高中数学椭圆练习题突破训练

A 组 基础对点练

1．已知椭圆x 225＋y 2

m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．9

解析：由4＝25－m 2(m >0)⇒m ＝3，故选B. 答案：B

2．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >4 B ．k ＝4 C ．k <4 D ．0

解析：方程

kx 2＋4y 2＝4k

表示焦点在x 轴上的椭圆，即方程x 24＋y 2

k

＝1表示焦点在x 轴

上的椭圆，可得0

答案：D

3．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝1

2，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重

合，则此椭圆方程为( )

A.x 24＋y 2

3＝1 B.x 28＋y 2

6＝1 C.x 22

＋y 2

＝1 D.x 24

＋y 2

＝1 解析：依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－

1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2

＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 2

3＝1，

故选A.

答案：A

4．椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，若|AF 1|，

|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则此椭圆的离心率为( )

A.12

B.55

C.14

D.5－2

解析：由题意可得2|F 1F 2|＝|AF 1|＋|F 1B |，即4c ＝a －c ＋a ＋c ＝2a ，故e ＝c a ＝1

2.

答案：A

5．(2018·郑州模拟)如图，△P AB 所在的平面α和四边形ABCD 所在的

平面β互相垂直，且AD ⊥α，BC ⊥α，AD ＝4，BC ＝8，AB ＝6，若tan ∠ADP ＋2tan ∠BCP ＝10，则点P 在平面α内的轨迹是( )

A ．圆的一部分

B ．椭圆的一部分

C ．双曲线的一部分

D ．抛物线的一部分

解析：由题意可得|P A ||AD |＋2|PB |

|BC |＝10，则|P A |＋|PB |＝40>|AB |＝6，又因为P ，A ，B 三点不

共线，故点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆的一部分．

答案：B

6．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________． 解析：将椭圆的方程化为标准形式得y 22k ＋x 2

2＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭

圆，所以2

k

>2，解得0

答案：(0,1)

7．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2

a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________.

解析：由题可知c ＝2.①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a )＝22，解得a ＝8.故实数a ＝4或8.

答案：4或8

8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于1

3，其焦点分别为A ，B .C 为椭圆上异于长

轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin B

sin C

的值等于________．

解析：在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA |

|AB |，因为点C 在椭圆上，所以

由椭圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1

e

＝3.

答案：3

9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，过F 2作垂

直于x 轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，满足|AF 2|＝

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c . (1)求椭圆C 的离心率；

(2)M ，N 是椭圆C 短轴的两个端点，设点P 是椭圆C 上一点(异于椭圆C 的顶点)，直线MP ，NP 分别和x 轴相交于R ，Q 两点，O 为坐标原点．若|OR →|·|OQ →

|＝4，求椭圆C 的方程．

解析：(1)∵点A 的横坐标为c ，

代入椭圆，得c 2a 2＋y 2

b 2＝1.

解得|y |＝b 2a ＝|AF 2|，即b 2a ＝3

6c ，

∴a 2－c 2＝3

6

ac . ∴e 2＋

36e －1＝0，解得e ＝32

. (2)设M (0，b )，N (0，－b )，P (x 0，y 0)， 则直线MP 的方程为y ＝y 0－b

x 0x ＋b .

令y ＝0，得点R 的横坐标为

bx 0

b －y 0

. 直线NP 的方程为y ＝y 0＋b

x 0x －b .

令y ＝0，得点Q 的横坐标为

bx 0

b ＋y 0

. ∴|OR →|·|OQ →|＝⎪⎪⎪⎪b 2x 20b 2－y 20＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

a 2

b 2－a 2y 2

0b 2－y 20＝a 2＝4，∴c 2＝3，b 2＝1，

∴椭圆C 的方程为x 24

＋y 2

＝1.

10．(2018·沈阳模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中e ＝1

2，焦距为2，过点M (4,0)的

直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，点B 在A ，M 之间．又线段AB 的中点的横坐标为47，且AM →

＝

λMB →.

(1)求椭圆C 的标准方程． (2)求实数λ的值．

解析：(1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆的标准方程为

x 24＋y 2

3

＝1. (2)由题意可知A ，B ，M 三点共线， 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．

若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝4，不合题意． 则AB 所在直线l 的斜率存在，设为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x －4)． 由⎩⎪⎨⎪

⎧

y ＝k (x －4)，x 24＋y 23

＝1，

消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.①