高等数学答案第六章4 曲面与曲线

习 题 6—4

1、一动点移动时,与)0,0,4(A 及xOy 面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下,动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则

(,,)M x y z C MA z ∈⇔= 亦即

z z y x =++-222)4(

0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x ．

2、 求下列各球面的方程：

（1)圆心)3,1,2(-,半径为6=R ； (2)圆心在原点,且经过点)3,2,6(-；

(3)一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与;（4)通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解:(1）所求的球面方程为:36)3()1()2(2

2

2

=-+++-z y x (2)由已知,半径73)2(6222=+-+=

R ,所以球面方程为49222=++z y x

(３）由已知,球面的球心坐标12

3

5,1213,3242=-=-=+-==+=c b a , 球的半径21)35()31()24(2

1

222=++++-=

R ,所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x

（4)设所求的球面方程为:02222

22=++++++l kz hy gx z y x

因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=-=-==2210k g h l

∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x .

3、求下列旋转曲面的方程:

(１）将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周所生成的旋转曲面; 解:222x y z +=(旋转抛物面) ．

(２）将zOx 坐标面上的双曲线122

22=-c

z a x 分别绕x 轴和z 轴旋转一周所生成的旋转曲

面．

解：绕x 轴旋转得122222=+-c z y a x 绕z 轴旋转得1222

22=-+c

z a y x .

4、说明下列旋转曲面是怎样形成的?

(１)1994222=++z y x ;(2）14

222

=+-z y x (3)1222=--z y x ;（４）222)(y x a z +=-

解:（1）xOy 平面上椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上椭圆22

149

+=x z 绕

x 轴旋转而成

(２)xOy 平面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转而成；或者 yOz 平面上的双曲线22

1

4

-=y z 绕y 轴旋转而成

（３)xOy 平面上的双曲线122=-y x 绕x 轴旋转而成;或者 xOz 平面上的双曲线221x z -=绕x 轴旋转而成

(４)yOz 平面上的直线a y z +=绕z 轴旋转而成或者 xOz 平面上的直线z x a =+绕z 轴旋转而成.

５、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？

（1)1+=x y ﻩ;（2）42

2

=+y

x ;（3）122=-y x ；（4)22x y =.

解:(1)1+=x y 在平面解析几何中表示直线,在空间解析几何中表示平面; （2）42

2

=+y x 在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面； (3）12

2

=-y x 在平面解析几何中表示双曲线,在空间解析几何中表示双曲柱面；

（4）y x

22=在平面解析几何中表示抛物线,在空间解析几何中表示抛物柱面.

6、指出下列曲面的名称,并作图：

（1）22149x z +=；(2)22y z =;(３）221x z +=；（4)222

20x y z x ++-=； (5)2

2

2

y x z +=；(6）22

441x y z -+=;（7）

22

1916

x y z ++=;

(8)222149

x y z -+=-；（9）1334222=++z y x ；（10）2

223122z y x +=+．

解： (1)椭圆柱面；(2） 抛物柱面;(3)圆柱面；(4)球面；(５）圆锥面；(6）双曲抛物面;

(7）椭圆抛物面；(8）双叶双曲面;(9）为旋转椭球面；(10）单叶双曲面.

7、 画出下列各曲面所围立体的图形：

(1）012243=-++z y x 与三个坐标平面所围成;（2)42,42

=+-=y x x z 及三坐标平面所围成;

(3）22=0,(0)=1z z =a a >,y =x,x +y 及0x =在第一卦限所围成；(4）2222,8z x y z x y =+=--所围.

解:（1）平面012243=-++z y x 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体； （2）抛物柱面24z x =-与平面24x y +=及三坐标平面所围成；

（3)坐标面=0z 、0x =及平面(0)z =a a >、y=x 和圆柱面22=1x +y 在第一卦限所围成； (4）开口向上的旋转抛物面22z x y =+与开口向下的抛物面228z x y =--所围.作图略.

8、画出下列曲线在第一卦限内的图形

（１)⎩⎨⎧==21y x ;（２)⎪⎩⎪⎨⎧=---=0

422y x y x z ;(３)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222a z x a

y x

解：(１）是平面1x =与2y =相交所得的一条直线;

（2）上半球面z 与平面0x y -=的交线为1

4

圆弧; (3）圆柱面222x y a +=与222x z a +=的交线.图形略．

９、分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++0

16

2222222y z x z y x 的柱面方程.

解：消去x 坐标得1632

2=-z y ，为母线平行于x 轴的柱面;

消去y 坐标得：16232

2

=+z x ,为母线平行于y 轴的柱面．

10、求在yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程).

解：⎩⎨⎧==+0122x z y ；⎩⎨⎧==++01222x z y x ; ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++1

1222

22z y z y x .

１1、试求平面20x -=与椭球面222

116124

x y z ++=相交所得椭圆的半轴与顶点.