RLS自适应滤波

RLS 自适应滤波

一、RLS 自适应算法

最小二乘(LS)法是一种典型的有效的数据处理方法，既可用于静态系统，又可用于动态系统：既可用于线性系统，又可用于非线性系统；既可用于离线估计，又可用于在线估计。递归最小二乘(Recursive Least Square ，RLS)是最小乘法的一种快速算法，它包含时间递归最小二乘(TRLS)算法和阶数递归最小二乘(ORES)算法两方面内容，一般前者适用于动态系统辨识和在线估计，后者适用于静态系统辨识和离线估计。与LMS 算法相比，RLS 算法有着非常快的收敛速度。 在快速收敛算法的推导中，我们采用最小二乘法。因此，将直接处理接收数据，使二次性能指数最小，而以前是使平方误差的期望值最小。这意味着，用时间平均而不是统计平均来表示性能指数。 基于时间平均的最小平方误差被定义如下：

()2

1)(i e n J i

n n

i -=∑=λ

（1）

式中，λ是接近1,但是小于1的加权因子，称作遗忘因子。其中估计误差定义为

()()())(i x n w i d i e H

-= n i ≤≤0 （2）

且

()()()()[]T

N i x i x i x i x 1,,1,+--= （3）

式中，x(i)是i 时刻的输入数据向量，w(n)是n 时刻的新的抽头增益向量。因而e(i)是用n 时刻的抽头增益向量测试i 时刻的旧数据所得的误差，J(n)是在所有旧数据上用新抽头增益所得的累计平方误差。

要完成RLS 算法就要找到均衡器的抽头增益向量w(n)，使得累计平方误差J(n)最小。为了测试新的抽头增益向量，会用到那些先前的数据。而因子λ会在计算时更依赖于新近的数据，也就是说，J(n)会丢掉非稳定环境中的较旧的数据。如果信道是稳定的，那么λ可以设为1。

为了获得J(n)的最小值，可使J(n)的梯度为0,即()

()0=??

n J n w ，通过运算可知：

()()()n r n w n R =∧

（4） 式中，()n w ∧

是RLS 均衡其的最佳抽头增益向量。

()()()i x i x n R T n

i i n *1∑=-=λ （5）

()()()i x n d n r n

i i n *1

∑=-=λ （6）

式(5)中的方阵R(n)是输入数据向量x(i)的确定相关矩阵，式(6)中向量r(n)是输入向量x(i)和期望输出d(n)之间的确定互相关矩阵。要用式(4)计算均衡器的抽头增益向量∧w ，就需要计算

()n R 1

-。 从式(5)中R(n)的定义可知，我们可以得到关于R(n-1)的递归公式。

()()()()n x n x n R n R T +-=1λ （7）

由于式(7)中的三项都是N×N 的方阵，我们可以使用方程倒数的引理得到()n R

1

-递归公式：

()()()()()()()??

?

???+----=----n n R n x n x n R n R n R T μλλ11111111

（8） 式中

()()()()n x n R n x n T 11

-=-μ （9）

根据上述递归公式，可知：

()()()()1,*1-+-=n n e n g n w n w （10） 式中

()()()()n n x n R n g μλ+=-1 （11）

综上所推导可以得出RLS 直接算法，其步骤如下： 步骤一 初始化：

()()()δδ,0,0001I R g w ===- 是一个正常数 步骤二 更新：n=1,2…

()()()n x n w n y T

1-= ()()()n y n d n e -=

()()()()()()n x n R n x n x n R n g T 111

1-+-=--λ ()()()()()[]111

11

1

---=

---n R n x n g n R n R T λ

()()()()n e n g n w n w *1+-=

RLS直接算法流程图如下图1。

图1 RLS算法流程图

二、MATLAB实验仿真

实验仿真为从噪声中提取信号，程序如下：

clear all;

clc;

N=1000;

n=0:N-1;

a=0.5; %遗忘因子

t=n/N;

d=(sin(12*pi*t))'; %参考信号

xn=(0.8*randn(1,length(t)))'; %随机噪声信号

x=d+xn; %加噪声输入信号

N=10;

M=length(x);

w=(zeros(1,N))';

p=0.1*eye(N,N);

y=(zeros(1,M))';

e=(zeros(1,M))';

%RLS自适应滤波算法for n=N:M

u=x(n:-1:n-N+1);

e(n)=d(n)-w'*u;

k=(p*u)/(a+u'*p*u);

p=(1/a)*(p-k*u'*p);

w=w+k*conj(e(n));

y(n)=w'*u;

end

%作图

figure(1)

subplot(2,1,1);

plot(xn),grid;

xlabel('Samples'); ylabel('Amplitude');

title('xn noise signial'); subplot(2,1,2);

plot(d,'r'),grid;

xlabel('Samples'); ylabel('Amplitude');

title('d reference signial');

figure(2)

subplot(3,1,1);

plot(x),grid;

xlabel('Samples'); ylabel('Amplitude');

title('x input signial'); subplot(3,1,2);

plot(y);

xlabel('Samples'); ylabel('Amplitude'); grid;

title('output signial'); subplot(3,1,3);

plot(e,'r');

xlabel('Samples'); ylabel('Amplitude'); grid;

title('error signial');

仿真结果如下，由结果可知，λ是一个可以改变均衡器性能的抽头系数。如果信道是非时变的，那么λ可以设为1。而通常的λ取值为0.8<λ<1。λ值对收敛速率没有影响，但是它影响着RLS 算法的跟踪能力。λ值越小，均衡器的跟踪能力更强。但是，如果λ值太小，均衡器将会不稳定。

100

200

300

400

500600700

800

900

1000

-4-202

4Samples

A m p l i t u d e xn noise signial

100

200

300

400

500600700

800

900

1000

-1-0.500.5

1Samples

A m p l i t u d e

d referenc

e signial

图2 随机噪声信号和参考信号

100

200

300

400

500600700

800

900

1000

-50

5Samples A m p l i t u d e

x input signial

100

200

300

400

500600700

800

900

1000

-20

2Samples A m p l i t u d e

output signial

100

200

300

400

500600700

800

900

1000

-50

5Samples

A m p l i t u d e

error signial

图3 加噪声输入信号、输出信号和误差信号