中考数学之几何最值及路径长(讲义及答案)

几何最值及路径长（讲义）

一、知识点睛

1.几何最值问题的处理思路

①分析定点、动点，寻找不变特征；

②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；

若不属于常见模型，要结合所求目标，根据不变特征转化为基本定理或表达为函数解决问题．

转化原则：

尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标．

基本定理：

两点之间，线段最短（已知两个定点）

垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）

三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）

过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦

常用模型、结构示例：

①奶站模型

求PA+PB 的最小值，求|PA-PB|的最大值，

使点在线异侧使点在线同侧

②天桥模型

固定长度线段MN 在直线l 上滑动，求AM+MN+BN 的最小值，需平移BN（或AM），转化为奶站模型解决．

3

③折叠求最值结构

求BA′的最小值，转化为求BA′+A′N+NC 的最小值（利用

A′N+NC 为定值）．

2.解决路径长问题的思路

①分析定点、动点，寻找不变特征；

②确定运动路径；

通过“起点、终点、特殊点”猜测运动路径，并结合不变特征进行验证．

③设计方案，求出路径长．

二、精讲精练

1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的直角顶点A 在

x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，)，点C 的坐标为(

1

，0)，点P 为斜边OB 上一动点，则PA+PC 的最小值为

2

．

第1 题图第2 题图

2.如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 边的中点．若

P，Q 为BC 边上的两动点，且PQ=2，则当BP=

时，四边形APQE 的周长最小．

2

3.如图，在边长为2 的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的

中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．

第3 题图第4 题图

4.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片

折叠，使顶点A 落在BC 边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB，AD（包括端点），设BA′=x，则x 的取值范围是．5.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，O 为AC 的

中点，过O 作OE⊥OF，OE，OF 分别交射线AB，BC 于E，F，连接EF，则EF 长度的最小值为．

第5 题图第6 题图

6. 如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB= 2 ，D

是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径作⊙O 分别交AB，AC 于E，F，连接EF，则线段EF 长度的最小值为．7.如图，E，F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，且满足

AE=DF．连接CF 交BD 于点G，连接BE 交AG 于点H，连接DH．若正方形的边长为2，则DH 长度的最小值是．

8.如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且

∠ACB=30°，点E，F 分别是AC，BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G，H 两点．若⊙O 的半径为7，则GE+FH 的最大值为．

第8 题图第9 题图

9.如图，直线l 与半径为4 的⊙O 相切于点A，P 是⊙O 上的一

个动点（不与点A 重合），过点P 作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则(x-y)的最大值是．

10.如图，边长为2 的正方形ABCD 的两条对角线交于点O，把

BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A′BCD′．设A′C，BD′交于点O′，若旋转了60°，则点O 运动到点O′所经过的路径长为．

第10 题图第11 题图

1.如图，木棒AB 的长为2a，斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON

上，且与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A 端沿NO 向下滑动到A' ，B 端也随之沿直线OM 向右滑动到B' ，若

AA' = ( 2)a ，则木棒的中点P 随之运动的路径长为

．

3

3

12. 如图，已知线段 AB =10，AC =BD =2，点 P 是线段 CD 上一动

点，分别以 AP ，PB 为边向上、向下作正方形 APEF 和正方形 PHKB ．设正方形对角线的交点分别为 O 1，O 2，当点 P 从点 C 运动到点 D 时，线段 O 1O 2 的中点 G 运动的路径长为 ．

第 12 题图

第 13 题图 13. 已知等边三角形 ABC 的边长为 4，点 D 是边 BC 的中点，点E

在线段 BA 上由点 B 向点 A 运动，连接 DE ，以 DE 为边在DE 右侧作等边三角形 DEF ．设△DEF 的中心为 O ，则点 E 由点

B 向点 A 运动的过程中，点 O 运动的路径长为 ． 14. 如图，点 A 是第一象限内横坐标为2 的一个定点，A

C ⊥x

轴于点 M ，交直线 y =-x 于点 N ．若点 P 是线段 ON 上的一个动点，∠APB =30°，BA ⊥PA ，则点 P 在线段 ON 上运动时，

A 点不变，

B 点随之运动．当点 P 从点 O 运动到点 N 时，点

B 运动的路径长是 ．

三、回顾与思考

5