数学物理方法第一章第三讲
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数学物理方法(第四版)高等教育出版社第一章1
表示到点2i和到 两点距离相 表示到点 和到-2两点距离相 和到 等点的轨迹。 等点的轨迹。既过原点的直线
-2
(x,y)
x
(0,-1)
(3) Im(i+ z) = 4
Im[i + (x −iy)] = Im[x + i(1− y)] = 4
1− y = 4
表示y= 的直线 表示 -3的直线
y=-3
5、复平面与复数球之关系
例3 设 z =
z1 7 1 ( )=− + i z2 5 5
−1 3i 求 − , Re( z ), Im(z ) 与 zz i 1− i
−1 3i 3i(1+ i) 3 3 3 1 z= − =i − =i − i+ = − i i 1− i (1− i)(1+ i) 2 2 2 2
3 ∴Re(z) = 2
2 x 2
3、复数的三种表示： 、复数的三种表示
1). 代数式 2). 三角式
z = x + iy
z =ρ
x = ρ cosθ
y = ρ sinθ
z = ρ (cos θ + i sin θ )
3). 指数式
e = cosθ + i sin θ
iθ
欧拉公式
z = ρe
iθ
θ = Argz
4、复数的运算
A
S
•作业：P6 作业： 作业
•1（2）（ ）（ ） （ ）（ ）（5） ）（3）（ •2（1）（ ）（ ）（ ） （ ）（ ）（5）（ ）（4）（ ）（6） •3（1）（ ） （ ）（ ）（4）
§1.2
复变函数
复变函数的定义与定义域： 一、复变函数的定义与定义域： 复变函数定义： 1、复变函数定义： 复数平面上存在一个点集E， 复数平面上存在一个点集 ， 对于E的每一点（ 每一个 值 ） ， 对于 的每一点（每一个z值 的每一点 按照一定的规律， 按照一定的规律 ， 有一个或多 ω 与之相对应， 个复数值 与之相对应 ， 则称 为z的函数 的函数——复变函数,z称为 复变函数, 称为 的函数 复变函数
-2
(x,y)
x
(0,-1)
(3) Im(i+ z) = 4
Im[i + (x −iy)] = Im[x + i(1− y)] = 4
1− y = 4
表示y= 的直线 表示 -3的直线
y=-3
5、复平面与复数球之关系
例3 设 z =
z1 7 1 ( )=− + i z2 5 5
−1 3i 求 − , Re( z ), Im(z ) 与 zz i 1− i
−1 3i 3i(1+ i) 3 3 3 1 z= − =i − =i − i+ = − i i 1− i (1− i)(1+ i) 2 2 2 2
3 ∴Re(z) = 2
2 x 2
3、复数的三种表示： 、复数的三种表示
1). 代数式 2). 三角式
z = x + iy
z =ρ
x = ρ cosθ
y = ρ sinθ
z = ρ (cos θ + i sin θ )
3). 指数式
e = cosθ + i sin θ
iθ
欧拉公式
z = ρe
iθ
θ = Argz
4、复数的运算
A
S
•作业：P6 作业： 作业
•1（2）（ ）（ ） （ ）（ ）（5） ）（3）（ •2（1）（ ）（ ）（ ） （ ）（ ）（5）（ ）（4）（ ）（6） •3（1）（ ） （ ）（ ）（4）
§1.2
复变函数
复变函数的定义与定义域： 一、复变函数的定义与定义域： 复变函数定义： 1、复变函数定义： 复数平面上存在一个点集E， 复数平面上存在一个点集 ， 对于E的每一点（ 每一个 值 ） ， 对于 的每一点（每一个z值 的每一点 按照一定的规律， 按照一定的规律 ， 有一个或多 ω 与之相对应， 个复数值 与之相对应 ， 则称 为z的函数 的函数——复变函数,z称为 复变函数, 称为 的函数 复变函数
数学物理方法1-137页PPT文档
u u(x,t) u
T'
采用微元法来建立位移u满足的方程：
M'
'
把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然 后再考虑小弧段趋于零的极限情况。
ds
M
gds
在弦上任取一弧段 M M ，' 其长度为ds， T
弧段两端所受张力为 T 和 T '
N
N'
O
x
x dx
x
是弦的线密度
由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的 切线方向。
13
现在考虑弧段 M M ' 在t时刻的受力和运动情况。
根据牛顿第二定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的
质量乘以该方向上的运动加速度。
u
T'
在x方向弧段 M M ' 受力总和为
M'
'
TcosT'cos'
ds
M
由于弦只做横向运动，所以
gds
T
T c o s T 'c o s' 0 O
1
教材与参考书
教材：《数学物理方法——理论、历史与计算机》，郭玉 翠，大连理工大学出版社
《数学物理方法》第二版，谷超豪、李大潜、陈恕行等， 高教出版社，2019年
《实用偏微分方程》英文版第四版，（美）理查德.哈伯 曼，机械工业出版社，2019年
学时
32学时
2
对大家的要求
按时上课 课上记笔记，做标记 独立完成作业
4
主要内容
第一章 数学物理方程及其定解条件 §1.1 基本方程的建立 §1.2 定解条件 §1.3 定解问题的提法 §1.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简
数学物理方法 ppt课件
解： 令
a c c o 2 o c s 3 o s c s n o
b s i s 2 n i s 3 n i n s n i
W a i b co c2 s o c s 3 o s cn o i (s s i2 n i n s3 i n sn i)
z1z2 z1z2
ar z 1g z2 ) (az r1 g az r2g
3、复数的除法
z1 x1 y1i (x1y1i)(x2y2i) z2 x2 y2i (x2y2i)(x2y2i)
x1xx2 2 2 yy12 2y2ix2xy2 2 1 xy12 2y2
或指数式： z1 x1 y1i z2 x2 y2i
有三角
关系： z1z2 z1z2
z1z2 z1z2
2、复数的乘法
z 1 z 2 (x 1 y 1 i)x 2 ( y 2 i)
( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i( x 1 y 2 x 2 y 1 )
z1z21 e i1 2 e i2
ei(12) 12
12 [c 1 o 2 ) s is( i 1 n 2 )
使用教材：数学物理方法，梁昆淼编
数学物理方法是物理类及其它相关理工类极为重要的 基础课，数学物理方法是连接数学与物理学的桥梁．是通 往科学研究和工程计算的必经之路．因为它教导我们怎样 将一个自然现象转化为一个数学方程．它非常充分地体现 了科学的精髓，即：定量化．因而数学物理方法在科学中 的地位尤为突出．
( k 0 ,1 ,2 ,3 )
故k取不同值，n z 取不同值
nz e 1/n i(2k)/n
k0 nz1/nei/n
k 1 nz1 /n e i( 2 )/n
k 2 nz1 /n e i( 4 )/n
a c c o 2 o c s 3 o s c s n o
b s i s 2 n i s 3 n i n s n i
W a i b co c2 s o c s 3 o s cn o i (s s i2 n i n s3 i n sn i)
z1z2 z1z2
ar z 1g z2 ) (az r1 g az r2g
3、复数的除法
z1 x1 y1i (x1y1i)(x2y2i) z2 x2 y2i (x2y2i)(x2y2i)
x1xx2 2 2 yy12 2y2ix2xy2 2 1 xy12 2y2
或指数式： z1 x1 y1i z2 x2 y2i
有三角
关系： z1z2 z1z2
z1z2 z1z2
2、复数的乘法
z 1 z 2 (x 1 y 1 i)x 2 ( y 2 i)
( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i( x 1 y 2 x 2 y 1 )
z1z21 e i1 2 e i2
ei(12) 12
12 [c 1 o 2 ) s is( i 1 n 2 )
使用教材：数学物理方法，梁昆淼编
数学物理方法是物理类及其它相关理工类极为重要的 基础课，数学物理方法是连接数学与物理学的桥梁．是通 往科学研究和工程计算的必经之路．因为它教导我们怎样 将一个自然现象转化为一个数学方程．它非常充分地体现 了科学的精髓，即：定量化．因而数学物理方法在科学中 的地位尤为突出．
( k 0 ,1 ,2 ,3 )
故k取不同值，n z 取不同值
nz e 1/n i(2k)/n
k0 nz1/nei/n
k 1 nz1 /n e i( 2 )/n
k 2 nz1 /n e i( 4 )/n
数学物理方法.PDF
第一章 典型的推导即基本概念本章讨论偏微分方程及其定解问题有关的基本概念和物理模型，讨论某些一般性的原理、方法。
这样，对从总体上了解课程的特点、内容、方法有重要的作用。
由于我们要讨论的这些偏微分方程都来自物理问题，因此我们先研究如何推导出这些方程，并给出相应的定解条件。
最后简单地介绍一下二阶线性偏微分方程的分类。
1.1弦振动方程与定解条件数学物理方程中研究的问题一般具有下面两个：一方面是描述某种物理过程的微分方程；另一方面是表示一个特定的物理现象的具体的表达式。
我们通过推导弦振动方程引入这些概念。
1.1.1方程的导出设有一根理想化的弦，其横截面的直径与弦的长度相比非常小，整个弦可以任意变形，其内部的张力总是沿着切线方向。
设其线密度为ρ，长度为l ，平衡时沿直线拉紧，除受不随时间变换的张力作用及弦本身的重力外，不受外力的影响。
下面研究弦作微小横向振动的规律。
建立坐标系如图1-1，所谓横向，是指运动全部在某一包含x 轴的xu 平面内进行，且在振动过程中，弦上各点在x 轴方向上的位移比在u 轴方向上的位移小得多，前者可以忽略不计。
因此用时刻t 、弦上的横坐标为x 的点在u 轴方向上的位移),(t x u 来描述弦的运动规律。
所谓“微小”，不仅指振动的幅度),(t x u 很小，同时认为切线的倾角也很小，即1<<∂∂xu， t 时刻，任选一段弦，其每一点的位置如图1-1所示。
其中MN t x u =),(，且弧s M M d =′现在建立位移),(t x u 满足的方程。
首先，我们将弦段M M ′上的运动，近似认为一个质点的运动。
根据牛顿运动定律，我们得到在x 轴方向，弦段M M ′受力总和为α′+α−=cos cos T T F x因为弦只作横向振动，在x 轴方向没有位移，因此合力为0，即0cos cos =α′+α−T T （1.1.1）由于是微小振动，因此α′α,近似为0，因此由泰勒公式L ++−=!4!21cos 42x x x当略去高阶无穷小时，有1cos cos ≈α′≈α代入（1.1.1）可以得到T T ′=在u 轴方向上，弦段N M ′受力的总和为s ρg T T F u d sin sin −α′′+α−=因为0≈α′≈α，所以x t x x u xt x u ∂+∂=α′≈α′∂∂=α≈α),d (tan sin ,),(tan sin x x xt x u s d d )),((1d 2≈∂∂+=图1-1弧段M M ′在t 时刻，沿u 方向运动的加速度近似为22),(tt x u ∂∂，x 为弧段M M ′的质心。
数学物理方法讲义
《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。
《数学物理方法》第一章.ppt
一元三次方程 x3 px q 0 (其中 p,q 为实数)的求根公
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
（几何表示） 虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能 比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
i
sin
2
n
wn ?
注意 根式函数是多值函数
例如 记
z
r
cos
2k
2
i sin
2k
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
（几何表示） 虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能 比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
i
sin
2
n
wn ?
注意 根式函数是多值函数
例如 记
z
r
cos
2k
2
i sin
2k
《数学物理方法》第三讲导数&解析函数
如果
f ( z) ∂u ∂v ∂v ∂u +i = −i ∂x ∂x ∂y ∂y
点可导， 在z点可导，以上两极限必须存在且彼此相等，即： 点可导 以上两极限必须存在且彼此相等，
∂u ∂v ∂v ∂u = =− & ∂x ∂y ∂x ∂y
--------数学物理方法第三讲--------
两条件合称柯 西—黎曼条件 黎曼条件
常用的求导公式： 常用的求导公式：
d ω1 d ω2 d (ω1 + ω2 ) = + dz dz dz dω1 d ω2 d (ω1ω2 ) = ω2 + ω1 dz dz dz
d n z = nz n +1 dz
d z e = ez dz d sin z = cos z dz
d cos z = − sin z dz d 1 ln z = dz z
数学物理方法第三讲
导数&解析函数（ 学时 学时） 导数 解析函数（2学时） 解析函数
导数
定义： 上定义的单值函数， 定义：设函数 ω = f ( z )是区域 B 上定义的单值函数，即对于 值与之对应， 区域 B 上的每一个 z 值，有且只有一个 ω 值与之对应，若在
∆ω f ( z + ∆z ) = lim ∆z →0 ∆z ∆z →0 ∆z 存在， 趋近于0的方式无关 的方式无关， 存在，并且与 ∆z 趋近于 的方式无关，则称 ω = f ( z )在 z 点 可导（或单演）， ），此极限叫做函数 点的导数（ 可导（或单演），此极限叫做函数 f ( z ) 在 z 点的导数（或 lim
B 上的某点 z ，限
df 微商），以 表示。 微商），以 f '( z ) 或 ）， 表示。 dz
数学物理方法课件《第一章 复变函数》
Argz=Argz2-Argz1
z z2 z1 r：
1 )
一 般 地 a rg ( z 1 / z 2 ) a rg z 1 a rg z 2
§1.1.3 复数的乘幂与方根
1. 复数的乘幂 2.复数的方根
1.复数的乘幂
定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=zzz（共n个）。
4
2 k )
2e
2
2 k ) i sin (
2
2
2k ) e
2 k )
1 co s( 0 2 k ) i sin ( 0 2 k ) e
i ( 0 2 k ) i ( 2 k )
2 2[co s( 2 k ) i sin ( 2 k )] 2 e
1 i 1 i
(1 i )(1 i ) (1 i )(1 i )
i
§1.1.2 复数的表示方法
1. 点的表示
2. 向量表示法 3. 三角表示法
4. 指数表示法
1. 点的表示
易见， z x iy 一对有序实数
在平面上取定直角坐标 系，则 ( x, y)
( x , y ),
任意点 P ( x , y ) 一对有序实数 z x iy 平面上的点
P( x, y)
复数 z x iy 可用平面上坐标为 此时，轴 — 实轴 x
y 轴 — 虚轴
( x ， y )的点 P 表示 .
平面 — 复平面或 z 平面
点的表示：z x iy 复平面上的点 ( x，y ) P
z z2 z1 r：
1 )
一 般 地 a rg ( z 1 / z 2 ) a rg z 1 a rg z 2
§1.1.3 复数的乘幂与方根
1. 复数的乘幂 2.复数的方根
1.复数的乘幂
定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=zzz（共n个）。
4
2 k )
2e
2
2 k ) i sin (
2
2
2k ) e
2 k )
1 co s( 0 2 k ) i sin ( 0 2 k ) e
i ( 0 2 k ) i ( 2 k )
2 2[co s( 2 k ) i sin ( 2 k )] 2 e
1 i 1 i
(1 i )(1 i ) (1 i )(1 i )
i
§1.1.2 复数的表示方法
1. 点的表示
2. 向量表示法 3. 三角表示法
4. 指数表示法
1. 点的表示
易见， z x iy 一对有序实数
在平面上取定直角坐标 系，则 ( x, y)
( x , y ),
任意点 P ( x , y ) 一对有序实数 z x iy 平面上的点
P( x, y)
复数 z x iy 可用平面上坐标为 此时，轴 — 实轴 x
y 轴 — 虚轴
( x ， y )的点 P 表示 .
平面 — 复平面或 z 平面
点的表示：z x iy 复平面上的点 ( x，y ) P
数学物理方法1-3
4.若函数在点a不解析,则称点a是f (z)的奇点。 例： 在z=0点无定义，故z=0是f (z)的奇点。
说明：下述情况之一的点z0都是奇点： a. f(z)在点z0无定义或无确定值； b. f(z)在点z0不连续； c. f(z)在点z0不可导； d. f(z)在点z0可导，但找不到某个邻域在其内处处可导。
补充：全微分
对于一元函数 y=f (x)，y关于x微分的特性：
1. 它与自变量的改变成正比；
2. 当自变量的改变趋于零时，它与函数的改变量之差是较
自变量的改变量更高阶的无穷小。 函数的改变量
dy Ax
对于二元函数 u=f(x,y)
函数的微分
定义：若函数 u=f(x,y) 的全改变量Δu可表示为
u( x, y) (4 x 1)dy C 4 xy y C
0
y
与式(3)完全一致，求f (z)的方法与式(5)相同。
(c) 不定积分法。 ux= –4y 对 x 作不定积分，由于被积函数
是二元函数，故“积分常数”应与积分变量x无关，但它 可以是另一变量y的函数，即
(5)
(b) 曲线积分法。由式(2)得
u ( x, y )
( x, y ) (0,0) ( x, y )
(u x dx u y dy ) C [4 ydx (4 x 1)dy] C
(6)
(0,0)
积分分两段进行，即由(0,0)到(x,0)，再到(x, y )在(0,0)段， y=0，dy=0；在(x,0)到(x, y )段，dx=0。由此得
还要求它在某个区域中处处可导。
2.解析函数的实部和虚部通过柯西—黎曼条件互相联 系，并不独立。
例1：讨论f(z)=x + i xy的解析性，即求解其解析区域。 解：1. f (z)可导区域，即u, v可微并满足C–R条件的区域
数学物理方法1课件——第一章 复变函数
注意：一个复数的辐角不是唯一的，它可以任意增加
或者减少2π的整数倍 θ = arg z + 2π k (k = 0, ±1, ±2, ±3.....)
复平面
arg z ∈[0, 2π ]为主辐角
虚轴
¾ 共轭复数
z* = x − iy 或 z* = 称
2. 复数的运算法则
¾ 外点：若z0及邻域不属于点集E，则称z0为点集E的 外点。
ε z0
E
¾ 边界点：若在z0的每个邻域内，既有属于点集E的点， 也有不属于点集E的点，则称z0为点集E的边界点。
ε z0
E
边界点的全体被称为边界线。
¾ 边界的走向：如果沿着边界走，区域D总在左方， 则该走向定义为边界的正方向。
D C
= r1r2 ⎡⎣cos (θ1 + θ2 ) + i sin (θ1 + θ2 )⎤⎦
用复数的指数表达式进行复数的乘、除、乘方及 开方运算更为方便
令两个复数分别为z1 = r1eiθ1，z2 = r2eiθ2，则有：
z1 ⋅ z2 = r1r2ei(θ1+θ2 )
= r1r2 ⎡⎣cos (θ1 + θ2 ) + i sin (θ1 + θ2 )⎤⎦
主要内容
¾ 复变函数、复变函数的积分
复数、复变函数、解析函数、柯西定理、柯西公式及泊松 积分公式等
¾ 解析函数的幂级数展开
泰勒级数展开、洛朗级数展开、孤立奇点
¾ 留数定理 ¾ 傅里叶变换、拉普拉斯变换 重点：掌握复变函数的相关概念及性质
第一章 复变函数
§ 1.1 复数的概念及运算 § 1.2 复变函数 § 1.3 复变函数的导数 § 1.4 解析函数 § 1.5 几种简单的解析函数 § 1.6 多值函数
导热微分方程
合金的固相率用非平衡条件下的杠杆定律 （Scheil方程）来确定：
1
fs
(T )
1
Tm Tm
T TL
k0 1
Tm－合金熔点；
TL－合金的液相线；
k0－合金的平衡溶质分配系数。
由于合金的固相率式温度的非线性函数， 给数值计算带来困难，在凝固过程数值模拟 中，采用一下方法处理凝固结晶潜热的析出：
无内热源、常物性条件下导热微分方程的简 化形式：
稳态导热：
一维： 二维：
2T x2
0
2T 2T x2 y2 0
三维：
2T x2
2T y2
2T z 2
0
3.直角坐标系下一般方程的特殊形式：
无内热源、常物性条件下导热微分方程的简化 形式：
非稳态导热：
一维：
2T x 2
fs－温度为T时的质量固相率，是温度的函数
将上式带入直角坐标系下的导热微分方程，得 到：
c
p
L fs T
T t
x
T x
y
T y
z
T z
处理结晶潜热项的关键：处理固相率随温 度变化的函数。取决于合金的种类及其凝固 特性。
Q dxdydz dt
导出微元体的总热量： dQxdx dQydy dQzdz
在dt 时间内，x方向通过x = x+dx 表面流出微元 体的热流量dQx+dx，可按Taylor级数展开如下：
武汉大学：数学物理方法课件1_3孤波
2、确定g (u )、f (v) : uζ = f (v ) vτ = g (u ) (6) (7) f (v), g (u ) − 待定
由(3)启示我们对(6)(7)求导来确定f , g的形式
d (6) : uζτ = f ′(v )vτ = g (u ) f ′(v ) (8) dτ d (7) : vζτ = f (v ) g ′(u ) (9) dζ 为了与Φζη 发生关系、Φζη
类似的由 (17 )得 : Φ = 4th −1 exp [α ⋅ τ + C2 (ζ )] 由的两个表达式
1 ∴ C1 (τ ) = ατ + δ , C2 (ζ ) = ζ + δ α 1 ∴ Φ = 4th exp ζ + ατ + δ α
−1
Φ ( x, t )
x−t α Φ = 4th exp + (x + t) + δ 2 2α 1 1 1 1 −1 = 4th exp ( + α ) x + (α − ) + δ 2 α 2 α
(10) + (11) : g (u ) f ′(v) = sin u cos v g (u ) cos v 令 = =α sin u f ′(v)
于是得 : g (u ) = α sin u (12)
f (v) cos u 令 (10) − (11) : = =β sin v g ′(u )
3、u和Φ
1 1 2 2 =a ⋅ θ =a ⋅ θ θ e + 1 + 2e e + e −θ + 2
= a2 ⋅
1 (e + e ) 2
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下面计算二维场的通量。
如图所示，设z轴垂直于纸面 向外，则通过z方向单位长度 的从A到B的任意曲面的通量 为
y
B
dl
n A x
上式表明，函数
确为静电场的通量函数。
3、复势函数法 复势函数法求解势场边值问题的基本思想： （1）找到一个复势函数，使它的实部或虚部在Z平 面所描绘的曲线能与边值问题中等势线或力线相 重合。 实际上总是先研究一系列已知的解析函数在Z 平面所描绘出实部或虚部的曲线，然后凭我们 对所求问题的力线和等势线的了解，找出适合 于那种类型的势场边值问题，再选取相应的解 析函数； 选函数，凑边界
1.5 解析函数的应用——平面标量场的复势
1、 平面标量场
若所研究的场是标量函数，且在空间某方向上是均匀 的，从而只需要在垂直于该方向的平面上研究，这类场 称为平面标量场。 以平面静电场为例，在没有电荷的地方，静电场的 电势满足二维拉普拉斯方程。这样就可以用解析函数的 实部（虚部）表示该区域的电势，根据解析函数的性质， 其虚部（实部）表示通量函数。该解析函数就称为该平 面静电场的复势。
（2）对相应的势场进行分析计算。
这种方法要求我们知道常见的一些解析函数的 实部和虚部的曲线.
例题 1
P20 第6题 解：首先考虑一线电荷在原点、单位长所带电量 为Q的情况。由高斯定理得通量函数为
电势为
复势函数为
令Q=-q，并将线电荷移至(a,0),令Q=q并将线电荷移至(-a,0)
复势函数为
例题 1
2、复势
如果一个平面矢量场在某区域内既无散度，又无旋度，则 可以用一个解析函数来研究其性质，用其的实部或虚部作为 势函数，该解析函数称为复势，用w 表示。即 或
用解析函数研究平面场，不仅形式紧凑，而且可使计算大大简化。 仍以静电场为例，为了进一步求得场强的表达式，设 为势函 数或电位函数， 为通量函数(考虑前一种)，得
电力线族为 等势线族为
由
得 电力线族为 等势线ห้องสมุดไป่ตู้为
例题 2
夹角为 的两半无限大平面上 电势分别为 。 求角域内电势。 解法1：用复势函数法
我们知道，对数函数
表示曲线表示r=常数的一族圆； 表示曲线表示 =常数的一族射线；
显然
应为电势函数。
例题 2
根据以上分析，我们可以选取
将
代入上式，得
解法2：用保角变换法
用函数 可以将 角形与变换为带形域。
由 得 将 代入上式，得
本章小结
复变函数
定义：两个复数集合之间的映射； 特点：定义域和值域为2维；
定义域出现复连通现象； 不能用一个图形完全描述； 极限存在的要求提高；
分析：可以分解成2个二元实函数； 满足C-R条件； 实部和虚部都是调和函数，相互正交。
解析函数
作业：§1.5 ： 2、3、5
补充作业： 判断函数
在z=0处是否解析？说明理由。
解法1：利用导数的定义式。 由
得 由于沿各个方向不都相同，故导数不存在。 解法2：可以判断在z=0处函数不连续 因
即