四川大学大学物理练习册答案第六章 静电场中的导体与电介质
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物理学
第五版
第六章
静电场中的导体与电介质
6-0 教学基本要求 6-1 静电场中的导体 6-3 静电场中的电介质 6-2 电容和电容器 6-5 带电体系的静电能
§6-0
教学基本要求
一 掌握静电平衡的条件，掌握导体 处于静电平衡时的电荷、电势、电场分布. 二 了解电介质的极化机理，掌握电位 移矢量和电场强度的关系.理解电介质中的 高斯定理，并会用它来计算电介质中对称电 场的电场强度. 三 掌握电容器的电容，能计算常见 电容器的电容. 四 理解电场能量密度的概念，掌握 电场能量的计算.
+ + + + + + + ++
尖端放电现象 带电导体尖端附 近的电场特别大，可 使尖端附近的空气发 生电离而成为导体产 生放电现象． 电 风 实 验
+++ ++
σE
+ +
+ + +
尖端放电有弊有利。
避雷针的工作原理
+ +
－
+ + +
+ +
－－ － － －
（二） 空腔导体 空腔内无电荷时
0
R3 R2
R1
E 0 r R1 , R2 r R3 q1 ( A B ) R1 R2 E R1 r R2 2 2 4πε0 r ( R2 R1 )r q1 q2 q3 q3 B R3 E 2 r R3 2 2 4πε0 r 4πε0 r r
பைடு நூலகம்
1 E dS 0
S
q
i
i
in
高斯 面
S
q
i
in
i
0
所以电荷分布在导体表面！ 内表面？ 外表面？
若内表面带电，必等量异号 qi E d S 0 S ε0
因起于导体内表面正电荷的电 场线一定全部终止于导体内表 面的负电荷（？），
+ + +A
＋
+
－
q1 q2 q3 B E dr R3 4 0 R3
据高斯定理易得
q1 q2 0
B
A
o
q1
q3 q2
联解上面三式，可得：
由此电荷分布，利用高斯定理容易求得场强分布：
4 0 ( A B ) R1 R2 q1 q2 R2 R1 q3 4 0 B R3
3 / 2
请思考：将B板接地的情况
1 4 0 2 3
1
P1
2
3
4
P2
o
A
B
x
例5: 有一导体球A，内有两个球形空腔B和C，原来不带 电。今在空腔B的中心处放一点电荷qB，在空腔 C 的中 心处放一点电荷qC，求电场强度分布。 解：由静电平衡条件：A 球内，B、 C 空腔外的场强为零。 A 球以外的电场为球对称（？），由高 斯定理得：
B
q
+
三
静电屏蔽
静电屏蔽——在静电场中，因导体的存在使某些特 定的区域不受电场影响的现象。
1 屏蔽外电场
E
用空腔导体屏蔽外电场
2 屏蔽内电场
接地空腔导体屏蔽内电场
+ + +
q +
qq
+ + + qq
+
结论：空腔导体使腔内空间不受外电场的影响，而 接地空腔导体使外部空间不受腔内电场的影响—— 空腔导体的静电屏蔽作用。
高斯 面
+
UAB E dl 0
AB
+
+
+ S B + +
与导体是等势体矛盾 结论：对于空腔内无电荷情况，在静电平衡 时电荷分布在外表面,内表面无电荷.
空腔内有电荷时
E dS 0
S
q
0
in
i
高斯 q 面
+q
q
in
i
0 q q内表面
-q
3 导体表面电荷分布规律
导体表面电荷的分布与导体本身的形状以及附近 带电体的状况等多种因素有关。
孤立导体电荷分布规律
孤立导体——导体周围无其它导体，导体也不受外 电场的作用。 孤立导体电荷分布大致规律：在导体表面凸起部尤其 是尖端处，面电荷密度较大；表面平坦处，面电荷密 度较小；表面凹陷处，面电荷密度很小，甚至为零。
E
推论：处于静电平衡的导体为等势体 导体内各点电势相等 E 0 UAB E dl 0 AB
+ + + + +
A
B
+
推论：处于静电平衡的导体为等势体 导体内各点电势相等 E 0 UAB E dl 0
AB
en
+ + +
dr 0 dr
R2
R2
Qqqq dr 2 4 0 r
B
B
R2
E dr
R0 R1 -q
Q+q
q A
R2
R2
Qqqq Qq dr 2 4 0 r 4 0 R2
例2 接地导体球附近有一点电荷,如图所示。求导体上 感应电荷的电量。 解:导体球接地，它的电势应为0。 设导体感应电量为Q,因导体是个等 势体，其球心O点的电势也为0。 点电荷q在 O处的电势 感应电荷Q在 O处的电势
q0
R
因O 与平板的表面无限接近，所 以平板上的其它面元的电荷在O 点产生的E对O 点的EX分量无贡献。并且因O 无限与小面元靠 近dS，对O 点来说 dS可看为无限大的平面.
据O 的EX=0,有：
a
P dS O O
r
X
由此得
q0
B
A
o
qQ
Q1
＋
Q2
R2 R1
R0
令球壳内外表面分别均匀电Q1和Q2,据电量守恒有：
Q1 Q2 Q
(1)
Q1 Q2 Q
(1)
B
在球壳B内任取一与A同心的球面作为 高斯面S，因处于静电平衡时导体内的 电场强度为0，所以据高斯定理有：
A
o
q
S
Q2
q Q1
0
q Q1 0
四
有导体存在时静电场分析与计算
原则: 1.静电平衡的条件
E内 0
or c
2.静电场基本性质方程
q E ds
i S
i内
E dl 0
L
0
3.电荷守恒定律
Q const.
i i
例1 金属球A与金属球壳B同心放置,已 知：球A半径为R0,带电为q,金属壳B内 外半径分别为R1, R2,带电为Q。求:1)电 量分布；2)球A和壳B的电势A,B. 解：1)因处于静电平衡时，球A的电量 分布在球的表面。而壳B的电量可能分 布在内、外两个表面，由于A B同心 放置. 电量在表面应均匀分布。 从上可知球A的表面均匀带电q。
E
+
dl
+
导体表面为等势面
E dl UAB E dl 0 AB
A
eτ
B +
导体处于静电平衡时，导体上的电势处处相 等，导体为等势体，导体的表面是等势面。
二
静电平衡时导体上电荷的分布
（一） 实心导体 1 导体内部的电荷分布 E 0 q内 SE dS 0 ε0
R
同理，在导体表面上距O点 为 r 的P点附近的P处场强也应为 零。沿 x 轴分量为
a
P r O
X
由此得
由对称性分析，感应电荷应呈以O点为中心的圆对称分布。 在导体表面取 r—r+dr 的细圆环，则环面上的感应电荷为
整个导体表面的感应电荷总量为
q0
R1
r R3
例4 将不带电的金属板B放在面密度为σ的金属板A旁边,求金属 板各面上的电荷面密度。忽略金属板的边缘效应。 解：因静电平衡时电荷只分布在导体的表面 1 2 3 上。若不考虑边缘效应，可认为这些电荷是 均匀分布。设四个面上面电荷密度分别为1， 2， 3， 4。据电荷守恒定律有： 处于静电平衡时板内的场强为0，据此可得： 板 A 内 P1 点场强 板 B 内 P2 点场强
R
a
P r O
X
下次课将讲章节
+ +
++ ++ +
+
+
+
感应电荷
3 静电平衡
感应电荷产生的电场称为附加电场。
总场强 E E0 E 在导体内 E 和 E0方向相反。
静电场中导体的内部和表面都无电荷定向移动的状态 称为静电平衡状态。
静电平衡条件： （1）导体内部任何一点处的电场强度为零； （2）导体表面处电场强度的方向，都与导 体表面垂直.
R Q
o
l
1
q
q
4 0 l
S
2 dU
1
S
O
R Q q l
q Q 1 2 0 4 0 l R
ds Q 4 0 R 4 0 R
例3 金属球A,半径为 R 1 , 它的外面套有 B 一同心的金属球壳B，其内外半径分别 q3 为R2, R3。已知A,B带电后的电势为 A q1 A,B 。求（1）此系统的电荷分布和电 o q2 场分布 . （ 2 ）如用导线将 A 和 B 连接， 结果又将如何。 解：（ 1 ）处于静电平衡的导体球内和 R1 球壳内场强均为 0 ，电荷均匀分布在它 R3 R2 们的表面，设q1,q2,q3分别表示三个表面 上的电荷分布。 q1 1 1 q1 q2 q3 R2 A E dr Edr Edr 4 R2 40 R3 R1 R1 R3 0R 1
S
E ds 0 (2)
Q1
联解(1)(2)两式，得： 壳内表面带电 壳外表面带电
Q1 q
Q2 Q q
2）
A
R1
q
R0
E dr
2
R1 4 0 r 1 q q Qq 4 0 R R R 1 2 0 R0
q内 0
高斯面
+ + + + + +
S
+ + +
+
结论：导体内部无净电荷，电荷只分布在导体 表面.
2 导体表面附近场强与电荷面密度的关系
作扁圆柱形高斯面
E d S E S
S
σ S / ε0
+
+ +
S
σ E ε0
E0
+
+
+ +
带电导体处于静电平衡时导体表面之外非常邻近 表面处的场强在数值上与该处的电荷面密度成正比， 其方向与导体表面垂直。 说明：导体表面附近的场强E是导体表面上所有电荷 与周围其它带电体上的电荷共同激发。
P1 P2
A B
4
1 2
3 4 0
o 1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0
x
1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0
联解这四个方程得：
1 2 4 / 2
§6-1 静电场中的导体 一 导体的静电平衡
自由电子
1 金属导体的电结构
金属导体由大量的带负电的自 由电子和带正电的晶体点阵构成。 无外场作用时，不带电的金属导 体的任何宏观部分呈电中性。
+
+
+
+
2 静电感应
在外场作用下使导体电荷从新分布的现象称为静 电感应现象。 因为静电感应出现的电荷称为感应电荷。
(2) 如用导线将球和球壳连接起来，则 壳的内表面和球表面的电荷会完全中和 而使这两个表面不带电，二者之间的电 场也变为0,二者成为等势体，球壳外表 面上的电荷仍保持为 q 3 , 并均匀分布， 它外面的电场分布也不变，仍为
B
A
o
q3
q3 B R3 E 2 2 4πε0 r r
R3 R2
S
结论: 空腔内有电荷q情况，静电平衡时， 空腔内表面有感应电荷-q，外表面有感应电 荷 q．
空腔内外场强分布特征决定因素
空腔内部的电场分布特征决定于腔内带电体和 内表面形状; 空腔外的电场特征决定于空腔外的电荷分布和 外表面的形状。
q
+ q
A
qB B
C
所以
qC
B 腔内的场强分布关于B腔中心对称，利用高斯定理可 求出距B腔中心 r 处场强为
A
qB B
C 腔内的场强分布关于C腔中心对称， 利用高斯定理可求出距C腔中心 r 处 场强为
C
qC
例6设有一无限大不带电的接地导体平板，在距离导体表面左侧a处 有一点电荷q0。试求：（1）导体平板上离 q0最近的O点处的感应电 荷面密度;(2）距O点距离为 r 的P 点处的感应电荷面密度 ;（ 3）导 体表面上感应电荷总电量q 。 解：(1)设O 点附近一小面元dS的电荷密度为o。 由静电平衡知识知在O点附近与 O点无限接近的导体内X轴上一点 O的E=0,所以EX=0。
第五版
第六章
静电场中的导体与电介质
6-0 教学基本要求 6-1 静电场中的导体 6-3 静电场中的电介质 6-2 电容和电容器 6-5 带电体系的静电能
§6-0
教学基本要求
一 掌握静电平衡的条件，掌握导体 处于静电平衡时的电荷、电势、电场分布. 二 了解电介质的极化机理，掌握电位 移矢量和电场强度的关系.理解电介质中的 高斯定理，并会用它来计算电介质中对称电 场的电场强度. 三 掌握电容器的电容，能计算常见 电容器的电容. 四 理解电场能量密度的概念，掌握 电场能量的计算.
+ + + + + + + ++
尖端放电现象 带电导体尖端附 近的电场特别大，可 使尖端附近的空气发 生电离而成为导体产 生放电现象． 电 风 实 验
+++ ++
σE
+ +
+ + +
尖端放电有弊有利。
避雷针的工作原理
+ +
－
+ + +
+ +
－－ － － －
（二） 空腔导体 空腔内无电荷时
0
R3 R2
R1
E 0 r R1 , R2 r R3 q1 ( A B ) R1 R2 E R1 r R2 2 2 4πε0 r ( R2 R1 )r q1 q2 q3 q3 B R3 E 2 r R3 2 2 4πε0 r 4πε0 r r
பைடு நூலகம்
1 E dS 0
S
q
i
i
in
高斯 面
S
q
i
in
i
0
所以电荷分布在导体表面！ 内表面？ 外表面？
若内表面带电，必等量异号 qi E d S 0 S ε0
因起于导体内表面正电荷的电 场线一定全部终止于导体内表 面的负电荷（？），
+ + +A
＋
+
－
q1 q2 q3 B E dr R3 4 0 R3
据高斯定理易得
q1 q2 0
B
A
o
q1
q3 q2
联解上面三式，可得：
由此电荷分布，利用高斯定理容易求得场强分布：
4 0 ( A B ) R1 R2 q1 q2 R2 R1 q3 4 0 B R3
3 / 2
请思考：将B板接地的情况
1 4 0 2 3
1
P1
2
3
4
P2
o
A
B
x
例5: 有一导体球A，内有两个球形空腔B和C，原来不带 电。今在空腔B的中心处放一点电荷qB，在空腔 C 的中 心处放一点电荷qC，求电场强度分布。 解：由静电平衡条件：A 球内，B、 C 空腔外的场强为零。 A 球以外的电场为球对称（？），由高 斯定理得：
B
q
+
三
静电屏蔽
静电屏蔽——在静电场中，因导体的存在使某些特 定的区域不受电场影响的现象。
1 屏蔽外电场
E
用空腔导体屏蔽外电场
2 屏蔽内电场
接地空腔导体屏蔽内电场
+ + +
q +
+
结论：空腔导体使腔内空间不受外电场的影响，而 接地空腔导体使外部空间不受腔内电场的影响—— 空腔导体的静电屏蔽作用。
高斯 面
+
UAB E dl 0
AB
+
+
+ S B + +
与导体是等势体矛盾 结论：对于空腔内无电荷情况，在静电平衡 时电荷分布在外表面,内表面无电荷.
空腔内有电荷时
E dS 0
S
q
0
in
i
高斯 q 面
+q
q
in
i
0 q q内表面
-q
3 导体表面电荷分布规律
导体表面电荷的分布与导体本身的形状以及附近 带电体的状况等多种因素有关。
孤立导体电荷分布规律
孤立导体——导体周围无其它导体，导体也不受外 电场的作用。 孤立导体电荷分布大致规律：在导体表面凸起部尤其 是尖端处，面电荷密度较大；表面平坦处，面电荷密 度较小；表面凹陷处，面电荷密度很小，甚至为零。
E
推论：处于静电平衡的导体为等势体 导体内各点电势相等 E 0 UAB E dl 0 AB
+ + + + +
A
B
+
推论：处于静电平衡的导体为等势体 导体内各点电势相等 E 0 UAB E dl 0
AB
en
+ + +
dr 0 dr
R2
R2
Qqqq dr 2 4 0 r
B
B
R2
E dr
R0 R1 -q
Q+q
q A
R2
R2
Qqqq Qq dr 2 4 0 r 4 0 R2
例2 接地导体球附近有一点电荷,如图所示。求导体上 感应电荷的电量。 解:导体球接地，它的电势应为0。 设导体感应电量为Q,因导体是个等 势体，其球心O点的电势也为0。 点电荷q在 O处的电势 感应电荷Q在 O处的电势
q0
R
因O 与平板的表面无限接近，所 以平板上的其它面元的电荷在O 点产生的E对O 点的EX分量无贡献。并且因O 无限与小面元靠 近dS，对O 点来说 dS可看为无限大的平面.
据O 的EX=0,有：
a
P dS O O
r
X
由此得
q0
B
A
o
Q1
＋
Q2
R2 R1
R0
令球壳内外表面分别均匀电Q1和Q2,据电量守恒有：
Q1 Q2 Q
(1)
Q1 Q2 Q
(1)
B
在球壳B内任取一与A同心的球面作为 高斯面S，因处于静电平衡时导体内的 电场强度为0，所以据高斯定理有：
A
o
q
S
Q2
q Q1
0
q Q1 0
四
有导体存在时静电场分析与计算
原则: 1.静电平衡的条件
E内 0
or c
2.静电场基本性质方程
q E ds
i S
i内
E dl 0
L
0
3.电荷守恒定律
Q const.
i i
例1 金属球A与金属球壳B同心放置,已 知：球A半径为R0,带电为q,金属壳B内 外半径分别为R1, R2,带电为Q。求:1)电 量分布；2)球A和壳B的电势A,B. 解：1)因处于静电平衡时，球A的电量 分布在球的表面。而壳B的电量可能分 布在内、外两个表面，由于A B同心 放置. 电量在表面应均匀分布。 从上可知球A的表面均匀带电q。
E
+
dl
+
导体表面为等势面
E dl UAB E dl 0 AB
A
eτ
B +
导体处于静电平衡时，导体上的电势处处相 等，导体为等势体，导体的表面是等势面。
二
静电平衡时导体上电荷的分布
（一） 实心导体 1 导体内部的电荷分布 E 0 q内 SE dS 0 ε0
R
同理，在导体表面上距O点 为 r 的P点附近的P处场强也应为 零。沿 x 轴分量为
a
P r O
X
由此得
由对称性分析，感应电荷应呈以O点为中心的圆对称分布。 在导体表面取 r—r+dr 的细圆环，则环面上的感应电荷为
整个导体表面的感应电荷总量为
q0
R1
r R3
例4 将不带电的金属板B放在面密度为σ的金属板A旁边,求金属 板各面上的电荷面密度。忽略金属板的边缘效应。 解：因静电平衡时电荷只分布在导体的表面 1 2 3 上。若不考虑边缘效应，可认为这些电荷是 均匀分布。设四个面上面电荷密度分别为1， 2， 3， 4。据电荷守恒定律有： 处于静电平衡时板内的场强为0，据此可得： 板 A 内 P1 点场强 板 B 内 P2 点场强
R
a
P r O
X
下次课将讲章节
+ +
++ ++ +
+
+
+
感应电荷
3 静电平衡
感应电荷产生的电场称为附加电场。
总场强 E E0 E 在导体内 E 和 E0方向相反。
静电场中导体的内部和表面都无电荷定向移动的状态 称为静电平衡状态。
静电平衡条件： （1）导体内部任何一点处的电场强度为零； （2）导体表面处电场强度的方向，都与导 体表面垂直.
R Q
o
l
1
q
q
4 0 l
S
2 dU
1
S
O
R Q q l
q Q 1 2 0 4 0 l R
ds Q 4 0 R 4 0 R
例3 金属球A,半径为 R 1 , 它的外面套有 B 一同心的金属球壳B，其内外半径分别 q3 为R2, R3。已知A,B带电后的电势为 A q1 A,B 。求（1）此系统的电荷分布和电 o q2 场分布 . （ 2 ）如用导线将 A 和 B 连接， 结果又将如何。 解：（ 1 ）处于静电平衡的导体球内和 R1 球壳内场强均为 0 ，电荷均匀分布在它 R3 R2 们的表面，设q1,q2,q3分别表示三个表面 上的电荷分布。 q1 1 1 q1 q2 q3 R2 A E dr Edr Edr 4 R2 40 R3 R1 R1 R3 0R 1
S
E ds 0 (2)
Q1
联解(1)(2)两式，得： 壳内表面带电 壳外表面带电
Q1 q
Q2 Q q
2）
A
R1
q
R0
E dr
2
R1 4 0 r 1 q q Qq 4 0 R R R 1 2 0 R0
q内 0
高斯面
+ + + + + +
S
+ + +
+
结论：导体内部无净电荷，电荷只分布在导体 表面.
2 导体表面附近场强与电荷面密度的关系
作扁圆柱形高斯面
E d S E S
S
σ S / ε0
+
+ +
S
σ E ε0
E0
+
+
+ +
带电导体处于静电平衡时导体表面之外非常邻近 表面处的场强在数值上与该处的电荷面密度成正比， 其方向与导体表面垂直。 说明：导体表面附近的场强E是导体表面上所有电荷 与周围其它带电体上的电荷共同激发。
P1 P2
A B
4
1 2
3 4 0
o 1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0
x
1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0
联解这四个方程得：
1 2 4 / 2
§6-1 静电场中的导体 一 导体的静电平衡
自由电子
1 金属导体的电结构
金属导体由大量的带负电的自 由电子和带正电的晶体点阵构成。 无外场作用时，不带电的金属导 体的任何宏观部分呈电中性。
+
+
+
+
2 静电感应
在外场作用下使导体电荷从新分布的现象称为静 电感应现象。 因为静电感应出现的电荷称为感应电荷。
(2) 如用导线将球和球壳连接起来，则 壳的内表面和球表面的电荷会完全中和 而使这两个表面不带电，二者之间的电 场也变为0,二者成为等势体，球壳外表 面上的电荷仍保持为 q 3 , 并均匀分布， 它外面的电场分布也不变，仍为
B
A
o
q3
q3 B R3 E 2 2 4πε0 r r
R3 R2
S
结论: 空腔内有电荷q情况，静电平衡时， 空腔内表面有感应电荷-q，外表面有感应电 荷 q．
空腔内外场强分布特征决定因素
空腔内部的电场分布特征决定于腔内带电体和 内表面形状; 空腔外的电场特征决定于空腔外的电荷分布和 外表面的形状。
q
+ q
A
qB B
C
所以
qC
B 腔内的场强分布关于B腔中心对称，利用高斯定理可 求出距B腔中心 r 处场强为
A
qB B
C 腔内的场强分布关于C腔中心对称， 利用高斯定理可求出距C腔中心 r 处 场强为
C
qC
例6设有一无限大不带电的接地导体平板，在距离导体表面左侧a处 有一点电荷q0。试求：（1）导体平板上离 q0最近的O点处的感应电 荷面密度;(2）距O点距离为 r 的P 点处的感应电荷面密度 ;（ 3）导 体表面上感应电荷总电量q 。 解：(1)设O 点附近一小面元dS的电荷密度为o。 由静电平衡知识知在O点附近与 O点无限接近的导体内X轴上一点 O的E=0,所以EX=0。