高中数学专题讲义-导数的概念与几何意义

1．函数的平均变化率：

一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-，

10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，

则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x y

x x

+∆-∆=

∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率．

注：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．

2．函数的瞬时变化率、函数的导数：

设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．

如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()

f x x f x y x x

+∆-∆=

∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．

“当x ∆趋近于零时，00()()

f x x f x x

+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：

“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()

lim x f x x f x l x

∆→+∆-=∆”，

符号“→”读作“趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作

“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()

lim ()x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆”．

3．可导与导函数：

如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．

导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．

4．导数的几何意义：

设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()

f x x f x y x x

+∆-∆=

∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即

知识内容

板块一.导数的概念 与几何意义

x y

x

O

D C

B A

000()()

lim

x f x x f x x

∆→+∆-=∆切线AD 的斜率．

由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．

题型一：极限与导数

【例1】

正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是（ ） A ．(0180)︒︒， B ．(060)︒︒， C ．(6090)︒︒， D ．(60180)︒︒，

【例2】

在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ） A ．2ππn n -⎛⎫

⎪⎝⎭， B ．1ππn n -⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．2

1ππn n n

n --⎛⎫ ⎪⎝⎭，

【例3】

对于任意π02ϕ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，都有（ ）

A ．sin(sin )cos cos(cos )ϕϕϕ<<

B ．sin(sin )cos cos(cos )ϕϕϕ>>

C ．sin(cos )cos cos(sin )ϕϕϕ<<

D ．sin(sin )cos cos(sin )ϕϕϕ<<

【例4】

若0

()lim

1x f x x →=，则0(2)

lim x f x x →=________．

【例5】

若1

(1)lim

11x f x x →-=-，则1(22)lim 1

x f x x →-=-_______．

【例6】

设()f x 在0x 可导，则()()

000

3lim

x f x x f x x x

∆→+∆--∆∆等于（ ）

A ．()02f x '

B ．()0f x '

C ．()03f x '

D ．()04f x '

【例7】

若000(2)()

lim

13x f x x f x x ∆→+∆-=∆，则0()f x '等于（ ）

A ．23

B ．3

2

C ．3

D ．2

【例8】

设()f x 在x 处可导，a b ，为非零常数，则0()()

lim

x f x a x f x b x x

∆→+∆--∆=∆（ ）

． A ．()f x ' B ．()()a b f x '+ C ．()()a b f x '- D ．()f x '

【例9】

设(3)4f '=，则0

(3)(3)

lim

2h f h f h →--=（ ）

A ．1-

B ．2-

C ．3-

D ．1

【例10】 若()2f a '=，则当h 无限趋近于0时，

()()

2f a h f a h

--=______．

【例11】 已知函数2

()8f x x x

=+，则0

(12)(1)

lim

x f x f x

∆→-∆-∆的值为 ．

典例分析