(完整版)函数的微分及其应用
2.4全微分及其应用
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， Ax By 称为函数 f ( x, y ) 在点 (x, y) 的全微分, 记作
d z d f Ax By
提示：本题是由教材P74 的例题改编。
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二、 选择题 (本题15分，每小题3分) 2009级考题 1.函数 z f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 可微的充分条件是( D )
( A) f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 连续 ;
( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 的某邻域内存在 ; ( B) f x ( x, y ) , f y
z
o ()
(x) 2 (y ) 2
d z f x ( x, y )d x f y ( x, y )d y
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 函数可导
偏导数连续
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二、 选择题 (每小题3分，共15分) 2013级考题 2、考虑二元函数 f ( x, y ) 的下面四条性质( B )
z d z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y
(可用于近似计算; 误差分析)
即 函数 z = f (x, y) x x, y y) f ( x , y ) 函数在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微 偏导数存在 函数可微
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(2) 偏导数连续
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 必存在,且有
（完整版）多元函数微分法及其应用习题及答案
1第八章 多元函数微分法及其应用(A)1．填空题．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z ∂∂∂2，则在D 上，上， x y zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的处连续的 条件。
条件。
2．求下列函数的定义域．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx zu +=3．求下列各极限．求下列各极限(1)x xyy x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23yx z ∂∂∂。
5．求下列函数的偏导数．求下列函数的偏导数(1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。
6．设u t uv z cos 2+=，te u =，t v ln =，求全导数dt dz。
7．设()z y e u x-=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu 。
8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y yx z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？轴的倾角是多少？ 9．求方程1222222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。
的偏导数。
10．设y x ye z x2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
，求所有二阶偏导数。
11．设()y x f z ,=是由方程y zz x ln =确定的隐函数，求x z∂∂，yz ∂∂。
函数的微分与微分的应用
函数的微分与微分的应用在微积分中，函数的微分是一个重要的概念。
微分的应用则是将微分应用于实际问题的数学方法。
本文将围绕函数的微分及其应用展开详细讨论。
一、函数的微分函数的微分是函数在某一点上的变化率的近似。
具体而言，设函数f(x)在点x=a处是可导的，那么x=a处的微分表示为df，定义如下：df = f'(a)dx其中，f'(a)是函数f(x)在点x=a处的导数，dx表示自变量x的增量。
函数的微分可通过导数乘以自变量的增量获得。
二、微分的应用微分的应用广泛存在于数学、物理、经济等领域。
以下列举几个常见的应用。
1. 切线与法线函数的微分可用于求解函数图像上某一点的切线和法线。
设函数f(x)在点x=a处可导，则切线的斜率为f'(a)，求解切线方程可根据点斜式或一般式进行。
法线的斜率为-1/f'(a)，同样可根据点斜式或一般式求解。
2. 极值点与拐点函数的微分也可用于确定函数的极值点和拐点。
设函数f(x)的导数为f'(x)，极值点的横坐标可通过解方程f'(x)=0求得。
通过判别式和导数的符号变化，可以判断极值点的类型（极大值或极小值）。
拐点则是函数图像由凸变凹或由凹变凸的点，可通过求解二阶导数f''(x)的零点来确定。
3. 近似计算微分的近似性质可应用于计算函数的近似值。
对于函数f(x)在某一点x=a附近，可以使用微分df作为函数f(x)的近似值。
当自变量的变化量较小时，误差较小，从而可以得到较为精确的计算结果。
4. 最优化问题微分可以应用于最优化问题的求解。
例如，求解函数f(x)在一定范围内的最大值或最小值。
根据函数的导数和临界点的性质，可以得到最优解。
5. 物理运动问题微分在物理学中有着广泛的应用。
例如，求解物体在某一时刻的速度、加速度等。
通过将位移函数或速度函数微分，可以得到物体在不同时刻的速度、加速度等物理量。
综上所述，函数的微分在数学和实际应用中扮演着重要的角色。
微分的基本概念及其应用
微分的基本概念及其应用微积分是数学中一门重要的分支，其中微分是其核心概念之一。
微分主要研究函数的变化率，以及在这种变化中的应用。
本文将介绍微分的基本概念以及其应用，帮助读者更好地理解和应用微分。
一、微分的基本概念在介绍微分之前，我们首先需要了解几个相关的基本概念。
1.1 函数函数是自变量和因变量之间的一种关系。
通常用字母表示自变量，用函数符号表示因变量。
例如，y = f(x)中，x为自变量，y为因变量，f 为函数符号。
1.2 极限极限是微积分中一个基础的概念。
它描述了当自变量趋近于某个值时，函数的值的趋势。
用极限符号表示为lim(x→a)f(x)，表示x在趋近于a的过程中，f(x)的取值趋势。
1.3 导数导数是函数的一种变化率。
它描述了函数在某一点上的瞬时变化速度。
用符号f'(x)表示，即函数f(x)的导数为f'(x)。
1.4 微分微分是导数的基本应用，是微积分的核心概念之一。
微分用Δx表示函数自变量的一个无穷小的增量，用Δy表示函数因变量的相应的增量。
微分的定义为dy = f'(x)dx，其中dy为函数因变量的微分，f'(x)为函数在点x处的导数，dx为函数自变量的微分。
二、微分的应用微分作为微积分的核心概念，在数学和其他领域具有广泛的应用。
以下列举了微分在几个重要领域中的应用。
2.1 曲线研究微分可以用于研究曲线的性质。
通过计算曲线上某一点处的导数，可以得到该点切线的斜率。
通过分析导数的正负性，可以确定函数在不同区间上的增减情况，进而描绘出曲线的形状。
2.2 最值问题微分可以用于求解最值问题。
最值问题是指在一定范围内，寻找函数取得最大或最小值的点或值。
通过求解函数的导数，将导数为零的点带入函数中，便可得到函数的最值点。
2.3 调和分析微分方程是微分学的重要组成部分。
微分方程描述了函数及其导数之间的关系。
通过对微分方程的求解，可以获得函数解析解，进而分析函数在不同条件下的特性。
第7讲微分及其应用
1 0.16% 625
4
课堂小结
1．微分的概念 2．微分的计算 3．微分在近似计算中的应用 4．误差估计
作业：P26——
练习1.7 2 3（2）（4） 5 7
分，记作 dy = f x Dx 。
函数的微分可写成 dy f x0 dx
f x dy
dx
就是说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的
导数，因此，导数又叫微商。
2． 微分的计算
[例1-46] 求下列函数的微分。
(1) y x2ex
(2) y cos x ln x
解： (1) y 2xe x x 2e x xe x x 2
dy ydx xex x 2 dx
(2) y sin x ln x 1 cosx x
dy
sin
ln
x
1 x
cos
x
dx
一阶微分形式的不变性
设 y f (u),u (x)复合为函数 y f ((x)) ，
如果u (x)可微，且相应点处 y f (u) 可微，则有
dy f (u)(x)dx f (u)du
引例：
一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长x
由x0变到x0Dx ，问此薄片的面积y改变了多少？
因为 yx2，所以金属薄片的
面积改变量为
x0
Dx (Dx)2
Dy(x0Dx)2(x0)2 2x0Dx(Dx)2。
x0Dx
Dx
当Dx0时，Dx)2o(Dx )；
2x0Dx是Dx的线性函数，是Dy的 主要部分，可以近似地代替Dy。
dV V dr 4 r 2dr dr 0.1 ， r 4
代入上式，得体积近似增加了 DV 4 3.14 42 0.1 20(m3 ) 。
高等数学上册第五节函数的微分及其应用
线性主部 (f(x0)0时 )
©
说明: y f( x 0 ) x o ( x ) dyf(x0) x
当 f(x0)0时 , lim y lim y x 0 d y x0 f(x0)x 1 limy 1 f(x0)x0x
所以 x 0时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
导数也叫作微商
©
例1 设 y x3, 求当 x 0 1, x0.1及 x0.01
时，函数的增量和微分的值 . 解: 当 x 0 1 时，函数的增量
y f( 1 x ) f( 1 ) ( 1 x )3 1 3
3x3(x)2(x)3 dy 3x
得增量x 时, 面积的增量为
A (x0 x)2x2 2x0x(x)2
关于△x 的 x0时为
线性主部 高阶无穷小
x x0x
x 0 A x02
(x)2 x0x
故 A2x0x 称为函数在 x 0 的微分
©
定义: 若函数 yf(x)在点 x 0 的增量可表示为 y f( x 0 x ) f( x 0 )A xo ( x)
第五节
函数的微分
第二章
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
©
一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由x 0 变到 x0x,问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2, 当 x 在 x 0 取
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
©
四、 微分在近似计算中的应用 （一）函数值的近似计算
(完整版)多元函数微分法及其应用习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。
2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。
5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。
6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。
7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。
8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。
10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂。
12．设x y e e xy =+，求dxdy 。
13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2。
函数的微分(精)
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求函数增量的近似公式 f(x0Dx)f(x0)f (x0)Dx
例7 有一批半径为 1cm 的球 为了提高球面的光洁 度 要镀上一层铜 厚度定为0.01cm. 估计一下每只球需 用铜多少 g (铜的密度是8.9g/cm3)?
dxDx. 因此 函数yf(x)的微分又可记作
dyf (x)dx.
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•增量与微分的关系
当f (x0)0时 有
lim Dy Dx0 dy
lim
Dx0
Dy f (x0)Dx
f
1 (x0)
解 函数yx3在x1处的微分为
dy(x3)|x1Dx3Dx 函数yx3在x2处的微分为
dy(x3)|x2Dx6Dx.
例2 求函数 yx2当x1 Dx 0.02时的微分.
解 先求函数在任意点x 的微分
dy(x2)Dx2xDx. 再求函数当x1 Dx0.02时的微分
)cos w t dt.
解 (1)因为d(x3)3x2dx 所以
x2dx 1 d(x3) d(1 x3)
3
3
即 d(1 x3) x2dx . 3
一般地 有 d(2 x3 C) 2x2dx (C为任意常数).
3
(2)因为d(sin w t)w cos w tdt 所以
cosw
Dy
ADxo(Dx)
Dy Dx
A
o(Dx) Dx
lim Dx0
Dy Dx
f
函数的微分及其在近似计算中的应用
3、问题：函数可微的条件是什么？ A = ? 问题：函数可微的条件是什么？ 可微, 则有(1)成立 成立， 设函数 y = f (x) 在点 x0 可微 则有 成立，即
∆y = A∆x + o(∆x)
等式两端除以 ∆x , 得
o( ∆ x ) ∆y = A+ . ∆x ∆x
于是, 于是 当 ∆x → 0时, 由上式就得到 o(∆x ) ∆y = lim A + lim = A. f ′( x 0 ) = ∆ x → 0 ∆x →0 ∆x ∆x 可微， 因此, 因此 如果函数 f (x) 在点 x 0 可微，则 f (x)在点 x 0也一定可导 且 也一定可导,
函数在任意点的微分,称为函数的微分,记作 函数在任意点的微分 称为函数的微分 记作 dy 或 df ( x ), 即 称为函数的微分 dy = f ′( x ) ∆ x . 如函数 y = cos x 的微分为
dy = (cos x )' ∆ x = − sin x ∆ x 显然， 显然，函数的微分 dy = f ′( x )∆x 与 x 和 ∆x 有关。 有关。
′
1 d (log a x ) = dx, x ln a 1 d (ln x ) = dx , x 1 d (arcsinx) = dx, 2 1− x 1 d (arccosx) = − dx, 1 − x2 1 d (arctanx) = dx, 2 1+ x
1 (arccot x) = − 2 . 1+ x
dy = ( x 3 )′∆x = 3 x 2 ∆x.
再求函数当 x = 2 , ∆ x = 0 . 02 时的微分
dy
x =2 ∆x =0.02
高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)
f ( x, y ) A 或 f x, y A( x x0，y y0 ).
31
二、二元函数的极限
定义 9.3
设二元函数z f ( P) f ( x, y ) 的定义域为D ，P0 ( x0 , y0 )
是D 的一个聚点，A 为常数．若对任给的正数 ，总存在 0 ，当
0 当 P( x, y) D 且 0 P0 P ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 总有
f ( P) A , 则称A为 P P0 时的(二重)极限.
4
01
极限与连续
注意 只有当 P 以任何方式趋近于 P0 相应的 f ( P )
都趋近于同一常数A时才称A为 f ( P ) P P0 时的极限
P为E 的内点，如图9.2所示.
②边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不
属于E的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边
界，如图9.3所示．
P
E
图 9.2
P
E
图 9.3
16
一、多元函数的概念
③开集：如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集.
④连通集：设E 是平面点集，如果对于E 中的任何两点，都可用
高等数学（下册）（慕课版）
第九章 多元函数微分学及其应用
导学
主讲教师 | 张天德 教授
第九章
多元函数微分学及其应用
在自然科学、工程技术和社会生活中很多实际问题的解决需要引进多元
函数. 本章将在一元函数微分学的基础上讨论多元函数微分学及其应用.
本章主要内容包括：
多元函数的基本概念
偏导数与全微分
多元复合函数和隐函数求偏导
(完整版)第九章多元函数微分法及其应用答案.doc
第九章 多元函数微分法及其应用一、填空题1.若 f ( x, y) x 2 y 2 xy tan x,则 f (tx , ty ) t 2 x 2 t 2 y 2 t 2xy tanxt 2 f ( x, y) .y y 2.若 f ( x)x 2 y 21 u2.y( y 0) ,则 f (x)y3.函数 z arcsin y的定义域为 {( x, y) || y| 1且x0} .xx14. lim(1 xy) sin xy e .xy5.若 ze xyyx 2,则zxe xy x 2 .y6.若 f ( x, y) 5x 2 y 3 ,则 f x (0,1) 10xy 3 |(0,1) 0 .7.若 u ln(1 x 2y 22) ,则 du22 ( xdx ydy zdz) .zx 2y 2zyyy8.设 z e x ,则 dzy e x dx 1e x dy .x 2 x9.已知 z sin( y e x) ,而 y x 3,则dz(3x 2 e x )cos( x 3 e x ) .dx10. 已知 ze x 2 y,而 x sin t , y t 3,则 dzsin t 2 t 3(cost 6t 2).dte11. 设 zln(1 x2y 2) , 则 dz x 11dx2dy .y 23312. 设 zu 2v , 而 u x cos y, v x sin y , 则 z 3x 2 cos 2 ysin y ,xz 32y 2sin 2y) .yx cos y(cos13.若 z f (x, y) 在区域 D 上的两个混合偏导数2z,2z 连续 ，则在 D 上x yy x2z2z.x yy x14.函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处可微的 必要 条件是 z f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的偏导数存在 .(填“充分”、“必要”或“充分必要” )15.函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 可微是 zf (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处连续的 充分 条件 . (填“充分”、“必要”或“充分必要” )16．设 f ( x, y, z) xy 2 z 3 ，其中 z z( x, y) 是由方程 x 2 y 2 z 2 3xyz 0所确定的 隐函数，则 f x (1,1,1) 2 . 二、选择题1.二元函数 zlnx 2 4arcsin x 21的定义域是 ( A ) y 2y 2（ A ）{( x, y) |1 x 2y 24};（ ） {( x, y) |1 x 2 y 24} ;B （C ）{( x, y) |1 x 2y 24}; （ ） {( x, y) |1 x 2 y 24} .D2. 设函数 z ln( xy) , 则z( C )x（A ）1;（B ） x;（C ） 1;（ D ） y.yyxx3. 设函数 z sin( xy 2) , 则z( D )x（ A ）2; （ ） xy cos(xy 2（ ） 22) ; （ ） 2 2xy cos(xy ) B ) ;Cy cos(xy D y cos( xy ) .4. 设函数 z 3xy, 则z( D )x（ A ） 3xy（ ） xy ; （C ） xy 1 ; （D ） 3xyln 3y ; 3 ln3 xy3 y .B5. 设函数 z1 , 则 z( C )xyy（ A ）1 ; （ ） 1 ; （C ） 12 ; （ ） 1 2 .2Bx 2yxyDxyx y6. 设函数 z sin xy , 则2z( A )x2（ A ）y 2sin xy ;2sin xy ;（ ） 2 sin xy ; （ D ） x 2sin xy .（ B ） yCx 7. 设二元函数 zx y, 则 dz ( B )x y（ A ）2( xdx ydy) ; （B ）2( xdy ydx) ;（ C ）2( ydyxdx) ; （D ）2( ydx xdy) .(x y)2( x y) 2( x y)2( x y)28. 设函数 y f ( x) 是由方程 y xeyx 0 确定 , 则dy(B )dx（ A ） e y y;（B ） ey1y ;（C ） ey1y ;（D ） e yy.1 xe 1 xe1 xe1 xe9. 设函数 zf (x, y) 是由方程 x2y3xyz20 确定 , 则z( B)x（ A ）2x yz 2 ; （ B ）2x yz 2; （C ）3y 2xz 2; （ D ） 3y 2xz 2 .2xyz2xyz2xyz2xyz 10. 若函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处不连续，则 ( C)（ A ） lim f (x, y) 必不存在；（B ）0 , y 0 ) 必不存在；xx 0 yy 0（ C ） f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 必不可微；（ D ） f x ( x 0 , y 0 ), f y (x 0, y 0 ) 必不存在 .f(x11.考虑二元函数 f (x, y) 的下面 4 条性质：①函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处连续；②函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数连续；③函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处可微；④函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数存在 .则下面结论正确的是（A ）（A ）②③ ①；（ B ）③ ②①；（C ）③ ④ ①；D ）③ ① ④。
多元函数微分学—全微分及其运用(高等数学课件)
典 型 例 题 讲 解
例2 求函数 z ( x y )e xy 在点（1，2）处的全微分.
z
解： e xy y ( x y )e xy (1 xy y 2 )e xy，
x
z
例2
e xy 求函数计算函数，在点（1，2）处的全微分。
x( x y )e xy (1 xy x 2 )e xy，
用公式(1):
z dz f x( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y
二、典型例题讲解
例1 有一金属制成的圆柱体，受热后发生形变，它的半径由20 cm 增大到
20.05 cm ，高由50 cm 增加到50.09cm，求此圆柱体体积变化的近似值.
解: 设圆柱体的半径、高和体积分别为 、ℎ 和, 它们的增量分别记为
多元函数的微分学
多元函数的全微分
知识点讲解
1.全微分的定义
2.可微、连续、可偏导之间的关系
3.全微分的求法
全微分的定义
1.全改变量
设函数 z f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义,自变量、在0 、0
的改变量分别为 x, y ，全增量:
z f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 )
x
y
z
由公式知：求全微分的步骤如下：
1.求偏导数；
2.套公式得全微分.
f ( x, y )
典 型 例 题 讲 解
例1 求函数 z x 2 y xy 2 的全微分.
解:
z
z
2 xy y 2 , x 2 2 xy
x
y
dz (2 xy y 2 )dx ( x 2 2 xy)dy.
函数的微分及其应用
自由落体的路程s与时间t的函数关系是s=12gt2，当时 间从t到t+Δt时，路程s
上式中，gtΔt是Δt的线性函数，12g(Δt)2是当Δt→0时 比Δt高阶的无穷小.因此，当|Δt|很小时，可以把12g(Δt)2忽
Δs≈gtΔt.
一、 引例
引列2
一块正方形均匀铁板(见 图3-5)，受热膨胀后边长由x0 变到x0+Δx，问面积y改变了 多少？
五、 微分在近似计算中的应用
【例53】
利用微分计算cos30°30′的近似值.
五、 微分在近似计算中的应用
【例54】
计算31.02的近似值. 解令f(x)=31+x,x=0.02，由近似公式
QP=MQtan α=f′(x0)Δx 即dy=QP.
由此可见，当自变量有增量Δx时，y=f(x)在点x0处的微
分dy等于曲线在点M(x0,y0)
.
四、 微分基本公式及运算法则
由微分定义知，函数的微 分是函数的导数f′(x)乘以自变 量的微分dx，所以只要把导数 表中的导数运算公式都乘以dx， 就得到相应函数的微分表和微 分的运算法则.
【例50】
四、 微分基本公式及运算法则
【例51】
y=eaxcosbx，求dy. dy=cos bxdeax+eaxd(cosbx)=acos bxeaxdx－be
axsin bxdx =eax(acos bx－bsin bx)dx.
四、 微分基本公式及运算法则
【例52】
在下列等式左端的括号内填入适当的函数，使等式成立.
Δy≈2x0Δx,
一、 引例
由此式作为Δy
Δx2是比
Δx高阶的无穷小.
这两个问题的实际意义虽然不同，但在数量关系
第二章 第5节 函数的微分
d (Cu ) = Cdu u vdu − udv d( ) = v v2
11
例2 设 y = ln( x + e ), 求dy .
x2
解 例3
Q y′ =
1 + 2 xe x + ex
x2
2
,
∴ dy =
1 + 2 xe x + ex
x2
2
dx .
设 y = e 1− 3 x cos x , 求dy .
d (tan x ) = sec 2 xdx d (cot x ) = − csc 2 xdx d (sec x ) = sec x tan xdx d (csc x ) = − csc x cot xdx
10
d (a x ) = a x ln adx 1 d (log a x ) = dx x ln a 1 d (arcsin x ) = dx 2 1− x 1 d (arctan x ) = dx 2 1+ x
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ19
例2 计算下列各数的近似值 .
(1) 998.5;
解 (1)
3
3
( 2) e
− 0.03
.
998.5 = 3 1000 − 1.5
1.5 ) = 103 1 − 0.0015 = 1000(1 − 1000 1 ≈ 10(1 − × 0.0015) = 9.995. 3
3
( 2) e
− 0.03
= π (厘米 2 ). ∴ ∆A ≈ d = 2πr ⋅ ∆r = 2π × 10 × 0.05
16
2、计算函数的近似值
1.求 ( x)在点 = x0附近的近似值 f x ;
全微分及其应用
dy
x x0
dy f ( x0 )dx , f ( x0 ) dx
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x x0
;
对一元函数，可微 可导。
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一、全微分的概念
设D为R 中的一个开集, P x , y D, z f x , y 是
2
定义在D内的函数, Q x x , y y D, 则称这两
且当 x 0, y 0 时， 1 0 .
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同理
f ( x , y y ) f ( x , y )
f y ( x, y )y 2y, 当y 0时， 2 0 ,
z f x ( x, y )x 1x f y ( x , y )y 2 y
同理可得
z B . y
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如果函数 z = f ( x , y ) 在点(x0, y0) 可微, 定理2：
则函数z f x , y 必在点 x0 , y0 连续.
（作为练习自己证明）
三、可微的充分条件
定理 3 （充分条件）如果函数 z f ( x , y ) 的偏导数
dx
解
4
，dy 时的全微分.
z y sin( x 2 y ), x z cos( x 2 y ) 2 y sin( x 2 y ), y
dz ( , )
4
z z 2 dx dy ( 4 7 ). x ( , ) y ( , ) 8
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(0,0) 时, 当点 P ( x , y ) 沿直线 y x 趋于
一元函数微分学及其应用(课件)
从而可知物体在 t 3s 时刻的瞬时速度为34 m/s。
22
第二节 导数的运算 三、复合函数求导法则
引例3 已知 y sin 2x，求 y
解 这里不能直接用公式求导，但可用求导法则求：
y (sin 2x) (2sin x cos x) 2[(sin x)cos x sin x(cos x)] 2(cos2 x sin2 x) 2 cos 2x
0.000001
0.0000001 0.00000001
…
事实上，利用极限思想， 物体在t0 时刻的瞬时速度 可以表示为
v
20.0005
20.00005
20.000005 20.0000005 20.00000005
…
v(t0 )
lim
t 0
s t
ltim0(10t0
5t)
10t0
5
第一节 导数的概念
定义3.1 设函数 y f (x)在点 x0 的某个邻域内有定义，且极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
存在，则称此极限值为函数 f (x) 在点 x0 处的导数，记作
f (x0 ) 或
y |xx0
或
dy dx
或
x x0
df (x) dx
x x0
也称函数 f (x) 在点 x0 处可导。
x0
x0
在点 x 0 处的连续性。
又 y f (0 x) f (0) x ，从而
x
x
x
lim
y
lim
x 1
x0 x x0 x
y
x
lim lim 1
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微分与导数的本质区别：
1. 导数是切线斜率，微分是切线对 x 的增量； 2. 导数只与 x 有关，而微分不仅与是切 x 有关，
也与 x 有关；
3.导数多用于理论研究，微分多用于近似计算。
利用 dy f ( x)dx 很容易求出基本初等函数的微分：
d(sin x) cos xdx ; d(C) 0 ;
§5 函数的微分及其应用
❖ 微分定义 ❖ 微分与导数 ❖ 微分的几何意义 ❖ 微分公式与运算法则 ❖ 微分的简单应用
一. 微分的概念
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 x0 变到 x0 x,
正方形面积 A x02 ,
x0
x0x
x (x)2
x
A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
d ln | x | 1 dx ; x
d(tan x) sec2 xdx ;
d( x ) x1dx ;
d(arcsin x) 1 dx. 1 x2
三. 微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
N
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
x
(5) 当 x 很小时, y dy (线性主部).
二. 微分与导数( differential & derivative )
定理：函数 y f ( x) 在 x0 可微 f ( x) 在 x0 可导。
可导 可微. 证: “必要性”
已知
在点 可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
例4. 设 u( x),v( x) 在 x 处可微，求 y arctan u 的微分;
解: dy d(arctan u)
v
(arctan
v2 u2 v2
v u)d(u) vv 1
uv v2
uv
dx
1
u2 v2
u v
dx
uv u2
uv v2
dx
vudx uvdx u2 v2
vdu u2
）
o
x0 x0 x
x
当 x 很小时, 在点 M 的附近,
切线段 MP 可近似代替曲线段 MN .
四. 微分公式与运算法则
1. 公式： dy f ( x)dx
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
lim y lim ( A o(x) ) A
x0 x x0
x
故
在点 的可导, 且
“充分性” 已知
在点 的可导, 则
lim y x0 x
f ( x0 )
y x
f ( x0 )
( lim 0 ) x0
故
y
f ( x0 )x x
f
(
x0
) x
o(
x
)
线性主部
即 dy f ( x0 ) x
微分 dy叫做函数增量y的线性主部.(微分的实质)
由定义知: (1) dy 是自变量的改变量 x 的线性函数;
(2) y dy o (x) 是比 x 高阶无穷小;
(3) 当 A 0 时,dy 与 y 是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
1
(x 0).
(4) A 是与 x 无关的常数,但与 f ( x) 和 x0 有关;
(1)
(2)
A x02
x0x x0
既容易计算又是较好的近似值
(1) : x的线性函数,且为 A 的主要部分;
(2) : x的高阶无穷小,当 x 很小时可忽略.
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数 的改变量都有?它是什么?如何求?
定义: 设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量x的微分, 记作dy x x0 或 df ( x0 ), 即dy x x0 A x.
函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
通常把自变量 x 的增量 x 称为自变量的微分, 记作 dx, 即dx x.
dy f ( x)dx.
dy f ( x). dx
即函数的微分dy 与自变量的微分dx之商等于 该函数的导数. 导数也叫"微商".
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
d(a x ) a x ln adx
d (loga
x)
1 dx x lna
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d(e x ) e xdx
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arc
cot
x)
1
1 x
2
dx
2. 法则： 1). 四则运算法则
d(u v) du dv d(uv) vdu udv
d(Cu) Cdu
d
(
u) v
vdu udv v2
2). 复合运算法则
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
微分形式的不变性
例1. y ln( x 1 x2 )，求 dy;
解:
1 y
x
x
1 x2 1 x2
1, 1 x2
dy ydx 1 dx. 1 x2
例2. 已知
求
解：因为
所以
例3. y eax cosbx,求 dy； 解: dy d(eax cosbx)
cosbx(deax ) eaxd(cosbx) cosbx eaxd(ax) eax( sinbx)d(bx) aeax cosbxdx beax sin bxdx eax(a cosbx bsinbx)dx
(1) 若 x 是自变量时, dy f ( x)dx; (2) 若 x 是中间变量时, 即另一变量 t 的可微
函数 x (t), 则 dy f ( x)(t)dt
(t)dt dx,
dy f ( x)dx.
结论：无论 x 是自变量还是中间变量, 函数 y f ( x) 的微分形式总是 dy f ( x)dx