江苏省南京市秦淮区三校(第三高级中学、第五高级中学、第二十七中学)2020-2021学年高三上学

江苏省南京市秦淮区三校(第三高级中学、第五高级中学、第二十七中学)2020-2021学年高三上学期期

中联考数学试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、单选题

1. 已知全集U=R，集合M=，N=，则阴影部分表示的集合是（）

A．B．C．D．

2. 若复数，则（）

A．1 B．C．D．4

3. 已知函数的图象大致为( )

A．B．

C．D．

4. 的展开式中，含项的系数是（）A．B．C．D．

5. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α∥β，mα，nβ，则m∥n C．若m⊥α，m∥n，nβ，则α⊥βD．若αβ=m，nα，则n⊥β

6. 已知奇函数的图象关于直线对称，当时，，则

（）

A．－2 B．－1 C．1 D．2

7. 历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即

F（1）=F（2）=1，F（n）=F（n－1）＋F（n－2），，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个

新数列，则b2020=（）

A．3 B．2 C．1 D．0

8. 已知函数，若方程在区间

内有3个不相等的实根，则实数的取值范围是（）

A．B．或

C．或D．

二、多选题

9. 比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标

值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）

A．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值

B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值

C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平

D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值

10. 若将函数f(x)=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是（）

A．g(x)的最小正周期为π

B．g(x)在区间[0，]上单调递减

D．g(x)在[﹣，]上的最小值为﹣C．x=是函数g(x)的对称轴

11. 设公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则下列各式的值为0的是（）

A．B．C．D．

12. 某同学对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（）

A．函数的图象关于原点对称

B．对定义域中的任意实数x的值，恒有成立

C．函数的图象与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D．对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减

三、填空题

13. 已知，则的值为_______.

14. 若函数在区间上为单调增函数，则的取值范围是

__________．

15. 数学多选题有A，B，C，D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求全都选对的得5分，部分选对的得3分，有选错得不得分，已知某道数学多选题正确答案为B，D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了一到三个选项，则他能得分的概率为_______.

16. 如图，在侧棱长为3的正三棱锥A-BCD中，每个侧面都是等腰直角三角

形，在该三棱锥的表面上有一个动点P，且点P到点B的距离始终等于，则动点P在三棱锥表面形成的曲线的长度为

___．

四、解答题

17. 已知

（1）判断函数的奇偶性并证明；

（2）解不等式.

18. 已知数列满足：，.

（1）记，证明：数列为等差数列；

（2）求数列的通项公式及前项和.

19. 在①a＝6；②a＝8；③a＝12这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sin B的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，且a2＋b2－c2=4，c=，__________？

20. 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为

的中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）设，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．

21. 携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务．2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率

为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人．

（Ⅰ）完成下面列联表，并分析是否有的把握认为业务水平与服务

对服务水平满意人数对服务水平不满

意人数

合计

对业务水平满意

人数

对业务水平不满

意人数

合计

（Ⅱ）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用表示对业务水平不满意的人数，求的分布列与期望；

（Ⅲ）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流失率为，从该运营系统中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少？

0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

2.706

3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

22. 已知函数.

（1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值；（2）若a=1，对于任意[1，10]，当时，不等式

恒成立，求实数m的取值范围.