管理运筹学 第三版韩伯棠 考点归纳

原料A 2
原料B 0
1
1
400千克
250千克
3.图解法的灵敏度分析
解：目标函数 Max z = 50x1+100x2 约束条件 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x≥ x1 , x2 2 0
z=10000 =50x1+100x2
A
z=27500=50x1+100x2 B
2、线性规划的图解法
图解法求解线性规划
２．线性规划的图解法
任意给定目标函数一个值作一条目标函数的等值线
，并确定该等值线平移后值增加的方向，平移此目标函 数的等值线，使其达到既与可行域有交点又不可能使值 再增加的位置，得到交点 (5,25)T ，此目标函数的值为 70000。于是，我们得到这个线性规划的最优x1=5,x2=25 最优值z=70000。即最优方案为生产甲产品5件、乙产品 25件，可获得最大利润为70000元。
１.线性规划的对偶问题 3、非对称形式的原对偶问题关系 其对应关系可列表如下： 原问题（对偶问题） 对偶问题（原问题） A 约束系数矩阵 其转置 b 约束条件的右端项向量 价值系数向量 c 价值系数向量 约束条件的右端项向量 目标函数 Max z = c x Min w = yT b 变量 n 个 约束条件 n 个 变量 ≥ 0 约束条件 ≥ 变量 ≤ 0 约束条件 ≤ 变量 无约束 约束条件 = 约束条件 m 个 变量 m 个 约束条件 ≤ 变量 ≥ 0 约束条件 ≥ 变量 ≤ 0 约束条件 = 变量 无约束
１.线性规划问题及其数学模型 ３. 变量无符号限制的问题： 在标准形式中，必须每一个变量均有非负约束。当 某一个变量xj没有非负约束时，可以令 xj = xj’- xj” 其中 xj’≥0，xj”≥0 即用两个非负变量之差来表示一个无符号限制的变量， ４．右端项有负值的问题： 在标准形式中，要求右端项必须每一个分量非负。 当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该等式约束 两端同时乘以-1，得到： -ai1 x1-ai2 x2- „ -ain xn = -bi 。
A B B’
C’
C D x1
E
3.图解法的灵敏度分析
（二）约束条件中右边系数bi的灵敏度分析 可见，由于增加了10个台时数，使利润增加了500元，可见 每 个台时数可增加利润50元. 像这样在约束条件右边常量增加一个单位而使最优目标函数 值得到改进的数量称为这个约束条件的对偶价格。 本例中的设备对偶价格为50元/台时。 但不是每个约束条件右边常量的变化都会引起目标函数值的 变化的。 本例中，如果A原料的量增加10千克，也可以使可行域扩 大，但对最优解却没有影响，因此原料A的对偶价格为0。
AX ≤( =, ≥ )b X≥ 0
A称为系数矩阵
1.线性规划问题及其数学模型 •标准形式 目标函数： Max z = c1x1 + c2x2 + „ + cnxn 约束条件：
a11x1 + a12x2 + „ + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + „ + a2nxn = b2
第三章 对偶理论
本章考点 求出所给线性规划问题的对偶规划的一般形式
１.线性规划的对偶问题
2、对称形式下对偶问题的一般形式： 定义：变量均具有非负约束，约束条件当目标 函数求极大时均取“≤”号，求极小时，均取 “≥”号。 对称形式下原、对偶问题的一般形式： (LP1) Max z = c x s.t. Ax ≤ b x ≥ 0 “Max -≤ ” (LP2) Min w= yT b s.t. AT y ≥ c y ≥ 0 “Min-- ≥”
２．线性规划的图解法
线性规划的图解法(解的几何表示)对于只有两个变
量的线性规划问题，可以二维直角坐标平面上作图表示 线性规划问题的有关概念，并求解。图解法求解线性规
划问题的步骤如下：
(1)分别取决策变量x1 ,x2 为坐标向量建立直角坐 标系。
２．线性规划的图解法 （2）图示约束条件，得到可行域。 对每个约束（包括非负约束）条件，先取其等式在坐 标系中作出直线，通过判断确定不等式所决定的半平面。
各约束半平面交出来的区域(存在或不存在），若存在，
其中的点表示的解称为此线性规划的可行解。这些符合约 束限制的点集合，称为可行集或可行域。然后进行（3）
否则该线性规划问题无可行解。
２．线性规划的图解法 （３）图示目标函数直线，求出最优解。
任意给定目标函数一个值作一条目标函数的等值
线，并确定该等值线平移后值增加的方向，平移此目 标函数的等值线，使其达到既与可行域有交点又不可
（二）约束条件中右边系数bj的灵敏度分析 仍以上例为例，设设备台时数增加了10个台时，即约束条件 x1 + x2 ≤ 300 变为x1 + x2 ≤ 310，则最优解和最优值为多 少？ 如图，如果约束条件发生变化，则可行域的边界也会发生变 化，原来的BC直线变为B’C’直线，因此等值线可以继续向右 上方移动，直到B’点，B’点成为新的最优解。此时B’点坐标 （60，250），即x1=60，x2=250，此时的z=28000，为最 优 x2 值。
j=1
约束条件：
n
Fra Baidu bibliotek
∑aijxj≤( =, ≥ )bi
J=1
xj ≥ 0(j=1,2,„,n)
1.线性规划问题及其数学模型 • 一般形式:
向量式：
Max(Min)z = CX 约束条件：
n
∑Pjxj≤( =, ≥ )b
J=1
X≥ 0
1.线性规划问题及其数学模型 • 一般形式:
矩阵和向量形式：
Max(Min)z = CX 约束条件：
１.线性规划问题及其数学模型 Max z = 3x1–5x2’+5x2”–8x3 +7x4 s.t. 2x1–3x2’+3x2”+5x3+6x4+x5= 28 4x1+2x2’-2x2”+3x3-9x4-x6= 39 -6x2’+6x2”-2x3-3x4-x7 = 58 x1 ,x2’,x2”,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 ≥ 0
这时新的约束条件成为
ai1 x1+ai2 x2+ „ +ain xn+ xs = bi Xs称为松弛变量。
１.线性规划问题及其数学模型
当约束条件为ai1 x1+ai2 x2+ „ +ain xn ≥ bi时，类似 地令xs =(ai1 x1+ai2 x2+ „ +ain xn)- bi 显然， xs也具有 非负约束，即xs ≥0，这时新的约束条件成为ai1 x1+ai2 x2+ „ +ain xn- xs = bi xs称为剩余变量。 如果原问题中有若干个非等式约束，则将其转化为标 准形式时，必须对各个约束引进不同的松弛变量（剩余变 量）。 在实际问题中,松弛变量表示未被充分利用的资源数、 剩余变量表示超出的资源数,均未转化为价值或利润,所以 引进模型后,它们在目标函数中的系数均为0。
第二章 线性规划
第二章 线性规划 本章考点

建立线性规划问题的数学模型 图解法及灵敏度分析 将一般形式的线性规划问题转换成标准形式 计算机输出结果的解释



1.线性规划问题及其数学模型 • 一般形式: 目标函数： Max(Min)z = c1x1 + c2x2 + „ + cnxn •约束条件：
能使值再增加的位置（有时交于无穷远处，此时称无
有限最优解）。若有交点时，此目标函数等值线与可 行域的交点即最优解（一个或多个），此目标函数的 值即最优值。
２．线性规划的图解法 例2.4:某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产 甲、乙两种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机 时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的 时数如下表所示：问题：工厂应如何安排生产可获得最 大的总利润？ 产品甲 设备A 设备B 设备C 利润（元/件） 3 2 0 1500 产品乙 2 1 3 2500 设备能力 （h） 65 40 75
3.图解法的灵敏度分析
（一）目标函数中的系数cj的灵敏度分析 由图可知，如果cj发生变化，则目标函数的等值线的斜率会 发生变化。如果要求最优解仍在B点，则会以B点为轴点而发 x 生转动。
2
z=27500=50x1+100x2
A B C
k=0
k=-c1/c2
E D x1
k=-2
k=-1
3.图解法的灵敏度分析
C z=20000=50x1+100x2
E
D
x1
z=0=50x1+100x2
当等值线走到顶点B时，获得取优解B点，此时B点坐标（50，250） 为最优解，即x1=50，x2=250，此时的z=27500，为最优值。
3.图解法的灵敏度分析
（一）目标函数中的系数cj的灵敏度分析 以上例为例，看一下目标函数cj中变化时，会对最优解产生 什么影响？ 目标函数 Max z = 50x1+100x2 约束条件 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
„„
am1x1 + am2x2 + „ + amnxn = bm x1 ，x2 ，„ ，xn ≥ 0
1.线性规划问题及其数学模型 可以看出，线性规划的标准形式有如下四个特点：目 标最大化、约束为等式、决策变量均非负、右端项非负。 对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可以通 过以下变换，将其转化为标准形式: 1.极小化目标函数的问题：设目标函数为 Min f = c1x1 + c2x2 + „ + cnxn 则可以令z ＝ -f ，该极小化问 题与下面的极大化 问题有相同的最优 解，即 Max z = -c1x1 - c2x2 - „ - cnxn 但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相同，但 他们最优解的目标函数值却相差一个符号，即 Min f ＝ - Max z
２.线性规划的图解法
线性规划问题求解的几种结局：
１，唯一最优解：
２，无穷多最优解：
3，无界解 4，无可行解
3.图解法的灵敏度分析
所谓灵敏度分析就是在建立数学模型和求得最优解之 后，研究线性规划的一些系数cj、aij、bi变化时，对最优 解产生什么影响。 书上P11例1:某工厂在计划期内要安排I和II两种产品的生 产，已知生产单位产品所需的设备台时及A，B两种原料 的消耗，以及资源的限制，如表所示。该厂每产生一件I 产品可获利50元，每生产一件II产品可获利100元，如何 生产可获得最大的总利润？ I 设 备 1 II 1 资源限制 300台时
1.线性规划问题及其数学模型
例2.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f= -3 x1 + 5 x2 + 8 x3 - 7 x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + 5 x3 + 6 x4 ≤ 28 4 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4 ≥ 39 6 x2 + 2 x3 + 3 x4 ≤ - 58 x1 , x3 , x4 ≥ 0
a11x1+a12x2+„+a1nxn≤( =, ≥ )b1 a21x1+a22x2+„+a2nxn≤( =, ≥ )b2
„„
am1x1+am2x2 +„+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，„ ，xn ≥ 0
1.线性规划问题及其数学模型 • 一般形式:
简化：
n
Max(Min)z = ∑cjxj
１.线性规划问题及其数学模型
２、约束条件不是等式的问题： 设约束条件为
ai1 x1+ai2 x2+ „ +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量xs，使它等于约束右边与左边之差 xs=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + „ + ain xn ) 显然， xs也具有非负约束，即xs≥0，
3.图解法的灵敏度分析
（二）约束条件中右边系数bi的灵敏度分析 所以，当约束条件中的松弛变量（剩余变量）不为0时，这个 约束条件的对偶价格为0。 某一约束条件的对偶价格也仅在一定的范围内有效，当这个 约束条件的资源不断取得时，由于受其它约束条件的限制， 使得这一资源用不完，即其松弛变量不为0后，导致其对偶价 格为0。 总结如下：书上P22 （1）如果对偶价格大于0，则其最优目标函数值得到改进， 即求最大值时，变得更大；求最小值时，变得更小。 （2）如果对偶价格小于0，则其最优目标函数值变坏，即求 最大值时，变得小了；求最小值时，变得大了。 （3）如果对偶价格等于0，则其最优目标函数值不变。