第六、七节 曲面与曲线、二次曲面(xrc)

(2) 不在曲面 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面 的方程， 而曲面 就叫做方程的图形.
由几何特征确定曲面方程
例 1 建立球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R
的球面方程.
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
例 2 求与原点 O 及M 0 (2,3,4)的距离之比为
1:2 的点的全体所组成的曲面方程.
x
22
y
12
z
42
116 .
3
3 9
例 3 已知A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段AB 的
垂直平分面的方程.
2x 6 y 2z 7 0.
第六节 曲面
一、曲面方程的概念 二、柱面和旋转曲面 三、空间曲线及其方程 四、空间曲线在坐标面上的投影
五、空间区域在坐标面上的投影
一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
如果曲面 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系： (1) 曲面 上任一点的坐标都满足方程；
求 C 绕 z 轴旋转一周而得 的旋转曲面的方程.
o
Cy
x
在曲面上任取点M ( x, y, z) , 点 M1 满足 f ( y1, z) 0 ,
点M到z轴的距离 d x2 y2 | y1 |
将 y1 x2 y2 代入 f ( y1, z) 0 ,
得方程 f ( x2 y2 , z) 0, yoz坐标面上的已知曲线f(y,z)=0绕z轴旋转一周
zox
坐标面上的已知曲线
f y
( x, z 0
)
0,
绕x
轴旋转一
周的旋转曲面方程: f ( x, y2 z2 ) 0.
例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x a
2 2
z2 c2
1分别绕
x
轴和
z
轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
双叶旋转双曲面
绕z 轴旋转
成过程:
播放
例如：
(1) x2 y2 R2
圆柱面
(2) x2 2 py ( p 0) 抛物柱面
(3)
x2 a2
y2 b2
1
椭圆柱面
(4) 平面 y x
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y 而缺z 的方程 F ( x, y) 0 ，在
(1) x 2; (2) x2 y2 4; (3) y x 1.
解
方程
平面解析几何中 空间解析几何中
x2
平行于y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
圆心在(0,0) ，
x2 y2 4
半径为2 的圆
以z 轴为中心轴的圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于z 轴的平面
2、旋转曲面（surface of revolution）
空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱
面，其准线为
xoy
面上曲线
C
:
F ( x, z 0
y) 0
. （其他类推）
实 例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面 母线 //x 轴
x2 a2
y2 b2
1
x2 2 pz
双曲柱面 母线// z 轴 抛物柱面 母线// y轴
例 指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
的旋转曲面方程.
yoz
坐标面上的已知曲线
f x
( y,z) 0
0
绕
z
轴
旋转一周 的旋转曲面方程为
f ( x2 y2 , z) 0.
yoz
坐标面上的已知曲线
f ( y,z) x 0
0
绕
y
轴
旋转一周 的旋转曲面方程为
f ( y, x2 z2 ) 0.
xoy
坐标面上的已知曲线
f z
定义 平面上的曲线C 绕该平面上的一条定 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴,
播放
曲线C称为母线.
例如：球面 x2 y2 z2 1
设 C 为 yoz 面上的一条曲线 , 方程为 f ( y,z) 0 ,
z
d
M1(0, y1,z)
M(x, y,z)
f ( y,z) 0
o
x
y
（3）抛物线 y2 2 pz 绕 z 轴； x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
z
z
o y
x
p0
xo
ywenku.baidu.com
p0
给出一个方程也要会判断它是否表示旋转 面, 及旋转曲面是如何形成的.
例5 下列方程所表示的曲面是否是旋转曲面， 若是，指明其是如何形成的.
(1) x y2 z2 1 (2) x2 y z 1
例 6 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一
周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫
圆锥面的顶点，两直线的夹角
0
2
叫
圆锥面的半顶角．
试建立顶点在坐标原点， 旋转轴为 z 轴，半顶角
为 的圆锥面方程．
z
M1(0, y1, z1 )
o
y
x
M( x, y, z)
z
解 yoz面上直线方程为
研究空间曲面有两个基本问题：
(1) 已知曲面作为满足某些条件的点集，求曲面 方程； (2) 已知曲面方程，研究曲面形状.
二、柱面与旋转曲面 1、柱面（cylinder）
定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线 L
所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动 直线 L 叫柱面的 母线.
观察柱面的形
x2 a2
y2
z2 c2
1
单叶旋转双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 c2
z2
1
单叶双曲面
x2 a2
y2
z2 c2
1
z y
O
x
z
o
y
x
y2 （2）椭圆 a2
z2 c2
1绕
y
轴和
z
轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球 面
z
( x, 0
y)
0,
绕
y
轴旋转一
周的旋转曲面方程: f ( x2 z2 , y) 0.
xoy
坐标面上的已知曲线
f z
( x, 0
y
)
0,
绕x
轴旋转一
周的旋转曲面方程: f ( x, y2 z2 ) 0.
zox
坐标面上的已知曲线
f y
( x, z) 0
0,绕
z
轴旋转一
周的旋转曲面方程: f ( x2 y2 , z) 0
z ky(k 0),其中
k tan( ))= cot x
2
绕z轴旋转，故圆锥面方程为
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
z2 k2( x2 y2 ) k cot