几种常见的曲面和曲线

z
z z1 2 2 x y | y1 |
将z1 = z, y x 2 y 2 代入 1 x 方程F( y1, z1) = 0,
z 轴的柱
面，其准线为xoy 面上曲线C . （其他类推）
实 例
y z 2 1 2 b c x2 y2 2 1 2 a b 2 x 2 pz
2
2
椭圆柱面 母线// x 轴 双曲柱面母线// z 轴 抛物柱面母线// y 轴
例1、柱面的准线方程为
2 2 2 x y z 1 2 2 2 2 x 2 y z 2
Biblioteka Baidu 且有
F1(x1,y1,z1)=0 F(x,y,z)=0
F2(x1,y1,z1)=0
（ 3）
从（2）（3）中消去参数x1,y1,z1得三元方程 这就是以（1）为准线，以A为顶点的锥面方程。
例1、求顶点在原点，准线为
x2 y2 2 2 1 b a z c
的锥面的方程。 答：
x y z 2 2 0 2 a b c
且有
F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0
从（2）（3）中消去x1,y1,z1得 F(x,y,z)=0
(3)
这就是以（1）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的 柱面的方程。
柱面举例
z
z
y 2x
2
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面
x
y x
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x , y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于
又由于M1在母线上，所以又有：
x1 y1 z1 1 2 1 0
即 x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋转曲面的方程： 2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。
三、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面： 已知yoz面上一条曲线C, 方程为f (y, z) = 0, 曲线 C绕 z 轴旋转一周就得一个旋转曲面. 设M1(0, y1`, z1)是C上任意一点, 则有f( y1, z1) = 0 当C绕 z 轴旋转而M1随 之转到M (x, y, z)时, 有
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容 1、柱面 2、锥面 3、旋转曲面 4、椭球面 5、双曲面 6、抛物面
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线. F1 ( x, y, z ) 0 设柱面的准线为 F ( x, y, z ) 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为 x x1 y y1 z z1 (2) X Y Z
而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程。 例2、已知圆柱面的轴为
x y 1 z 1 1 2 2
点（1,-2,1)在此圆柱面上，求这个柱面的方程。
第二节 锥面
一、锥面
1、定义 在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族 直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的 母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。 2、锥面的方程 F1 ( x, y, z ) 0 (1) 设锥面的准线为 F2 ( x, y, z ) 0 顶点为A(x0,y0,z0)，如果M1(x1,y1,z1)为准线上任一点， 则锥面过点M1的母线为： x x0 y y0 z z0 (2) x1 x0 y1 y0 z1 z0
所以过M1的纬圆的方程为：
(3) X ( x x0 ) Y ( y y0 ) Z ( z z0 ) 0 2 2 2 2 2 2 ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) ( x1 x0 ) ( y1 y0 ) ( z1 z0 ) 当点M1跑遍整个母线C时，就得到所有的纬圆， 这些纬圆就生成旋转曲面。 又由于M1在母线上，所以又有： F1 ( x1 , y1 , z1 ) 0 C: (4) F2 ( x1 , y1 , z1 ) 0 从（3）（4）的四个等式中消去参数x1,y1,z1,得到一 个三元方程： F(x,y,z)=0
这就是以C为母线，L为旋转轴的旋转曲面的方程。
例1、求直线 x y z 1
2 1 0
绕直线x=y=z旋转所得旋转曲面的方程。 解：设M1(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴 通过原点，所以过M1的纬圆方程是：
( x x1 ) ( y y1 ) ( z z1 ) 0 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 1 1 1
2
2
2
（二次锥面）
齐次方程：
设λ 为实数，对于函数f(x,y,z)，如果有 f(tx,ty,tz)=tλf(x,y,z) 则称f(x,y,z)为λ 的齐次函数，f(x,y,z)=0称为齐次 方程。 定理 一个关于x,y,z的齐次方程总表示顶点在坐标 原点的锥面。 例如，方程 x2+y2-z2=0 又如，方程 x2+y2+z2=0 圆锥面 原点（虚锥面）
第三节
旋转曲面
一、. 旋转曲面 1、 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一 条直线旋转一周所成的曲面叫做旋 转曲面 , 这条定直线叫旋转曲面的 轴.
曲线C称为放置曲面的母线
C
o
纬线
经线
二、旋转曲面的方程 在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：
F1 ( x, y, z ) 0 C : (1) F2 ( x, y, z ) 0 旋转直线为： x x0 y y0 z z0 L: (2) X Y Z 其中P0(x0,y0,z0)为轴L上一定点，X，Y，Z为旋转轴 L的方向数。 设M1(x1,y1,z1)为母线C上的任意点，则M1的纬圆总 可以看成是过M1且垂直于旋转轴L的平面与以P0为中 心，|P0M1|为半径的球面的交线。