机械振动原理

解为：
q = A sin(ω nt + α )
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设 t = 0 时， q = q0 , q &= q & 0 则可求得：
2 q & 0 2 ωn
A=
或：
2 q0
+
, α = arctg
ω n q0
q & 0
q = C1 cosω n t + C 2 sinω n t
C1，C2由初始条件决定为
& C1 = q0 , C 2 = q 0 /ω n
& x = e − nt [ x0 + ( x 0 + nx 0 )t ]
& & (t = 0时 , x = x0 , x =x 0 )
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衰减振动的特点： (1) 振动周期变大， 频率减小。
∴ q = q0 cos ω nt +
ωn
q & 0
sin ω nt
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三、自由振动的特点： A——物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。
ωn t + α ——相位，决定振体在某瞬时 t 的位置 α ——初相位，决定振体运动的起始位置。
T ——周期，每振动一次所经历的时间。T = 2π
ωn
f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。
R = −cv
Rx = −cx &
c —— 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。
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二、有阻尼自由振动微分方程及其解： 质量—弹簧系统存在粘性阻尼：
2 令 ωn =
m& x = − kx − cx & &
c k , n= 2m m
2 & & 则 & x + 2 nx +ω n x =0
有阻尼自由振动微分方程的标准形式。
动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势 能点）。 当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达 到最大值。 如：
2 U max = 1 k[( A + δ st ) 2 − δ st ] − mgA 2 1 ∴ U max = kA2 kδ st = mg 2
1 & 2 1 2 Tmax = mx = mA2ω n 2 2
ω n —— 固有频率，振体在2π秒内振动的次数。
反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有 参数有关。
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无阻尼自由振动的特点是： (1) 振动规律为简谐振动； (2) 振幅A和初相位α 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)； (3)周期T 和固有频率 ω n 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。 四、其它 1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力 只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动 频率、振幅和相位等。
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其通解分三种情况讨论： 1、小阻尼情形
( n < ω n ) c < 2 mk
− nt
x = Ae
sin( ω d t + α )
—有阻尼自由振动的圆频率
2 ωd = ωn − n2
& & 设 t = 0 时, x = x0 , x =x 0 , 则
2 2 2 x n − ω & + ( x nx ) 2 + 0 2 02 A= x 0 ; α = tg −1 0 n & x ωn −n 0 + nx 0
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二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
aq + cq = 0 & &
2 ω a, c是与系统的物理参数有关的常数。令 n = c/a
则自由振动的微分方程的标准形式：
2 q + ω & & nq = 0
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2. 弹簧并联系 统和弹簧串联系 统的等效刚度
并 联
串 联
F1 F2 δ st = = , mg = F1 + F2 k1 k 2 ∴ mg = ( k1 + k 2 )δ st ∴ k eq = k1 + k 2 mg , δ st = k1 + k 2
δ st =δ st1 +δ st 2
= mg mg 1 1 + = mg ( + ) k1 k 2 k1 k 2 mg 1 1 = mg ( + ) k eq k1 k 2 k1k 2 k1 + k 2
置附近的振动称为无阻尼自由振动。
2 2 质量—弹簧系统： m& x = − kx , & x + ωn x = 0 (ω n = k / m) & &
单摆： 复摆：
ml 2ϕ = − mglϕ & &
2 2 , ϕ + ωn ϕ = 0 (ω n = g / l) & &
2 2 Iϕ = − mgaϕ , ϕ + ωn ϕ = 0 (ω n = mga / I ) & & & &
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由 Tmax = U max 1 mA2ω 2 = 1 kA2 n 2 2
ωn =
k m
能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振 动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。
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§3 单自由度系统的有阻尼自由振动
一、阻尼的概念： 阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。 粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘性 引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘 性阻尼。 投影式：
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(2) 振幅按几何级数衰减 相邻两次振幅之比 对数减缩率
Ai = −n ( ti +Td ) = e nTd Ai +1 Ae
Ae − nti
Ai δ = ln = lne nTd = nTd Ai +1 2πζ δ= ≈ 2πζ 2 1−ζ
2、临界阻尼情形 (n = ω n , ζ = 1 ) 临界阻尼系数 cc = 2 mk
第一部分 机械振动基础 §1 §2 §3 §4 §5 §6 振动定义 振动的分类 简谐振动参量 单自由度系统无阻尼自由振动 求系统固有频率的方法 临界转速 · 减振与隔振的概念
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§1 单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的概念：
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运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力。 物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位
δ st =
并联
∴ k eq =
Baidu Nhomakorabea
串联
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§2 求系统固有频率的方法
1. 由系统的振动微分方程的标准形式
2 q + ωn q=0 & &
2. 静变形法：
ωn =
3. 能量法：
δ st
g
δ st ：集中质量在全部重力
作用下的静变形
由Tmax=Umax , 求出 ω n
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无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。 当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统