(全国I卷)2020届高三数学五省优创名校联考试题 理

2018～2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考

数学（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U＝R，集合M＝{x|3x2－13x－10＜0}和N＝{x|x＝2k，k∈Z}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有

A．1个

B．2个

C．3个

D．无穷个

2．34i34i 12i12i +-

-= -+

A．－4

B．4

C．－4i

D．4i

3．如图1为某省2018年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是

A．2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件

B．2018年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高

C．从两图来看，2018年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D．从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长

4．设x，y满足约束条件

60

3

30

x y

x

x y

-+

⎧

⎪

⎨

⎪+-

⎩

≥

≤

≥

，则

1

1

x y

z

x

++

=

+

的取值范围是

A．（－∞，－8]∪[1，＋∞）

B．（－∞，－10]∪[－1，＋∞）

C．[－8，1]

D．[－10，－1]

5．某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为

A．

4 64

3

π

-

B．64－4π

C．64－6π

D．64－8π

6．有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是

A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜9

7．在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：

22

22

1

x y

a b

+=（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F

作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为

A

2

B．1 2

C．1 3

D．1 4

8．已知f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）＝f（x）－x，且当x∈（－∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（2x－1）－f（x＋2）≥x－3的解集为

A．（3，＋∞）

B．[3，＋∞）

C．（－∞，3]

D．（－∞，3）

9．函数f（x）＝ln|x|＋x2－x的图象大致为

A．

B．

C．

D．

10．用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪

个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为

A ．

532 B ．516

C ．1132

D ．1116

11．已知函数f （x ）＝3sin （ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），()03f π

-=，对任意x ∈R 恒有()|()|3

f x f π≤，且在区间（

15π，5

π

）上有且只有一个x 1使f （x 1）＝3，则ω的最大值为 A ．

574 B ．1114

C ．1054

D ．1174

12．设函数f （x ）在定义域（0，＋∞）上是单调函数，且(0,)x ∀∈+∞，f[f （x ）－e x

＋x]＝e ．若不等式f （x ）＋f′（x ）≥ax 对x ∈（0，＋∞）恒成立，则a 的取值范围是 A ．（－∞，e －2] B ．（－∞，e －1] C ．（－∞，2e －3] D ．（－∞，2e －1]

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题．将答案填在答题卡中的横线上． 13．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则

|2|

________|3|

+=-a b a b ．

14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的高为6，AB ＝4，点D 为棱BB 1的中点，则四棱锥C —A 1ABD 的表面积是________． 15．在（x 2

－2x －3）4

的展开式中，含x 6

的项的系数是________．

16．已知双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），圆M ：222()4

b x a y -+=．若双曲线C 的一条渐近线与圆M

相切，则当2222

4

149

a a a

b -+取得最大值时，C 的实轴长为________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题．

17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且S n ＝na n ＋1－n 2

－n ． （1）求{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足22

121

(1)

n n n b n a ++=

-，求{b n }的前n 项和T n ． 18．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知22

()23sin a c b ab C +=+．

（1）求B 的大小；

（2）若b ＝8，a ＞c ，且△ABC 的面积为33，求a ．

19．如图所示，在四棱锥S —ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，其中AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，

AD ＝AS ＝2，AB ＝1，CD ＝3，且CE CS λ=u u u r u u u r

．

（1）若2

3λ=

，证明：BE ⊥CD ； （2）若1

3

λ=，求直线BE 与平面SBD 所成角的正弦值．

20．在直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆Q ：（x －2）2

＋y 2

＝1外切，且圆P 与直线x ＝－1相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C ．

（1）求曲线C 的轨迹方程；

（2）设过定点S （－2，0）的动直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试问：在曲线C 上是否存在点M （与A ，B 两点相异），当直线MA ，MB 的斜率存在时，直线MA ，MB 的斜率之和为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存