九年级上册数学《二次根式》知识点整理(最新整理)

a a 5 x 2 + 1 - 5 -x 2 a a a a a a b二次根式一、本节学习指导学习二次根式时，我们把平方根的知识顺带巩固一下。

这就是系统性学习，这样学习的好处是把零碎的知识可以系统起来。

本节中我们要对二次根式有意义的条件要掌握。

二、知识要点1、二次根式的概念：形如 （a≥0）的式子叫做二次根式。

注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 a≥0 是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。

2、取值范围（1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a≧0 时， 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

（2）、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a ﹤0 时， 没有意义。

3、二次根式 （a≥0）的非负性（a≥0）表示 a 的算术平方根，也就是说， （a≥0）是一个非负数，即 0（a≥0）。

注意：因为二次根式 （a≥0）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（a ≥0）的算术平方根是非负数，即( a )2 （a ≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若 + = 0 ，则 a=0,b=0；若 + b 2 = 0 ，则 a=0,b=0；若 + b 2 = 0 ，则a=0,b=0。

4、二次根式(a )2的性质： (a )2 = a （a≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注意：二次根式的性质公式( a )2 = a （a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公a a a aa 27 ≈ 2.646 a 2 a 2a 2a 2 a 2 a 2a 2a 2a 2a 2⎨-a (a < 0) ⎩式也可以反过来应用：若 a≥0，则 a = ( a )2 ，如： 2 = ( 2)2 ， 1 = ( 1)2。

225、二次根式的性质= a = ⎧a (a ≥ 0)⎩描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注意：（1）、化简 时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于 a 本 身 ， 即 = a = a (a ≥ 0) ； 若 a 是 负 数 ， 则 等 于 a 的 相 反 数 -a,即≈ 1.414； ≈ 1.732； ≈ 2.236 ； ；2、 中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值， 一定有意义；3、化简 时，先将它化成 a ，再根据绝对值的意义来进行化简。

6、( a )2 与 的异同点1、不同点： ( a )2 与 表示的意义是不同的， ( a )2 表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而 表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在( a )2 中，而 中 a 可以是正实数，0，负实数。

但( a )2 与 都是非负数，即(2a )2 ≥ 0 ，⎧a (a ≥ 0)≥ 0 。

因而它的运算的结果是有差别的， ( a ) = a （a ≥0） ，而 = a = ⎨-a (a < 0)2、相同点：当被开方数都是非负数，即 a≥0 时， ( a )2 = ；a ＜0 时， ( a ) )2 无意义，而 = -a 。

7、二次根式的运算（1） 因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式， 再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2） 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3） 二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍a 2 a 22 3 5 a 2 a 2a b b a baa b 8 2 2 2 ⎨-a (a < 0) 作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．= • （a≥0，b≥0）；= （b≥0，a>0）．（4） 有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律， 乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．三、经验之谈：特别要注意这个式子：= a = ⎧a (a ≥ 0)，这个运算过程是区别于( ⎩a )2的依据。

本节中还要注意根式的运算，有很多同学错误的以为： + = ，根式的加减法，如果不是同类项的话是不能合并的，比如：+ = + 2 = 3 ，而 +目前我们只能估算，或是就保持最简因式。

本 节 中 还 要 记 住 一 些 常 见 根 式 的 约 等 数 ， 常 见 的 有≈ 1.414； ≈ 1.732； ≈ 2.236 ；一元二次方程解法一、本节学习指导一元二次方程的概念比较少，但遇到题目的时候还挺考验经验积累的。

所以本节我们要多做练习，多思考，多积累。

在中考中这部分知识会和函数等结合，到时候涉及综合知识就比较多，希望同学们能掌握好本节的解题方法。

二、知识要点1、 降次—直接开平方法（将被开放式看作一个整体）例: (2x +1)2 = 5解：2x +1= ±x = 2 x = 5 -1 , x = 1 2 222、 配方法ab a 2ab 2 2 52 3 5 7 ≈ 2.6465± 5 -1- 5 -1-b ± ∆ 步骤：（1）二次项系数化为 1（2） 在方程左边同时加上并减去一次项系数一半的平方（3） 化简整理，再用直接开平方法解方程例: x 2 + 6x -16 = 0解: x 2 + 6x + 32 - 32 -16 = 0 (x + 3)2 = 25 x + 3 = ±5 x = ±5 - 3 x 1 = 2, x 2 = -83、公式法x 1,2 =(∆ = b 2 - 4ac ) 2a例: 2x 2 - x -1 = 0解: a = 2, b = -1, c = -1 ∆ = b 2 - 4ac = 1+ 8 = 9x = = 1±9 = 1± 32a 4 4x = 1, x = - 11 224、 因式分解法方法：将式子左边进行因式分解，右边为 0例: 2x 2 -10x = x -10解: 2x (x -10) - (x -10) = 0 (x -10)(2x -1) = 0 x -10 = 0或2x -1 = 0x = 10, x = 11 225、十字相乘法（特殊的因式分解）方法：形如 x 2 + (m + n )x + mn = 0 的式子，可化为(x + m )(x + n ) = 0-b ± ∆例: x2+ 5x - 6 = 0解:(x -1)(x + 6) = 0x -1 = 0或x + 6 = 0x1= 1, x2=-6三、经验之谈：有一点我要提醒一下大家，解数学题时很多同学总是想着找简单的方法，浪费了很多时间在“想”上面，就像本节的求根公式很多同学都不愿意实用，因为计算起来实在太麻烦。

其实很多“老式”解题步骤的确很繁琐眞就管用。

有句话说：“笨鸟先飞嘛”！图形的旋转一、本节学习指导本节我们重点了解旋转、平移性质，除外还有一个重点是点的对称变换。

本节有配套免费学习视频。

二、知识要点1、旋转：将一个图形绕着某点 O 转动一个角度的变换叫做旋转。

其中，O 叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

2、旋转性质① 旋转后的图形与原图形全等② 对应线段与 O 形成的角叫做旋转角③ 各旋转角都相等3、平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。

其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。

4、平移性质① 平移后的图形与原图形全等② 两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离）③ 各组对应线段平行且相等5、中心对称与中心对称图形① 中心对称：若一个图形绕着某个点 O 旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。

其中，点 O 叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

② 中心对称图形：若一个图形绕着某个点 O 旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。

其中，这个点叫做该图形的对称中心。

6、轴对称与轴对称图形(1)、轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。

其中，这条轴叫做对称轴。

注：轴对称的性质：① 两个图形全等；② 对应点连线被对称轴垂直平分（2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。

7、点的对称变换（1）、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点 P（x，y）关于原点的对称点为P＇（-x，-y）（2）、关于 x 轴对称的点的特征两个点关于 x 轴对称时，它们的坐标中，x 相等，y 的符号相反，即点 P（x，y）关于 x 轴的对称点为 P＇（x，-y）（3）、关于 y 轴对称的点的特征两个点关于 y 轴对称时，它们的坐标中，y 相等，x 的符号相反，即点 P（x，y）关于 y 轴的对称点为 P＇（-x，y）（４）、关于直线 y＝x 对称两个点关于直线 y＝x 对称时，横坐标与纵坐标与之前对换，即：P（x，y）关于直线y＝x 的对称点为 P＇（y，x）（5）、两个点关于直线 y＝-x 对称时，横坐标与纵坐标与之前完全相反，即：P（x，y）关于直线 y＝x 的对称点为 P＇（-y，-x）注：y＝x 的直线是过一三象限的角平分线，y＝-x 的直线是过二四象限的角平分线。

三、经验之谈：dr O dCd=r本节中点的对称变换考得相对较多，如果在大脑中百思不得其解的话，我们可以动手作图出来观察。

圆知识点总结圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识。

包括性质定理与判定定理及公式。

一 集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系：1 点与圆的位置关系: 点在圆内 d<r 点 C 在圆内点在圆上 d=r 点 B 在圆上 点在此圆外 d>r点 A 在圆外2 直线与圆的位置关系: B直线与圆相离 直线与圆相切直线与圆相交d>r d=rd<r 无交点 有一个交点有两个交点3 圆与圆的位置关系: 外离（图 1） 无交点 d>R+r外切（图 2） 有一个交点 d=R+r 相交（图 3） 有两个交点 内切（图 4） 有一个交点 d=R-r 图 4内含（图 5）无交点d<R-r图 5drdrdd Rrdr ROABOAOAO四 垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：①AB 是直径②AB ⊥CD③CE=DE④ B C = B D ⑤ AC =AD推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。