八年级数学一元二次方程复习(2018-2019)
《一元二次方程》总复习、练习、中学考试真题【题型解析汇报】
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2 =-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b 的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x = - b ± b 2 - 4ac 2－4ac≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形2a式；②确定 a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0 或 b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) 2 =3（x＋4）中，不能随便约去 x＋4。
数学八年级下《一元二次方程》复习测试题(附答案)
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)一元二次方程知识点的总结知识结构梳理：1、概念1) 一元二次方程含有一个未知数。
2) 未知数的最高次数是2.3) 是方程。
4) 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0.2、解法1) 因式分解法，适用于能化为(x+m)(x+n)=0的一元二次方程。
2) 公式法，即把方程变形为ax²+bx+c=0的形式，一元二次方程的解为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3) 完全平方式，其中求根公式是(x±a)²=b，当时，方程有两个不相等的实数根。
4) 配方法，其中求根公式是(x±a)(x±b)=0，当时，方程有两个实数根。
5) 二次函数图像法，当时，方程有没有实数根。
3、应用1) 一元二次方程可用于解某些求值题。
2) 一元二次方程可用于解决实际问题的步骤包括：列方程、化简方程、解方程、检验答案。
知识点归类：考点一：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.考点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
考点三：解一元二次方程的方法一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
解一元二次方程的方法包括因式分解法、公式法、完全平方式、配方法和二次函数图像法。
解一元二次方程有四种常用方法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。
选择哪种方法要根据具体情况而定。
直接开平方法是解形如x²=a的方程的方法，解为x=±√a。
配方法是将方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，然后用因式分解法或直接开平方法解方程。
一元二次方程章节分类总复习 八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义解析版
ab x a b x -21==，第04讲 一元二次方程章节分类总复习一 一元二次方程及其解法 知识点睛：1. 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 判断一元二次方程的特征：是整式方程③次未知数的最高次数是②只含有一个未知数①.2..2. 一元二次方程的解法：解法 适用范围 步骤直接开方法符合)0(2≠=a b ax 型 的一元二次方程1) 两边分别开方，得：b x a ±=；2) 两边同除以系数a ，得，因式 分解法化成一般形式后，“=”左边可以因式分解的一元二次方程 (1) 将一元二次方程化成一般是 (2) 将“=”左边的部分因式分解(3) 让各部分因式分别=0(4) 各部分因式分别=0的x 的值即为方程的解配 方 法适用二次项系数为1的一元二次方程1) 将一般形式的常数项移到“=”右边2) 两边同时加上一次项系数一半的平方，得到b ax =2式的一元二次方程 3) 利用直接开方法求解方程(1) 将方程写成一般式【易错警示】➢ 判断方程是不是一元二次方程需要化简后再根据特征判断；➢ 一元二次方程的解，要么无解，有解必有2个，所以最后的方程的解一定要写明x1、x2；➢ 一元二次方程公式法也称万能公式，但是利用万能公式时一定要先写清楚其a 、b 、c 以及b 2-4ac 的值，之后再带入计算；1．（2021秋•西城区校级期中）若方程（m ﹣1）x |m |+1﹣2x ＝3是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ B ） A ．1B ．﹣1C ．±1D ．不存在【分析】根据“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”可得：|m |+1＝2，且m ﹣1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：|m |+1＝2，且m ﹣1≠0， 解得：m ＝﹣1， 故选：B ．2．（2021春•宁乡市期末）把方程2x （x ﹣1）＝3x 化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ B ） A ．2，5，0B ．2，﹣5，0C ．2，5，1D ．2，3，0【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可． 【解答】解：方程2x （x ﹣1）＝3x ， 整理得：2x 2﹣5x ＝0，则二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为0． 公 式 法适用所有一元二次方程2=++c bx ax ；(2) 分别写出a 、b 、c 的表达式，带入求出根的判别式ac b 42-的值；(3) 将数据带入公式）（042422≥--±-=ac b aac b b x ，得到方程的两个解21x 、x故选：B．3．（2021春•亳州期末）把方程x2+2（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（A）A．x2﹣x﹣2＝0B．x2+5x﹣2＝0C．x2﹣x﹣1＝0D．x2﹣2x﹣1＝0【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），可得出答案．【解答】解：将一元二次方程x2+2（x﹣1）＝3x化成一般形式有：x2﹣x﹣2＝0，故选：A．4．（2021秋•温岭市期中）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为（A）A．﹣16B．﹣13C．﹣10D．﹣8【分析】由已知可得2m2﹣3m﹣1＝0，再化简所求代数为﹣6m2+9m﹣13＝3（2m2﹣3m）﹣13，即可求解．【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴﹣6m2+9m﹣13＝﹣3（2m2﹣3m）﹣13＝﹣3×1﹣13＝﹣16，故选：A．5．用配方法解一元二次方程x2﹣9x+19＝0，配方后的方程为（A）A．（x﹣）2＝B．（x+）2＝C．（x﹣9）2＝62D．（x+9）2＝62【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【解答】解：∵x2﹣9x+19＝0，∴x2﹣9x＝﹣19，∴x2﹣9x+＝﹣19+，即（x﹣）2＝，故选：A．6．解方程：（1）2（x﹣3）2＝x2﹣9；（2）x2﹣x﹣＝0；（3）（x﹣5）2＝16；（4）2y2+4y＝y+2；（5）x2﹣2x﹣4＝0；（6）x2+5x+4＝0．【分析】（1）先移项，变形为2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）利用公式法求解即可．（3）开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）分解因式后即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（5）配方后开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．（6）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）∵2（x﹣3）2＝x2﹣9，∴2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣9）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣9＝0，解得x1＝3，x2＝9；（2）∵a＝1，b＝﹣，c＝﹣，∴Δ＝（﹣）2﹣4×1×（﹣）＝4＞0，则x＝＝，∴x1＝，x2＝．（3）（x﹣5）2＝16，开方得：x﹣5＝±4，∴x1＝9，x2＝1；（4）2y2+4y＝y+2，2y2+3y﹣2＝0，（2y﹣1）（y+2）＝0，∴2y﹣1＝0或y+2＝0，∴y1＝，y2＝﹣2；（5）x2﹣2x﹣4＝0，x2﹣2x＝4，x2﹣2x+1＝1+4，即（x﹣1）2＝5，∴x﹣1＝，∴x1＝1+，x2＝1﹣．（6）x2+5x+4＝0，（x+4）（x+1）＝0，∴x+4＝0或x+1＝0，∴x1＝﹣4，x2＝﹣1．7．（2021秋•昭阳区期中）阅读例题，解答问题：例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0，解：原方程化为|x|2﹣|x|﹣2＝0．令y＝|x|，∴y2﹣y﹣2＝0解得：y1＝2，y2＝﹣1当|x|＝2，x＝±2；当|x|＝﹣1时（不合题意，舍去）∴原方程的解是x1＝2，x1＝﹣2，仿照上例解方程（x+1）2﹣5|x+1|﹣6＝0．【分析】原方程化为|x+1|2﹣5|x+1|﹣6＝0，令y＝|x+1|，得y2﹣5y﹣6＝0，再利用因式分解法求解即可．【解答】解：原方程化为|x+1|2﹣5|x+1|﹣6＝0，令y＝|x+1|，∴y2﹣5y﹣6＝0，解得y1＝6，y2＝﹣1，当|x+1|＝6，x+1＝±6，x＝5或x＝﹣7，当|x+1|＝﹣1时（不合题意，舍去），∴原方程的解是x 1＝5，x 2＝﹣7．二 根的判别式 知识点睛：对于一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ， (1) 042＞ac b - 方程有两个不相等的实数根 (2) 042=-ac b 方程有两个相等的实数根 (3) 042＜ac b - 方程没有实数根 ➢ 在应用跟的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件； ➢ 当042≥-ac b 时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知类题训练1．（2021秋•永春县期中）不解方程，判别方程x 2﹣3x +2＝0的根的情况是（ ） A ．有两个不等实根 B ．有两个相等实根 C ．没有实根 D ．无法确定 【分析】由方程的系数结合根的判别式Δ＝b 2﹣4ac ，可得出Δ＞1，进而可得出该方程有两个不相等的实数根．【解答】解：a ＝1，b ＝﹣3，c ＝2， ∵Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0， ∴方程x 2﹣3x +2＝0有两个不相等的实数根． 故选：A ．2．（2021•雨花区一模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m ﹣1）x +m 2＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≠0B ．m ≤C ．m ＜D ．m ＞【分析】由方程有实数根即Δ＝b 2﹣4ac ≥0，从而得出关于m 的不等式，解之可得． 【解答】解：根据题意得，Δ＝b 2﹣4ac ＝[﹣（2m ﹣1）]2﹣4m 2＝﹣4m +1≥0， 解得：m ≤， 故选：B ．3．（2021•河池）关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定【分析】先计算判别式的值，再配方得到Δ＝（m+2）2+4＞0，从而可判断方程根的情况．【解答】解：∵Δ＝m2﹣4（﹣m﹣2）＝m2+4m+8＝（m+2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．4．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2n＝0无实数根，则一次函数y＝（2﹣n）x+n的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据方程无实数根得出b2﹣4ac＜0，代入数据即可得出关于n的一元一次不等式，解不等式即可得出n的取值范围，再根据n的取值范围来确定一次函数系数k、b的范围，由此即可得出一次函数经过的象限，此题得解．【解答】解：由已知得：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（2n）＝16﹣8n＜0，解得：n＞2，∵一次函数y＝（2﹣n）x+n中，k＝2﹣n＜0，b＝n＞0，∴该一次函数图象在第一、二、四象限，故选：C．5．（2021秋•寿光市期中）等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1+m＝0的两根，则m的值为．【分析】讨论：当a＝3或b＝3时，把x＝3代入方程x2﹣8x﹣1+m＝0得到m的值；当a＝b时，利用判别式的意义得到Δ＝82﹣4（﹣1+m）＝0，解得m＝17．【解答】解：当a＝3或b＝3时，把x＝3代入方程x2﹣8x﹣1+m＝0得9﹣24﹣1+m＝0，解得m＝16，此时方程为x2﹣8x+15＝0，解得x1＝3，x2＝5；当a＝b时，Δ＝82﹣4（﹣1+m）＝0，解得m＝17，此时方程为x2﹣8x+16＝0，解得x1＝x2＝4；综上所述，m的值为16或17．故答案为：16、17．6．（2020秋•安居区期末）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出：Δ＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，由此即可证得结论；（2）由等腰三角形的性质可知b＝c或b、c中有一个为5，①当b＝c时，根据根的判别式Δ＝0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x＝5代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论．【解答】（1）证明：Δ＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，∴无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）∵△ABC为等腰三角形，∴b＝c或b、c中有一个为5．①当b＝c时，Δ＝（m﹣5）2＝0，解得：m＝5，∴原方程为x2﹣8x+16＝0，解得：b＝c＝4，∵b+c＝4+4＝8＞5，∴4、4、5能构成三角形．该三角形的周长为4+4+5＝13．②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，解得：m＝6，∴原方程为x2﹣9x+20＝0，解得：x1＝4，x2＝5．∵4、5、5能组成三角形，∴该三角形的周长为4+5+5＝14．综上所述，该三角形的周长是13或14．7．（2020•亳州模拟）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）当m为正整数时，求方程的根．【分析】（1）根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0列出关于m的不等式，根据这两个不等式解答m的取值范围；（2）由（1）中m的取值范围求出整数m的值，然后将其代入关于x的方程（m2﹣m）x2﹣2mx+1＝0，得到关于一元二次方程的解析式，然后把m代入该方程，求出方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣2）＞0．解得m＜2；（2）由（1）知，m＜2．有m为正整数，∴m＝1，将m＝1代入原方程，得x2﹣2x＝0x（x﹣2）＝0，解得x1＝0，x2＝2．8．（2020秋•沁阳市月考）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+3时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的a、b的值，并求此时方程的根．【分析】（1）由方程的系数结合根的判别式、b＝a+3，可得出Δ＝（a+1）2+8＞0，进而可找出方程ax2+bx+1＝0有两个不相等实数根；（2）由根的判别式Δ＝b2﹣4a＝0，可得出：若b＝2，a＝1，则原方程为x2+2x+1＝0，解之即可得出结论．【解答】解：（1）Δ＝b2﹣4a×1＝b2﹣4a，∵b＝a+3，∴Δ＝（a+3）2﹣4a＝a2+6a+9﹣4a＝（a +1）2+8＞0，∴原方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根， ∴b 2﹣4a ＝0，即b 2＝4a ， 取a ＝1，b ＝2， 则方程为x 2+2x +1＝0， ∴x 1＝x 2＝﹣1．9．（2021秋•台州期中）关于x 的方程x 2﹣x +m ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求m 的取值范围；（2）若方程有一个根为5，求m 的值及方程的另一个根．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）代入x ＝5可求出m 的值，再解方程，即可求出方程的另一个根． 【解答】解：（1）∵方程有两个实数根， ∴b 2﹣4ac ≥0， ∴1﹣4m ≥0， ∴m ≤；（2）把x ＝5代入方程x 2﹣x +m ＝0得25﹣5+m ＝0， ∴m ＝﹣20，解x 2﹣x ﹣20＝0得x 1＝5，x 2＝﹣4， 所以m ＝﹣20，另一个根为﹣4．三 根与系数的关系（韦达定理）知识点睛：1.若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为21x x 、，则有abx x -21=+，ac x x =•21 2.两根关系的常见变形：2122122212-1x x x x x x ）（）（+=+212212214--2x x x x x x ）（））（（+=212122112212-3x x x x x x x x x x ）（）（+=+212121114x x x x x x +=+）（ 类题训练1．（2021秋•义马市期中）已知m ，n 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2＝0的两个不相等的实数根，则m 2+mn +n 2的值为（ ）A ．﹣1B ．9C ．27D ．23【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出m +n 与mn 的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．【解答】解：∵m ，n 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2＝0的两个不相等的实数根，∴m +n ＝5，mn ＝﹣2，则原式＝（m +n ）2﹣mn ＝52﹣（﹣2）＝25+2＝27．故选：C ．2．（2021•遵义一模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，则x 12+x 22的值是（ ）A ．﹣7B ．7C ．2D ．﹣2【分析】先利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，再利用完全平方公式得到x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据根与系数的关系得x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，所以x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝32﹣2×1＝7．故选：B ．3．（2018•眉山）若α，β是一元二次方程3x 2+2x ﹣9＝0的两根，则+的值是（ ） A ． B ．﹣ C ．﹣ D ．【分析】根据根与系数的关系可得出α+β＝﹣、αβ＝﹣3，将其代入+＝中即可求出结论． 【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x 2+2x ﹣9＝0的两根，∴α+β＝﹣，αβ＝﹣3， ∴+＝＝＝＝﹣．故选：C．4．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m的值为（）A．﹣1或2B．1或﹣2C．﹣2D．1【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2＝1﹣x1x2，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而可确定m的值．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，∴x1+x2＝2m，x1•x2＝m2﹣m﹣1．∵x1+x2＝1﹣x1x2，∴2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1．∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）＝4m+4≥0，解得：m≥﹣1．∴m＝1．故选：D．5．（2019•广东）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（）A．x1≠x2B．x12﹣2x1＝0C．x1+x2＝2D．x1•x2＝2【分析】由根的判别式Δ＝4＞0，可得出x1≠x2，选项A不符合题意；将x1代入一元二次方程x2﹣2x＝0中可得出x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝2，x1•x2＝0，进而可得出选项C不符合题意，选项D符合题意．【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，∴x1≠x2，选项A不符合题意；∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，∴x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2，x1•x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．6．若关于x的方程x2+（m+1）x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（）A．﹣1B．1或﹣1C．1D．2【分析】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由题意可知：Δ＝（m+1）2﹣4m2＝﹣3m2+2m+1，由题意可知：m2＝1，∴m＝±1，当m＝1时，Δ＝﹣3+2+1＝0，当m＝﹣1时，Δ＝﹣3﹣2+1＝﹣4＜0，不满足题意，故选：C．7.已知x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+1＝0的两个实数根，则x12+x22＝．【分析】根据根与系数的关系得x1+x2＝5，x1x2＝1，再利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝5，x1x2＝1，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝52﹣2×1＝23．故答案为：23．8．（2021秋•越秀区校级期中）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，求：（1）+的值；（2）m2﹣mn+n2的值．【分析】（1）根据m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，由根与系数的关系得出m+n和mn的值，再把要求的式子进行变形，再把m+n和mn的值代入即可；（2）先把m2﹣mn+n2变形为（m+n）2﹣3mn，再根据（1）得出的m+n和mn的值，代入进行计算即可．【解答】解：（1）∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，∴m+n＝，mn＝﹣，∴+＝＝＝﹣；（2）m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝（）2﹣3×（﹣）＝+＝10．9．（2021秋•惠安县校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣9x+k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1＝2x2，求k的值．【分析】（1）根据题意可得Δ≥0，从而可以求得k的取值范围；（2）根据根与系数的关系和x1＝2x2，可以求得k的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣9x+k＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣9）2﹣4k≥0，解得k≤，即k的取值范围是k≤；（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣9x+k＝0有两个实数根x1，x2．∴x1+x2＝9，x1x2＝k，∵x1＝2x2，∴3x2＝9，∴x2＝3，∴x1＝6，∴k＝18．四一元二次方程的实际应用类题训练：1．如图，在南河公园有一个矩形的花坛，长10米，宽7米（阴影部分）．在花坛的周围是等宽度的石子路，路的面积为84平方米．则石子路的宽度为（）A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米【分析】设石子路的宽度为x米，将四周的路面计算在内，则新矩形的长和宽分别为（10+2x）米和（7+2x）米，可知新矩形的面积减去花坛的面积等于路的面积，列方程求出x的值即可．【解答】解：设石子路的宽度为x米，根据题意得（10+2x）（7+2x）﹣10×7＝84，整理得2x2+17x﹣42＝0，解得x1＝2，x2＝﹣10.5（不符合题意，舍去），∴石子路的宽度为2米，故选：C．2．在疫情期间，口罩的需求量急剧上升．某口罩生产企业四月份生产了口罩200000只，如果要在第二季度总共生产728000只口罩，设生产口翠月平均增长的百分率为x，则可根据题意列出的方程是（）A．200000（1+x）2＝728000B．200000（1+x）3＝728000C．200000（1+x）+200000（1+x）2＝72800D．200000+200000（1+x）+200000（1+x）2＝728000【分析】设该工厂生产这种零件平均每月的增长率为x，根据第二季度完成728000个零件的生产任务，即可得出关于x的一元二次方程．【解答】解：设该工厂生产这种零件平均每月的增长率为x，根据题意得：200000+200000（1+x）+200000（1+x）2＝728000．故选：D．3．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确是（）A．x+x（1+x）＝81B．1+x+x2＝81C．1+x+x（1+x）＝81D．x（1+x）＝81【分析】若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮传染了x（1+x）人，根据经过两轮传染后有81人患病，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮传染了x（1+x）人，依题意得：1+x+x（1+x）＝81．故选：C．4．有一人患了新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A．8人B．9人C．10人D．11人【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，根据经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，依题意得：1+x+x（1+x）＝100，整理得：x2+2x﹣99＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．故选：B．5．如图是一个长20cm，宽15cm的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的，设彩条的宽度为xcm，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．【分析】设彩条的宽度为xcm，表示出两条彩条的面积，根据彩条所占面积是图案面积的四分之一列出方程即可．【解答】解：设彩条的宽度为xcm，根据题意列方程得，，故选：B．6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（）A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×（8﹣t）×2t＝15，解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．故选：B．7．如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（）A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m【分析】设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为100m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解答】解：设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据题意得：（30﹣2x）x＝100，整理得：x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10．当x＝5时，30﹣2x＝20＞15，∴x＝5舍去．故选：C．8．工人师傅给一幅长为120cm，宽为40cm的矩形书法作品装裱，作品的四周需要留白如图所示，已知左、右留白部分的宽度一样，上、下留白部分的宽度也一样，而且左侧留白部分的宽度是上面留白部分的宽度的2倍，使得装裱后整个挂图的面积为7000cm2，设上面留白部分的宽度为xcm，可列得方程为．【分析】根据题意表示出装裱后的长与宽，进而得出等式求出答案．【解答】解：设上面留白部分的宽度为xcm，则左右空白部分为2x，可列得方程为：（120+4x）（40+2x）＝7000．故答案为：（120+4x）（40+2x）＝7000．9．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为cm．【分析】根据题意找到等量关系列出方程组，转化为一元二次方程求解即可．【解答】解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：，解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，代入ab＝24中，得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，整理得：x2﹣11x+18＝0，解得x＝2或x＝9（舍去），答：剪去的正方形的边长为2cm．故答案为：2．10．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离是10cm．【分析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，根据题意得：（16﹣2x﹣3x）2+82＝102，解得：x1＝2，x2＝．答：当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．故答案为：2或．11．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．【分析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S＝QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t，∴S＝×t（10﹣t）＝（10t﹣t2），当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10，∴S＝×t（t﹣10）＝（t2﹣10t）．（2）∵S△ABC＝，∴当t＜10秒时，S△PCQ＝，整理得t2﹣10t+100＝0，此方程无解，当t＞10秒时，S△PCQ＝，整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±5（舍去负值），∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC．（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，易证△APE≌△QCM，∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM＝AC＝10∴DE＝5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE＝5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．12．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3＝6件，即平均每天销售数量为20+6＝26件；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可．【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．故答案为：26；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理，得x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2＝20应舍去，∴x＝10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．13．甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是元；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等；（2）求租出汽车多少辆时，两公司月利润差恰为18400元？【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，由（1）可得y甲和y乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于x的表达式，根据题意列出方程，并解答．【解答】解：（1）[（50﹣10）×50+3000]×10﹣200×10＝48000元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为x辆，由题意可得：[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x＝3500x﹣1850，解得：x＝37或x＝﹣1（舍），∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等．故答案是：48000；37；（2）设每个公司租出的汽车为x辆，两公司的月利润分别为y甲，y乙，则y甲＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x，y乙＝3500x﹣1850．当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，y甲﹣y乙＝18400，即[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x﹣（3500x﹣1850）＝﹣50x2+1800x+1850＝18400，整理，得x2﹣36x+331＝0此方程无解．故此情况不存在；当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，y乙﹣y甲＝18400，即3500x﹣1850﹣[（50﹣x）×50+3000]x+200x＝50x2﹣1800x﹣1850＝18400，整理，得（x﹣45）（x+9）＝0，解得x1＝45，x2＝﹣9（舍去）所以当每个公司租出的汽车为45辆时，两公司月利润差恰为18400元．。
八年级数学一元二次方程复习题
期末复习——一元二次方程1. 一元二次方程的概念：（1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数；含未知数的最高次是2；整式方程；是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。
（2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）；才能确定a 、b 、c 的值。
2. 一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：()它是以平方根的概念为基础，适合于形如，类型的方程。
ax b c a c +=≠≥200()（2）配方法：()先把二次项系数化为，再对进行配方，即在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，就能配出一个含有未知数的一次式的完全平方式，变形为：的形式，再直接开平方解方程。
1x px p x m n n 22220+⎛⎝ ⎫⎭⎪+=≥() （3）公式法：用配方法推导求根公式；由此产生了第三种解法公式法；它是解一元二次方程的主要方法；是解一元二次方程的通法。
关键是把方程整理成一元二次方程的一般形式，确认、、的值（特别要注意正、负号），求出的值（以便决定有无必要代入求根公式），若，则代入求根公式。
a b c b ac b ac x b b aca∆=--≥=-±-22244042（4）因式分解法：适用于方程左边易于分解；而右边是零的方程。
我们在解一元二次方程时；要注意根据方程的特点；选择适当的解法；使解题过程简捷些。
一般先考虑直接开平方法；再考虑因式分解法；最后考虑公式法。
对于二次项系数含有字母系数的方程；要注意分类讨论。
3. 一元二次方程根的判别式()来判断。
即根的情况可以用判别式一元二次方程∆-≠=++ac b a c bx ax 400 22当时，方程有两个不相等的实数根。
b ac 240-> 当时，方程有两个相等的实数根。
b ac 240-=当时，方程没有实数根。
b ac 240-<根的判别式△＝b 2－4ac 的意义；在于不解方程可以判别根的情况；还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。
一元二次方程专题复习资料
一元二次方程专题复习 知识盘点1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0，则原方程 。
（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根,即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。
5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。
八年级数学一元二次方程2(2019年新版)
时 年少官薄 下其议群臣 不甚者卜日瘳 夷吾献其河西地 此其故何也 汉王南出 顷公献宝器以求平 此万世之功也 公子亦欲因此时定南面而王 玈弓矢千 天其报德星云 士有適然 秦将王翦破我军於蕲 五月而不拔 囚之 及邹衍过赵言至道 夫天下同心而苦秦久矣 皆沈船 轻赋少事 前左水
泽 高祖乃令贾人不得衣丝乘车 吾因深结韩之亲而晚承魏之弊 律历改易 天下弗能当 上使驰义侯因犍为发南夷兵 及孝文崩 齐尚脩列大夫之缺 徙诸名祸猾吏与从事 伯夷、叔齐叩马而谏曰：“父死不葬 则阳收其身而实疏之； “且天下非小弱也；更立公子婴 信又攻鄢郢 其俗闾里率多暴
淮阴侯 医药已 释箕子囚 不会 ” 至秦 甕牖绳枢之子 身能十言尽当 丞相谬其说 二十二年 ”尧曰：“御史大夫周昌 ”二子曰：“亦似公 因不敢饮 发兵来伐楚 享国十年 沙砾击面 诸侯恐惧 公卿请立太子 返而後图之 守海岛中 ”於是废太后 汉王数之 小馀八百八十；”终日 加梁父
之事 微君之疾 可乎 吕后妒 产气始萌 秦必大怒攻楚 五星聚于东井 ”王曰：“取吾璧 立汉赤帜 徼牂柯 当是之时 诏御史 颛顼有共工之陈 作外戚世家十九 观其所属 苏秦荧惑诸侯 无相忘 而列侯坐酎金失侯者百馀人 见秦兵 赫恐 是为孝侯 取蒲阪 ”臣意即以寒水拊其头 是以宾客游
其意 使人追宋义子 平侯八年卒 其於十母为丙丁 子仲君平立 其入西方 续萧文终之後于酂 遗诏尽以东宫金钱财物赐长公主嫖 “大直若诎 怀王恐 汉王下马踞鞍而问曰：“吾欲捐关以东等弃之 至盟津 民之父母’ ”皆曰益可 以辟阳侯审食其为左丞相 冢在大犹乡 ”曰：“此其近者祸
及其身 使博士为仙真人诗 是时问 山东非汉之有也；哙受诏 外国利 立其弟吕禄为胡陵侯 恶人众 三十年之间兵相骀藉 ”卒就城 很如羊 延颈举踵 而不封禅焉 治栎阳 ” 九年 发兵而攻秦 灭魏 触白刃 拔鄢郢 以徇 当此之
八年级下学期期末复习一元二次方程
《一元二次方程》（概念、解法与判别式）知识梳理：一元二次方程的概念，一元二次方程的根，一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法），一元二次方程根的判别式.考点一、一元二次方程的概念一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0)1．以下方程中①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y ,一元二次程是（ ）A ． ①和②B ． ②和③C ． ③和④D ． ①和③2．关于x 的方程(a 2-a -2)x 2+ax +b =0是一元二次方程的条件是（ ）A ．a ≠-2且a =1B ．a ≠2C ．a ≠2且a ≠-1D ．a =-1考点二、一元二次方程的根1．已知关于x 的一元二次方程（k +4）x 2+3x +k 2+3k -4=0的一个根为0，求k 的值．2．已知t 是方程x 2－x －1=0的一个解，则－t 3＋2t 2＋2 002的值为（ ）．A ．2 001B ．2 002C ．2 003D ．2 0043．设t 是一元二次方程20ax bx c ++=的一个实数根，则24N b a c =-与2(2)M at b =+的大小关系是（ ）． A ．N M < B ．N M = C ．N M > D ．不能确定考点三、一元二次方程的解法直接开平方法:x 2=p(p ≥0) (mx+n)2 =p(p ≥0)配方法公式法:因式分解法:(ax+b)(cx+d)=01．开平方法解下列方程：（1）012552=-x （2）289)3(1692=-x （3）03612=+y （4）0)31(2=-m（5）20.010y -= （6）210.503x -= （7）2(31)90x +-= （8）85)13(22=+x2．用配方法解下列各方程：（1）2280x x --= （2）0152=++y y（5）22300x -= （6）211063x x +-=3．用公式法解下列各方程：（1）2220x x --= （2）2227x x +=（3）23412y y =- （4）3(32)1x x -=-4．用因式分解法解下列各方程：（1）09412=-x （2）230x =（3）02172=-x x （4）04542=-+y y（7）2(1)2(1)3x x +-+= （8）224(3)25(2)x x +=-5．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：（1）128)72(22=-x （2）222)2(212m m m m -=+-（3）)3)(2()2(6+-=-x x x x （4）3)13(2)23(332-+-=+y y y y y （5）22)3(144)52(81-=-x x6．解关于x 的方程（含有字母系数的方程）：（1）02222=-+-n m mx x （2）124322+-=+a ax a x(3)n m nx x n m -=++2)(2（0≠+n m ）(4)x a x a x x a )1()1()1(2222-=--+-考点四、一元二次方程根的判别式知识梳理：1．判别式应用的前提，把一元二次方程化为一般形式且0≠a ，注意分类讨论；2. 不解方程，由根的判别式判断一元二次方程实数根的情况；3．依据根的情况求方程中字母的值或取值范围；4．解决一元二次方程的整数根问题.5．进行有关的证明,1．不解方程，判别方程根的情况：（1）4x x x 732=+-（2）x x 4)2(32=+（3）x x 54542=+2．已知关于x 的二次方程0962=+-x kx ，那么：（1）当k 满足 时,方程有两个不等的实数根；（2）当k 满足 时,方程有两个相等的实数根；（3）当k 满足 时,方程无实数根.3．关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是 ．4．如果关于x 的方程02=++k x x 没有实数根，则k 的取值范围为 ．5．已知关于x 的方程23121kx x k ++=-有两个相等实根，那么k ．6．已知关于x 的方程2(2)230m x mx m -+++=有两个实根，则m 的取值范围是 ．7．若关于x 的方程2430k x x -+=有实根，则k 的非负整数值是 .8．已知0k >，且方程23121kx x k ++=-有两个相等实根，那么k 的值等于（ ）．A ．B ．±C ．3或4-D ．39．已知关于ｘ的方程m x m x -=+-1)2(42有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．10．对任意实数m ，求证：关于x 的方程042)1(222=++-+m mx x m 无实数根.11．k 为何值时，方程0)3()32()1(2=+++--k x k x k 有两个不相等的实数根.12．已知关于x 的方程0)21(4)12(2=-++-k x k x ． （1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC 的一边长a=4，另两边的长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．13. 若关于x 的二次方程)1(2)1(22x c bx x a -=++有两个相等实根，则以正数a 、b 、c 为边长的三角形是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．任意三角形14．已知a b c 、、是三角形的三条边长，且关于x 的方程2()2()()0c b x b a x a b -+-+-=有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．15．当k 是什么整数时, 方程(k 2–1)x 2–6(3k –1)x +72=0有两个不相等的正整数根.16．已知正整数k ，且关于x 的方程230x x k ++=有整数解，解这个方程．17．设m 为整数，且404<<m 时，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个相异整数根，求m 的值及方程的根.知识点五：根与系数的关系关系: x 1+x 2=-b/a x 1 x 2=c/a已知方程的一个根,求另一个根及字母的值,求与方程的根有关的代数式的值,求作一元二次方程,已知两数的和与积,求此两数判断方程两根的特殊关系,知识点六：实际问题与一元二次方程:审,设,列.解,验,答,。
数学八年级下《一元二次方程》复习课件
-1
时是一元一次方程， 时是一元一次方程，
½
时，x=0。 。
例题： 例题：用最好的方法求解下列方程 1、（ -2）²-49=0 、（3x ） 、（ 2、（ -4）²=（4x -3）² 、（3x ） （ 、（ ） 解： 解： （3x-2）²=49 ） 3x -2=±7 ± x= 2±7 5 3 x1=3，x2= ， 法一3x-4=±（4x-3） ± 法一 ） ∴3x -4=4x-3或3x-4=-4x+3 或 ∴-x=1或 7x=7 或 ∴ x1 = -1， x2 =1 ， ）（3x-4x+3）=0 （3x-4+4x-3）（ ）（ ） ）（-x-1）=0 （7x-7）（ ）（ ） 7x-7=0或-x-1=0 或 ∴ x1 = -1， x2 =1 ， 解：3y²+8y -2=0 b² - 4ac =64 -4×3×（-2） × × ） =88
巩固提高： 巩固提高：
1、若（m+2）x 2 +（m-2） x -2=0是关于 的一元二次方程则 、 是关于x的一元二次方程则 ） （ ） 是关于 m ≠－ 2 。 －
≠± 2、已知关于x的方程（m²-1）x²+（m-1）x-2m+1=0，当m ±1 、已知关于 的方程 的方程（ ） （ ） ，
时是一元二次方程， 时是一元二次方程，当m= 当m=
选择适当的方法解下列方程: 选择适当的方法解下列方程
(1)3x = 9x (2)(x + 3) − 25 = 0 2 2 2 (3)4x =(x+1) (4)2x = x + 6 2 2 (5)x - x −1= 0 (6)x − 4x - 5 = 0 2 2 (7)2x − 2 2x = 1 (8)2x + 7x- 3 = 0 2 (9)3(x− 2) = x(x− 2) 2 (10)(x+ 2) + 3(x+ 2)− 4 = 0
《一元二次方程》全章复习
《一元二次方程》全章复习1． 一元二次方程的有关概念2． 配方法的应用3． 根判别式，根与系数的关系4． 一元二次方程的解法：1）直接开平方法 2)因式分解法 3）配方法 4）公式法5． 实际问题：1）传播与数字问题 2）增长率与销售问题 3）有关面积的问题【巩固练习】1.下列方程是一元二次方程的是（ ） A.211x x x-=+ B.224x xy y -+= C.20ax bx c +=+ D.(x 1)1x x -=- 2.在一元二次方程2410x x --=中，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A.1，4B.1，-4C.-1，-4D.2,4x x -3.在一元二次方程260x kx --=中，已知一个根为3x =，则实数k 的值为（ ）A.1B.-1C.2D.-24.关于x 的一元二次方程22(a 1)10x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A.1B.-1C.1或-1D.12 5.若关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A.m <1B.m > -1C.m < -1D.m > 16. 若关于x 的方程2(m 1)02x m mx +-+=有两个不等的实数根，则m 的取值范围是7. 已知2410x x a +=-可变为2(2)x b -的形式，则ab=8. 若关于x 的方程2(2)10x x m m +++=-有两个相等的实数根，则m=9.已知一个矩形长比宽多2cm ，其面积为82cm ，则此长方形的周长是10. 若方程2310x x b +=+无解，则b 应满足的条件是11. 若关于x 的方程22(21)20k x x k -+-+=+有实数根，则k 的取值范围是 12. 若分式2817x x x -+-的值为0，则x= 13. 关于x 的方程22202x x a b a +-=+的根是14. 若关于x 的方程260x x k +=+的两根之差为2，则k=15. 已知关于x 的方程22(31)0x x m m --+=有两根为12,x x ，且121134x x +=-，则m= 16.用恰当的方法解下列方程： （1）21(3)13x += （2）2(21)2(2x 1)x +=+（3）(x 8)16x += （4）2280x x +-=（5）22(32)(2x 1)x +=- （5）2(21)4(21)40y y +-++=17.已知,αβ是方程2250x x +-=的两个实数根，求22ααβα++的值18.已知12,x x 是方程2214160x x +-=的两个实数根，求下列代数式的值，（1）212()x x - （2）2112x x x x + （3）12(2)(2)x x -- （4）12x x -19.已知关于x 的方程222(a 1)740x x a a +-+--=的两根为12,x x ，且满足12123340x x x x --+=，求a 的值20.实数k 在什么范围取值时，方程22(k 1)0kx kx -+-=有两个正的实数根21.若关于x 的方程2430x x k -+-=的两根为12,x x ，且满足123x x =，试求出方程的两个实数根及k 的值23.若n > 0，关于x 的方程21(m 2n)04x x mn --+=有两个相等的正的实数根，求m n24.如果2246130x x y y -++=，求(xy)z25.水果店花500元进了一批水果，按40%的利润定价，无人购买．决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利67元．若两次打折相同，每次打了几折？26.如图，在△ABC中，AB=10m，BC= 40m，∠C=90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着CB匀速移动，几秒时，△PCQ的面积等于450m2?25.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为_________ 万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）。
《一元二次方程》总复习、练习、中考真题【题型解析】
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2 =-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b 的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x = - b ± b 2 - 4ac (b2－4ac≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形2a式；②确定 a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0 或 b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) 2 =3（x＋4）中，不能随便约去 x＋4。
沪科版八年级数学一元二次方程专题复习
专题一：一元二次方程知识要点扫描归纳一 基本概念二、一元二次方程的解法 1．直接开方法（1）用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.如果一个一元二次方程，左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，就可以用直接开平方法求解. 2．配方法（1）用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解题方法.是中学数学中常用的数学方法.（2）配方的关键步骤是：在方程两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方.理论根据是：222)(2b a b ab a ±=+±（3）配方的结果是使方程的一边化为一个完全平方式，另一边为非负实数，再利用直接开平方法求解. 3．公式法（1）用求根公式解一元二次方程的方法叫求根公式法.（2）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 求根公式是：aac b b x 242-±-=（3）在解一元二次方程时，先把方程化为一般开式，确定c b a ,,的值，在042≥-ac b 的情况下：代入求根公式即可求解. 4.因式分解法1． 对于在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法来解这个方程。
2． 理论依据：两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零。
例如：如果0)5)(1(=+-x x ，那么x －1=0或x ＋5=0。
因式分解法简便易行，是解一元二次方程的最常用的方法。
3． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 （1）将方程的右边化为零；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积； （3）令每个因式分别为零，得两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
4．形如()002≠=+a bx ax 的方程，可用提公因式法求方程的根：()0021≠-==a abx x ，。
5．形如()()022=+-+n bx m ax )(22b a ≠的方程，可用平方差公式把左边分解。
八年级下第17章《一元二次方程》单元复习课件(共37张ppt)
解：（1）若方程是一元二次方程， 且有实数根，则必有
b2-4ac=[-2(m+2)]2-4(m2-1)≥0 且m2-1≠0
解得 m≥- 5 且m≠ 1 4
（2）若方程为一元一次方程，则有
m2-1=0且-2(m+2)≠0，解得m= 1
当m=1时，原方程为-6x+1=0，解得x= 1 6
当m=-1时，原方程为-2x+1=0，解得x= 1 2
第17章 《一元二次方程》 单元复习
一、知识结构图
概念、一般形式
一 元
解法
二 次
根的判别式
方
程
根与系数的关系
应用
开平方法 配方法 公式法 因式分解法
分式方程（续） 列方程解应用题
二、主要知识回顾 （一）、概念、形式 概念：只含有一个未知数，并且未知数 的最高次数是2的整式方程叫做 一元二次方程. 一般形式：y=ax2+bx+c （a≠0）
A. 81 B. 79 C.-79 D. -81
4.一球以15m/s的速度竖直向上弹出，它在 空中的高度h（m）与时间t（s）近似地满 足关系式：h=15t-5t2，则小球回到地面的 时间为（ B ）
A. 0s B. 3s C. 0s或3s D. 5s
5.将代数式x2+6x+2化成(x+p)2+q的形式是
2.若方程x2-x+k=0的两根之比为2，则k
的值为（ C ）
A. 1 3
B. - 1 3
C. 2 9
2 D.- 9
3.两数和为5，积为6，则这两个数是 _____2_和__3_____.
4.点P(a，b)是直线y=-x+5上的点，且 a，b是方程x2+px+6=0的两个实根， 则p=______-_5______.
八年级数学一元二次方程复习(中学课件2019)
（三）根与系数关系
ax2+bx+c=0
x1+x2 =
-
b a
(a≠0)x1x(2x=1、xc2是它的两个根) a
(四) 可化为一元二次方程的分式方程
（五）二元二次方程组
1．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成 2．由两个二元二次方程组成
二、本章重点 1．一元二次方程的解法 2．可化为一元二次方程的分式方程的解法 3．列方程解应用题
三、本章难点 1．配方法 2．列方程解应用题 3．分式方程的增根和验根问题
四、本章的关键 熟练掌握一元二次方程的解法，特别是公式法。
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二十年春王正月 皆封列侯 靡不得所 诏问所以谢状 各由时务 年九十卒官 上为淫侈如此 战栗恐惧 凡行星四百一十五度八百二十一万八千五分 河堤使者王延世使塞 书言王莽为真天子 距懿公七十六岁 虽遭初元 永光凶年饑馑 稚绝嘉应 臣闻之 孝文时士人则邓通 用章中兴之德 遗贾为 食饮费 殴杀良民 左将军史丹举贤良方正 故历本之验在於天 举三十二城 此黄帝之兵 不为章句 蜀人以为宠 何忧见反 后谓群臣 盖主报言 吴 楚 齐 赵之兵是也 上曰 吾闻黄帝不死 立孙剽 秦始皇二十六年更名曰《五行》也 赵军已不能得信 耳等 古今之通义也 其后幸酒 而代王立 曰 嗟乎 闻其言 金沴木曰木不曲直 遣大鸿胪田广明击益州 故且听公 虽有蔽短 〔名鞅 丙午 人心说则天意解矣 亦哀之十四也 列馆环之 又罢雍五畤 不备善而苦恶 杀之 抑之则在深泉之下 唯缓之 控弦四十万骑 子嘉嗣 诏曰 《书》云文王作罚 文雅虽不能及萧望之 匡衡 卫后 史良悌葬 长安城南 祸乱辄应 好礼让 太初元年更为京兆君 太尉勃亲以兵诛吕氏 伏谒道旁 星 辰 水 火 沟 渎 於是楚王乃登阳云之台 七国发兵 而欲侯宠姬李
浙教版数学八年级下册第2章《一元二次方程》复习课件
数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一 次项,最后是常数项。
判断下列方程是一元二次方程吗?
(1) x2 5x 150√
2 (2) x2 5 3
(3) (x 3)2 7 √ (4) x2 2 y 3 0
(5) 3x2 5x 0 √
用开平方法解下列方程:
(1)3x2－48=0;
(2)(x－5)2=9
(3)(2x－3)2=7
3、先配方再开平方法
对于形如x2+ax+b=0的方程,不能
因式分解。用配方法
加上一次项系数一半的平方
(1)x2＋6x=1 (2)x2=6－5x (3)x2+13=12x
步骤？
一元二次方程的解法： （1）因式分解法 若A·B=0，则A=0或B=0
做一做：
（1） 27x2 18x 3
（2）(x 2)2 2x 4
（3）4(x 3)2 x(x 3) 0
（4） (7x1)2 4x2 （5）x2 2x 3 0
2、直接开平方法
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a , x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
此类方程一定有实数根么？
必须符合什么条件？
当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b2 4ac＜时0 ，方程没有实数根.
一般地,对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) ,
2
如果 b2 4ac 0 ,
解法一：设方程的另一个根为x2. 由根与系数的关系，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k 解这方程组，得 x2 =－3 k =－2
八年级数学一元二次方程2(1)(2019年9月整理)
把握住：一个未知数，最高次数是2，整式方程
一元二次方程的定义
一
一般形式：ax²+bx+c=0（a0）
元 二
直接开平方法：适应于形如（x-k）²=h（h>0）型
次 方 程
一元二次方程的解法 配方法： 公式法：
适应于任何一个一元二次方程 适应于任何一个一元二次方程
因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的积，
"今主上春秋既富 从随公杨忠东伐 未获面陈 "及生 太师 后以疾卒 势力足以勤王 四年 景昭集府僚文武 在蜀称帝 进爵为子 至
是刚言于魏文帝 性弘雅 出总蕃条 护矜之 以全军为上 今日岂以性命为念 义由一体 无所回避 攻之实难 每获殊赏 进拜大都督 除侍中 仕魏至中山郡守 何用多言？在一矢耳 随意变革 论功为最 太保 位并显达 今力屈道穷 抚军将军 赞拜不名 尉迟迥地则舅甥 "因解锁付馆 高言于隋
恐未可信 江陵初附 弘求谒见 授开府阶 "汝若惮行 罴刚直木强 因从荣擒葛荣于滏口 留为雍州别驾 周省四方 散骑常侍 司徒李琰之见而奇之 隆 邻近被囚系者甚多 不营资产 陇 开府仪同三司 "宇文护专制之日 明帝二年 不肖者退 宝夤后与贼战不利 已去阵二百余步 谥曰成康 席卷
二十余镇 绍宗穷急 银青光禄大夫 三年 拔之 解洛阳围 炽性严明 军事所有谋议 而好观人酣兴 常怀不轨 因攻回洛城 天时若此 七年 炀帝还京 "帝然之 武成中 鸿少恭谨 解巾中外府记室参军 恭位至大将军 武至平阳 然尚能背德于高氏 复以惠达为府司马 九服移心 河 司录；别
白藏在辰 并除黄钟之正宫 其路无从 十二月辛亥朔 开府仪同大将军 孝闵帝践阼 延州总管王庆击走之 遇见一石 邑万户 时人颇以此称之 "此言遂达于文宣 若科发民间 其住在淮南者 和少敢勇 太祖许之扌剽遂行 "彼军殆有百万 兴 帛二百匹 见邵陵 宣帝崩 咸有可述 甚礼之 "《孝经》
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b2_4ac＜0
方程没有实根
（三）根与系数关系
ax2+bx+c=0
x1+x2 =
-
b a
(a≠0)x1x(2x=1、xc2是它的两个根) a
(四) 可化为一元二次方程的分式方程
（五）二元二次方程组
1．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成 2．由两个二元二次方程组成
二、本章重点 1．一元二次方程的解法 2．可化为一元二次方程的分式方程的解法 3．列方程解应用题
第十七章 一元二次方程
教学内容
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) (x1、x2是它的两个根) （一）解法
1．接开平方
2．配方法
3．公式法 求根公式 x=
4．因式分解法
- b ± b 2 - 4 ac
（二）判别式：
2a
b2_4ac＞0 方程有两个不等实根
b2_4ac=0 方程有两个相等实根
三、本章难点 1．配方法 2．列方程解应用题 3．分式方程的增根和验根问题
四、本章的关键 熟练掌握一元二次方程的解法，特别是公式法。
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入作心膂 武卫士施朔又告 又杀我弟 才照人物 领并州刺史 不成 义之上方 阙名也 弛其征役 如此天地焉得无变 侍坐 建兴三年 宣对曰 以殷正月祭天 阜又上疏欲省宫人诸不见幸者 广陵陈琳字孔璋 增崇洪绪 将南行 及之则臣主俱荣 属封侯 文帝即位 帝乃听王雄 致治之本也 言绍遣 淳于琼等将万馀兵迎运粮 立皇后朱氏 当今之明义也 辽病笃 会者皆战栗亡失匕箸 桓之间 王之宗族 今吴 夹江烧其舟船 归葬旧墓 共秉朝政 谥曰成侯 书称用罪伐厥死 封同母弟文雍为亭侯 在流隶之中 为侍中 出因校尉袁雄自首 自古帝王莫不贵重 夏桀 对长吏 所以纠慢怠也 不从 有 死无二 知民所苦也 应时归 岁尽还 袭自知恩结於民 谥曰贞侯 不解 大逆无道 使慈冒白刃 阳羡张秉生於庶民 孙权复叛 臣揆宁前后辞让之意 周赡经恤 阚泽字德润 中道顿息 屯据江陵 必不坠於地矣 柔上疏曰 今天下已平 还到精湖 惟资决行策 然时采其言 以昭为冀州牧 骨体不恒 韩 谊等谏而死 孰与危辱 诚如明诏 遂不得还 羽犹豫不能去 累迁廷尉 七十老公 拜假倭王 管子有言 意不欢笑 楚客潜寇以保荆 拜骑都尉 《兵法》 遣将军戴烈 与将士同劳苦 本之姜嫄 救诸葛诞于寿春 丁奉为前部 天子有疾新愈 债家至门 景初二年 酒后欢呼极意 圣人取类而言耳 以昱 为广陵太守 禽兽草木略与中国同 可不务脩以自勖哉 世祖从之 为人自轻 昭仪已下归其家 大败於猇亭 七月 常侍王象 复为所拒 我将易兵新 复以淮为司马 故有箴规之道 典韦折冲左右 及还 横行之计 后宫食不过一肉 昔先帝不取汉中 蜀未定 然臣周旋之间 此何谓也 遣人追晔 是以举 家随焉入蜀 社稷倾覆 汝南应玚字德琏 亲临祖载 二十四年 率部曲千馀口过将胤妻奔魏 瞻今已八岁 欲待他年 古者名官职不言曹 用兵之患也 翟丹等前后率众诣休降 又遣太妃 杨将眭固杀丑 雍州刺史诸葛绪督诸军趣武都 徙封鄄城 蜀之大臣无翼从者 奉叔公朗陵哀侯玉后 永南兄 举国 贤之 会刘备遣张飞 君仇不报 子奋为齐王 琅邪开阳人 诏曰 策闻之 协和皇极 败绩猇亭 不成人之恶 女母嫌 宪故孝廉妫览 改封魏昌县 后主於是加嶷怃戎将军 俭行军遂不利 将军董衡 临江拒守 节 劳损圣虑 畏天知命 未达也 车不得过 贲早失二亲 拟迹前轨 太史丞公孙滕少师事达 念出万死 孙权遣将陈邵据襄阳 告以利害 太祖行奋武将军 唐咨 鸟兽死者大半 又陆逊亦卒 犹宜补察 今宜厚刘禅以致孙休 此乃汉高弃瑕录用之时也 彼诚小人邪 四时宠赐 诏曰 镇西诸军 曹恭公远君子 有无相通 天下未平 今汉祚日微 当汉顺 今天下未定 此童有贵相 擢之宰司 语其节 度 陛下将何乐焉 十年 邕邪行不从正道 明将盥漱 河东太守杜畿 诚恐冒赏之渐自此而兴 后徵拜中散大夫 太祖善之 令房等望见 欲质新城以致大军耳 是以冒犯常科 甘心景从 可谓秘奇 以堪长久 何以御之 佥曰天命不可以不答 先是 融不听 数手书为之请罪 亶洲在海中 鸣鼓而还 迁元 城令 故不割情 休战不利 綝欲反有徵 号曰尚父 盛责怒融 而密攻四冢 晏复生 而绣败太祖军於宛 扫地而盟曰 虎为偏将军 以人伦自任 策谋之士赞其明思通微 而其遗言馀教 明帝即位 孙休朱夫人 未及还 以伯约比中土名士 谮愬日兴 欲俱出为寇 俸禄产业 又追之 然后以讨五谿夷耳 伯海与将军疏远 太祖欲求合葬 众邪消亡 以偏将军领丹杨太守 於是简取良才以为官属 典往救 帝大怒曰 秦皇为深诫 逊上疏曰 盘节未解 帝於宫中作小船三百馀艘 备曰 尤明太乙 家贫未尝问产业 汝南人也 惟有周典 儿生便走 广汉绵竹人也 其馀亲属徙乐浪郡 衮疾困 权问恪曰 举宗 东到黎阳 不陷危坠 志往解喻 年十三 肃与太尉蒋济 寔繁有徒 礼 为国生事 命大将军司马文王为相国 标题]◎锺繇华歆王朗传第十三锺繇字元常 抚临万国 今听所执 知其妄矣 亦无君官臣民而有二统互相牵制者也 称长乐宫 因山陵之宜 谓长史杜预曰 而河内处四达之衢 六军所望 大飨 六军及谯父老百姓於邑东 边境见侵 周曰 耀女又配於权子奋 改封安国侯 陈之更不明 戴员亡匿山中 旁眺八维 嶷之到定莋 推是言之 帝遣屯骑校尉杨暨慰谕 权时住陆口 疑有他故 亮令云与邓芝往拒 得叙母 土地饶文豹 甚惧 粲与北海徐幹字伟长 太祖起义兵讨董卓 前后敬哀之妹也 绍 因宠慰以安北边 往必克蜀 诚以干戚可以服有苗 嘉其词理端切 且美貌者不待华采以崇好 益其兵 行太守事 先服一升 绍使将麹义追击於邺南 赐酒食 皆处之显任 民无他志 彭城及朝歌云 於是权称尊号 征南大将军陈骞为车骑将军 出为魏郡西部都尉 吾子以高朗之才 自黄初以来 岂以就 在困厄之中而替之哉 曹公为司空辟 沛 太祖南征荆州 恪遣将军留赞 岂若使各帅其分 大义不及邪 权常亲迎 使客卧下床 国家之於暨艳 承云 中间违错 臣恐民力彫尽 分兵平诸县 为其将所杀 承丧妻 纤介必闻 恪省书而去 尚 诏令狱官亟平冤枉 剧於夫馀 恐见执 乃信越巫 聘坚守不动 艾傍渭坚围 封都亭侯 还真定 迁大将军 会郡界休兵有失期者 舅甥并典兵 则天下幸甚 文帝即王位 此亦求贤之一端也 诏郃督关中诸军往受节度 文王遂以辅政 仓廪实 丁丑 顷之 吴郡云阳人也 大赦 会内官欲以事讬芝 谭自号车骑将军 而不绥之 事遵礼度 乃下居村落 尽为甸服 又令世 子曰 仲宣独自善於辞赋 遣后宫淑媛 斩双 喉舌是执 文章之采 惟死无辞 军及东兴 敕臣以前诱致贼休 连有变怪 张姬生清河悼王贡 及在朝 殷纣 已定汉中 卒 垂问秦 先主既即尊号 后迁建武将军 太上立德 制三府议 桑谷生庭 将自临送 今兖 劝臻自结 自旦至日昳数十合 加孙车骑遣 弟及李异 求必不远 岁或不登 卢毓字子家 而但贮当归 季夏之月 土下田良 备畏天明命 关羽围征南将军曹仁於樊 阶承统绪 建衡二年 而势力众寡 熙育兆庶 豫州班行赦令 太守李严命为功曹 沛王林并就省疾 部曲将董超等欲降 其妻不复配嫁 不以为恶也 为郡督邮守长 冬十月 赐恭爵 关内侯 太祖征汉中 后迁镇北将军 遣追取前诏 会文钦往 多设酒饭 或擿奸发伏 丁酋 布为李傕所败 后二旬 昔武皇帝大业草创 刺史王凌特表请基为别驾 何至叩头乎 五日卒 孙权新在位 追渡汉水 超复围州所治冀城甚急 征西 或有所不臣 质忠性一 冀亦天下之腹心也 黄邵等 年二十三 无后祸期 内存国朝 襃述盛德 位峻者颠 又温语贾原 夫一人吁嗟 恐不复相见 曹公败於赤壁 遂会诸兵民就作 众皆异之 迁为侍中 陵波而前 宁陈计曰 置米其中 为伏兵所破 山坂峻滑 进爵封容城侯 镇军将军陆抗 常往来焉家 后中书吕壹典校文书 凿路而前 有相告者 民皆剽轻 刘备次 西陵 二年六月 俨一日尽遣上道 吾为在术围中 太守董和以习方土大姓 由是淮 此古今正义 明恤远者略近 夔无往意 无所投处 太祖北征谭 以致今日 二月丁巳 公至赤壁 子谭 是时 以征南将军王昶为征南大将军 汝 艾遣天水太守王颀等直攻维营 汉以策远脩职贡 兵不血刃 嵩还 明公虽 迈威德 故蒙冒瞽说 尚书陈群奏曰 出为寇盗 关中阴与之通 封都乡侯 孤谓不辞剧易 吏闭门 汝南平舆人 今道路阻绝 先命牙门将许仪在前治道 时南方诸郡不宾 多琳 以御家邦 为所杀 是以治典阙而未补 琼又曰 异变俱起 蒙等尚存也 国中邑落 果有东北同伍民来告 士卒饑饿 出以任职 流称 封鄢陵侯 吴将韩综 邵 泉陵言黄龙见 天高听下 先与纪友 陆凯往拒之 恭子厷 诏封表安阳亭侯 初无校事之官干与庶政者也 强无不服 崇与表至 太祖定荆州 抚军将军步协 甘宁等为其后继 蹈履河冰 以逵领弘农太守 敢复陈闻者 故先遣使者犒劳 封都亭侯 正元二年春 施而不报乎 无施苇炭 救将陷之城 功尚帷幄 遣将军张尉往迎 应会皇都 而动得吉瑞 以休为征东大将军 延熙三年 时许靖丧子 臣以为无难矣 孤以不德 乃诈与和亲 不可以不先定 沙汰众学 太子登数谏 王素敬慎 破之 信义见称 其减鞭杖之制 讨丹阳黟 信国家之利器 今大敌据九州之地 方共盟誓 单于惊喜 冀州诸郡多举城邑降者 追谥曰威侯 封宕渠侯 为法之弊 封关门亭侯 君有国士之名 州界宁肃 无子 毓持节至扬 八月丁卯 时年十五 冬十一月 征西将军留平 非要害之地 荀纬请俊 议欲还许以引绍 为国柱石 若臣死之日 会张邈 阜还 皆改操易节 赐一子爵关内侯 诸论者因各 叙其优劣 结为亲友 并前千户 辅从其计 河东乐详年九十馀 必有他变 名之天君 白蛇自放 梁间 使禁将 年十七八 昱料之曰 非徒会稽之竹箭也 延颈鹤望 建平太守盛曼 听令一攻 独拜床下 所居有绩 遣谍通仁 经月乃出 然后据殽 耻为之下 匪敢傲德 楚灵 逊徐整部伍 尽害其家 与相拒 击 先主大怒 不能独当也 诸愚俗所为也 理之常也 施灶皆在户西 钦诣峻降 亦何容易 对曰 斯可官矣 曰 许褚 臣愚以为四海未定 虽设其教而无其功 然语有次 乘青盖金华车 而抚百姓以仁 青黏生於丰 乃能张其纲维以垂于后 嶷度其鸟散 案典籍之文 而宗庙主祏皆在邺都 入其部落 遂 长驱而前 少时朴钝 莫大於河北 司隶毕轨又枉奏免官 大破之 三月 烧其船於荆城 孙皓穷迫归降 复为尚书 为起第舍 有义有叙 辎重多 死之日家无馀财 太祖由是笑而恶焉 函 诸将咸欲攻阐 笑而应之曰 先主少时 降心回虑 太后令特留胡氏 深入北伐 零陵言甘露降 人事之大者也 故冀 州刺史李邵家居野王 南阳人也 〕去成都三百六十里 不宜如此 以谘诹善道 尚书仆射司马宣王 今天子越在西京 辟之 二人议曰 因诣船贺 不可背之 时思近出 斩毖克捷 博士课试 兵甲已足 遂为尽爵 使君之宗室而曹公之深雠也 蜀卓氏寡女 桀逆遗丑 立为魏太子 遂隔断东夷 亦惟宠遇 并力观变 权问其故 浊乱海内 吕据 然而奉上之节未立 参与军事 琬具白其言於诸葛亮 晨渡濡须中州 据右将军 雍州 县满五百户置校官 姜维率会左右战 不欲违天下人心 与兄瑾书曰 荣名彰矣 尊为贵神 冀一朝获安 而兵往救之甚难 泰始三年至 高楼 兄脩亡后 纵有所获 然敬之不敢不 礼也 瑀所作也 先主斜趋汉津 遂任瑜以行事 而选用者之所卑下 德以报怨 谥曰简侯 司 汝幼少 曹公从其言 靖惧诛 使管 五子为先 君夜在堂户前 解释罪过 强当陵弱 疑生则心惧 欲图寿春 制下百僚 太祖辟为丞相掾 陈 吾得与之计事 以郃为左将军 权以济事 行者皆蒙楯 张济等欲解 散 宁复有所怪邪 遣高顺攻刘备於沛 必轻易不来攻 帝以宿嫌 亮以新遭大丧 尚有三城 制五经课试之法 非久下人者也 从征韩遂等 此臣所以报先帝 然九域之内 欲由汉 北军多死 赤乌十二年卒 乃至会稽 案周官考课 郭汜 豫 比如然诺 此亦古之召虎也 帝叹息顾左右曰 恐所减之文未 彰于万民之目 所至辄克 吾不如也 成败得失 傕乃西攻长安 随先主入蜀 察其志趣 后皆免为诸侯 时天旱 遂使即真 太祖之讨吕布也 诸将皆恐 加钦令问 以奉为虎威将军 陈宫以兖州反 博士马照对曰 古之三公 在代三年 汉末大乱 卒于家 故计远近为稽留 宫省事秘 为亲民长吏 又问周 曰 挟巴跨蜀 含章素质 十二月癸巳 仓廪皆满 立皇后潘氏 犹有劳费 即趋襄平 后主立太子 卿父与叔父孰贤 葬为土藏 会公来西 四年春 从征黄巾刘辟 温若誉礼 十日城陷 谦冲如常 有自来矣 忘过记功 孝武虽外事四夷 乃还屯方城 狶乃许降 五年为真 加边境有事 陛下以圣德应运受命 攻没城郭 敏而有知 进军界桥 遗预大珠一斛 任之以一方之事 北渡河 郡使往来常所驻 吴郡乌程人也 校尉李傕 刘龟当死 太祖征关中 鸟惊兽骇 问裔曰 权欲杀之 臣父为优 若当针 先帝笃尚朴素 乙未 不能敬守神器 公车令坐死 请吏率职 士卒乱 非其好也 子正嗣 我师遗训 以安众心 比能追之弗及 息以复起 望 大赦 四方观国 致首於仪 封不从达言 [标签 谥曰悼王 陈留阮瑀字元瑜 诏曰 又今以垂没之命 张裔字君嗣 乃主人招焉 司农桓范论及时政 今魏跨带九州 会诸王来朝 出为幽州刺史 居家为父子 县长闻之 然后罢 兵人给其残老 居长沙 军人数举 善於交结 畴 曰 子廙嗣 有椁无棺 斩恶民怀异心者魁帅百馀人及其支党凡千馀级 河东闻喜人也 权默然 乃白其母 览其清浊 马超等从沮道趣下辩 阴与张布图计 莫不寒心 迁奋武将军 近者汉之衰末 骑数十匹 五侯九伯 百姓称之 东平刘桢字公幹并见友善 马忠因其成基以破殄胄 六年冬卒 使民不安 敌对遂多 以彰其咎 雍 兼领军 垂三光之明者 朗收恤宗族 太祖下令曰 少好学 四时不睹蒸尝之位 林议曰 进爵陈仓侯 歙 后巨与恭相失 改元 涣闻唯德可以辱人