1交通网络分析

第三节 无向赋权图优化－最小树问题
三、最小树问题 求最小树方法： 破圈法
“找圈去大边，无圈为止”。即在图中作找一 圈，去掉其中权最大的一条边，在余下的图中， 重复这个步骤，直到无圈为止。 避圈法 “避圈加小边，连通为止”。即先选择图中权 最小的边，以后每步从未选的边中，选一条权 最小的边，使与已选的边不构成圈，直到图中 所有的点都连通（即不存在孤立点）为止。
v3 3 2 v4 5 3 v2 2 v3
取圈{v2,v3,v5,v2},去 掉边[v2,v5]
2
v5
v5
图2
图3
第三节 无向赋权图优化－最小树问题
取圈{v1,v2,v3,v5,v6,v1}，去掉[v6,v5]。这时图 中已经无圈了，于是得到如图5所示的最小树。 该图即为管道总长为最短的铺设方案，管道总 长为10个单位。
N1
Dual ( G ) ( Node ' , Link , Weight ' )
N 12 ’’
对 偶 链 L 13 ’
Node ' Arc
N2
N 23 ’
N3
3
4
1
2
5
6
原网络 对偶图

对偶链的起点是原网络中的起始弧段。 7 8 对偶链的终点是原网络中的备选弧段 对偶网络中的起始节点和备选节点的组合表示交叉口的转向行为。
什么叫赋权图？
通常我们记图为G＝(V，E) 其中 V代表点的集合，V={vi} E代表边的集合，E=(ei) 对G中每一条边[vi,vj],相应的有权重W(a)=wij， 则连同边上的权称为赋权图。
第一节 图论基本概念
2. 简单图、连通图、树 什么是简单图？ 若一个图中某条边的两个端点重合，称为环； 两点之间多于一条边时，称为多重边。 简单图是指没有环，也没有多重边的图。
6、路网模型示意图
路权数据层 逻辑网络层 几何网络层 电子地图背景图层 路网模型
7、交叉口表示——对偶图法
在实际路网中，交叉口是路线选择的决策点，
交叉口转向限制常常改变最优路线的结果。据 调查交叉口转向所引起的时间延误达到全部行 程时间的17%~35%。 因此，丰富的路口转向限制信息是进行路网描 述的关键问题之一。 对偶网络法是一种新的能够表达转向限制的路 网表达方法
第三节 无向赋权图优化－最小树问题
例1：某城市有六个居民点，道路交通图G如图
所示，现要沿道路铺设煤气管道，将六个居民 点连成网，已知每条道路长度，求使管道长度 最短的铺设方案。
1 v2 2 3 2 v3 3
v1
2
4
2 v4 5 v5
v6
第三节 无向赋权图优化－最小树问题
解：由于煤气管道只能沿着道路布设，并要求
1
503
1
4
1
2
501
2
4
1
3 4 5
502 501 503
3 4 4
4 3 1
1 3 3 7:00-22:00 7:00-22:00
6
502
4
2
3
7:00-22:00
7
501
4
5
1
8
503
4
6
1
9
10 11 12
502
502 503 501
4
5 6 7
7
4 4 4
1
3 3 3 7:00-22:00 7:00-22:00 7:00-22:00
1.树的充要条件 图G是树的充要条件为：任意两顶点间有且仅 有一条链。 推论１：在树中去掉一条边，则树成为不连通 图。由此可知，在点集相同的所有图中，树是 含边数最小的连通图。 推论２：在树中任何两个顶点问添上一条边， 恰好得到一个圈。进一步说，如果再从这个圈 上任意去掉一条边，可以得到一个树。
第三节 无向赋权图优化－最小树问题
能到所有的居民点，帮表示煤气管道的图必为 道路图的部分图。为了使管道总长最短，图中 不应有圈，帮原问题是求G的最小树，即最小 树问题。如图1，任取一圈{v1,v2,v6,v1},去掉 最大边[v2,v6] v2
1 v1 2 v6 4
图1
第三节 无向赋权图优化－最小树问题
取圈{v3,v4,v5,v3},去 掉边[v5,v4]
交通网络分析
陈艳艳
教授
基本内容
图论基本概念 路网基本概念 最小树
最短路
最大流 网络配流
网络优化
第一节 图论基本概念
图形是一种描述和解决问题直观、有效的手段，
如公路网系统、城市公交系统、通信系统等。
图论是研究图和网络模型特点、性质和方法的
理论。
第一节 图论基本概念
图f
第一节 图论基本概念
3.子图、支撑树
子图： 设有两图G1、G2，G1=(V1,E1)， G2=(V2,E2)， 如果V2∈V1， E2∈E1，则称G2是G1的子图. 支撑树： 如果图G=(V,E)的支撑子图T=(V’,E’)是树，则 称T为G的一个支撑树。 图d是图c的支撑树。
第二节 路网基本概念
1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0
第二节 路网基本概念
5、路网赋权 V=link flow （路段流量） h=path flow （路径流量） g=path costs （路径阻抗） c=link costs （路段阻抗） 路段、路口、路网可靠性
利用对偶网络法构造对偶网络的算法易于实现，
只需稍加转化，就可以将原网络中的转向限制 和节点权重转移到对偶链上，从而得到不带有 节点权重的对偶网络。 在对偶网络中利用一般的路线优化算法求得的 最优路线易于“翻译”回原网络中。
8、交通管制的表示
2 5
1
4
7 :0 0 -2 2 :0 0 单 行
1 v1 2 v6 2 v5 v2 2 v3 1 2 v1 2 v6 v5 v2 2 v3 3 2 v4
图4
图5
习题
2.最小树的充要条件
若T*是图G的一棵树，则当且仅当对T*外的每 条边[vi,vj]有
w ij max{ w ij 1 , w j 1 j 2 , w jkj }
时，它是最小树，其中 { w ij 1 , w j 1 j 2 , w jkj } 是树T*内连接点vi和点vj的唯一的链。也就是 说，如果将最小树T*外任意一条边[vi,vj]加入T* 内，得到了唯一的一个圈，那么[vi,vj]是这个圈 上权最大的边。
第三节 无向赋权图优化－最小树问题
设有一连通图G=(V,E)，对于每一条边e=[vi,vj]，
有一权wij≥0,最小支撑树（简称最小树）就是 图G的支撑树T*,并使得：
W ( T *)
取得最小值
[ vi , vj ] T *

w ij
第三节 无向赋权图优化－最小树问题
二、基本性质和定理
是否要求表示出交叉点处的每一次运动？
研究结果与研究对象、分区的选择有关
第二节 路网基本概念
第二节 路网基本概念
第二节 路网基本概念
第二节 路网基本概念
3、路网类型 线形路网（例如公路线、铁路线）没有路线选 择 方格路网（例如城市道路系统）具有多种路线 选择 具有超路径（hyperpaths）的公交网络 具有特定运输模式的多种运输模式网络
原网络与对偶网络对应关系
1A 1B
链起点
1A
链终点
1B
链路权
ZT A
T d turn
T d d irect
T d rig h t
Z
3B 4A
Z
2B
2A
Z 3A Z A A
2B 2A
Z 4B Z A A
A Z
3A
A Z
3B
A Z
4A
A Z
4B
T d left
Z
Z
A Z
A Z
对偶图法的优点
1. 道路网络构成 路段(link) 节点(node) 路网(network) 路径(route) 树(tree) 小区质心(zone centroid) 小区连杆(centroid connector)
第二节 路网基本概念
2、路网分解及表达 是否要求表示每一条街道、交叉点？
Ｂ Ａ
F
Ｃ Ｅ
图c为简单图 图c
Ｄ
源自文库
第一节 图论基本概念
若图中存在某种点与边的连续交替序列，则称 这个点边序列为一条链。如图d所示
图d
第一节 图论基本概念
连通图
若两点之间至少存在一条链，称为连通图，否 则称为不连通图。如图e所示为一不连通图
图e
第一节 图论基本概念
树
一个无圈的连通图称为树，如图f所示。
一、基本概念 １．图、赋权图
B
Ａ D C Ｅ
F
图a所示公路交通网 络，连线表示公路， 节点表示城镇。由 于不考虑长度、曲 直、坡度、海拔等， 所以可用图b表示 图a
图a
第一节 图论基本概念
一、基本概念 １．图、赋权图
Ａ Ｂ
图b为抽象图，既 可以表示公路系
Ｃ
Ｄ
Ｅ
统又可以表示道 路系统。
Ｆ
图b
第一节 图论基本概念
第二节 路网基本概念
4、路段～节点相关矩阵
该矩阵用来表示路段与节点间的关系 若路网结构中节点j为路段i的上游流入节点，则矩阵元素值为1 若路网结构中节点j为路段i的下游流出节点，则矩阵元素值为-1 否则矩阵元素值为0 每一行包含两个非零元素，其和为0
第二节 路网基本概念
1 0 1 0 0 0
6 1
表示虚拟节点编号 表 示 路 段 7 :0 0 -2 2 :0 0 单 行
3
7
表 示 7 :0 0 -2 2 :0 0 禁 止 转 向
交通管制信息的表示方法
标识码 TurnID 转向编码 SubType 起始节点 F_node 终止节点 T_node 是否联通 Impedance 禁行时段 ForbidTime
对偶网络法的基本思想实质上是将基于节点的网络
转化为基于弧段的网络，并建立网络平面拓扑转向 表来存储相邻两对偶网络虚拟节点间的转向信息及 转向权重。从而将转向限制问题中的转向节点的三 元组关系转化为转向弧段的二元组关系，可以直接 利用一般的路线优化算法进行求解。
对偶图的形成
G ( Node , Arc , Weight )