随机数的产生与模拟

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随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
由均匀分布随机数产生非均匀分布随机 数的主要方法有：逆变换法，合成法和 筛选法。
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随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
1 逆变换法：
对任意分布函数 F (x) ,要产生服从该分布 的随机数，由定理知其抽样步骤为： （1）由U(0,1) 抽取 R ; （2） 计算F1(R)
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随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
均匀随机数的产生： 主要有线性同余法ຫໍສະໝຸດ BaiduLCG），组合同余 法，反馈位移寄存器方法等
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随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
均匀随机数的产生： 线性同余法（LCG）的递推公式为：
xn (axn1 c)(modM)
rn xn M
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随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
1 逆变换法：
例1 已知 ~p(x)(1 1x2) (柯西分布)， 试给出其抽样方法。
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随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
1 逆变换法：
解：设 R~U(0,1),则 ta (n R 1 2)~p (x ) ,因此
其抽样步骤如下： （1）由U(0,1) 抽取 R ; （2）计算 tan(R12)
n1,2,...
a4 630360016
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随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
反馈位移寄存器法（FSR） ： k (c pk p c p 1k p 1 c 1k 1 )(m 2 ) od
对寄存器中的二进制数码 k 作递推运算，其中 p是给定的正整数，
cp 1 ,c i 0 o1 (ir 1 ,2 ,.p . .1 ) , 为给定的常数。
(51
x5 n1
1)(mod235)
rn xn 235
x0 235
n1,2,...
xn
(31415x9n126495380)6(m 242o35d1) rn xn231 x0 231
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随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
常用的素数模乘同余发生器 ：
xn
3125xn1(mod235 31) rn xn (235 31)
2 用第二个LCG产生一个随机整数 j ,要求 1 j k ;
3 令xn t j ，然后再用第一个LCG产生一个随机数 y , 令 t j y ；置 nn1 ;
4 重复2~3，得随机数列 xn ，即为组合同余发生器产生 的数列。若第一个LCG的模为 M ，令 rn xn M ，则 rn 为 均匀随机数
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随机数的产生与模拟
伪随机数： 在计算机上用数学方法产生均匀随机
数是指按照一定的计算方法而产生的数 列，它们具有类似于均匀随机变量的独 立抽样序列的性质，这些数既然是依照 确定算法产生的，便不可能是真正的随 机数，因此常把用数学方法产生的随机 数称为伪随机数。
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随机数的产生与模拟
3.3.1.2平均值估计法
3.3.1.3重要抽样法
3.3.1.4分层抽样法
3.3.2 计算多重积分
3.3.2.1 随机投点法
3.3.2.2 平均值估计法
3.3.3应用实例
§3.4 随机模拟方法在随机服务系统中的应用
§3.5 随机模拟方法在理论研究中的应用
作业 思考题
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随机数的产生与模拟
用随机模拟方法解决实际问题时，首先 要解决的是随机数的产生方法，或称随 机变量的抽样方法。
第三章 随机数的产生与模拟目录
随机数的产生与模拟
§3.1均匀随机数的产生
3.1.1线性同余法（LCG）的递推公式
3.1.2反馈位移寄存器法（FSR）
3.1.3组合发生器
§3.2非均匀随机数的产生
§3.3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
3.3.1计算定积分
3.3.1.1随机投点法
x0 235 31
n1,2,...
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随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
常用的素数模乘同余发生器 ：
xn
ai xn1 (mod231 1) rn xn (231 1)
x0 231 1
(i1,2,3,4)
a1 16807
a2 397204094
a3 764261123
组合发生器 ： 先用一个随机数发生器产生的随机数列为
基础，再用另一个发生器对随机数列进行重新 排列得到的新数列作为实际使用的随机数。这 种把多个独立的发生器以某种方式组合在一起 作为实际使用的随机数，希望能够比任何一个 单独的随机数发生器得到周期长、统计性质更 优的随机数，即组合发生器。
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初值x 0
n1,2,...
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随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
均匀随机数的产生：
当 c 0，上式称为混合同余发生器，当 c0 时，称为乘同余发生器，此时当模为素数 时，称它为素数模乘同余发生器。
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随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
两个常用的混合式发生器：
xn
均匀分布随机数：
定理：设F(x)是连续且严格单调上升的分布函 数，它的反函数存在，且记为F1(x) ， 1、 若随机变量 的分布函数为F(x) ， 则F()~U(0,1) ; 2、若随机变量R~U(0,1) ,则F1(R)的分布函数为F(x)
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随机数的产生与模拟
均匀分布随机数：
该定理说明了任意分布的随机数均可由均 匀分布 U(0,1) 的随机数变换得到。常简称 U (0,1) 的随机数为均匀分布随机数。
取数列 n 中连续的 L位构成一个 L 位二进制整数，一直下去，
一般地有
x n ((n 1 )L 1 ,(n 1 )L 2 , , n)L 2 n1,2,...
令 rn xn 2L n1,2,... 则rn 即为FSR方法产生的均匀随机数列。
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1 均匀随机数的产生
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
组合发生器 ：
Maclaren 和 Marsaglia在1965年提出 的著名的组合发生器是组合同余发生 器,该算法的具体步骤如下：
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随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
组合发生器
1用第一个LCG产生
：
k个随机数，一般取
k
128。这
k
个
随机数被顺序地存放在矢量T(t1,t2,,tk)中。置 n 1 ;