流体力学 -伯努利方程

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1 2
m
2 2

m gh2

1 ( 2
m12

m gh1 )=p1S11t

p2 S22t
1 2
V
2 2

Vgh2

(1 2
V12

Vgh1 )=p1V

p2V
p1

1 2
12

gh1=p2

1 2
22

gh2
二. 对于同一流管的任意截面,伯努利方程:
p 1 2 gh 恒量
水流抽气机、喷雾器就是根据空吸 作用的原理(速度大、压强小)设 计的。
应用实例2.汾丘里流量计
汾丘里管:特制的玻璃管,两端较粗,中间较细,在较粗和较细 的部位连通着两个竖直细管。
汾丘里管水平接在液体管道中可以测定液体的流量;
p 1 v2 恒量 S 恒量
2
2 S1
伯努利方程:理想流体在重力场中作稳定流动时,能量守
衡定律在流动液体中的表现形式。
一. 伯努利方程的推导:
稳定流动的理想流体中,忽略流体的粘滞性,任意细流管中的 液体满足能量守恒和功能原理!
设:流体密度,细流管中分析一段流体a1 a2 : a1处:S1,1,h1, p1 a2处:S2,2,h2, p2 经过微小时间t后,流体a1 a2 移到了b1 b2, 从 整体效果看,相当于将流体 a1 b1 移到了a2 b2, 设a1 b1段流体的质量为m,则:
环,土壤中水分的运动,农田排灌、昆虫迁 飞;
§1.3.1 理想流体的稳定流动
一.基本概念
1.流体的粘滞性:
实际流体在流动时.其内部有相对运动的相邻两部分之间存在类似 两固体相对运动时存在的摩擦阻力(内摩擦力),流体的这种性质称 为粘滞性。
2.流体的可压缩性:
实际流体在外界压力作用下、其体积会发生变化,即具有可压缩 性;
垂直于流速方向上有相距y的 两个流层,速度差为 ;
速度变化的快慢程度:

y
y
其物理意义是:垂直于流速方
向上相距单位距离的两个流层的
速度的变化率。
➢垂直于流速方向的流速梯度(或速度梯度):
d
dy
牛顿粘滞定律:流体内部相邻两流层间的内
摩擦力f与两流层的接触面积S,以及两流层处的 速度梯度成正比;
S11t S22t
S11 S22
2. 理想流体的连续性方程(连续性原理、流量方程):
S 恒量
体积流量:表示单位时间内流过任意截面S的流体体积,
称为体积流量,简称流量,用QV表示,单位为m3/s.
流体在同一细流管中作稳定流动时,通过任一截面S的体 积流量保持不变。
推广,对于不可压缩的实际流体,任意流管、真实导流管、 流体管道都满足连续性原理。
E1=
1 2
m12

m
gh1
E2=
1 2
m
2 2

m
gh2
机械能的增量: E=E2-E1
功能原理: 系统受到非保守力做功,系统机械能的增量 等于非保守力对系统作的功;
外界对系统作的功?
受力分析=端面压力+侧壁压力
W=p1S11t p2 S22t
V=S11t=S22t
是掌握流体整体运动规律的基础;
四.连续性原理
1. 推导过程:
假设: ①.取一个截面积很小的细流管,垂直于流管的同一截面上的
各点流速相同; ②.流体由左向右流动 ; ③.流体具有不可压缩性 ; ④.流体质点不可能穿入或者穿出流管 ; ⑤.在一个较短的时间t内,流进流管的流体质量等于流出流
管的流体质量(质量守恒),即:
几种常见液体的粘滞系数:P8
♂ 接触面积相同的两层液体间的内摩擦力远小于两个固体间 的摩擦力,因此在机器上广泛使用机油等作为润滑剂.
二. 流体的湍流 雷诺数
层流不是流动的唯一形式;
湍流:流体在管道内流动,当流速超过某一临界值,流
体的层流状态将被破坏,各流层相互混淆,局部有横向流 动,呈现不规则的涡状流动,这种流动状态称为湍流。 在自然现象中,比较普遍的流动状态是湍流,如江河急 流、烟囱排出的废气流、大气的流动等。
层流与湍流的区别:
➢层流:无横向流动; ➢湍流:总体向前流动,但局部有横向流动;
实验表明:由层流变成湍流的条件用雷诺数Re
ห้องสมุดไป่ตู้
来确定:
Re----雷诺数,一个无量纲的纯数
伯努利个人简介:(Daniel Bernouli,1700~1782)瑞士物理学家、数学家、 医学家。他是伯努利这个数学家族(4代10人)中最杰出的代表,16岁时就 在巴塞尔大学攻读哲学与逻辑,后获得哲学硕士学位,17~20岁又学习医 学,并于1721年获医学硕士学位,成为外科名医并担任过解剖学教授。但 在父兄熏陶下最后仍转到数理科学。伯努利成功的领域很广,除流体动力 学这一主要领域外,还有天文测量、引力、行星的不规则轨道、磁学、海 洋、潮汐等等。
粘滞力:
粘滞流体在流动中各层的流速不同,相邻两流层之间有相 对运动,互施摩擦力,快的一层给慢的一层以向前的拉力; 慢的一层则给快的一层以向后的阻力,这种摩擦力称为内 摩擦,又称粘滞力;
粘滞力和哪些因素有关?
流体内相邻两层内摩擦力的大小:
与两流层的接触面积大小有关; 还与两流层间速度变化的快慢有关;
S11 S22
S1

1 2
4

21

3m 2
S2

1 2
2

1 0.5
2

1.5m 2
1

S2 S1
2

0.1m
/
s
§1.3.3 伯努利方程及其应用
伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的,是理想流体作稳定流动时的 基本方程,对于确定流体内部各处的压力和流速有很大的实际意义、在水 利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
一. 牛顿粘滞定律 粘滞系数
: 层流 实际流体在流动时,同一横截面上各点流速并不相同,管中轴
心处流速最大,越接近管壁,流速越小,在管壁处流速为零。这种各层 流体流速有规则逐渐变化的流动形式,称为层流; 每一层为与管同轴的薄圆筒,每一层流速相同,各层之间有相对运动 但不互相混杂,管道中的流体没有横向的流动。 (流速小时呈现的流动形式:河道、圆形管道)

应用实例4. 小孔流速:
敞口的液槽内离开液面h处开一小孔,液体密度为,液面 上方是空气,在液槽侧面小孔处压强为大气压p0, 求小孔 处的液体流速?
注:由于液槽中液面下降很 慢,可以看成是稳定流动, 把液体作为理想流体;
2gh
托里拆利定律:忽略粘滞性,任何液体质点从小孔 中流出的速度与它从h高度处自由落下的速度相等;
f d S
dy
比例系数:流体的粘滞系数或粘度,单位为帕·秒(Pa ·s)
粘滞系数越大,相邻两流层接触表面间的内摩擦力也越大; 用粘滞系数定量地表示流体粘性的大小; 牛顿型流体的粘滞系数除与流体性质有关,还与温度有关。 对于液体.温度愈高,粘滞系数愈小; 气体则相反.温度愈高,粘滞系数愈大。 确定粘滞系数的实际意义:输送流体的管道设计、机械中润 滑油的加入、血液粘稠度诊断学、药学等;
1.3.4. 伯努利方程的应用
•一.水平流管的伯努利方程:
p 1 2 恒量
2
在水平流动的流体中,流速大的地方压强小;流速 小的地方压强大。 在粗细不均匀的水平流管中,根据连续性原理,管 细处流速大,管粗处流速小,因而管细处压强小, 管粗处压强大; 如:水流抽气机、喷雾器、内燃机的汽化器的基本 原理都基于此;
如果同一截面上流速相同,不可压缩的流体在流管中做稳 定流动时流体的流速与流管的截面积S成反比,即截面大 处流速小,狭窄处流速大。
补充例题
有一条灌溉渠道,横截面是梯形,底宽2m,水面宽 4m,水深1m,这条渠道再通过两条分渠道把水引到 田间,分渠道的横截面也是梯形,底宽1m,水面宽 2m , 水 深 0.5m , 如 果 水 在 两 条 渠 道 内 的 流 速 均 为 0.2m/s,求水在总渠道中的流速?
皮托管:由双层圆头玻璃管组
成,内外管分别通过橡皮管与U
形压强计的两管相连、内管的
开口在A,外管的开门(即管壁
上钻的几个小孔)在B。A 正对流
速方向,A、B间忽略高度差;
H
驻点:当流体遇到障碍物受阻时, 在障碍物前会有一点,该点流体 静止不动,故称驻点;
pA

pB

1 2
v 2
v 2 pA pB 2gH
流线上任意点的切线方向就是流体质点流经该点的速度方向 稳定流动时,流线的形状和分布不随时间变化,且流线与流体质点的运
动轨迹重合; 流线的疏密程度可定性地表示流体流速的大小; 流线不相交;
2.流管:流体内部,通过某一个截面的流线围成的管状空间;
流体质点不会任意穿出或进入流管 ;(与实际管道相似) 流体可视为由无数个稳定的流管组成,分析每个流管中流体的运动规律,
点的流动速度是空间位置的函数,又是时间t的函数
2. 定常流动:
流体质点经过空间各点的流速虽 然可以不同,但如果空间每一点 的流速不随时间而改变,这样的 流动方式称为定常流动,也称为 稳定流动
是一种理想化的流动方式。
三.流线、流管
1. 流线:为了形象地描述定常流动的流体
而引入的假想的直线或曲线
补充例题, 水管里的水在压强为p=4×105 Pa的作用下流入房间, 水管的内直径为2.0 cm,管内水的流速为4 m/s。引入 到5 m高处二楼浴室的水管,内直径为1.0 cm,
试求浴室水管内水的流速和压强? (已知水的密度为=103 kg/m3)。
2 16m / s
p2 2.25105 (Pa)
生活中的实例:
1. 在海洋中平行逆向航行的两艘大轮船,相互不能靠 得太近,否则就会有相撞的危险,为什么?
2. 逆流航行的船只行到水流很急的岸边时,会自动地 向岸靠拢;
3. 汽车驶过时,路旁的纸屑常被吸向汽车; 4. 简单的实验:用两张窄长的纸条,相互靠近,用嘴
从两纸条中间吹气,会发现二纸条不是被吹开而是 相互靠拢,就是“速大压小”的道理。 5. 打开的门窗,有风吹过,门窗会自动的闭合,然后 又张开;
应用实例5. 文特里管:可串接到管道中测定流速 的装置;
曲管压强计中盛
水银,当粗管和
S2
细管横截面S1和S2 S1
及水银柱的高度
差h已知时,求粗
管中水的流速。
h
1 S2
2(汞 - )gh
(S12

S
2 2
)
§1.4 粘滞流体的流动
粘滞流体:如植物组织中的水分,人体 及动物体内的血液以及甘油、蓖麻油。
2
•含义:对于理想流体作稳定流动,在同一流管中任一处,
每单位体积流体的动能、势能和该处压强之和是一个恒量。
伯努利方程,是理想流体作稳定流动时的基本方程; 对于实际流体,如果粘滞性很小,如:水、空气、酒精等,可应用伯 努利方程解决实际问题; 对于确定流体内部各处的压力和流速有很大的实际意义、在水利、造 船、航空等部门有着广泛的应用。
6.飞机的机翼的翼型使得飞行中前面的空 气掠过机翼向后时,流经机翼上部的空 气要通过的路程大于流经机翼下部的空 气通过的路程,因此上部空气流速大 于下部空气的流速,上部空气对机翼 向下的压力就会小于下部空气对机翼向 上的压力,从而产生升力 ;
应用实例1. 水流抽气机、喷雾器
空吸作用:当流体流速增大时 压强减小,产生对周围气体或液 体的吸入作用;
2p1 p2
S12 S22
p1 p2 gH
流速:2 S1
2gH S12 S22
,
1

S2
2gH S12 S22
体积流量:QV S22 S1S2
2gH S12 S22
只要读出两个 竖管的高度差, 就可以测量流 速和流量
•二. 流速的测定:
应用实例3. 皮托管:常用的流速测定装置;
3.理想流体模型:
绝对不可压缩、没有粘滞性的流体叫做理想流体; 一般情况下,密度不发生明显变化的气体或者液体、粘滞性小的
流体均可看成理想流体.
二.流体的运动形式:
1. 一般流动形式:
通常流体看做是由大量流体质点所组成的连续介质。 一般情况流体运动时,由于流体各部分可以有相对运动,各部分质
1.3 理想流体的流动
本节重点:
掌握理想流体模型; 理解理想流体、流线、流管等物理概念; 掌握理想流体的稳定流动的连续性原理; 掌握贝努利方程的原理;
一.基本概念: 1. 流体:
具有流动性的液体和气体;
2. 流体动力学:
研究流体的运动规律以及流体与其他物体 之间相互作用的力学;
二.流体动力学的应用: 生物体液和氧分的输送,动物体内血液的循
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