中考数学二轮复习专题练习几何最值问题新人教版

几何最值问题

1.如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一只蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）

A ．3

B

2+

C

D ．4

答案：C

解析：将正方体展开，连接AB ，根据两点之间，线段最短，可知AB 就是最短路径；过点A 做AM 垂直于正方形的边长，垂足是点M ，根据正方形的性质和勾股定理知：

AB ===

2.如图，正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从M 点沿正方体的表面爬到1D 点，蚂蚁爬行的最短距离是( )

A

B ．3

C

D ．2+

答案：C

解析：将正方体展开如图所示，连接1D M ，根据两点之间，线段最短，知1D M 就是最短路径；在1Rt D DM ∆中，13,2DM DD ==，故：1113D M DM DD =+=

3.如图，A 是高为10cm 的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A 点出发，沿30︒角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）

A ．10cm

B ．20cm

C ．30cm

D ．40cm

答案：B

解析：将圆柱延点A 处展开如下图，根据两点之间，线段最短，可知AB 是要求的最短路径，根据30︒角直角三角形的性质得：20AB cm =

4.已知如图，直角梯形ABCD 中，AD BC P ，AB BC ⊥，2AD =，5BC DC ==，点P 在BC 上移动，则当PA PD +取最小值时，APD ∆中边AP 上的高为 ．

C

B

A ．8

B ．10

C ．

D 答案：D

解析：过点D 作DM

BC ⊥于点M ，作点A 关于点B 的对称点'A ，连接'A D 交BC

于点P ；

∵AD BC P ，AB BC ⊥

∴四边形ABMD 是矩形

∴2,AD BM AB DM ===

∴在Rt CDM ∆中，3,5CM CD ==

∴由勾股定理知：4AB DM ===

在'Rt AA D ∆中，'2,8AD AA ==，

∴由勾股定理得：'A D ==

∵'A B DM =

∴'A BP DMP ∆∆≌

∴'A P DP =

∵'A P AP =

故AP =在APD ∆中，

1122AP DN AD DM =g g

∴AD DM DN AP ==g

5.如图，在ABC ∆中，15AB =，12AC =，9BC =，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB CA 、分别相交于点E F 、，则线段EF 长度的最小值是（ ）

A ．125

B ．365

C ．152

D ．8

答案：B

解析：

取EF 的中点O ,取圆与直线AB 的切点为M ，连接OC OM 、

∵15AB =，12AC

=，9BC = ∴222BC AC AB +=

由勾股定理知，ABC ∆是直角三角形

在EFC ∆中，O 是EF 的中点， ∴12

OC EF = 又∵OC

OM = ∴EF OC OM =+

∴当点C O M 、、三点共线且CM 垂直于AB 时，EF 最小 ∴365

AC BC EF CM AB ===g

6.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）

A ．

B ．

C ．3

D 答案：A

解析：

∵四边形ABCD 是正方形

∴点D 关于直线AC 的对称点是点B

∴PD PE PB PE +=+

根据两点之间，线段最短，当B P E 、、三点共线时PD PE +最小，等于BE ∵ABE ∆是等边三角形

∴BE AB =

=

7.如图，在锐角ABC △中，4542BAC AB ∠==°，，BAC ∠的平分线交BC 于点D M N ，、分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是___________．

答案：4

解析：过点B 作BG AC ⊥于点G

∵AD 是BAC ∠的角平分线

∴点N 关于AD 的对称点'N 正好落在AC 上，连接'MN

∴'BM MN BM MN +=+

根据点到直线的距离，垂线段最短，知BM MN +的最小值就是BG

∴422

BG AB ==⨯=

8.已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A B 、分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的

正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的长的最大值是 ．

A ．1)2

a +

B ．12

a -

C ．

12a + D ．2a

答案：C

解析：

取AB 的中点P ，连接OP 、PC

在Rt AOB ∆中，1122OP AB a ==，22

PC AC a == 根据三角形三边性质，OC OP PC <+

∴当OC OP PC =+（此时点O P C 、、三点共线）时，OC 最大

∴12

OC a +=

9． 如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB ∆的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（33，），点C 的坐标为（102

，），点P 为斜边OB 上的一动点，则PA PC ＋的最小值为（ ）．

A ．2

B ．2

C ．

32+

D ．答案：B

解析：如图，作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN OA ⊥于N ，则此时PA PC ＋的值最小．