数形结合思想在函数中的应用.docx
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用【摘要】二次函数教学中，数形结合思想的应用是非常重要的。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更深入地理解二次函数的概念和特性。
通过实例分析和图形展示，学生能够直观地看到二次函数的图像与方程之间的关系，从而加深对这一知识点的理解。
通过实践操作，学生可以更好地掌握数学知识，提升他们的实际运用能力。
数形结合思想不仅可以提升学生的学习兴趣和效果，还可以帮助他们从多角度理解数学知识，提高数学素养。
在二次函数教学中，充分利用数形结合思想是非常有益的，可以有效提升学生的学习水平和综合素质。
【关键词】二次函数、数形结合、教学、图形、特性、实例分析、数学、几何、理解、实践操作、学习兴趣、学习效果、多角度、数学素养。
1. 引言1.1 二次函数教学的重要性二次函数作为高中数学中的重要内容之一，在学生数学学习中具有重要的地位。
学会了二次函数的相关知识，可以帮助学生理解和掌握高中数学中的很多概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。
二次函数的教学内容丰富多样，不仅可以帮助学生提高数学的解题能力，还可以培养学生的数学思维和创新能力。
二次函数具有许多独特的特性和规律，通过学习二次函数，可以让学生在数学上有更深入的认识和了解。
二次函数也广泛应用于生活和科学领域，学会了二次函数相关知识可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。
二次函数教学的重要性不言而喻。
只有深入理解和掌握二次函数的相关知识，才能在数学学习中取得更好的成绩，为将来的发展打下坚实的基础。
二次函数的教学不仅具有重要的理论意义，更具有重要的实践意义。
通过深入的学习和实践，可以帮助学生更好地理解和应用二次函数相关知识，提高数学素养和解决实际问题的能力。
1.2 数形结合思想的意义数形结合思想在二次函数教学中扮演着至关重要的角色。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念，提高他们的学习兴趣与学习效果。
在二次函数这一抽象概念中，数形结合思想可以将函数的数学性质与图形的几何特征相联系，使学生更全面地理解二次函数的本质。
数形结合思想在中学函数教学中应用
数形结合思想在中学函数教学中应用中学函数教学是中学数学教育中重要的内容，它涉及到函数的概念、特征和应用，以及函数的建立方法。
数形结合思想是近年来的一种流行的教学理念，它强调将数学和艺术、科学等课程进行有机的结合，以培养学生的独立思考能力和创新能力。
由于数形结合思的重要性和学生的学习需要，在中学函数教学中引入数形结合思想获得了广泛关注。
首先，数形结合思想可以帮助学生加深对函数基本概念的理解。
函数是数学领域中一个重要概念，由若干规律关系构成，一般来说，学生很难直接理解以及把握它的基本概念，而数形结合思想则可以帮助学生在实际的基础上较好的理解函数的概念，这样才能够建立起函数的概念。
其次，数形结合思想可以有效培养学生的观察能力。
函数解析的过程就是一个观察的过程，数形结合思想可以帮助学生获得一种视角，让学生能够从实际的现象中观察到函数的特征和建立方法，从而使学生能够更好的利用函数解决实际问题。
此外，数形结合思想还可以帮助学生培养逻辑思维能力。
函数可以用图形、表格、解析式等形式来表示，学生要学会运用多种表示方法，这需要积累大量的知识点，并熟练掌握运用，而数形结合思想可以帮助学生快速获得思维方式，有助于学生掌握函数表示方法以及推导，学生可以藉此思路来解决实际问题。
最后，数形结合思想可以增强学生学习数学的兴趣。
数学是一门理科课程，因其特殊性，使学生容易陷入兴趣低落、学习效率低下的境地，但数形结合思想却可以帮助学生把数学和其他艺术、科学等课程的内容相结合，使学生能够在趣味性的学习当中激发学习兴趣，培养学生独立思考的能力，进而发挥函数在实际中的应用价值。
综上所述，数形结合思想对于中学函数教学的意义重大，它可以帮助学生加深对函数概念的理解，增强学生的观察能力、逻辑思维能力，激发学生学习数学的兴趣，使学生掌握函数的建立方法和解决实际问题的能力。
因此，中学函数教学中应当以数形结合法为理念，将学生的观察、理解和应用能力紧密结合起来，有助于提高学生的数学水平，有利于学生的自主学习能力的发展。
数形结合在中学函数中的应用
数形结合在中学函数中的应用一、数学思想方法的含义数学家和数学教育工作者从不同的角度论述了数学思想方法，其中最有影响力的是基于哲学的角度。
所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。
数学思想比一般的数学概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、丰富，而前者比后者更本质、深刻。
数学方法则是指在从数学的角度提出问题、解决问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径等。
数学思想、观点、方法三者相互关联、密不可分：如果人们站在某个位置，从某个角度运用数学去观察和思考问题，那么数学思想也就成了一种观点；而对于数学方法来说，思想是其相应方法的精神实质和理论基础，方法则是践行某种思想的技术手段。
运用数学方法来解决问题都包含了数学思想，数学思想则通过方法来体现。
二、中学数学中常用的数学思想方法在中学数学教学体系中，一些重要、典型的数学思想方法较为常见，常用的有如下几种：转换化归的思想方法、函数与方程的思想方法、数形结合思想方法、极限思想方法。
其中，数形结合思想方法最为常用，下面将对数形结合思想方法进行简要说明。
三、数形结合思想方法1. 数形结合思想方法的涵义数形结合思想方法中的“数”可以广义地理解为数学文字表征，即数字、文字、式子、数学概念、数学结构、数学性质、数学定理等概念和命题；相应地，“形”可以理解为图形表征，即实物、图象、图形、符号等。
数学问题中常常出现“数”和“形”的形态，两者为研究对象的不同侧面，通过数形结合可以将数学问题简单化、具体化，可以通过数量关系和图形性质之间的彼此转化或者综合起来分析、解决问题。
数形结合思想方法不仅对其所含的数学意义进行了分析，还揭示了其所蕴含的几何直观，实现了空间形式直观形象与数量关系精确刻画的有机结合。
2. 采用数形结合思想方法的意义“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括，如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、数形结合、随机等。
数形结合思想在函数解题中的应用
数形结合思想在函数解题中的应用摘要：数形结合思想是数学教学重视数学思想培养之一。
高中数学教学和学习中，灵活地应用数形结合思想可以更好地对于数的概念以及形的特征把握，可以化抽象为具体，能通过数与形快速解决问题。
解决数学问题关键的一大利器是利用数形结合思想关键词：数形结合思想；函数；解题1. 阐述数形结合思想在高中数学的教与学的过程中要重视合理的转化数与形，实现将难懂的的数学问题的性质清晰表现处理。
寻找到潜藏在数与形之间的对应关系是数形结合思想的本质所在，常见的我们是把数转化成形，从而直观形象的解决问题，同时大家不要忽略有时学会形转化成数。
这是因为过于直观和具体的形，无法凝练出具有一般性的特征。
充分理解数与形互化关系，把形转化成为数，答案通过计算得出。
总而言之，数形结合是高中数学重要的数学思想之一，学会数学互化的重要思想。
本文主要讨论的是数形结合的思想在函数解题中的应用：研究单调性，求函数的最值，函数的零点问题等。
2.数形结合思想在函数性质中的应用新课改更注重学生的自主学习，自己提练信息，所以出题更偏爱将函数的几种性质综合在一起考查学生。
如果学生只是从代数的角度去解题，那无疑会增加解题的难度，如果能利用图形的直观性，能大大的提高解题效果。
我们要引导学生解题的要充分利用数形结合的思想。
（1）数形结合思想在函数单调中的应用例1.设函数f(x)=若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，求实数a取值范围解析：函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.总结：单调性是函数的重要性质之一，它的主要应用是用来求解最值，求解不等式，比较大小，求参数等，不管哪一种应用，能画出函数的图像，通过图像中的单调得出答案，能大大的提高解题效率，充分体现了数形结合思想的重要性（2）数形结合思想在函数最值中的应用例题1：定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M=max{2x，2x－3，6－x}，求M的最小值解析：画出函数M={2x，2x－3，6－x}的图象(如图)，由图可知，函数M在点A(2，4)处取得最小值22=6－2=4，故M的最小值为4.总结：函数的最值是函数中比较热点的题目。
浅谈数形结合在函数中的运用
能把数与形有机结合起来解决问题，能使学习变得更加轻松。
数形结合思想在运用时，有数与形的先后之分。
一、数形结合思想在复合函数单调性中的运用
求复合函数单调性时，我们可以借助图形的平移和翻转来
得到大致图形，从而判断出函数在所求区间的单调性。
例题
1. 求（f x）= x
x +
3
在区间［-3，+∞）上的单调性。
分析：题中的三个数我们可以 分别看成三个各不相同的熟悉的 函数 y1=x2，y2=log2x，y3=2x
在 x=0.7 时相应的函数值。在 同一坐标系中三个不同的函数的 图像（如图 3）：
y y3=2x y1=x2
1 PP13 O 0.7 1
P2
y2=lo0.7 时，P1，P2，P3 的纵坐标的大小关 系，由此得出结论：20.7>0.72>log20.7。
数形结合的一些常规用法。
关键词：数形结合；函数；图形
引言：数学学习中通常会用到一种重要的思想方法——数
形结合思想，运用该方法时，数和形会密不可分。在面对函数
的许多问题时，我们也可以运用“数形结合”这一思想着手进
行。但是我们在运用这一思想分析解决相关问题时，特别要注
意以下的问题：
（1）要注意由于图象不能非常精确地刻画对应数量关系时
（如图 1）：
y
y
-3 O
x
y=
3 x
（1）
y
y=
3 x
-3 O
x
-3 O
x
y=
3 x
（2）
y
y=1- x
3 +
3
-3 O
x
（3）
（4）
1数形结合思想在函数中的应用
数形结合思想在函数中的应用数形结合的思想方法就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.运用数形结合思想解题,能使复杂问题简单化,抽象问题具体化,起到事半功倍之效.本文就函数中的一些问题谈谈数形结合思想的应用,供同学们参考. 1．解不等式例1 已知()f x 为偶函数,且在区间[0,)+∞上为减函数.若()(2)f a f >,求实数a 的取值范围. 分析: 本题虽没有具体给出函数()f x 的解析式,但我们可以根据该函数的奇偶性和单调性画出其草图,利用草图予以求解.解: 因为()f x 为偶函数,且在区间[0,)+∞上为减函数,所以可以画出函数()f x 的大致图象如图1.由图象可以看出,若()(2)f a f >,则22a -<<. 即a 的取值范围（-2,2）。
点评: 函数奇偶性的直观反映是其图象的对称性,函数单调性的直观反映是其图象的上升或下降的趋势.因此,在解决这类没有给出具体解析式的问题时,可以借助大致的草图(能够反映出奇偶性和单调性就行)便可直观快速求解.练习1 已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数,且在区间(0,)+∞上为增函数.若(1)0f =,则()0f x >时x 的取值范围是 . 2．求参数范围例2 已知函数||1()()2x f x m =+的图象与x 轴有交点,求实数m 的范围.分析: 解决本题的前提是要熟悉函数||1()2x y =的图象,即||1()2x y =的图象关于y 轴对称,在y 轴左边图象呈上升趋势,在y 轴右边图象呈下降趋势,整个图象在x 轴上方,且过点(0,1),有了这个保障我们便可求出m 的范围.解: 函数||1()()2x f x m =+的图象实际上就是由||1()2x y =的图象通过上下平移而得到的,画出||1()()2x f x m =+的草图如图2.要使得其图象与x 轴有交点,则只要其图象与y 轴的交点(0,1)m +在,A O 两点间运动即可,所以011m ≤+<,解得10m -≤<. 即m 的取值范围为[-1,0）.点评:本题是研究图象与坐标轴的交点问题,画图时要尽可能准确,尤其要注意图象是否会受到一些限制条件(例如||1()2x y =的图象与x 轴只能无限接近但不相交);另外,必要时还要善于抓住图象上的一些关键点.本题就是研究函数图象的平移问题,其实图象的平移本质上就是点的平移,这里我们抓住与y 轴的交点并结合图象使解题走向成功.练习2 若函数()1x f x a b =++(0a >且1)a ≠的图象不经过第一象限,求实数,a b 满足的条件. 3．求最值例3 求函数2()|2|f x x x =-在[0,]a 上的最大值.分析: 本题函数的解析式已经给出,但区间是动态的,因此要结合图象求解.解: 作出函数图象如图3,通过计算得1x =或1x =时,1y =.由图可知:当01a <≤时,2m ax ()()2f x f a a a ==-;当11a <≤+时,m ax ()(1)1f x f ==;当1a >时,2m ax ()()2f x f a a a ==-.点评:当利用图象求一个函数在动区间上的最大值或最小值时,应关注区间在变化时函数图象的最高点或最低点的变化情况.本题正是由于区间右端点a 在逐渐增大时,函数图象的最高点随之发生了变化.因此要牢牢把握其动态过程,再对参数展开讨论.练习3 若函数2()2f x x x =-在区间[1,]a -上的值域为[1,3]-,求实数a 的取值范围. 4．比较大小例4 已知函数2()1f x ax bx =++的零点为1212,()x x x x <,函数22()1g x a x bx =++的零点为3434,()x x x x <.若1a >,试比较1234,,,x x x x 的大小关系.分析: 本题常规思路是求出两个函数各自的零点,再进行大小比较,但非常繁琐.我们通过研究两个函数的图象试试.解: 观察两个函数的解析式可以发现它们只有二次项系数不同,又1a >,所以()()g x f x ≥(仅当0x =时取等号).也就是说除(0,1)是两者的公共点之外,其余部分()g x 的图象始终在()f x 的图象的上方如图4.因为3344()()0,()()0f x g x f x g x <=<=,所以3412,(,)x x x x ∈, 故1234,,,x x x x 的大小关系为1342x x x x <<<.点评:本题利用图象,避免了繁杂的计算,直观明了.一般地,设2()1(0)f x ax bx a =++>的两个零点为1212,()x x x x <,若0()0f x <,则102x x x <<;若0()0f x >,则01x x <或02x x >.练习4：若函数()()()1()f x x x αβαβ=--+<的零点为1212,()x x x x <,则12,,,x x αβ的大小关系为 .5.判断根的个数例5方程1ln 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的根的个数是 。
数形结合思想在函数与方程中的应用
数形结合思想在函数与方程中的应用数形结合思想，就是把代数中的数与几何中的形结合起来理解问题，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想在高考数学中占有重要地位。
下面练习利用数形结合思想解决函数与方程问题（一）数形结合在函数中的应用例1.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈时，f(x)＝log(x＋1)，则f(x)在区间内是( )2A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<0解析由f(x＋1)＝f(－x)可知，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，又函数f(x)为奇函数，故f(x＋1)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，又当x∈时，f(x)＝log(x＋1)，故可得到函数f(x)的大致图象如图所示.由图象可知选B.2答案 B例2.已知函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________.解析y＝＝＝函数y＝kx过定点(0，0).由数形结合可知：0＜k＜1或1＜k＜k，OC∴0＜k＜1或1＜k＜2.答案 (0，1)∪(1，2)例3.已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )A.9B.10C.11D.18解析：在坐标平面内画出y＝f(x)与y＝|lg x|的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是10，故选B.答案 B[点评] 解决本题的关键是在同一坐标系中准确画出两函数的图象，有几个交点，原函数就有几个零点.1.数形结合在方程中的应用例4.已知点在函的图象上，且．求方程解的个数。
思路分析方程解的个数问题，用数形结合思想，其实是画出图像求图像交点个数答案：3解析：，画出及的图像，方程解的个数既为函数图像交点的个数，由图像知原方程有3个解。
数形结合思想在二次函数问题中的应用探析
2020年36期208数形结合思想在二次函数问题中的应用探析李佳彬（福建省南安国光中学，福建 南安 362321）二次函数是我国中考必考的常见知识点，而且二次函数的考察方式也是十分灵活的，二次函数既可以以现实生活中实际的问题作为载体进行考察，又能出现在一些综合题中。
在对学生进行二次函数考察的过程中，能够很好地检验出学生对于二次函数知识掌握的情况，并巩固学生所学。
初中数学教师在教学的过程中需要结合数形结合的思想，让学生可以更加深入地理解二次函数的深刻含义。
一、数形结合思想的概述数形结合的思想主要包括两个方面，主要为“以数论性”和“以形论数”。
在年代比较久远的《中国数学杂志》中，就曾经提到过“形”与“数”之间比较密切的关系。
有关数形结合这一概念正式出现的地方是在我国著名数学家华罗庚的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书中。
华罗庚在书中这样说道：“数无形而少直观，形无数而难入微”，通过数和形的相互转化能够简化一些比较复杂的难以理解的数学问题，体现了数学中精简的思想。
数形结合这种思想将直观的图像和数学语言相结合，将形象的思维和抽象的思维相结合，可以通过直观的图形发挥出抽象概念的支柱作用。
通过这种相互转化、相互补充，使得数形结合成为了解决数学问题的重要思想[1]。
二、数形结合思想在二次函数教学中的应用探析（一）从数到形，“以形论数”学过二次函数的我们都知道，y=ax2+bx+c的形式称之为二次函数，其中a、b、c是常数，a≠０，其中x是自变量，y是因变量，a、b、c是常 量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
首先，数学教师要先让学生理解这个一元二次函数的内涵，让学生理解常数a不仅仅是二次函数中二次项的系数，也决定了二次函数图像的开口方向和开口的大小，常数a和b决定了二次函数对称轴的位置，常数c决定了二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点的位置，在学生确定了常数a、b、c之后，就能确定二次函数的图像以及表达式。
数形结合法在解答函数问题中的应用
探索探索与与研研究究数形结合法是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，从而实现解题的目的的思想方法．函数图象是由函数在平面上的点的集合构成的曲线.因而函数的解析式和图象是呈一一对应的关系,在一定的条件下,它们是可以相互转化的．在解答函数问题时，我们不妨绘制出函数图象，运用数形结合思想来解题,这样能使复杂问题简单化，抽象问题具体化.运用数形结合思想来解答函数问题的基本步骤是:1.结合函数的解析式绘制出相应的函数图象;2.明确函数图象的性质、特点，尤其要关注函数图象的对称轴、最值点、零点以及单调性，3.联系所要求解（求证）的目标，借助函数图象来分析问题，求得结果.例1.定义max {}a ,b ={a ,a ≥b ，b ,a <b .已知f (x )=max{||x +1+1,2x },g ()x =ax +b .若f (x )≤g ()x 对任意x ≥1恒成立，则2a +b 的最小值是．解析：解答本题，要先求得f (x )的最大值.若采用代数方法求解，需要通过分类讨论来比较||x +1+1与2x 的大小，而借助函数的图象可以直接比较出||x +1+1与2x 的大小，因此本题需采用数形结合思想来解题.解：根据题意画出f (x )=max {}||x +1+1,2x 的图象，如图1所示.要使f (x )≤g ()x 对x ≥1恒成立，只需使g （x ）恒大于f （x ）的最大值即可.由图1可知，当a ≥2时,a ×1+b ≥||1+1+1=3，即a ≥2,a +b ≥3，所以2a +b =a +()a +b ≥2+3=5，即所求的最小值为5.在求含参函数的值域问题时，若用代数方法求解较为复杂，我们不妨将数形结合起来，绘制出相应的函数图象，通过分析函数图象的最值和曲线的变化情况，来建立新的关系式，便可求得参数的取值范围.图1图2图3例2.已知函数f ()x =ìíî2x +1,x ≤0,||lg x ,x >0,若关于x 的方程f 2()x -af ()x +2=0恰有6个不相同的实数解，则a 的取值范围是．解析:本题中的函数是复合函数，直接求解很难，我们需借助函数f (x )的图象，运用数形结合思想来解题.首先将问题转化，令f （x ）=t ，则方程f 2()x -af ()x +2=0恰有6个不相同的实数解,等价于方程t 2-at +2=0在(]1,2上有两个不同的解,然后根据函数的解析式画出函数f （x ）的图象，根据一元二次方程根的分布情况建立关系式，即可求得a 的取值范围.解：令f （x ）=t ，由f 2()x -af ()x +2=0可得t 2-at +2=0，要使方程f 2()x -af ()x +2=0恰有6个不相同的实数解，只需使g （t ）=t 2-at +2=0在（0,2）上有两个解.绘制出函数f （x ）的图象，如图2所示，由图可得ìíîïïïïïïïïg （a 2)<0,0<a 2≤2,g （0)>0,g （2)≥0,解得ìíîïïa <-22或a >22,0<a ≤4,a ≥3,所以22<a ≤3.例3.已知f ()x =||2x -2,若a ≠b ,且f ()a =f ()b =m ,求m 以及a +b 的取值范围.解：作出y =f ()x 的图象，如图3所示.不妨设a <b ，显然函数f ()x 与y =m 的图象有两个交点，所以0<m <2.若a ≠b ,且f (a )=f (b ),则f ()a =2-2a ,f ()b =2b -2,而f ()a =f ()b ，所以2-2a =2b -2，即2a +2b =4，所以4=2a +2b ≥22a ∙2b =22a +b ,即2a +b ≤4，所以a +b ≤2.又因为a ≠b ，所以a +b <2．本题若采用代数方法，通过分类讨论来解题，较为复杂，我们通过绘制函数f ()x 的图象，利用分段函数图象的性质，直观地建立了a ，b 的关系，只要把所求的范围看作求函数的值域问题来求解即可．数形结合思想在解答函数问题中发挥着非常重要的作用，尤其是在解答函数最值、零点、单调性等问题时，将数形结合，可以很容易找到解答问题的突破口和思路.运用数形结合思想解题，能通过图象直观地感知函数的变化趋势，进而得到满足题意的关系式，从而快速解题.这样能有效避免复杂的推理和计算，少走弯路.（作者单位：许辉煌，福建省德化第一中学；指导老师：赖玉枝）56Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
“数形结合”在二次函数中的应用
“数形结合”在二次函数中的应用数形结合是数学中一种重要的解题方法，它通过利用图形的性质和数学的方法相结合，帮助我们更好地理解和解决问题。
在二次函数中，数形结合可以帮助我们分析二次函数的性质、研究函数的图像、解决实际问题等。
二次函数是一种以 x 的二次方为最高次幂的函数，一般可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
首先，我们来看二次函数的图像。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx+ c，我们可以利用数形结合的方法来画出它的图像。
首先，我们可以找出它的顶点。
二次函数的顶点坐标为 (h, k)，其中 h = -b/2a，k =f(h)。
通过求解这个方程，我们就可以得到顶点坐标。
然后，我们找出函数的对称轴。
二次函数的对称轴是 x = h。
接下来，我们可以求解函数的y-截距。
即当 x = 0 时，f(x) = c，这个值就是函数的 y-截距。
有了顶点坐标、对称轴和 y-截距，我们就可以画出二次函数的图像，进一步分析函数的性质。
其次，数形结合在研究二次函数的性质和解决实际问题中也非常有用。
对于二次函数来说，我们可以通过分析函数的系数a、b和c，来研究函数的性质。
首先，系数a决定了抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
其次，系数a的绝对值决定了抛物线的狭长程度。
绝对值越小，抛物线越狭窄；绝对值越大，抛物线越扁平。
最后，系数c决定了抛物线与y轴交点的位置，即y-截距。
通过分析这些性质，我们可以更好地理解二次函数的图像和性质。
另外，在解决实际问题中，数形结合方法也起到了非常重要的作用。
例如，当我们需要求解一个二次函数的最大值或最小值时，通过绘制函数的图像，并利用数学方法求解这个问题，可以更快地得到答案。
同样地，当我们需要求解一个实际问题中的最优解时，通过综合运用数学的分析方法和图形的特点，可以更好地解决问题。
数形结合思想在函数问题中的应用
《数形结合思想在函数问题中的应用》教学设计一、教学设计的背景在整个中学数学教学中, 数形结合思想是一种比较一般而又十分重要的思想方法。
数形结合思想：就是把刻划数量关系的数和具体直观的图形有机结合，是抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。
数形结合的思想贯穿初中数学教学的始终。
数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：①以数解形：建立适当的代数模解决有关几何的问题型。
②以形助数：建立几何模型(或函数图象)解决有关方程和函数的问题。
③数形结合：与函数有关的代数、几何综合性问题。
④以图象形式呈现信息的应用性问题。
（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
数形结合贯穿于整个初中的数学教学，应用广泛。
本节课，把数形结合思想主要应用于函数问题上。
二、教学目标：1、知识目标1）理解数形结合的本质：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图像的性质．2）了解数形结合在解决数学问题中的作用，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决．2、能力目标1）学会以数解形、以形助数、数形结合思想进行数学思考和解决问题，培养用数形结合的思想解决问题的意识．掌握将代数问题转化为几何问题、几何问题转化为代数问题的技巧．2）通过运用数形结合的思想解题，培养学生的观察能力、分析归纳能力，领会数形结合转化问题的思想方法．3、情感目标通过本节课的学习，提高学生分析问题和解决问题的能力．培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神．渗透理论联系实际、从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想．三、教学重、难点重点：以数解形、以形助数、数形结合。
难点：在函数解析式与图像的结合点上去找出解题思路：如何以数思形、以形思数，从而达到数形结合、解决问题的目的。
四、教学方法纵观整个初中阶段的数学教学，数学思想方总是隐含其中、是在逐步渗透着的，进入中考复习第二轮时必须进行系统的介绍、运用，结合九年级学生的知识和技能的掌握情况及其心理特征，本节课拟采用引导发现探索法，教师适当引导，学生自主探索、合作交流。
(完整word)数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)汇总,推荐文档
数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
数形结合思想在初中数学教学中的应用——以“函数”教学为例
教学·策略数形结合思想在初中数学教学中的应用———以“函数”教学为例文|林欣为了促进教学活动的顺利、高效开展，明确落实教学目标，教师需要重视对教学理念的创新与变革，以便为学生创造良好的学习环境，进一步挖掘学生的潜能，为学生高效开展数学学习奠定基础。
数形结合思想作为重要的数学思想，对提升学生的数学学习能力有着重要意义。
教师应将数形结合思想融入日常教学中，以助力学生更高效地解决数学问题，促使学生形成良好的数学思维。
同时函数作为初中数学的重要内容，对学生数学素养与能力的提升有着重要影响。
因此，在“函数”教学中，教师应重视对数形结合思想的有效应用，直观、生动地展现抽象的函数知识，充分发挥学生的形象思维能力，帮助学生掌握问题的本质，使其能够快速、高效地解决问题，从而为初中数学教学的高质、高效开展提供助力。
一、创设教学情境在初中数学教学活动中，教师可以结合教学知识创设生动、有趣的教学情境，以吸引学生的注意力，使学生能够真正关注到问题，并运用图形对问题中所包含的内容进行直观呈现，让学生亲身感受到数形结合所创造的便利，进而激发学生运用数形结合方法解决数学问题的热情，并深刻认识到数形结合思想的价值与意义。
例如，教师可以结合生活实际设置例题，通过创设良好的教学情境，激发学生的解题兴趣。
问题：25路公交车往返于A、B两地，两地的发车时刻表相同。
假设公交车均速直线向前行驶，从A 地到B地，从B地到A地所用时间都是60分钟，每间隔10分钟发一趟车。
提问：一辆25路公交车从A 地出发，途中能遇到几辆由B地出发的25路公交车？在分析问题后：学生1：能够遇到4辆。
学生2：能够遇到5辆。
学生3：能够遇到6辆。
学生4：能够遇到7辆。
教师：针对这一问题，大家的答案各不相同，以前也有数学家针对类似问题进行了激烈争论。
虽然这道题十分简单，却隐藏着重要信息，需要我们运用合理的方法解题。
学生一听数学家都没有解出这道题都感到十分的疑惑，非常想知道最后数学家是怎样解出问题的。
数形结合在解决函数问题中的应用
数形结合在解决函数问题中的应用摘要】数形结合是对于客观事物的抽象性反映，数学学习过程中处处渗透着数形结合的思想.数与形问题的解决，是为了培养学生们的思维和判断能力，并且构成合理的数学教学任务.本文通过对于函数图像和几何图形的了解，结合实际教材的情况，分析数形结合在现实问题中的使用的意义和作用.【关键词】数形结合；抽象性；函数函数的图像和性质是对于数学问题解决的突破口，函數的图像是数学函数解析式的直观反应.通过图像的形式可以了解函数和变量之间的关系，函数的图像代表着函数的性质.中学阶段函数的理论对于数与形的解读具有很重要的作用.函数的分析，既可以帮助数形结合问题的数据分析，同时也可以帮助解决应用的问题.数形结合的理论和思想是形成数与形之间对应关系重要，通过对数与形之间的相互关系的转化，来解决数学问题的思考.就目前的数学教材来说，如何才能更好地加强对于数与形在数学学习中的应用，就需要通过大量的实证，了解函数题解答过程中的研究和分析.一、数形结合思想的根本理念数和形在数学研究过程中具有重要的作用，数形的研究，不仅仅是对于物体数量分析的研究，更重要的是为了研究物体的形状的计算.数形结合的思想就是将物体的数量、精确程度和物体形状的直观性不断结合在一起.数形结合将抽象的数学语言，通过直观性的图形不断的转换加以表达，帮助说明方法充分发挥代数和几何学科的理论，来解决代数方程中的问题.数学的结合思想形成了数学的思想.通常情况下我们可以将数形的开展，变成数学开展中和谐性的统一.二、数形结合思想在数学学习过程中的地位和作用数形结合是通过数量的形状和图像的性质来加以转化的，数形结合的方式可以将抽象的思维和形象的思维，不断结合在一起.让抽象的数量和直观的图形结合在一起来研究数量的抽象性质，因此，数形结合是几何和代数之间的解决问题的方式.〔一〕数形结合在数学中的作用数形结合是培养学生分析数学问题和解决数学问题的根底，数形结合的理念贯穿说明了数据的形象美，而图像的性质说明了数量的表现，是数形结合的方式.数形结合通常情况下是需要来研究曲线和方程的对应关系，实数和数轴上的点的对应关系.数形结合也是研究函数的开展关系以及代数式和等式的开展关系.〔三〕数形结合在数学学习中的运用数形结合在一定程度上使用的范围较广，在数学问题解答的过程中，解答区域定义域和值域，都需要运用到数形结合的思想.数形结合不仅仅可以方便解题的思路，同时还可以防止存在更加复杂或者是无用的计算，让学习数学过程中的计算问题加以解决.〔四〕数学数形结合的思想可以更快地解答函数题中的问题数形结合的方式，可以方便对于函数的图像、函数的性质以及函数理论问题的解决.有助于应用函数的性质分析和解决问题的分析.比方，在研究函数的值域求解方面，我们就可以发现数形结合的应用有重要的作用，如右图所示：借助图像可知道，该函数的值域为-174，2.由图我们可以知道，在数学学习过程中常见问题就是对于函数的求解问题，数形结合的思想可以更好地通过图像让我们了解出函数的值域分析，并在区间内解决函数的值域问题.三、结束语数形结合的思想是数学问题思考的一种模式，数形结合是解决数学问题的主要主线.数形结合的思想，让复杂的问题变得更加简单化.数形结合可以把抽象的数据变得更加直观.数形结合将几何图形不断结合在一起，加强对于数学事物的本质把握和规律的总结，数形结合的思想具有灵活性和创造性.在实际生活中函数运用过程，需要通过多方位、多角度的思考来选择适宜的分析路径.要想学好函数就需要掌握丰厚的根底知识和熟练的技术技巧，数形结合是数学学习过程中的重要一局部，在数学学习思想中，涉及方法[J].甘肃教育，1995〔Z1〕：73-74.【2】孟灵芬.数形结合思想在初中数学中的地位和作用[J].教育艺术，2021〔2〕：77.【3】岑惠燕.数形结合思想的教学意义[J].新课程〔综合版〕，2021〔10〕：87-88.【4】吴方淼.运用数形结合思想解题的常用策略[J].中学教学参考，2021〔5〕：67-68.【5】王林全，吴友昌.初等数学解题研究：第2版[M].北京：科学出版社，2021方法[M].桂林：广西师范大学出版社，2021.。
数形结合思想在高中函数教学中的应用
数形结合思想在高中函数教学中的应用
数形结合是数学教学中的重要思想，也是帮助学生理解抽象数学知识的有效方法之一。
本文就从数形结合思想在函数教学的应用和研究进行概述，以期能够为高效数学课堂的顺利实现奠定坚实的基础。
函数是贯穿于数学教学中的一项重要内容，是数学教学中的重要组成部分，但也是数学教学中的难点。
所以，为了有效地展现函数教学的价值，我们可以有效地将数形结合思想贯彻落实到函数教学之中，比如，单调性的判断、最值、解的个数、某数的取值范围等。
也就是说，在函数教学过程中，我们要充分发挥数形结合思想的作用，以大幅度提高学生的解题能力。
参考文献：。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用1. 引言1.1 引言概述二次函数在数学教学中扮演着重要的角色，而数形结合思想则是二次函数教学中的一种重要方法。
数形结合思想是指将数学概念与几何图形相结合，通过观察和分析图形，深入理解数学概念。
在二次函数教学中，运用数形结合思想可以帮助学生更直观地理解函数的性质和特点，提高他们的学习兴趣和学习效果。
本文将围绕数形结合思想在二次函数教学中的应用展开讨论。
我们将探讨数形结合的重要性，说明其对学生学习的益处。
接着，我们将分析如何在二次函数教学中应用数形结合思想，介绍具体的教学方法和技巧。
然后，我们将讨论数形结合在二次函数图像的解析中的应用，以及在实际问题中的具体运用。
我们将总结数形结合思想在二次函数教学中的启示，展望其在其他数学教学中的潜在应用价值。
通过本文的讨论，希望能够为教师和学生提供有益的启示，促进数学教学的创新与发展。
2. 正文2.1 数形结合的重要性数形结合是数学教学中一种重要的思维方式，它通过将数学概念与几何形状相结合，帮助学生更深入地理解抽象的数学概念。
在二次函数教学中，数形结合的重要性体现在以下几个方面：数形结合能够帮助学生从直观的角度理解二次函数的性质。
通过观察二次函数图像的形状、拐点位置等特征，学生可以更加直观地感受到二次函数的凹凸性、极值点等数学概念，从而加深对二次函数性质的理解。
数形结合可以提高学生的解题能力和应用能力。
在解决与二次函数相关的实际问题时，通过将数学模型与几何图形相结合，学生可以更快地找到问题的解决方法，并更好地理解问题的本质，从而提高解题效率。
数形结合还能够激发学生对数学的兴趣和热情。
通过观察二次函数图像的变化规律、探讨数形结合在实际问题中的应用等，可以帮助学生发现数学的美感和实用性，从而增强对数学学习的动力和积极性。
数形结合在二次函数教学中的重要性不言而喻，它能够帮助学生更好地理解数学概念，提高解题能力，培养数学兴趣，促进学生全面发展。
高考数学：数形结合在函数问题
例 2 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2 －|x＋2|.若对任意的x∈[－1，2]，f(x＋a)>f(x)恒成立，则 实数a的取值范围是( D ) A．(0，2) B．(－∞，－6)∪(0，2) C．(－2，0) D．(－2，0)∪(6，＋∞)
【解析】f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x<0 时，f(x)＝2－|x＋2|.根据奇函数的图像关于 原点对称，作出 f(x)的图像，如图所示．
g′(x)＝(2a－1)e2x－2aex＋1＝(ex－1)·[(2a－1)ex－1]，
①若 a>12，令 g′(x)＝0，得极值点 x1＝0，x2＝ln 2a1－1.当 x2>x1＝0，即12<a<1 时，在(x2， ＋∞)上有 g′(x)>0，此时 g(x)在区间(x2，＋∞)上单调递增，并且在该区间上有 g(x)∈(g(x2)， ＋∞)，不合题意；
n－m
的最大值为3＋2
10 .
分考点讲解
与不等式有关的问题
利用函数f(x)和g(x)图像的上下位置关系，可直观地得到不等 式f(x)>g(x)或f(x)<g(x)的解集．
当f(x)的图像在g(x)的图像的上方时，自变量x的范围是不等式 f(x)>g(x)的解集；当f(x)的图像在g(x)的图像的下方时，自变量x 的范围是不等式f(x)<g(x)的解集．
C．[1，＋∞)
D.e12，1e
【解析】由 f(x)＝xln2， （xx≤ ＋01， ），x>0，得 f(x)－1＝xln2－ （1x＋，1x≤ ）0－，1，x>0. 在平面直角坐标系中，画出函数 y＝f(x)－1 与 y＝a(x＋1)的大致图像，如图所示．
数形结合思想在函数中的应用[001]
![数形结合思想在函数中的应用[001]](https://img.taocdn.com/s3/m/45b97bd9a5e9856a57126081.png)
数形结合思想在函数中的应用所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化．本文以一次函数为例，说明它的几个应用．一、“形”到“数”的思想应用例1小明同学骑自行车去效外春游，图1表示他离家的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的关系图象．（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时时离家多远？（3）求小明出发多少时间距家12千米？解：（1）由图象知离家最远30千米需要3小时．（2）线段CD的函数关系式为y=15x-15（2≤x≤3），当x=2.5时，y=15×2.5－15＝22.5（千米）．所以小明出发2.5小时时，离家22.5千米．（3）小明距家12千米时应在OB线段或EF线段，线段OB函数关系式为y=15x（0≤x≤1），线段EF函数关系式为y=-15x+90（4≤x≤6）．当y=12时，有15x=12，-15x+90=12．解得45x=或265．所以小明出发45小时，或265小时，离家12千米．二、“数”到“形”的思想应用例2某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t（小时）与山高h（千米）之间函数关系用图象表示是（）解：（B）、（C）显然不符合，比较（A）和（D），发现（A）爬山高度超过3千米，所以选（D）．三、数形结合思想应用例3如图2，表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中路程y（千米）随时间x（分）的变化图象（全程），根据图象回答下列问题．（1）求比赛开始多少分钟两人第一次相遇；（2）求这次比赛全程是多少千米？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇；解：（1）由图象知第一次相遇在AB段且距出发地6千米．线段AB的一次函数关系式为110(1533) 93y x x=+≤≤．当110693x=+时，x=24（分）．第一次相遇时间为24分钟．（2）由（1）知，线段OD过点（24，6），所以OD的一次函数关系式为1(048)4y x x=≤≤．当x=48时，148124y=⨯=（千米）．所以比赛全程为12千米．（3）由图象知第二次相遇在BC段，线段BC的一次函数关系式为119(3343) 22y x x=-≤≤．线段BC与OD交点为方程组1411922y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，的解．解得3819.2xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，．所以第二次相遇在第38分钟．数学家华罗庚说过：数形结合千般好，数形分离万事休．数形结合思想是一种重要思想方法，请同学们一定留意它在数学中的应用．。
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数形结合思想在函数中的应用
（江苏省泰州市海军中学杨金宝225300）
数形结合是数学研究的重要方法是传化的数淫思想的重要体现。
数形结合包括代数问题几何解和几何问题代数解两个方而，前者初屮阶段有解析法和构造几何图形法，后者包括方程法和函数法。
本文从两方而探讨数形结合思想在初中数学中的应用。
（-）数形结合的简介
屮学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平而几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方而，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数Z 间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些屈性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。
”数形结合就是根据数学问题的条件和结论Z间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形彖巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简, 从而得到解决。
“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形” 的矛盾的统一。
（二）函数数形结合的应用
1、图形信息的获取，建立适当的代数模型。
不少函数问题以图形的形式出现，图形屮包含丰富的代数知识，仔细观察图形、图像、把握图形的特点、找出图形中的信息是解决问题的关键所在。
例1：某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头。
假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y （升）与接水时间x（分）的函数图像如图。
请结合图像，回答下列问题：
（1）根据图中信息，请你写出一个结论；
（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？
(3)小敏说：“今天我们褸室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3 分钟。
”你说可能吗？请说明理由。
分析：此类题型为图像信息问题，所有的信息由图像反映，图形是折线，分为两段，代数模型为：两个不同的一次函数。
根据图形可得到点的坐标(0, 96), (2, 80), (4, 72)O代表的意义为：到2分钟，锅炉内原冇水96升，接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升，接水4分钟，锅炉内的余水量为72升; 2分钟前的水流量为每分钟8升等。
利用待定系数法的代数方法求出函数解析式，利用代数的精确性说理解题。
解：(1)略
(2)当0WxW2 时,y=-8x+96 (0WxW2),
当x>2 时，y=-4x+88 (x>2)
•・•前15位同学接完水时余水量为96-15X2二66 (升)，
.•.66二-4x+88, x=5. 5
答：前15位同学接完水需5・5分钟。
(3)若小敏他们是一开始接水的,则接水时间为8X24-8=2 (分)，即8位同学接完水，只需要2分钟，与接水时间恰好3分钟不符。
若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设8位同学从t分钟开始接水,当0VtW2 则8 (2-t) +4[3- (2-t) 1=8X2, 16-8t+4+4t=16, ・・・t=l
(分)，・・・(2-t) + [3- (2-t) ]=3 (分)，符合。
当t>2 时，则8X24-4=4 (分)
即8位同学接完水，需7分钟，与接水时间恰好3分钟不符。
所以小敏说法是可能的，即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了 3 分钟。
2、构造图形、图像，建立合理的几何模型，利用图像法解决代数问题。
例2：利用图像解X2-2X -1二0的一•种方法是：画出抛物线y = x?与直线y =2x + 1 ,两图像的交点的横坐标就是方程的解。
(1)再给出一种利用图像求方程X2-2X -1二0的解。
(2)已知函数丫=%‘的图像，求X3-X-2= 0的解(保留两个冇效数) 分析：用
代数的方法求一元二次方程的解是机械的方法操作，利用图形的
直观性，代数的问题几何化，学生在动手画图和观察图形关系中经历“观察、实验、发现、猜想、归纳、验证”的过程，学生学习知识的能力和水平得到提高，数形结合的思想得到渗透。
3、屮考数学压轴题屮的数形结合思想。
压轴题的关系多，涉及的知识点广, 关键是找到数与形的契合点，数形的契合点以等式方程为载体，图形的相似、全等、勾股定理、解直角三角形等是建立等式、方程的基础，灵活的采用几何问题代数化，代数问题几何化的数形结合思想，找出契合点。
例3：在直角坐标平面内，0为坐标原点,A点的坐标为(1, 0),点B在x轴上且在点A的右侧,AB二OA,过A、B做x轴的垂线，分别交二次函数y二x2的图像于点C、Do直线0C交BD于M,直线CD交y轴于H,记点C、D的横坐标分别为Xc、X D，点H的纵坐标为Y H O同学们发现两个结论：1、S AC MD: S四边形ABMC二2 : 3； 2、数值关系:x c• x D=-y H
(1)请你验证两个结论是否成立。
(2) 请你研究：
如果将上述条件“A点的坐标为(1, 0) ”改为：“A点的
坐标为(t, 0), (t>0)” 其他条件不变，S AC MD : S四边形
ABMC=2 ： 3是杏成立，说明理由。
(3)进一步研究：如果将条件“A点的坐标为(1, 0)”
改为：“A点的坐标为(t, 0), (t>0)”，又将条件y二x?
改为y=ax2(a>0), 其他条件不变，那么xc. 和％有怎
样的数值关系，写出结果并说明理出。
分析：(1)因为AB=OA,显然几何关系是：AC是
AOAB的中位线，满足代数关系BM=2AC；根据平行线等分线段定理，点C是线段0M的中点，继续则发现AHOC^ADMC, OH二DM。
显然隐含关系BM二MD,契合点为:y D=2y M；
(2)几何图形坐标化，把点的坐标量化为几何线段的长：数值关系：x c%二-九•・・xc=l、DM二BM二0H、-y尸OH、x D=OB,结合图形和条件A(l, 0), ZC0A 二45°, OB=BM, 得证。
把代数等式化为几何对象，契合点为ZC0A=45\
(3)“A点的坐标为(1, 0)"改为:"A点的坐标为(t, 0), (t〉0)”，只是表示AC、BM、MD时曲整数变成了字母，字母代替数，范围扩大了，图形变化曲数t引起，AC. BM、MD的几何图形关系完全一样，解决方法(1)-样。
例3中(2) (3)的契合点是：数形辩证统一关系。
牢牢抓住数和形中的不变量，是解决类似问题关键。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起來，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系, 由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
著名数学家华罗庚认为：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。
初中数学函数是学生建立数形结合思想方法的关键时期，初中生经历感悟数和形的辨证统一思想，“直观”、“入微”的形数意识的对学生的数学能力的提升冇积极的作用。