一元二次方程 练习及答案

一．解方程：
1、4x2﹣3x﹣2＝0（用公式法解）
2、x2+2x﹣224＝0（用配方法解）
3、2y2+4y＝y+2
4、x2﹣2x+2＝0．
解：（1）∵a＝4，b＝﹣3，c＝﹣2，∴△＝9+32＝41＞0，∴x1＝，x2＝；
（2）（x+1）2＝225，∴x+1＝±15 ∴x1＝14，x2＝﹣16；
（3）2y2+3y﹣2＝0，∴（2y﹣1）（y+2）＝0，∴2y﹣1＝0，y+2＝0，∴y1＝，y2＝﹣2；
（4）a＝1，b＝﹣2，c＝2，∴△＝20﹣8＝12＞0，
∴x＝＝±，∴x1＝+，x2＝﹣；
二．选择题
1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（）
A．ax2+bx+c＝0B．x2﹣＝1C．2x+3y﹣5＝0D．x2﹣1＝0
故选：D．
2．若关于x的方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）
A．k＝0B．k≥﹣且k≠0C．k≥﹣D．k＞﹣
故选：C．
3．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+b＝0的两个实数根，且x1+x2＝3，x1x2＝1，则a、b的值分别是（）
A．﹣3，1B．3，1C．﹣，﹣1D．﹣，1
解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+b＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2a，x1x2＝b，
又∵x1+x2＝3，x1x2＝1，∴a＝﹣，b＝1．
故选：D．
4．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（）
A．8B．9C．8或9D．12
故选：B．
5．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2018的值是（）
A．2018B．2019C．2020D．2021
6．关于x的一元二次方程ax2+bx＝2（a，b是常数，且a≠0）（）
A．若a＞0，则方程可能有两个相等的实数根B．若a＞0，则方程可能没有实数根
C．若a＜0，则方程可能有两个相等的实数根D．若a＜0，则方程没有实数根
故选：C．
7．已知x1，x2是关于x的元二次方程x2﹣（5m﹣6）x+m2＝0的两个不相等的实根，且满足x1+x2＝m2，则m的值是（）
A．2B．3C．2或3D．﹣2或﹣3
解：∵x1，x2是关于x的元二次方程x2﹣（5m﹣6）x+m2＝0的两个不相等的实根，
∴x1+x2＝5m﹣6，△＝[﹣（5m﹣6）]2﹣4m2＞0，解得m＜或m＞2，
∵x1+x2＝m2，∴5m﹣6＝m2，解得m＝2（舍）或m＝3，
故选：B．
8．已知实数m、n满足x2﹣7x+2＝0，则+的值（）
A．B．C．或2D．或2
解：当m＝n时，+＝1+1＝2；
当m≠n时，∵实数m、n满足x2﹣7x+2＝0，∴m+n＝7，mn＝2，
∴+＝＝＝＝．故选：D．
9．如果ax2＝（3x﹣）2+m，那么a，m的值分别为（）
A．3，0B．9，C．9，D．，9
故选：B．
10．设x1为一元二次方程x2﹣2x＝较小的根，则（）
A．0＜x1＜1B．﹣1＜x1＜0C．﹣2＜x1＜﹣1D．﹣5＜x1＜﹣4
解：x2﹣2x＝，8x2﹣16x﹣5＝0，
x＝＝，
∵x1为一元二次方程x2﹣2x＝较小的根，∴x1＝＝1﹣，
∵5＜＜6，∴﹣1＜x1＜0．
11．以x＝为根对的一元二次方程可能是（）
A．x2﹣3x﹣c＝0B．x2+3x﹣c＝0C．x2﹣3x+c＝0D．x2+3x+c＝0
解：A．x2﹣3x﹣c＝0的根为x＝，符合题意；
B．x2+3x﹣c＝0的根为x＝，不符合题意；
C．x2﹣3x+c＝0的根为x＝，不符合题意；
D．x2+3x+c＝0的根为x＝，不符合题意；
故选：A．
12．已知P＝2m﹣3，Q＝m2﹣1（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P≤Q C．P＜Q D．不能确定
故选：C．
13．关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
解：m2x2﹣8mx+12＝0，△＝（﹣8m）2﹣4m2×12＝16m2，
∴x＝＝，∴x1＝，x2＝，
∵关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，∴＞0，＞0，
∴m＝1或2或3或6，则满足条件的m的值的个数是4个，故选：B．
14．若关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m﹣1和2m+4，则的值为（）A．4B．3C．2D．1
解：由题意可知：ax2＝b有两个根，
由直接开方法可知：m﹣1与2m+4互为相反数，∴m﹣1+2m+4＝0，∴m＝﹣1，
∴m﹣1＝﹣2，2m+4＝2，∴x2＝＝4，故选：A．
15．若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）
A．x2﹣3x+2＝0B．x2+3x﹣2＝0C．x2+3x+2＝0D．x2﹣3x﹣2＝0
故选：A．
16．若方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0与方程2x2﹣（4a+1）x+2a﹣1＝0中至多有一个方程有实数根，则a的
取值范围是（ ）
A ．a ＞
B ．a ＜﹣
C ．﹣≤a ≤
D ．a ＜﹣或a ＞
解：在方程2x 2﹣（4a +1）+2a ﹣1＝0有实数根中，
△＝[﹣（4a +1）]2﹣4×2×（2a ﹣1）＝（4a ﹣1）2+8，
∵（4a ﹣1）2≥0，∴（4a ﹣1）2+8＞0，∴△＞0，
∴无论a 为何值，方程2x 2﹣（4a +1）x +2a ﹣1＝0总有两个不相等的实数根．
又∵方程x 2+（2a ﹣1）x +a 2＝0与方程2x 2﹣（4a +1）x +2a ﹣1＝0中至多有一个方程有实数根， ∴方程x 2+（2a ﹣1）x +a 2＝0没有实数根，∴△＝（2a ﹣1）2﹣4a 2＜0，∴a ＞． 故选：A ．
17．若方程（x ﹣m ）（x ﹣a ）＝0（m ≠0）的根是x 1＝x 2＝m ，则下列结论正确的是（ ）
A ．a ＝m 且a 是该方程的根
B ．a ＝0且a 是该方程的根
C ．a ＝m 但a 不是该方程的根
D ．a ＝0但a 不是该方程的根 故选：A ．
18．已知m ，n 是关于x 的方程x 2+（2b +3）x +b 2＝0的两个实数根，且满足+1＝n
1
，则b 的值为（ ） A ．3 B ．3或﹣1 C ．2 D ．0或2 解：∵m ，n 是关于x 的方程x 2+（2b +3）x +b 2＝0的两个实数根，
∴m +n ＝﹣（2b +3），mn ＝b 2，
∵+1＝，∴+＝﹣1，∴＝﹣1，∴＝﹣1，
解得：b ＝3或﹣1，
当b ＝3时，方程为x 2+9x +9＝0，此方程有解；
当b ＝﹣1时，方程为x 2+x +1＝0，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，此时方程无解，
所以b ＝3，故选：A ．
19．已知m 是方程x 2﹣2019x +1＝0的一个根，则代数式m 2﹣2018m ++2的值是（ ）
A ．2018
B ．2019
C ．2020
D ．2021
解：∵m 是方程x 2﹣2019x +1＝0的一个根，
∴m 2﹣2019m +1＝0，∴m 2＝2019m ﹣1，
∴m 2﹣2018m ++2＝2019m ﹣2018m ﹣1++2＝m ++1＝
+1＝+1＝2020．
故选：C ．
20．某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）
A ．50（1+x ）2＝182
B ．50+50（1+x ）+50（1+x ）2＝182
C．50（1+x）+50（1+x）2＝182D．50+50（1+x）＝182 故选：A．
21．2018年一季度，华为某地销售公司营收入比2017年同期增长22%，2019年第一季度营收入比2018年同期增长30%，设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，则可列方程（）A．2x＝22%+30%B．（1+x）2＝1+22%+30%
C．1+2x＝（1+22%）（1+30%）D．（1+x）2＝（1+22%）（1+30%）
故选：D．
22．化肥厂1月份某种化肥的产量为20万吨，通过技术革新，产量逐月上升，第一季度共生产这种化肥95万吨，求2、3月份平均每月增产的百分率是多少？若设2、3月份平均每月增产的百分率为x，根据题意列方程为（）
A．20（1+x）＝95B．20（1+x）2＝95
C．20（1+x）+20（1+x）2＝95D．20+20（1+x）+20（1+x）2＝95
故选：D．
23．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为x元时宾馆当天的利润为10890元，则有（）
A．（180+x﹣20）（50﹣）＝10890B．x（50﹣）﹣50×20＝10890
C．（x﹣20）（50﹣）＝10890D．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝10890
故选：C．
24．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数平方等于﹣1．若我们规定一个新数i，使其满足i2＝﹣1（即x2＝﹣1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1，那么i+i2+i3+i4+…+i2018+i2019的值为（）
A．0B．﹣1C．i D．1
解：i+i2+i3+i4+…+i2018+i2019＝（i+i2+i3+i4）+…+i2012（i+i2+i3+i4）+…+i4×504+1+i4×504+2+i4×504+3＝（i ﹣1﹣i+1）+…+i2012（i﹣1+i+1）+i﹣1﹣i＝﹣1．
故选：B．
25．若关于x的方程（a+1）x2+（2a﹣3）x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是（）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
解：∵关于x的方程（a+1）x2+（2a﹣3）x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，
∴a+1≠0且△＝（2a﹣3）2﹣4（a+1）×（a﹣2）＞0，解得a＜且a≠﹣1．
把关于x的方程去分母得ax﹣1﹣x＝3，解得x＝，
∵x≠﹣1，∴≠﹣1，解得a≠﹣3，
∵x＝为整数，∴a﹣1＝±1，±2，±4，∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，
而a＜且a≠﹣1且a≠﹣3，∴a的值为0，2，
∴满足条件的所有整数a的和是2．故选：D．
三．解答题
1．已知一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
解：（1）∵一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即16﹣4k＞0，∴k＜4；
（2）当k＝3时，解x2﹣4x+3＝0，得x1＝3，x2＝1，
当x＝3时，m＝﹣; 当x＝1时，m＝0，
∴m的值为﹣或0．
2．关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9＝0有实根．
（1）求a的最大整数值；
（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2﹣的值．
解：（1）根据题意△＝64﹣4×（a﹣6）×9≥0且a﹣6≠0，
解得a≤且a≠6，所以a的最大整数值为7；
（2）①当a＝7时，原方程变形为x2﹣8x+9＝0，
△＝64﹣4×9＝28，∴x＝，∴x1＝4+，x2＝4﹣；
②∵x2﹣8x+9＝0，∴x2﹣8x＝﹣9，
所以原式＝2x2﹣＝2x2﹣16x+＝2（x2﹣8x）+＝2×（﹣9）+＝﹣．
3．已知关于x的方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0的两个不等实数根均为正整数，且m为整数，求m 的值．
解：（1）①当m＝0时，方程为﹣2x+2＝0，x＝1，此一元一次方程有实根，
②当m≠0时，方程为一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0，
∵a＝m，b＝﹣（3m+2），c＝2m+2，
∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（3m+2）]2﹣4m×（2m+2）＝m2+4m+4＝（m+2）2，
∵（m+2）2≥0，∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）根据（1）可得：
x1＝＝＝2+，x2＝＝1，
∵x为整数，m为整数，∴m＝1，﹣1，2，﹣2，∴x1＝4，0，3，1，
∵x1≠x2，且x为正整数，∴m＝1或m＝2．
4．关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；
（2）求证：x1＜0，x2＜0；
（3）若x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝6，求k的值．
【解答】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2+1）＞0，解得：k＜．
（2）证明：∵k＜，∴x1+x2＝2k﹣3＜﹣，x1x2＝k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0；
（3）解：∵x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝6，∴x1x2+（x1+x2）＝6，即k2+1+2k﹣3＝6，
∴（k+4）（k﹣2）＝0，解得：k1＝﹣4，k2＝2（不合题意，舍去），∴k的值为﹣4．
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；（2）若x1﹣x2＝2，求k的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
∴△＝（﹣4）2﹣4（2k﹣1）＞0，解得：k＜．
（2）∵x1、x2是方程x2﹣4x+2k﹣1＝0的解，
∴x1+x2＝4，x1x2＝2k﹣1．
∵x1﹣x2＝2，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝22，
∴42﹣4（2k﹣1）＝22，即16﹣8k＝0，解得：k＝2．
又∵k＜，∴k的值为2．
6．关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得|x1|﹣|x2|＝？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由．
解：（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）＞0，得：4k﹣11＞0，∴；
（2）由一元二次方程的求根公式得：x1＝，x2＝，
∵，∴，∴x1＞0，
又∵x1•x2＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2＞0，∴x2＞0，
当时，有，
即﹣＝＝，
∴4k﹣11＝3，∴，
∴存在实数，使得．。