2020届重庆市江津中学、实验中学等七校高三下学期6月联考(三诊)数学(理)试题解析

答案：
设切线长最小时直线上对应的点为 ，则 ，利用点到直线的距离公式计算 的值并构建关于 的方程，解方程后可得 的值，从而得到所求的斜率.
解：
设切线长最小时直线上对应的点为 ，则 ，
又 ，因为切线长的最小值为 ，
故 ，解得 ，故直线 的斜率为 .
故答案为： .
点评：
本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，此类问题一般转化为圆心到几何对象的距离问题，本题属于基础题.
三、解答题
17．在 中，角 的对边分别为 ，且满足 ．
(Ⅰ)求角 ；
(Ⅱ)若 ， 的面积为 ，求 的周长．
答案：（1） （2）
(1)本题首先可以通过正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形内角和将 转化为 ，即可得出角 的值；
(2)首先可通过余弦定理求出 的值，再通过解三角形面积公式即可求出 的值，最后求出周长．
（2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有 种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有 种情况，此时有 种安排方案；
（3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有 种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有 种情况，此时有 种安排方案；
由加法计数原理可知共有 种方案，
故选：B
点评：
空气质量指数
300以上
空气质量等级一级（优） Nhomakorabea二级
（良）
三级
（轻度污染）
四级
（中度污染）
五级
（重度污染）
六级
（严重污染）
（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数；
（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）.
解：
因为 的通项为 ，
所以展开式的常数项为 。
点评：
本题考查的是二项式定理的相关性质，主要考查二项式的通项的相关性质，考查对二项式的通项的灵活使用，考查计算能力与推理能力，是简单题。
15．已知圆C的方程为 ，过直线l： （ ）上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为 ，则直线l的斜率为______.
A． B． C． D．
答案：C
设圆锥底面半径为 ,根据圆锥的底面周长 求得 ,再代入体积公式得 ,再对照 求解即可.
解：
设圆锥底面半径为 ,则 ,所以 .
故选：C.
点评：
本题主要考查了圆锥底面周长与体积等的计算.属于基础题.
8．函数 在 上的大致图象是（）
A． B．
C． D．
答案：D
先确定函数奇偶性，舍去B，再取特殊值舍去A,C，即得结果.
①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X，求X的分布列和数学期望；
②以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.
2020届重庆市江津中学、实验中学等七校高三下学期6月联考（三诊）数学（理）试题
一、单选题
1．设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
答案：A
分别求出集合 和 ，再求并集即可.
解：
解不等式 得 ，即 ；
由 得 ，即 ；
所以 .
故选A
点评：
本题主要考查集合的并集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型.
综上： .
故选：D
点评：
本题主要考查了根据分段函数的恒成立求解参数的问题,需要根据二次函数的最值以及求导分析函数的最值进行求解.属于难题.
12．函数 ，若 最大值为 ，最小值为 ，则（）
A． ，使 B． ，使
C． ，使 D． ，使
答案：D
通过对 进行化简整理，可以得到 与 的解析式，依次排除掉 选项，可得结果.
解：
由题意可得图像如下图所示： 为双曲线的左焦点
为圆的直径
根据双曲线、圆的对称性可知：四边形 为矩形
又 ，可得：
本题正确选项：
点评：
本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于 的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.
10．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（）
2．设 ，则在复平面内z对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：A
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 的坐标得答案．
解：
解： ，
在复平面内 对应的点的坐标为 ，位于第一象限．
故选：A．
点评：
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
解：
（1）当 时, ，
∴ 的对称轴为 ,开口向上
①当 时, 在 递减, 递增
∴当 时, 有最小值,即 ,∴
②当 时, 在 上递减
∴当 时, 有最小值,即
∴ 显然成立,此时 ，
∴当 时, .
（2）当 时, ,∴
①当 时, 在 上递增
∴ ,∴ ,∴此时 .
②当 时, 在 递减, 递增
∴ ,∴ ,∴此时
∴当 时, .
解：
，
选项： ，所以 错误；
选项：
，所以 错误；
选项： ，所以 错误；
选项：
设
可知： ，所以 正确.
本题正确选项：
点评：
本题考查三角恒等变换以及与三角函数有关的值域问题，关键在于通过整理能够得到与 有关的函数解析式，从而利用 的范围，求解函数的值域.
二、填空题
13．已知向量 （1，1）， ，且 ∥ ，则 的值等于__________.
16．已知数列 中， ， ，设 ，若对任意的正整数 ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______．
答案：
∵ ， （ ， ），当 时， ， ，…， ，并项相加，得： ，
∴ ，又∵当 时， 也满足上式，
∴数列 的通项公式为 ，∴
，令 （ ），
则 ，∵当 时， 恒成立，∴ 在 上是增函数，
故当 时， ，即当 时， ，对任意的正整数 ，
解：
解:（1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在 的天数为2天，所以估计空气质量指数在 的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天.
答案：-2
计算 ，由向量共线的坐标运算可者 ．
解：
由题意 ，因为 ∥ ，所以 ，解得 ．
故答案为： ．
点评：
本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题．
14． 展开式的常数项是__________．
答案：-8
本题首先可以找出 的通项，然后根据 中的每一项的 的系数并将 中的每一项与 相乘即可找出展开式中的常数项。
【考点】程序框图．
7．《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长 与高 ，计算其体积 的近似公式 .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 .那么近似公式 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（）
当 时，不等式 恒成立，则须使 ，即 对 恒成立，即 的最小值，可得 ，∴实数 的取值范围为 ，故答案为 .
点睛：本题考查数列的通项及前 项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题通过并项相加可知当 时 ，进而可得数列 的通项公式 ，裂项、并项相加可知 ，通过求导可知 是增函数，进而问题转化为 ，由恒成立思想，即可得结论.
故选：A.
点评：
本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.
6．如图，给出的是 的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
试题分析：由题意得，执行上式的循环结构，第一次循环： ；第二次循环： ；第三次循环： ； ，第 次循环： ，此时终止循环，输出结果，所以判断框中，添加 ，故选B．
答案：（1）28天；（2）①分布列见解析， ；② .
（1）利用频率分布直方图求出轻度污染的天数，然后说明空气质量等级为优或良的天数；
（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，求出概率，得到分布列，然后求期望；
②甲不适宜进行户外体育运动的概率为 ，乙不宜进行户外体育运动的概率为 ，然后求解概率即可.
解：
证明：（1）如图，取 的中点 ，连接 、 .
∵ 是 的中点，∴ ， ，
又 ， ，所以 ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）在平面 内过点 作 的垂线 ，由题意知 ， ， 两两垂直，以
为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空
间直角坐标系，由题意知 ， ， ，
D．若 ， ，则
答案：A
由线线、线面平行及面面垂直的判定定理，逐项判定，即可求解.
解：
对于A中，设 ，且 ，又由 ，所以 ，
由面面垂直的判定定理，即可证得 ；
对于B中，若 ， ，则 或 ，所以不正确；
对于C中，若 ，则平面 与平面 可能是相交的，所以不正确；
对于D中，若 ， ，则 与 可能是平行的，所以不正确.
解：
（1）因为 ，
所以 ，
即
由 ，得 ，