：-4<x <0或x >2． 15．【解析】（1）设线段AB 所在的直线的解析式为y 1=k 1x +30，把B （10，50）代入得，k 1=2， ∴AB 解析式为：y 1=2x +30（0≤x ≤10）． 设C 、D 所在双曲线的解析式为22k y x=， 把C （44，50）代入得，k 2=2200， ∴曲线CD 的解析式为：y 2=2200x（x ≥44）； （2）将y =40代入y 1=2x +30得：2x +30=40，解得：x =5，将y=40代入y2=2200x得：x=55．55-5=50．所以完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟．1．【答案】A【解析】点A（1，–3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），把A'（1，3）代入y=kx得k=1×3=3．故选A．2．【答案】C【解析】∵k<0，∴在每个象限内，y随x值的增大而增大，∴当x=–1时，y1>0，∵2<3，∴y2<y3<y1，故选C．3．【答案】C【解析】∵函数y=﹣x+k与y=kx（k为常数，且k≠0），∴当k>0时，y=﹣x+k经过第一、二、四象限，y=kx经过第一、三象限，故选项D错误，当k<0时，y=﹣x+k经过第二、三、四象限，y=kx经过第二、四象限，故选项C正确，选项A、B错误，故选C．4．【答案】A【解析】由已知可知函数y=1(0)1(0)xxxx⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩关于y轴对称，所以点M是原点，故选A．5．【答案】C【解析】如图，过点B作BD⊥x轴于D，延长BA交y轴于E，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC，OA=BC，∴BE⊥y轴，∴OE=BD，∴Rt△AOE≌Rt△CBD（HL），直通中考。
初三数学《反比例函数》知识点归纳
图象特征
二次函数图象为抛物线，反比例 函数图象为双曲线。两者在坐标
系中有明显的区别。
性质
二次函数具有对称性、单调性和 最值等性质；反比例函数具有中 心对称性、单调性和无界性等性
质。
典型例题解析
• 例题1：已知二次函数y=ax^2+bx+c和反比例函数y=k/x，其中a、b、c、k均为常数，且a≠0，k≠0。若两函 数图象有交点，求交点的坐标。
反比例函数的解析式一般可以写成 $y=k/x$（$k neq 0$）的形式。
图象特征与性质
图象
反比例函数的图象是以 原点为对称中心的两条 曲线，这两条曲线与坐 标轴没有交点。
对称性
反比例函数的图象既是 轴对称图形，又是中心 对称图形；它有两条对 称轴$y=x$和$y=-x$， 对称中心是坐标原点。
解析
根据复合函数的定义，将内层函 数$g(x)$代入外层函数$f(x)$中， 得到复合函数的解析式为
典型例题解析
例题2
已知函数$f(x)=sin x$和函数 $g(x)=cos x$，求复合函数 $y=f[g(x)]$的解析式并画出其图象 。
解析
根据复合函数的定义，将内层函数 $g(x)$代入外层函数$f(x)$中，得到复 合函数的解析式为
复合函数表达式
一般地，如果函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成函数$y=f[g(x)]$，就称$y=f[g(x)]$为复合函数。
复合函数图象变换规律
平移变换
若函数图象沿向量$vec{a}=(h,k)$平移，则函数表达式变 为$y=f(x-h)+k$。
对称变换
若函数图象关于直线$x=a$对称，则函数表达式变为 $y=f(2a-x)$；若关于点$(a,b)$对称，则函数表达式变为 $y=2b-f(2a-x)$。
反比例函数讲义(知识点+典型例题)
变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值 ．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。
（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。
（3）增减性： 当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。
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新人教版九年级数学下册第26章反比例函数知识点归纳和典型例题（一）知识结构（二）（三）（二）学习目标（四）1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式（k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数．（五）2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点．（六）3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题．（七）4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．（八）5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法．（九）（三）重点难点（十）1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．（十一）2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握．（十二）二、基础知识（十三）（一）反比例函数的概念（十四）1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；（十五）2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（十六）3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（十七）（二）反比例函数的图象（十八）在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（十九）（三）反比例函数及其图象的性质（二十）1．函数解析式：（）（二十一）2．自变量的取值范围：（二十二）3．图象：（二十三）（1）图象的形状：双曲线．（二十四）越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（二十五）（2）图象的位置和性质：（二十六）与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．（二十七）当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；（二十八）当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（二十九）（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．（三十）图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．（三十一）4．k的几何意义（三十二）如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．（三十三）如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．（三十四）（三十五）图1 图2（三十六）5．说明：（三十七）（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（三十八）（2）直线与双曲线的关系：（三十九）当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（四十）（3）反比例函数与一次函数的联系．（四十一）（四）实际问题与反比例函数（四十二）1．求函数解析式的方法：（四十三）（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．（四十四）2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（四十五）（五）充分利用数形结合的思想解决问题．（四十六）三、例题分析（四十七）1☆．反比例函数的概念（四十八）（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．（四十九）A．y=3x B．C．3xy=1 D．（五十）（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．（五十一）A．B．C．D．（五十二）答案：（1）C；（2）A．（五十三）2．图象和性质（五十四）（1）已知函数是反比例函数，（五十五）①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．（五十六）②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（五十七）（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（五十八）（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（五十九）（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，（六十）则直线不经过的象限是（）．（六十一）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（六十二）（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，（六十三）则一次函数y=kx+m的图象经过（）．（六十四）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限（六十五）C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（六十六）（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．（六十七）（六十八）A．B．C．D．（六十九）答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．（七十）3．函数的增减性（七十一）（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．（七十二）A．正数B．负数C．非正数D．非负数（七十三）（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．（七十四）A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（七十五）（3）下列四个函数中：①；②；③；④．（七十六）y随x的增大而减小的函数有（）．（七十七）A．0个B．1个C．2个D．3个（七十八）（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．（七十九）答案：（1）A；（2）D；（3）B．（八十）注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．（八十一）4．解析式的确定（八十二）（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．（八十三）A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（八十四）（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（八十五）（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（八十六）（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．（八十七）①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（八十八）（八十九）（5）☆为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：（九十）①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．（九十一）②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；（九十二）③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？（九十三）答案：（1）B；（2）4，8，（，）；（九十四）（3）依题意，且，解得．（九十五）（4）①依题意，解得（九十六）②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．（九十七）（5）①，，；（九十八）②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．（九十九）5．面积计算（一○○）（1）☆如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．（一○一）A．B．C．D．（一○二）（一○三）第（1）题图第（2）题图（一○四）（2）☆如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（）．（一○五）A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2（一○六）（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m 的值．（一○七）（一○八）第（3）题图第（4）题图（一○九）（4）☆已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（一一○）（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．（一一一）（一一二）第（5）题图第（6）题图（一一三）（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．（一一四）①求这两个函数的解析式；（一一五）②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（一一六）（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O 为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．（一一七）①求B点坐标和k的值；（一一八）②当时，求点P的坐标；（一一九）③写出S关于m的函数关系式．（一二○）答案：（1）D；（2）C；（3）6；（一二一）（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（一二二）（5）1．（一二三）（6）①双曲线为，直线为；（一二四）②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），（一二五）因此面积为4．（一二六）（7）①B（3，3），；（一二七）②时，E（6，0），；（一二八）③．（一二九）6．综合应用（一三○）（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．（一三一）A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反（一三二）（一三三）（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．（一三四）①求反比例函数和一次函数的解析式；（一三五）②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（一三六）（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．（一三七）①求点A、B、D的坐标；（一三八）②求一次函数和反比例函数的解析式．（一三九）（4）☆如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD （O是坐标原点）．（一四○）①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；（一四一）②双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（一四二）（5）不解方程，判断下列方程解的个数．（一四三）①；②．（一四四）答案：（一四五）（1）D．（一四六）（2）①反比例函数为，一次函数为；（一四七）②范围是或．（一四八）（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；（一四九）②一次函数为，反比例函数为．（一五○）（4）①反比例函数为，；（一五一）②存在（2，2）．（一五二）（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；（一五三）②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．。