立体几何综合试题

立体几何综合试题

1.如图，在正三棱柱 ABC — A i B i C i 中，各棱长都相等，D 、 (i )求证：DE //平面 A i B i C i ； (2)求二面角 A i — DE — B i E 分别为AC i , BB i 的中点。 的

大小。

4.在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，CA=CB=CC i =2, / ACB=90 ° , E 、F 分别是 BA 、BC 的中点，G 是 AA i 上一点，且AC i 丄EG.

(I)确定点 (n)求直线 G 的位置；

AC 1

与平面EFG 所成角0的大小.

5 .已知四棱锥 2.如图：已知直二棱柱 ABC — A i B i C i , AB = AC , F 为棱 BB i 上一点，BF

: FB i = 2

: I , BF = BC =

2a 。

(I )若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于 A 、D 的任意一点，证明 EF 丄FC i ; (II )试问：若 AB = 2a ,在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB i C i C 成60°角, 的结论 为什么？证明你

3. / ADC (I )

P —ABCD ，底面ABCD 是菱形,

点E 为AB 中点，点F 为PD 中点.

(1) 证明平面 PED 丄平面PAB ;

(2) 求二面角P —AB — F 的平面角的余弦值

如图，在底面是直角梯形的四棱锥P — ABCD 中，AD // BC , / ABC = 90。，且

= arcsi 』，又 PA 丄平面 ABCD , AD = 3AB = 3PA = 3a 。 5

求二面角P — CD — A 的正切值；

(II )求点A 到平面PBC

的距

离。

-D

6.在棱长为4的正方体ABCD-A i B i C i D i 中，0是正方形A i B i C i D i 的中心，点P 在棱CC i 上,且CC i =4CP. (I )求直线AP 与平面BCC i B i 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示) ； (n )设0点在平面D i AP 上的射影是H ，求证： (川)求点P 到平面ABD 1的距离. C i

P C

7、如图，在四棱锥P - ASCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PDi底面ABCD，PD- DC，E 是PC 的中点，作EFLPB交PB于点F。

(I)证明F盘II平面EDB； (II)证明PBi 平面EFD ;

(Ill)求二面角BP氏D 的大小。9、如图，直四棱柱ABCD-A i B i C i D i的底面是

梯形，AB // CD，AD 丄DC，CD=2，DD i=AB=i，P、Q 分别是CC i、C i D i 的中点。点P 到直线AD i 的距离为

迟

2

⑴求证：AC //平面BPQ

⑵求二面角B-PQ-D的大小

&如图，在棱长为1的正方体ABCD —A i B i C i D i中，点E是棱BC的中点，点F 是棱CD上的动点.

(I)试确定点F的位置，使得D i E丄平面AB i F;

(II )当D i E丄平面AB i F时，求二面角C i —EF —A的余弦值. io (本题满分i3分)

已知长方体ABCD —A i B i C i D i中，AB=BC=4，AA i=8，E、F分别为AD和CC i的中点，O i为下底面正方形的中心。

(I)证明：AF丄平面FD i B i；

(n)求异面直线EB与O i F所成角的余弦值；

D

1

立体几何

1、(1)取 A i C i 中点 F ，连结 B i F , DF ,••• D i E 分别为 AC i 和 BB i 的中点，DF // AA i ,

DF= (1/2) AA i , B I E / AA i , B i E= (1/2) AA i ,： DF // B i E , DF=B i E ,.・. DEB i F 为平行四边形，二 DE // B i F ,又 B i F 在平面 A i B i C i 内，DE 不在平面 A i B i C i ,： DE //平面 A i B i C i (2)连结A i D , A i E ,在正棱柱ABC — A i B i C i 中，因为平面A i B i C i 丄平面ACC i A i , A i C i 是平面A i B i C i 与平面ACC i A i 的交线，又因为 B i F 在平面A i B i C i 内，且B i F 丄A i C i ,，所以B i F 丄平面ACC i A i ,又DE // B i F ,所以DE 丄平面ACC i A i 所以/ FDA i 为二面角

设正三棱柱 42

DCi =——,AiD 2 2. (I )连结DF , DC •••三棱柱 ABC — A i B i C i 是直三棱柱， 的棱长为 1 ,因为/

42

=——,N A i DC i =900「Z FDA i 2

A i — DE —

B i 的平面角。并且/ FDA 1 = ( 1/2)/ A i D

C i , 点，所以 AA i C i =900

, D 是 AC i 的中 =45°,即为所求的二面角的度

数。

3/ ••• CC i 丄平面ABC,...平面BB i C i C 丄平面ABC

•/ AB = AC , D 为 BC 的中点，••• AD 丄 BC , AD 丄平

面 BB i

C i

C

••• DF 为EF 在平面BB i C i C 上的射影,

在^ DFC i 中，••• DF 2

= BF 2

+ BD 2

= 5a 2

, DC ； = CC-2 + DC 2

= 10a 2

,

2 2 0 2

FC i = B i F + B iG = 5a ,

• DC i

2 = DF 2 + FC i 2

,• DF 丄 FC i

FC 」EF (II ) •/ AD 丄平面

BB i C i C , ••• / DFE 是 EF 与平面 BB i C i C

所成的角

在^ EDF 中，若/ EFD = 60 ，贝U ED = DFtg60 °= • 75a = V isa ,

•••勺T5a >

, ••• E 在DA 的延长线上，而不在线段AD 故线段AD 上的E 点不能使EF 与平面BB i C i C

成60°

角。 12/

3.解：(1)在底面ABCD 内，过A 作AE 丄CD ，垂足为E ，连结PE

P

Hr

A 「

■ 」 ;

.\ 一

E C

-D

•/ PA 丄平面ABCD ，由三垂线定理知： PE 丄CD •••/ PEA 是二面角 P — CD — A 的平面角 .......

在 RUAED 中，AD = 3a , N ADE = arcsin

PA 在 R U PAE 中，tan N PEA =—

AE

■ p

n 坐”•. AE = AD rsin N AD^^-5

a 5 5

面角P —CD — A 的正切值为 V !

3

(II )在平面 APB 中，过 A 作AH 丄PB ,

又AB 丄BC ,• BC 丄平面 PAB.••平面PBC 丄平面PAB

••• AH 丄平面PBC 故AH 的长即为点 A 到平面PBC 的距离 垂足为 H •/ PA 丄平面 ABCD ,••• PA 丄BC

10分

4,在等腰直角三角形 PAB 中, 14分)

解法一：(I)以C 为原点，分别以

0), E (1, 1, 0), A (0, 2,

AC i = (0-2,2)

J 2

AH = —— a ，所以点 A 到平面PBC 的距离为

2

a 4.(本小题满分 2

CB 、CA 、CC i 为X 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 F ( 1 , 0, 0), C i (0, 0, 2),

设 G (0, 2, h )，则 EG = (—i,i,h)匚 •••— ix 0+1 X(— 2) +2h=0. ••• h=i ,

AC i 丄 EG,「. EG-AC i = 0.

即G 是AA i 的中点. (n)设m=(X, y,z)是平面EFG 的法向量，则 m 丄FE,ml EG.

所以* 0

x X 中1

X y + 0x z - 0,

平面EFG 的一个法向量 m = (1, 0, 1) _ X + y

+ z = 0.

|m 'AC 1

| ••• sin e =二■，二= 2

L = 1

|m|・|AC i |

2 2

兀 为一

6

• 8 =—,即AC i 与平面EFG 所成角0

6

解法二：(I)取 AC 的中点D ，连结DE 、DG ，贝U ED//BC •/ BC 丄 AC ,• ED 丄 AC.

又 CC i

±平面 ABC ，而 EDU 平面 ABC , • CC i

±ED. •••CC i Q

AC=C ,• ED 丄平面 A i ACC i . ……3 分

又••• AC i

±EG ,• AC i

± DG. ......... 4 分

连结 A i C,v AC i 丄A i C ,.・. A i C//DG.

•/ D

是AC 的中点，••• G 是AA 1的中点 .. ........ 6分

(n)取 CC i 的中点 M ，连结 GM 、FM ，贝U EF//GM , ••• E 、F 、M 、G 共面作C i H 丄FM ，交FM 的延长线于H ,

14分

10分

1分

C1

器 ........ ”

A

••• AC 丄平面 BB i C i C ,