四元数法VS旋转矩阵法的性能比较
四点 计算 空间 姿态
四点计算空间姿态空间姿态是指物体在三维空间中的位置和方向。
它是机器人、飞行器、卫星等自动控制系统中的重要参数之一，对于控制和导航具有至关重要的作用。
本文将从四个方面介绍空间姿态的计算方法。
一、欧拉角法欧拉角法是最常用的空间姿态表示方法之一。
它将物体的姿态分解为绕三个坐标轴的旋转角度，分别为俯仰角、滚转角和偏航角。
通过测量物体相对于参考坐标系的三个角度，可以计算出物体的空间姿态。
二、四元数法四元数法是一种更为紧凑和高效的空间姿态表示方法。
它使用四元数来表示物体的旋转姿态，其中包含一个实部和三个虚部。
四元数法能够避免万向锁问题，并且具有较好的数学性质，被广泛应用于航空航天领域。
三、旋转矩阵法旋转矩阵法是一种将物体的姿态表示为一个3×3的旋转矩阵的方法。
旋转矩阵可以描述物体相对于参考坐标系的旋转变换，通过矩阵运算可以得到物体的空间姿态。
旋转矩阵法具有直观性和易于计算的优点，被广泛应用于图像处理和计算机图形学领域。
四、四维时空法四维时空法是一种基于时空变换的空间姿态计算方法。
它将物体的姿态表示为一个四维向量，其中包含三个空间坐标和一个时间坐标。
通过对物体的时空变换进行测量和计算，可以得到物体的空间姿态。
四维时空法适用于高速运动物体的姿态计算，具有较好的准确性和稳定性。
除了以上四种常用的空间姿态计算方法，还有一些其他的方法，如奇异值分解法、李代数法等。
这些方法各有特点，可以根据具体应用的需求选择合适的方法进行空间姿态的计算。
在实际应用中，空间姿态的计算是自动控制系统中的一个重要环节。
它可以用于导航、目标跟踪、图像处理等多个领域。
例如，在飞行器中，通过计算飞行器的空间姿态，可以实现飞行器的稳定控制和姿态调整；在机器人中，通过计算机器人的空间姿态，可以实现机器人的定位和路径规划。
空间姿态的计算是自动控制系统中的重要内容。
欧拉角法、四元数法、旋转矩阵法和四维时空法是常用的空间姿态计算方法，它们各有特点，在不同的应用场景中有着广泛的应用。
旋转矩阵和四元数
旋转矩阵和四元数旋转矩阵和四元数是描述三维空间中旋转的两种常见方法。
旋转矩阵使用一个3x3的矩阵来表示旋转，而四元数则是一个四元组。
虽然这两种方法在数学上等价，但它们在计算机图形学中的应用场景不同，因此有各自的优缺点。
旋转矩阵是最常见的旋转表示方式之一。
旋转矩阵是一个正交矩阵（orthogonal matrix），它保持向量的长度不变，并且保持向量间的夹角不变。
对于三维空间中的旋转，旋转矩阵由三个互相垂直的单位向量组成。
这三个向量描述了三个轴上的旋转：x轴、y轴、z轴，每个轴上的旋转由一个角度表示。
例如，以下是绕x轴旋转45度的旋转矩阵：{1, 0, 0,0, cosθ, -sinθ,0, sinθ, cosθ}其中，θ表示旋转的角度，cosθ和sinθ表示角度θ的余弦和正弦。
类似地，绕y 轴或z轴旋转也可以得到对应的旋转矩阵。
旋转矩阵可以直接用于对三维模型进行变换。
假设我们有一个三维向量v，它的x、y、z分别表示其在三个轴上的位置。
我们将它与旋转矩阵R相乘，得到新的向量v'，它表示将v绕R所描述的轴旋转后的新位置。
这个过程可以用以下公式表示：v' = R * v其中*表示矩阵乘法。
该公式的意义是将v先保持长度不变地旋转至与R所描述的轴重合，然后再按R所描述的角度进行旋转，最终得到一个新的向量v'。
然而，旋转矩阵有一个问题：当连续执行多次旋转时，误差会逐渐积累，导致精度下降。
此时，可以使用四元数来避免这个问题。
四元数是一个四元组，通常用(qw, qx, qy, qz)来表示。
其中qw是实部，qx、qy、qz 是虚部，因此四元数可以写成以下形式：q = qw + qx i + qy j + qz k其中i、j、k是三个虚数单位，它们满足以下关系：i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1四元数可以用来描述三维空间中的旋转。
具体地，一个表示绕轴(n, θ)旋转的四元数可以表示为：q = cos(θ/2) + n * sin(θ/2)其中n是一个单位向量，表示旋转轴的方向，θ是旋转的角度。
旋转矩阵与四元数
旋转矩阵与四元数旋转矩阵和四元数是两种描述三维空间中旋转的方式。
本文将简要介绍这两种方式的基本概念、表示方法、计算公式以及各自的优缺点。
一、旋转矩阵旋转矩阵是一个3x3的正交矩阵，描述了一个向量在三维空间中的旋转效果。
一个旋转矩阵R可以使一个向量V绕某个轴旋转θ角度，计算公式为：R = [cosθ + (1 - cosθ)x^2, (1 - cosθ)xy - zsinθ, (1 - cosθ)xz + ysinθ;(1 - cosθ)yx + zsinθ, cosθ + (1 - cosθ)y^2, (1 -cosθ)yz - xsinθ;(1 - cosθ)zx - ysinθ, (1 - cosθ)zy + xsinθ, cosθ +(1 - cosθ)z^2]其中x、y、z为旋转轴的坐标，θ为旋转角度。
旋转矩阵的优点在于可以对向量进行多次复合旋转，并且可以通过矩阵乘法来实现向量的旋转操作。
但其缺点在于旋转矩阵在进行复合旋转时容易出现奇异性，导致计算结果不精确或不可预测。
二、四元数四元数是一种由实部和三个虚部组成的扩展复数，常用于描述三维空间中的旋转。
一个四元数Q可以表示为：Q = a + bi + cj + dk其中a为实部，b、c、d为虚部，i、j、k满足以下关系：i² = j² = k² = ijk = -1四元数的乘法规则为：i² = j² = k² = -1ij = k, ji = -kjk = i, kj = -iki = j, ik = -j在四元数上定义一个单位长度的四元数Q，可以表示为：Q = cos(θ/2) + u sin(θ/2)其中θ为旋转角度，u为旋转轴的单位向量。
当一个向量V旋转θ角度时，其对应的四元数R可以表示为：R = cos(θ/2) + sin(θ/2) xi + sin(θ/2) yj + sin(θ/2)zk其中x、y、z为旋转轴的坐标。
四元数 旋转变换-概述说明以及解释
四元数旋转变换-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下角度来写：四元数是一种数学对象，广泛应用于旋转变换和姿态控制等领域。
它可以用来描述三维空间中的旋转变换，具有很多独特的性质和优势。
在传统的三维空间中，我们通常使用欧拉角或旋转矩阵来描述旋转变换。
然而，欧拉角存在奇异性问题，而旋转矩阵则涉及到复杂的计算和高代数运算。
相比之下，四元数具有简洁、紧凑、可逆和无奇异性等优势，使其成为了一种更为有效的旋转变换描述方法。
四元数的定义在数学上是一种复数扩展，由一个实部和三个虚部组成。
它可以用于表示旋转轴和旋转角度，通过旋转轴和旋转角度的乘积形式来描述旋转变换。
这种形式上的描述使得四元数可以方便地进行数学运算，比如加法、减法和乘法等，从而实现了旋转变换的复合和插值等操作。
本文将从四元数的基本概念开始介绍，包括四元数的定义、表示和运算规则等内容。
然后，我们将详细讨论四元数在旋转变换中的应用，包括如何通过四元数进行旋转变换、如何进行旋转的插值和相对旋转的合成等。
最后，我们将总结四元数旋转变换的优势和应用领域，并给出结论。
通过本文的学习，读者将能够了解四元数在旋转变换中的基本原理和应用方法，掌握四元数的运算规则和操作技巧，进一步提升对旋转变换的理解和应用能力。
同时，本文还将展示四元数相对于其他旋转变换描述方法的优势和特点，为读者在实际应用中选择合适的旋转变换描述方法提供参考。
1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三部分。
引言部分包括概述、文章结构、目的和总结。
在概述中，将简要介绍四元数和旋转变换的背景和重要性。
文章结构部分将详细说明本文的组织结构和每个部分的内容。
目的部分将明确本文的目标和意图。
最后，在总结中将简要回顾本文的主要内容和结论。
正文部分主要包括三个章节：什么是四元数、四元数的定义和性质，以及四元数的旋转变换。
在什么是四元数章节，将解释四元数的基本概念和定义，以及它们在数学和物理中的应用。
四元数的优点和缺点
四元数的优点和缺点四元数是一种在数学和计算机图形学中广泛应用的概念。
它具有许多优点，同时也存在一些缺点。
接下来我将详细介绍四元数的优点和缺点。
四元数是一种数学概念，用于表示旋转和方向。
相比于其他表示旋转的方法，如欧拉角和旋转矩阵，四元数有以下优点：1.紧凑性：四元数是一种使用四个实数来表示旋转的方法，相比于欧拉角的三个实数和旋转矩阵的九个实数，四元数具有更简洁的表示方式。
这使得它们在存储和传输方面更加高效。
2.计算效率：四元数的运算比旋转矩阵的运算更高效。
旋转矩阵的乘法需要进行九次浮点数乘法和六次浮点数加法，而四元数的乘法只需要进行四次浮点数乘法和两次浮点数加法。
这使得使用四元数进行旋转计算更加迅速。
3.插值和融合：四元数可以进行平滑的插值和融合操作。
由于四元数可以表示任意旋转，因此我们可以使用插值算法在两个四元数之间进行平滑的过渡。
这在动画和游戏开发中尤为有用，可以实现平滑的旋转效果。
4.无奇异性：与旋转矩阵和欧拉角不同，四元数不存在奇异性。
换句话说，每个四元数都对应一个唯一的旋转，不存在两个不同的四元数表示相同的旋转。
这种独特性使得四元数在处理旋转时更为可靠，并能有效地解决万向锁问题。
尽管四元数具有许多优点，但也存在一些缺点：1.难以理解：相比于旋转矩阵和欧拉角，四元数的概念较为抽象和难以理解。
它们涉及到复数的概念和复数运算，需要一定的数学基础才能掌握。
2.缺乏直观性：四元数的表示方式不直观，很难通过直接观察四个实数来理解旋转的意义。
这使得四元数在可视化和用户界面设计方面的应用相对困难。
3.存储需求：虽然四元数比旋转矩阵和欧拉角具有更紧凑的表示方式，但它们仍然需要存储四个实数。
在一些计算机图形学应用中，如大规模渲染或动画系统，这可能导致存储需求的增加。
总结起来，四元数是一种非常有用的旋转表示方法，具有紧凑性、计算效率、插值和融合的能力，以及无奇异性。
然而，四元数的抽象性和缺乏直观性可能使得它们难以理解和应用。
四元数转旋转矩阵
四元数转旋转矩阵四元数是目前用来表示旋转的一种坐标，它的优势在于运算简单，因此在计算机程序中被广泛使用。
当我们需要将四元数转换为旋转矩阵，可以使用下面的转换公式：\begin{bmatrix}m_{11} & m_{12} & m_{13} \\m_{21} & m_{22} & m_{23} \\m_{31} & m_{32} & m_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1-2y^2-2z^2 & 2xy-2wz & 2xz+2wy \\2xy+2wz & 1-2x^2-2z^2 & 2yz-2wx \\2xz-2wy & 2yz+2wx & 1-2x^2-2y^2\end{bmatrix}其中四元数由w, x, y, z组成，并且满足如下的约束：$$ w^2 + x^2 + y^2 + z^2 = 1$$该公式表明，只要知道四元数的4个分量w, x, y, z，我们就可以根据上面的公式求出来它对应的旋转矩阵，从而可以得到四元数描述的旋转值。
从上面的旋转矩阵可以看出，四元数比旋转矩阵更加简洁，数量级就只有一个数量级，而旋转矩阵则有9个数量级。
有时候，我们需要进行复杂的旋转变换，四元数的优势就表现得更加明显。
另外，对于四元数的操作也比旋转矩阵简单，可以使用类似于向量运算的写法，相比较于旋转矩阵的乘法，性能也会得到明显的提升。
总的来说，四元数和旋转矩阵都是用来表示旋转的坐标，但四元数相比于旋转矩阵更加精简，并且它的计算复杂度也较低，这使它在计算机程序中得到了广泛的应用。
因此，我们可以根据旋转矩阵来求四元数，也可以用公式来将四元数转换为旋转矩阵，这是一种非常有效的方法，为我们表示旋转提供了很大的便利。
四元数与旋转矩阵
四元数与旋转矩阵复数a=x+yiii=−1四元数基础定义ii=jj=kk=−1ij=−ji=kjk=−kj=iki=−ik=jp=p w+p x i+p y j+p z kq=q w+q x i+q y j+q z kp±q:=(p w±q w+(p x±q x)i+(p y±q y)j+(p z±q z)kp∗q:=(p w+p x i+p y j+p z k)(q w+q x i+q y j+q z k)=p w q w−p x q x−p y q y−p z q z+(p w q x+q w p x+p y q z−p z q y)i+(p w q y+q w p y+p z q x−p x q z)j+(p w q z+q w p z+p x q y−p y q x)k|p|:=√w2+x2+y2+z2其中：s,w,x,y,z∈R单位四元数: |p|=√w2+x2+y2+z2=1显然，四元数集在上述加法与数乘的定义下满⾜向量空间的公理，四元数集合是R4向量空间。
同时四元数也满⾜乘法定义，所以四元数也是R代数。
标量、向量型记法令xi+yj+zk=→v,q=w+→v, 其中w,x,y,z∈Rp=w p+→v pq=w q+→v qp±q:=w p±w q+(→v p±→v q)p∗q:=w p w q−→v p⋅→v q+wp→v q+wq→v p+→v p×→v q绕任意轴的旋转以下的推导基于右⼿坐标系。
向量式设任意轴单位向量为n(x,y,z),|n|=1,x,y,z∈R，逆时针旋转为θ，则向量p(p x,p y,p z)旋转后的向量p′为：p∥=(n⋅p)np⊥=p−p∥|p⊥|=|p|sin(α)|n×p|=|n||p|sin(α)=|p|sin(α)=|p⊥|∴构成正交基，p'_⊥可由p_{\perp},n\times p线性表⽰:\begin{aligned} p'&=p'_{\perp}+p_{\parallel}\\ &=p_{\perp}cos\theta+(v\times p)sin\theta+p_{\parallel}\\ &=(p-p_{\parallel})cos\theta+(v\times p)sin\theta+p_{\parallel}\\ &=pcos\theta+p_{\parallel}(1-cos\theta)+(v\times p)sin\theta\\ &=pcos\theta+(n\cdot p)n(1-cos\theta)+(v\timesp)sin\theta \end{aligned}矩阵式由v\times p = \begin{pmatrix}0 & -z & y\\ z & 0 &-x\\ -y & x & 0 \end{pmatrix}p(n\cdot p)n= \begin{pmatrix}x^2 & xy & xz\\ xy & y^2 & yz\\ xz & yz & z^2 \end{pmatrix}p代⼊向量式可得：\begin{aligned} p'&=[cos\theta I_3+sin\theta\begin{pmatrix}0 & -z & y\\ z & 0 &-x\\ -y & x & 0 \end{pmatrix}+(1-cos\theta)\begin{pmatrix} x^2 & xy & xz\\ xy & y^2 & yz\\ xz & yz & z^2 \end{pmatrix}]p \\ &=\begin{pmatrix} cos\theta+x^2(1-cos\theta) & -zsin\theta+xy(1-cos\theta) &ysin\theta+xz(1-cos\theta)\\ zsin\theta+xy(1-cos\theta) & cos\theta+y^2(1-cos\theta) & -xsin\theta+yz(1-cos\theta)\\ -ysin\theta+xz(1-cos\theta) & xsin\theta+yz(1-cos\theta) & cos\theta+z^2(1-cos\theta) \end{pmatrix}p \end{aligned}从⽽得到绕\vec{n}轴旋转\theta的旋转矩阵R_n(\theta)=\begin{pmatrix} cos\theta+x^2(1-cos\theta) & -zsin\theta+xy(1-cos\theta) & ysin\theta+xz(1-cos\theta)\\ zsin\theta+xy(1-cos\theta) & cos\theta+y^2(1-cos\theta) & -xsin\theta+yz(1-cos\theta)\\ -ysin\theta+xz(1-cos\theta) & xsin\theta+yz(1-cos\theta) &cos\theta+z^2(1-cos\theta) \end{pmatrix}令c= cos\theta, s= sin\theta, n(n_x,n_y,n_z)，代⼊上式得：R_n(\theta)=\begin{pmatrix} c+n_x^2(1-c) & -n_zs+n_xn_y(1-c) & n_ys+n_xn_z(1-c)\\ n_zs+n_xn_y(1-c) & c+n_y^2(1-c) & -n_xs+n_yn_z(1-c)\\ -n_ys+n_xn_z(1-c) & n_xs+n_yn_z(1-c) & c+n_z^2(1-c) \end{pmatrix}四元数与旋转设p=s+\vec{v}为单位四元数，则q^{-1}=s-\vec{v}，令向量p(p_x,p_y,p_z)旋转后的向量p'为：\begin{aligned} p'&=q\vec{p}q^{-1}\\ &= (s+\vec{v}) \vec{p}(s-\vec{v})\\ &= (s\vec{p}-\vec{v}\cdot \vec{p}+\vec{v}\times \vec{p})(s-\vec{v})\\ &= s^2\vec{p}-\underline{s\vec{v}\cdot \vec{p}}+s\vec{v}\times \vec{p}+\underline{s\vec{p}\cdot \vec{v}}-+\underbrace{s\vec{p}\times \vec{v}}_{-s\vec{v}\times \vec{p}}+(\vec{v}\cdot \vec{p})\vec{v}+\underbrace{(\vec{v}\times \vec{p})\cdot\vec{v}}_0-\vec{v}\times \vec{p}\times\vec{v}\\&=s^2\vec{p}+2s(\vec{v}\times \vec{p})+(\vec{v}\cdot \vec{p})\vec{v}-\underbrace{\vec{v}\times \vec{p}\times\vec{v}}_{\vec{v}^2\vec{p}-(\vec{v}\cdot\vec{p})\vec{v}}\\ &=(s^2-\vec{v}^2)\vec{p}+2s(\vec{v}\times \vec{p})+2(\vec{v}\cdot \vec{p})\vec{v} \end{aligned}⽤单位向量表⽰v，令\vec{v}=t\vec{n}，代⼊上式得p'=(s^2-t^2)\vec{p}+2st(\vec{n}\times \vec{p})+2t^2(\vec{n}\cdot \vec{p})\vec{n}四元数表达式与向量式之间的关系联⽴向量式p'=pcos\theta+(n\cdot p)n(1-cos\theta)+(v\times p)sin\theta和四元数表达式可得：\begin{cases} s^2-t^2=cos\theta \\ 2st=sin\theta\\ 2t^2 = 1-cos\theta \end{cases}解得：t=sin(\theta/2), s=cos(\theta/2)，从⽽得到由任意轴单位向量为n(x,y,z),|n|=1,x,y,z\in R，逆时针旋转为\theta，的单位四元数：p=(s,t\vec{n})=(cos(\theta/2),(n_xsin\theta, n_ysin\theta, n_zsin\theta ))或\begin{cases} s=cos(\theta/2)\\ v_x=n_xsin(\theta/2)\\ v_y=n_ysin(\theta/2)\\ v_z=n_zsin(\theta/2) \end{cases}四元数表达式与矩阵式之间的关系利⽤旋转四元数中的分量w^2+v_x^2+v_y^2+v_z^2=1对旋转矩阵进⾏化简：\begin{aligned} cos(\theta/2)&=w\\ n_xsin(\theta/2)&=v_x=x\\ n_ysin(\theta/2)&=v_y=y\\ n_zsin(\theta/2)&=v_z=z\\c=cos\theta&=2cos^2(\theta/2)-1=2w^2-1\\ 1-cos\theta&=2sin^2(\theta/2)\\ n_x^2(1-cos\theta)&=2n_x^2sin^2(\theta/2)=2v_x^2\\ n_y^2(1-cos\theta)&=2n_y^2\sim =2v_y^2\\ n_z^2(1-cos\theta)&=2n_z^2\sim =2v_z^2\\ sin\theta&=2sin(\theta/2)cos(\theta/2)=2sin(\theta/2)w\\n_xsin(\theta)&=n_x2sin(\theta/2)w=2wv_x\\ n_ysin(\theta)&=n_y\sim=2wv_y\\ n_zsin(\theta)&=n_z\sim=2wv_z\\ n_xn_y(1-cos(\theta))&=2n_xn_ysin^2(\theta/2)=2v_xv_y\\ n_xn_z(1-cos(\theta))&=2n_xn_z\sim=2v_xv_z\\ n_yn_z(1-cos(\theta))&=2n_yn_z\sim=2v_yv_z\\ \end{aligned}\begin{aligned} R_n(\theta)&=\begin{pmatrix} c+n_x^2(1-c) & -n_zs+n_xn_y(1-c) & n_ys+n_xn_z(1-c)\\ n_zs+n_xn_y(1-c) & c+n_y^2(1-c) &-n_xs+n_yn_z(1-c)\\ -n_ys+n_xn_z(1-c) & n_xs+n_yn_z(1-c) & c+n_z^2(1-c) \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 2w^2+2x^2-1 & 2xy-2wz & 2xz+2wy\\ 2xy+2wz & 2w^2+2y^2-1 & 2yz-2wx\\ 2xz-2wy & 2yz+2wx & 2w^2+2z^2-1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1-2y^2-2z^2 & 2xy-2wz & 2xz+2wy\\ 2xy+2wz & 1-2x^2-2z^2 & 2yz-2wx\\ 2xz-2wy & 2yz+2wx & 1-2x^2-2y^2 \end{pmatrix} \end{aligned}分开助记：\begin{aligned} R_n(\theta)&=[cos\theta I_3+sin\theta\begin{pmatrix}0 & -n_z & n_y\\ n_z & 0 &-n_x\\ -n_y & n_x & 0 \end{pmatrix}+(1-cos\theta)\begin{pmatrix} n_x^2 & n_xn_y & n_xn_z\\ n_xn_y & n_y^2 & n_yn_z\\ n_xn_z & n_yn_z & n_z^2 \end{pmatrix}]\\ &=(2w^2-1)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}+2w\begin{pmatrix} 0 & -z & y\\ z & 0 &-x\\ -y & x & 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 2xy & 2xz\\ 2xy & 0 & 2yz\\ 2xz & 2yz & 0 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 2w^2-1 & 0 & 0\\ 0 & 2w^2-1 & 0\\ 0 & 0 & 2w^2-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & -2wz & 2wy\\ 2wz & 0 & -2wx\\ -2wy & 2wx & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 2xy & 2xz\\ 2xy & 0 & 2yz\\ 2xz & 2yz & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}通过四元数，旋转矩阵⽤了竟然是（对⾓阵+反称矩阵+对称矩阵），神奇也优美！Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js。
旋转矩阵转四元数 公式推导
旋转矩阵转四元数公式推导旋转矩阵转四元数：从几何角度解释引言：在计算机图形学和计算机视觉中，对三维物体的旋转操作经常涉及到旋转矩阵和四元数的转换。
旋转矩阵和四元数都可以用来表示三维空间中的旋转操作，它们之间的转换关系是一个重要的数学问题。
本文将从几何角度解释旋转矩阵和四元数的转换关系，推导其转换公式，并通过实例加深理解。
一、旋转矩阵和四元数的概念旋转矩阵是一个3x3的方阵，它描述了三维空间中一个物体绕某个轴进行旋转的变换关系。
旋转矩阵可以表示为：R = | r11 r12 r13 || r21 r22 r23 || r31 r32 r33 |其中，r11、r12、r13等元素是旋转矩阵的各个分量。
四元数是一种特殊的复数扩展形式，它可以用一个实部和三个虚部来表示。
四元数的一般形式为：q = a + bi + cj + dk其中，a为实部，bi、cj、dk为虚部。
二、旋转矩阵转四元数的推导接下来，我们从几何角度推导旋转矩阵转四元数的转换公式。
假设有一个单位向量n = (nx, ny, nz)，代表了旋转轴的方向。
旋转角度为θ。
我们通过旋转矩阵来描述旋转操作。
根据旋转矩阵的定义，我们可以得到：R = | cosθ + nx^2(1-cosθ) nx*ny(1-cosθ)-nz*sinθ nx*nz(1-cosθ)+ny*sinθ || ny*nx(1-cosθ)+nz*sinθ cosθ + ny^2(1-cosθ) ny*nz(1-cosθ)-nx*sinθ || nz*nx(1-cosθ)-ny*sinθ nz*ny(1-cosθ)+nx*sinθ cosθ + nz^2(1-cosθ) |接下来，我们将旋转矩阵转化为四元数的形式。
假设四元数为q = a + bi + cj + dk。
由于旋转矩阵R和四元数q表示的是同一个旋转操作，所以它们之间应该存在一个对应关系。
我们可以通过将旋转矩阵R的元素与四元数q的实部和虚部进行对应，得到如下关系：r11 = a^2 + b^2 - c^2 - d^2r12 = 2(ab - cd)r13 = 2(ac + bd)r21 = 2(ab + cd)r22 = a^2 - b^2 + c^2 - d^2r23 = 2(bc - ad)r31 = 2(ac - bd)r32 = 2(bc + ad)r33 = a^2 - b^2 - c^2 + d^2通过对比旋转矩阵R和四元数q的对应关系，我们可以得到四元数的实部和虚部的计算公式：a = sqrt((r11 + r22 + r33 + 1) / 4)b = (r32 - r23) / (4a)c = (r13 - r31) / (4a)d = (r21 - r12) / (4a)三、实例分析为了更好地理解旋转矩阵转四元数的转换过程，我们通过一个实例来进行分析。
四元数、欧拉角、旋转矩阵
四元数、欧拉角、旋转矩阵四元数、欧拉角和旋转矩阵是三种常用的描述三维空间中物体旋转的方法。
它们在计算机图形学、物理模拟、机器人学等领域发挥着重要作用。
本文将分别介绍这三种描述方法的原理和应用以及它们之间的关系。
首先，我们来介绍四元数。
四元数是一种具有四个实数分量的数学工具，在三维空间中可以用来表示旋转。
一个四元数可以表示为q = a + bi + cj + dk，其中a、b、c和d都是实数，且满足单位长度条件a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1。
四元数与旋转的关系可以通过四元数乘法来描述，即两个四元数p和q的乘积pq表示将p所表示的旋转应用到q所表示的向量上。
四元数旋转具有很好的插值性质和无歧义性，因此在计算机图形学等领域得到了广泛应用。
接下来，我们介绍欧拉角。
欧拉角是一种将旋转表示为一系列基本旋转的方法。
在三维空间中，常用的欧拉角包括绕X轴旋转的俯仰角（pitch）、绕Y轴旋转的偏航角（yaw）和绕Z轴旋转的滚转角（roll）。
欧拉角可以通过矩阵乘法来表示旋转，即将三个基本旋转矩阵按顺序相乘。
欧拉角相对直观，易于理解和可视化，但存在万向锁问题，即当某个旋转角接近90度时，会出现无法唯一表示旋转的情况。
最后，我们介绍旋转矩阵。
旋转矩阵是一个3x3的正交矩阵，它通过乘法作用在向量上实现旋转。
旋转矩阵具有正交性和行列式等于1的特点，因此可以保持向量的长度和直角关系。
旋转矩阵也可用于表示三维空间中的旋转，其旋转效果等价于欧拉角表示和四元数表示。
旋转矩阵相对简单，容易计算和处理，但在插值和融合等方面相对复杂。
三种旋转描述方法之间存在着数学上的对应关系。
欧拉角和旋转矩阵可以相互转换，通过旋转矩阵可以计算出对应的欧拉角，反之亦然。
四元数和旋转矩阵也可以相互转换，通过旋转矩阵可以计算出对应的四元数，反之亦然。
尽管存在转换关系，但在实际应用中，需要根据具体需求选择合适的旋转描述方法。
综上所述，四元数、欧拉角和旋转矩阵是描述三维空间物体旋转的常用方法。
旋转矩阵到四元数的转换python
旋转矩阵到四元数的转换python在计算机图形学和计算机视觉中，旋转是一个非常重要的操作。
旋转矩阵是用来描述物体在三维空间中的旋转的一种数学工具。
然而，在某些情况下，我们可能需要使用四元数来表示旋转。
本文将介绍如何将旋转矩阵转换为四元数的方法。
1. 旋转矩阵的表示旋转矩阵是一个3x3的矩阵，用来描述物体绕着某个轴旋转的情况。
旋转矩阵通常用R表示，其中R的每一列都是物体坐标系中的一个基向量在世界坐标系中的表示。
例如，R的第一列表示物体坐标系的x轴在世界坐标系中的表示。
2. 四元数的表示四元数是一种数学工具，可以用来表示三维空间中的旋转。
一个四元数可以写成q = s + xi + yj + zk的形式，其中s是实部，(x, y, z)是虚部。
四元数可以进行加法、减法和乘法运算，还可以进行归一化操作。
3. 旋转矩阵到四元数的转换旋转矩阵到四元数的转换可以通过以下步骤实现：步骤1：计算旋转矩阵的迹旋转矩阵的迹是指对角线元素的和，可以表示为trace(R) = R11 + R22 + R33。
步骤2：根据迹的值选择适当的计算公式根据旋转矩阵的迹的值，可以选择不同的计算公式来计算四元数的各个分量。
当迹的值大于0时，计算公式如下：s = sqrt(trace(R) + 1) / 2x = (R32 - R23) / (4s)y = (R13 - R31) / (4s)z = (R21 - R12) / (4s)当迹的值小于等于0时，需要进一步判断迹的最大元素的位置：如果R11是迹的最大元素，则计算公式如下：s = sqrt(R11 - R22 - R33 + 1) / 2x = (R12 + R21) / (4s)y = (R13 + R31) / (4s)z = (R23 - R32) / (4s)如果R22是迹的最大元素，则计算公式如下：s = sqrt(R22 - R11 - R33 + 1) / 2x = (R21 + R12) / (4s)y = (R23 + R32) / (4s)z = (R31 - R13) / (4s)如果R33是迹的最大元素，则计算公式如下：s = sqrt(R33 - R11 - R22 + 1) / 2x = (R31 + R13) / (4s)y = (R32 + R23) / (4s)z = (R12 - R21) / (4s)步骤3：归一化四元数将四元数的实部和虚部都除以s，即可得到归一化的四元数。
旋转矩阵和四元素法
旋转矩阵和四元素法引言：旋转矩阵和四元素法是计算机图形学中常用的两种方法，用于描述和计算三维空间中的旋转变换。
本文将详细介绍旋转矩阵和四元素法的原理、应用以及优缺点。
一、旋转矩阵的原理和应用：1. 原理：旋转矩阵是一个3x3的矩阵，用于描述三维空间中的旋转变换。
旋转矩阵的每一列代表了旋转后的坐标轴在原始坐标系中的表示。
通过将一个向量与旋转矩阵相乘，可以实现对该向量的旋转变换。
2. 应用：旋转矩阵广泛应用于计算机图形学、计算机视觉等领域。
在三维建模中，使用旋转矩阵可以实现物体的旋转、变形和姿态控制。
在游戏开发中，旋转矩阵常用于计算相机的朝向和角度变化。
此外，旋转矩阵还可以用于计算两个坐标系之间的转换。
二、四元素法的原理和应用：1. 原理：四元素法，又称为四元数法，是一种用四个实数表示旋转的方法。
四元数由实部和虚部组成，虚部是一个三维向量。
通过将旋转变换表示为一个旋转轴和旋转角度，可以通过四元数的乘法来实现旋转变换。
2. 应用：四元素法在计算机图形学中被广泛应用于旋转插值和动画的计算。
通过插值计算两个旋转变换之间的中间状态，可以实现平滑的动画过渡效果。
此外，四元素法还可以用于防止万向锁现象的发生，提高旋转变换的稳定性和精确性。
三、旋转矩阵和四元素法的优缺点比较：1. 旋转矩阵的优点：（1）计算简单直观，易于理解和实现；（2）可以直接应用于三维坐标系的变换；（3）可以通过矩阵的乘法来实现多个旋转变换的复合。
2. 旋转矩阵的缺点：（1）存在数值误差累积的问题，当进行多次旋转变换时，可能导致结果不准确；（2）矩阵的运算比较耗时，特别是在计算资源有限的设备上；3. 四元素法的优点：（1）无数值误差累积问题，旋转变换精确度高；（2）计算速度较快，适用于实时计算和动画插值；（3）可以方便地进行旋转插值和平滑动画的计算。
4. 四元素法的缺点：（1）计算过程相对复杂，需要使用四元数的乘法和插值计算；（2）不直观，难以理解和调试；（3）在某些特定情况下，可能出现奇异性和计算不稳定性。
[算法]计算中表示旋转的几种方法
![[算法]计算中表示旋转的几种方法](https://img.taocdn.com/s3/m/0833f411a7c30c22590102020740be1e650ecc11.png)
[算法]计算中表⽰旋转的⼏种⽅法如何表⽰旋转，可能的表⽰⽅法有：（1）轴-⾓(axis-angle)表⽰法。
⽅便转换，⼏何意义明显（2）欧拉⾓表⽰法（3）旋转矩阵（rotation matirces)法（4）四元数法第⼀种所谓轴-⾓表⽰法，是说任何的旋转情况都归类为下⾯这种情况，即⼀个旋转将向量x旋转为x′，⼀定是绕⼀个旋转轴ˆn‘旋转了θ度，因此，任何⼀个旋转都可以表⽰为⼀个旋转轴(x,y,z)和⼀个⾓度θ这⾥有通过Rodrigues formula:⼀种常见的写法改写成：IIRC,这⾥应该是⽤了叉乘矩阵和单位矩阵的⼀个减法做的变换。
第三种是旋转矩阵法，从代数的⾓度理解旋转矩阵，那就是空间之间的变换，同时，结合上⾯两种表⽰法，也可以有另外的理解。
⾸先是空间之间的变换。
想象我们有两个三维线性空间的直⾓坐标系，⼀个^u1,^u2,^u3，⼀个\hat{u_1}^',\hat{{u_1}^'},\hat{{u_1}^'}，其中\hat{{u}^'}是ˆu经过某种旋转变换得到的像，那么由线性代数的知识，在^u1,^u2,^u3坐标系下表⽰\hat{{u_1}^'},\hat{{u_1}^'},\hat{{u_1}^'}的坐标将坐标写成矩阵，实际上就描述了这⼀旋转的矩阵：其次是所谓轴-⾓表⽰法。
轴-⾓表⽰的旋转可以写成rot(ˆn,θ),的形式，将叉乘矩阵带⼊上⾯的Rodrigues Formula，即可得到对应的矩阵形式。
⾄于欧拉⾓法，其实就是三个矩阵相乘。
Processing math: 100%。
各类旋转次序的旋转矩阵和四元数表示
各类旋转次序的旋转矩阵和四元数表示1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括问题的背景和研究的动机，以及对整篇文章的总体介绍。
在这篇长文中，我们将探讨各类旋转次序下的旋转矩阵和四元数的表示方法。
旋转在三维空间中具有广泛的应用，如计算机图形学、机器人学和航天工程等领域。
传统上，旋转矩阵和欧拉角的表示方法被广泛使用，但随着计算机图形学和机器人学的发展，四元数作为一种更优雅和高效的表示方法逐渐受到重视。
本文旨在比较和分析不同旋转次序下旋转矩阵和四元数的表示方法，并探讨它们在实际应用中的优缺点。
我们首先介绍了旋转矩阵和四元数的基本概念，然后分别讨论了两种常见的旋转次序。
在每个旋转次序下，我们详细阐述了旋转矩阵和四元数的计算方法及其相应的推导过程。
通过比较旋转矩阵和四元数的表示方法，我们希望能够揭示它们在不同场景下的优缺点。
具体来说，我们将从计算速度、精度、稳定性以及存储空间等方面进行综合考量，并讨论它们在计算机图形学、机器人学和航天工程等领域的应用情况。
最后，我们将总结本文的研究结果，并对旋转矩阵和四元数的应用场景和优缺点进行深入探讨。
我们希望通过本文的研究，能够为研究者和工程师们提供一个全面且有价值的参考，从而在实际应用中选择合适的旋转表示方法。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解各类旋转次序下旋转矩阵和四元数的表示方法，并能够在实际应用中做出明智的选择。
我们相信本文的研究成果将对相关领域的学术研究和实践工作产生积极的影响。
1.2文章结构1.2 文章结构本文旨在探讨各类旋转次序下的旋转矩阵和四元数表示方法。
文章将分为引言、正文和结论三个部分进行讨论。
引言部分将概述本文的研究背景和意义。
首先，我们将介绍旋转矩阵和四元数的基本概念以及它们在数学和计算机图形学中的应用。
接着，我们将说明文章的结构和研究目的，即探究各类旋转次序下的旋转矩阵和四元数的表示方法。
正文部分将分为两个主要的子章节进行讨论：旋转矩阵表示和四元数表示。
python 四元数转旋转矩阵
python 四元数转旋转矩阵四元数（Quaternion）是一种复数形式，它由四个实数组成：w，x，y，z。
它们可以用来表示旋转，因为它们集成了旋转轴和旋转角度，即可以将旋转抽象成一个复数。
由于四元数表示旋转的定义是唯一的，因此它们可以用来在多个平台之间进行角色的动态变换，以及进行复杂的物体操作，例如视角调整、曲面网格拓扑修复等等。
二、旋转矩阵旋转矩阵又称为旋转变换、旋转系数矩阵或运动变换矩阵，是一个3×3的矩阵，它可以表示空间中一个物体的相对于另一个物体的旋转变换。
它的每一行中的数值都是表示物体在旋转过程中所受力的方向，而每一列中的数值则表示在力施加后，物体在旋转过程中各个轴上的增量。
三、Python元数转旋转矩阵Python一种高级编程语言，它可以用来实现对四元数转换为旋转矩阵的操作。
常见的 Python，如 numpy scipy，都提供了四元数和矩阵之间的转换方法。
下面以 numpy 为例，介绍如何将四元数转换为旋转矩阵。
(1)先，需要引入 numpy quaternion，让 Python擎能够识别四元数：import numpy as npfrom numpy import quaternion(2)后，声明一个四元数对象 q：q = quaternion(w, x, y, z) #w,x,y,z 为四元数中的实数元素(3)后，调用 np.asmatrix() q换为指定维度的旋转矩阵：R = np.asmatrix(q.rotation_matrix)其中，R定的维度默认为 3×3，如果需要将 R维度设置为4×4或更大，可以使用 np.asmatrix(q.rotation_matrix, dim=4)，其中dim 为维度参数，可以根据实际需求进行设置。
四、应用将四元数转换为旋转矩阵的方法在很多领域中都有广泛的应用，例如图像处理、计算机视觉、虚拟现实、机器人控制等。
不同转序的旋转矩阵和四元数的关系
不同转序的旋转矩阵和四元数的关系1. 引言在三维空间中，旋转是一种常见的变换操作。
为了描述物体的旋转，数学上引入了多种表示方法，其中最常用的是旋转矩阵和四元数。
本文将探讨不同转序的旋转矩阵和四元数之间的关系，并详细介绍它们的定义、性质以及相互之间的转换方法。
2. 旋转矩阵2.1 定义旋转矩阵是一个3x3的正交矩阵，用于描述三维空间中的旋转变换。
设旋转矩阵为R，其满足以下条件：•R的每一行和每一列都是单位向量；•R的行向量和列向量两两正交；•R的行向量和列向量之间的内积等于0。
2.2 旋转矩阵的性质旋转矩阵具有以下重要性质：•旋转矩阵的转置等于其逆矩阵，即R^T = R^-1。
•旋转矩阵的行向量和列向量构成一个右手坐标系。
•旋转矩阵的行向量和列向量之间的内积等于0，即R^T * R = I，其中I为单位矩阵。
2.3 旋转矩阵的表示方法旋转矩阵可以通过多种方式进行表示，常见的有欧拉角、轴角和方向余弦矩阵。
2.3.1 欧拉角表示欧拉角是一种常见的旋转表示方法，它将旋转分解为三个绕不同轴的旋转角度。
常用的欧拉角表示方法有欧拉角转序ZYX、XYZ等。
以欧拉角转序ZYX为例，设欧拉角为(α, β, γ)，则旋转矩阵R可以表示为：R = Rz(γ) * Ry(β) * Rx(α)其中Rx(α)、Ry(β)和Rz(γ)分别表示绕x轴、y轴和z轴旋转的旋转矩阵。
2.3.2 轴角表示轴角表示将旋转表示为绕某个轴旋转一个角度。
设旋转轴为单位向量n，旋转角度为θ，则旋转矩阵R可以表示为：R = cos(θ) * I + (1 - cos(θ)) * n * n^T + sin(θ) * [n]_x其中I为单位矩阵，[n]_x为n的反对称矩阵。
2.3.3 方向余弦矩阵表示方向余弦矩阵是一种将旋转表示为一组向量的方法。
设旋转矩阵为R，其列向量为r1、r2和r3，则旋转矩阵R可以表示为：R = [r1, r2, r3]其中r1、r2和r3为单位向量。
四元数(quaternion)是用于旋转和拉伸向量的数学运算符_概述说明
四元数（quaternion）是用于旋转和拉伸向量的数学运算符概述说明1. 引言1.1 概述:四元数是一种用于旋转和拉伸向量的数学运算符。
它是在复数概念的基础上发展而来的，可以描述三维空间中的旋转和缩放操作。
四元数不仅可以比其他表示方式更简单地表示旋转和拉伸，并且具备较低的计算成本。
1.2 文章结构:本文将按照以下结构进行论述：首先，我们将介绍四元数的基本概念，包括其定义与表示方式，以及相关的运算法则。
接着，我们将探讨四元数在旋转中的应用，涵盖了四元数与旋转矩阵之间的对应关系以及描述航向、俯仰和滚动角度所使用的方法。
然后，我们将讨论四元数在拉伸中的应用，包括与缩放矩阵之间的联系以及非均匀缩放操作的实现方式。
最后，在结论和总结部分，我们将总结四元数在向量旋转和拉伸中的作用和优势，并展望其未来在实际应用方面可能面临的挑战。
1.3 目的:通过本文深入介绍四元数的基本概念以及在旋转和拉伸中的应用，我们旨在帮助读者更好地理解四元数的数学原理和实践意义。
对于研究领域涉及向量旋转和拉伸的科研人员和工程师而言，掌握四元数的知识将有助于提高其工作效率并推动领域的发展。
此外，我们也希望进一步讨论四元数在现实世界中可能的应用前景，并为未来研究方向和扩展应用提供启示。
通过深入了解四元数这一强大工具，我们有望为解决复杂问题、推动技术创新做出贡献。
2. 四元数的基本概念:2.1 四元数的定义与表示:四元数是一种扩展了复数的数学工具，它由一个实部和三个虚部组成。
一般来说，四元数可以用以下形式表示：q = a + bi + cj + dk其中，a为实部，bi、cj和dk为虚部，i、j和k是互相正交但非对易的单位向量。
2.2 四元数运算法则:在四元数中，加法和乘法运算符具有特定的规则。
四元数之间的加法按照分量进行操作，即实部相加后虚部相加。
而乘法运算更复杂，根据单位向量i、j和k 之间互相关系以及非对交性质进行计算。
具体来说，在四元数乘法中，普通数字遵循常规乘法规则，而单位向量与其他单位向量之间存在着乘积关系。
刚体在三维空间的旋转（关于旋转矩阵、DCM、旋转向量、四元数、欧拉角）
刚体在三维空间的旋转（关于旋转矩阵、DCM、旋转向量、四元数、欧拉角）最近学习了一些关于三维空间旋转相关的知识，借此梳理一下备忘。
三维空间的旋转(3D Rotation)是一个很神奇的东东：如果对某个刚体在三维空间进行任意次的旋转，只要旋转中心保持不变，无论多少次的旋转都可以用绕三维空间中某一个轴的一次旋转来表示。
表示三维空间的旋转有多种互相等价的方式，常见的有旋转矩阵、DCM、旋转向量、四元数、欧拉角等。
本篇文章主要梳理一下这些表示方式及相互转换的方法。
1. 欧拉角(Euler Angle)最直观的表示方式是绕刚体自身的X、Y、Z三个轴分别进行旋转某个角度，这就是所谓的欧拉角(Euler Angle)表示方式。
Euler Angle需要注意的是，欧拉角的表示方式里，yaw、pitch、roll的顺序对旋转的结果是有影响的。
给定一组欧拉角角度值，比如yaw=45度，pitch=30度，roll=60度，按照yaw-pitch-roll的顺序旋转和按照yaw-roll-pitch的顺序旋转，最终刚体的朝向是不同的！换言之，若刚体需要按照两种不同的旋转顺序旋转到相同的朝向，所需要的欧拉角角度值则是不同的！另外需要注意的是，在欧拉角的表示方式里，三个旋转轴一般是随着刚体在运动，即wikipedia中所谓的intrinsic rotation，见下图动画所示(图来自wikipedia)。
相对应的另一种表示方式是，三个旋转轴是固定的，不随刚体旋转而旋转，即extrinsic rotation，这种表示方式在计算机视觉中不是很常用。
欧拉角的表示方式比较直观，但是有几个缺点：(1) 欧拉角的表示方式不唯一。
给定某个起始朝向和目标朝向，即使给定yaw、pitch、roll的顺序，也可以通过不同的yaw/pitch/roll的角度组合来表示所需的旋转。
比如，同样的yaw-pitch-roll顺序，(0,90,0)和(90,90,90)会将刚体转到相同的位置。
四元数角度变换矩阵
四元数角度变换矩阵四元数是一种用来表示旋转的数学工具，它可以表示旋转的角度和旋转轴。
在计算机图形学和机器人学中广泛应用。
四元数角度变换矩阵是一种将四元数转换为旋转矩阵的方法。
旋转矩阵是一个3x3的矩阵，它描述了一个向量在旋转之后的方向。
四元数和旋转矩阵之间的转换公式如下：旋转矩阵 -> 四元数：给定一个旋转矩阵R，可以通过以下公式计算对应的四元数q：q = (r11 + r22 + r33 + 1)^(1/2)/2q0 = (r32 - r23) / (4*q)q1 = (r13 - r31) / (4*q)q2 = (r21 - r12) / (4*q)q3 = q其中，q0、q1、q2和q3分别表示四元数的四个分量，r11、r22、r33、r13、r31、r23、r32和r21是旋转矩阵R的元素。
四元数 -> 旋转矩阵：给定一个四元数q = (q0, q1, q2, q3)，可以通过以下公式计算对应的旋转矩阵R：r11 = 1 - 2*(q2^2 + q3^2)r12 = 2*(q1*q2 - q0*q3)r13 = 2*(q0*q2 + q1*q3)r21 = 2*(q1*q2 + q0*q3)r22 = 1 - 2*(q1^2 + q3^2)r23 = 2*(q2*q3 - q0*q1)r31 = 2*(q1*q3 - q0*q2)r32 = 2*(q0*q1 + q2*q3)r33 = 1 - 2*(q1^2 + q2^2)其中，r11、r12、r13、r21、r22、r23、r31、r32和r33是旋转矩阵R的元素。
通过四元数角度变换矩阵，我们可以方便地在计算机程序中实现旋转变换。
cayley 参数与旋转矩阵
Cayley参数是指使用四元数来表示三维空间中的旋转，它是一种常用的旋转表示方法。
而旋转矩阵则是用3X3方阵来表示旋转的方法，两者都是用来描述旋转变换的工具。
在本文中，我们将对Cayley参数和旋转矩阵进行介绍，并比较它们在表示旋转方面的优缺点。
1. Cayley参数的定义Cayley参数是一种由四元数表示的旋转参数。
四元数可以被定义为q=(w,x,y,z)，其中w是标量部分，(x,y,z)是向量部分。
在Cayley参数中，四元数的单位化是必要的，即使得w的值为1。
Cayley参数可以通过四元数和其共轭的乘积来表示：q = (cos(θ/2),sin(θ/2)*n)，其中θ是旋转的角度，n是单位向量2. 旋转矩阵的定义旋转矩阵是一个3X3的方阵，用来表示三维空间中的旋转变换。
一个旋转矩阵通常被表示为R=[r1,r2,r3]，其中r1、r2、r3分别表示旋转后x、y、z轴的方向向量。
3. Cayley参数和旋转矩阵的关系Cayley参数和旋转矩阵之间存在一一对应的关系，可以互相转换。
Cayley参数可以通过以下公式转换为旋转矩阵：R = [1-2*(y^2+z^2),2*(x*y-w*z),2*(x*z+w*y);2*(x*y+w*z),1-2*(x^2+z^2),2*(y*z-w*x);2*(x*z-w*y),2*(y*z+w*x),1-2*(x^2+y^2)]反之，旋转矩阵可以通过以下公式转换为Cayley参数：q = (r23-r32, r31-r13, r12-r21)/(1+r11+r22+r33)4. Cayley参数和旋转矩阵在表示旋转上的优缺点Cayley参数的优点在于它具有较高的计算精度，并且在插值、求导、积分等运算中具有较好的性质。
Cayley参数在进行旋转连接时更加简单，不易产生万向锁等问题。
但是，Cayley参数的缺点在于其不是唯一的，并且旋转矩阵与Cayley参数之间的转换计算较为繁琐。
旋转的矩阵与四元数的转换算法
绕指定方向的轴线的旋转旋转的矩阵与四元数的转换算法一、基本知识四元数 q=w+xi+yj+zk, q=w+v, q −1=|q|2q −.其中q −= w −xi −yj −zk 表示q 的共轭。
vv' =v×v' −v•v' …… ①qq'= (ww'−v•v') + (wv' +vw' +v×v'), …… ②v •v' = −(vv' +v'v) /2 , …… ③v×v' = (vv' −v'v) /2 . …… ④v 2=−|v|2. 内积v •v =|v|2.二、旋转表示为四元数绕指定方向n 的旋转公式为x'=(x •n)n(1−cosθ ) + cosθ x +sinθ n×x …… ⑤其中的向量运算转化为四元数运算得到x'= −(x n+nx)n (1−cosθ)/2 +cosθx +sinθ (n x−x n)/2,由于|n|=1, 故n −1=−n. 因此有x'= (1+cosθ)x/2 +sinθ (n x−x n )/2 −nxn (1−cosθ)/2 . …… ⑥x 的平行、垂直分量记为x p =(x•n)n , x v = x−x p , 则−nxn= x p − x v , 与x 关于n 轴对称。
(nx−xn)/2= n×x, 是x v 旋转+90°的结果。
若 n ⊥x, x•n =0,即xn=−nx, 此时nxn=x, 故 x' =(cosθ+n sinθ)x .q=r(cosθ+nsinθ)称为四元数的三角式，其中n 为单位向量，它的几何意义是，qx 表示对向量x 绕方向n 旋转θ角，然后长度扩大为r 倍。
任何四元数都有三角式q=w+v= |q|(w/|q|+n|v|/|q|)=r(cosθ+nsinθ).φ(x)=qxq −1称为四元数域上的合同变换。
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探讨：物体绕任意向量的旋转-四元数法VS.旋转矩阵法的性能比较3D空间中的旋转可用旋转矩阵、欧拉角或四元数等形式来表示，他们不过都是数学工具，其中在绕任意向量的旋转方面，旋转矩阵和四元数两种工具用的较多，欧拉角由于存在万向节死锁等问题，使用存在限制。
（本文假设坐标系为左手坐标系中，旋转方向为顺时针。
）所求问题：给定任意单位轴q(q1,q2,q3)(向量),求向量p(x,y,z)(或点p)饶q旋转theta角度的变换后的新向量p'(或点p')：1.用四元数工具：-------------------------------------------------------------------------结论：构造四元数变换p'= q*p*q-1，（p,q是由向量p,q扩展成的四元数）。
那么，p'转换至对应的向量(或点)就是变换后的新向量p'(或点p')。
其中，p',q,p,q-1均为四元数。
q由向量q扩展,为q=(cos(theta/2),sin(theta/2)*q)，p由向量p扩展,为p=(0,x,y,z),q-1为q的逆，因为q为单位四元数，所以q-1=q*=(cos(theta/2),-sin(theta/2)*q)。
-------------------------------------------------------------------------（这个结论的证明过程可以在网上找到。
这里略去。
）下面看其时间复杂度：首先有个三角函数的计算时间，这个可以预先计算好，花费时间不计。
考虑n个四元数相乘需进行4*4*(n-1)=16*(n-1)次乘法，15*(n-1)次加法，因为加法化费时间较少，这里仅考虑乘法。
这里涉及到三个四元数的乘法，设一次乘法的时间为T,故花费16*2=32T2.旋转矩阵工具：-------------------------------------------------------------------------结论：构造旋转矩阵变换Trot,则变换后的新向量p'(或点p')为p'= p*Trot其中，p'（x',y',z',1）,p(x,y,z,1)为向量p'，p的4D齐次坐标表示，Trot =|t*q1*q1 + c, t*q1*q2 + s*q3, t*q1*q3 - s*q2, 0||t*xq1*q2 - s*q3, t*q2*q2 + c, t*q2*q3 + s*q1, 0||t*q1*q3 + s*q2, t*q2*q3 - s*q1, t*q3*q3 + c, 0||0, 0, 0, 1|c=cos(theta), s=sin(theta),t=1-c.-------------------------------------------------------------------------（这个结论的证明过程可以在网上找到。
这里略去。
）下面看其时间复杂度：三角函数的计算时间不计。
矩阵本身的元素乘法主要是计算t*x和s*x之类，需进行12+3=15次乘法。
两个矩阵相乘的需进行n*n*n次乘法,这里n=4，所以花费4*4*4=64次乘法时间,但这里有个注意的地方就是旋转矩阵的第4维无须考虑，即可简化为3X3的矩阵。
故花费3*3*3=27次乘法时间，总共的时间为15+27=42次乘法时间。
cost=42T.比较来看，还是使用四元数的效率要高出一些，这在要变换的点的数目越大时，体现的越明显。
实际上，有很多3D引擎为了利用四元数运算的高效率性，一般先将矩阵转换成四元数后进行运算再转回为矩阵后，再传给DirectX或OpenGL库函数。
关于四元数和矩阵在向量（方向）之间的进行插值的效率比较，未完待续。
问题：3D空间中，在等长度的两个交角为theta的向量v1(x1,y1,z1),v2(x2,y2,z2)之间进行球面线性插值。
实例：做一个行星在围绕太阳等速旋转的动画，假设只采样到旋转过程中的两个位置p1,p2，现在想要用软件模拟行星是怎么从p1运动到p2的。
思路：1。
一般线性插值：我们知道一般两个量之间进行线性插值的方法为：v(t) = v1 + t*(v2-v1)（0<=t<=1)（因为t是一次方的，所以是线性的。
）如上图所示。
这里，考虑v,v1,v2是向量,由几何学的知识，v2-v1即为v1,v2组成的三角形的另外一条边。
因为|v1| = |v2|,所以v1 + t*(v2-v1)的长度肯定小于|v1|或|v2|，当0<t<1时。
得到的插值向量v(t)的端点沿着v2-v1行进。
***********************************************一般线性插值由于长度发生变化，不能满足案列的要求，我们需要保持向量长度不变的插值，即球面线性插值。
***********************************************2。
一般球面线性插值：如上图所示，将一般线性插值得到的结果乘以放大系数k(t),使其长度放大到|v1|或|v2|,即得保持向量长度不变的插值:v(t) = k(t)*(v1 + t*(v2-v1))其中k(t) = |v1|/|v(t)|=|v1|/|v1+t*(v2-v1)|.这样，插值向量v(t)的端点就会沿着v1,v2端点构成的圆弧行进。
因为v1,v2是等长的，这个圆弧实际上是位于v1,v2构成的球面上的一段，所以又叫球面线性插值，***************************************************************** 这个插值解决了3D空间中旋转的插值，在关键帧动画中可以用来计算两个关键帧之间的动画。
但是，由于它的插值不是等角速度的，而是变速的。
所以如果用来实现案例中的效果的话还需进一步处理。
***************************************************************** ***************************************注：一般球面线性插值v（t）与v1的夹角theta(t)不是t的线性函数。
证明：由向量点积可得cos(theta(t)) = (v(t)*v1)/|v(t)|*|v1|，theta(t) = arcos((v(t)*v1)/|v1|^2),由反证法，假设theat(t)为线性函数，则theat(t) = k*t + b,又theta(0) = 0,故b = 0,theat(t) = k*t，将t'= 2t代入得,theta(2*t) = arcos((v(2*t)*v1)/|v1|^2)并不等于2*theta(t),所以theat(t)不可能是t的线性函数。
***************************************3。
改进的球面线性插值：要想进行等速的球面线性插值，有几个方法：1）。
用四元数工具：变换方法：---------------------------------------------构造单位四元数q（cos（theta）,sin(theta)*v1'）,r（cos（theta）,sin(theta)*v2'）（v1'和v2'为单位v1,v2向量），以及参数t(0<=t<=1),则构造四元数变换：a.四元数s(w,v') = r*(q-1)exp(t)*q即为球面线性插值变换。
其中，s的虚部v'即为v1'和v2'间的插值向量，乘以长度sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)即得v1,v2间插值向量v。
b.另一种变形形式是对四元数进行插值变换：s(w,v') = a*q + b*r其中a = sin(alpha*(1-t))/sin(alpha),b = sin(alpha*t))/sin(alpha)，cos(alpha) = x1*y1+y1*y2+z1*z2+w1*w2.s的虚部v'即为v1'和v2'间的插值向量，乘以长度sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)即得v1,v2间插值向量v。
两种变换都可以。
----------------------------------------------复杂度：以b方法为例：时间主要花在三角函数上，四元数乘以实数只需4次乘法。
cost = 1*Tat + 3*Tt + 2Td + 3*4Tm2）。
利用旋转矩阵：变换方法：--------------------------------------------v = v1*Trot其中，Trot即饶任意轴旋转的矩阵变换矩阵(见上篇：探讨：物体绕任意向量的旋转-四元数法VS.旋转矩阵法的性能比较)，因为v1到v2间的插值可以看成是v1饶垂直于v1,v2组成的平面的向量的旋转，所以实际上就是个饶轴旋转的问题，不过相应参数变成:theta = t*theta,轴q(q1,q2,q3)变成向量v1Xv2/|v1Xv2| =(y1*z2-z1*y2,z1*x2-x1*z2,x1*y2-y1*x2)/sin(theta)--------------------------------------------复杂度：基本和饶任意轴旋转矩阵的复杂度一样。
主要是多了个向量叉积操作。
cost =2*Tt + 6*Tm + 42*Tm = 2*Tt +48*Tm综合来看，未经过优化前，效率应该差不多。