圆与方程知识点总结

圆梦教育中心 圆与方程知识点总结 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.

特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x

=+.

2. 点与圆的位置关系：

(1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ：

a.点在圆内 d ＜r ；

b.点在圆上 d=r ；

c.点在圆外 d ＞r (2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.

①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔

②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔

（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔

（3）涉及最值：

① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值

min PB BN BC r ==-

max PB BM BC r ==+

② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值

min PA AN r AC ==-

max PA AM r AC ==+

思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）

3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .

(1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2

422F E D r -+=.

(2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2

E D . (3) 当0422<-+

F E D 时，方程不表示任何图形.

注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.

4. 直线与圆的位置关系：

直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-

圆心到直线的距离22B A C

Bb Aa d +++=

1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ；

2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；

3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++00

22F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：

（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；

（2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；

（3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；

5. 两圆的位置关系

（1）设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2

222222)()(:r b y a x C =-+-， 圆心距2

21221)()(b b a a d -+-=

① 条公切线外离421⇔⇔+>r r d ；

② 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；

③ 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；

④ 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ；

⑤ 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；

外离 外切 相交 内切

（2）两圆公共弦所在直线方程

圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，

圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，

则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.

补充说明：

① 若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；

② 若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.

（3）圆系问题

过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为

()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）

补充：

① 上述圆系不包括2C ；

② 2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）

③ 过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=

6. 过一点作圆的切线的方程：

(1) 过圆外一点的切线：

①k 不存在，验证是否成立

②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即

⎪⎩

⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y 求解k ，得到切线方程【一定两解】

例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2

=4的切线，则切线方程为 。

(2) 过圆上一点的切线方程：圆(x —a )2+(y —b )2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，

则过此点的切线方程为(x 0—a )(x —a )+(y 0—b )(y —b )= r 2

特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.

例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为 。

7．切点弦

(1)过⊙C ：2

22)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 作⊙C 的两条切线，切点分别为B A 、，则切点弦AB 所在直

线方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--

8. 切线长：

若圆的方程为(x -a )

2(y -b )2=r 2

，则过圆外一点P (x 0,y 0)的切线长为 d =22020b)(+)(r y a x ---．

9. 圆心的三个重要几何性质：

① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

② 圆心在某一条弦的中垂线上；

③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。

10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法

例.已知圆C 1：x 2 +y 2 —2x =0和圆C 2：x 2 +y 2 +4 y =0，试判断圆和位置关系，

若相交，则设其交点为A 、B ，试求出它们的公共弦AB 的方程及公共弦长。