高等数学答案第六章4 曲面与曲线

习 题 6—4
1、一动点移动时,与)0,0,4(A 及xOy 面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下,动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则
(,,)M x y z C MA z ∈⇔= 亦即
z z y x =++-222)4(
0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x ．
2、 求下列各球面的方程：
（1)圆心)3,1,2(-,半径为6=R ； (2)圆心在原点,且经过点)3,2,6(-；
(3)一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与;（4)通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解:(1）所求的球面方程为:36)3()1()2(2
2
2
=-+++-z y x (2)由已知,半径73)2(6222=+-+=
R ,所以球面方程为49222=++z y x
(３）由已知,球面的球心坐标12
3
5,1213,3242=-=-=+-==+=c b a , 球的半径21)35()31()24(2
1
222=++++-=
R ,所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x
（4)设所求的球面方程为:02222
22=++++++l kz hy gx z y x
因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=-=-==2210k g h l
∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x .
3、求下列旋转曲面的方程:
(１）将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周所生成的旋转曲面; 解:222x y z +=(旋转抛物面) ．
(２）将zOx 坐标面上的双曲线122
22=-c
z a x 分别绕x 轴和z 轴旋转一周所生成的旋转曲
面．
解：绕x 轴旋转得122222=+-c z y a x 绕z 轴旋转得1222
22=-+c
z a y x .
4、说明下列旋转曲面是怎样形成的?
(１)1994222=++z y x ;(2）14
222
=+-z y x (3)1222=--z y x ;（４）222)(y x a z +=-
解:（1）xOy 平面上椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上椭圆22
149
+=x z 绕
x 轴旋转而成
(２)xOy 平面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转而成；或者 yOz 平面上的双曲线22
1
4
-=y z 绕y 轴旋转而成
（３)xOy 平面上的双曲线122=-y x 绕x 轴旋转而成;或者 xOz 平面上的双曲线221x z -=绕x 轴旋转而成
(４)yOz 平面上的直线a y z +=绕z 轴旋转而成或者 xOz 平面上的直线z x a =+绕z 轴旋转而成.
５、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？
（1)1+=x y ﻩ;（2）42
2
=+y
x ;（3）122=-y x ；（4)22x y =.
解:(1)1+=x y 在平面解析几何中表示直线,在空间解析几何中表示平面; （2）42
2
=+y x 在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面； (3）12
2
=-y x 在平面解析几何中表示双曲线,在空间解析几何中表示双曲柱面；
（4）y x
22=在平面解析几何中表示抛物线,在空间解析几何中表示抛物柱面.
6、指出下列曲面的名称,并作图：
（1）22149x z +=；(2)22y z =;(３）221x z +=；（4)222
20x y z x ++-=； (5)2
2
2
y x z +=；(6）22
441x y z -+=;（7）
22
1916
x y z ++=;
(8)222149
x y z -+=-；（9）1334222=++z y x ；（10）2
223122z y x +=+．
解： (1)椭圆柱面；(2） 抛物柱面;(3)圆柱面；(4)球面；(５）圆锥面；(6）双曲抛物面;
(7）椭圆抛物面；(8）双叶双曲面;(9）为旋转椭球面；(10）单叶双曲面.
7、 画出下列各曲面所围立体的图形：
(1）012243=-++z y x 与三个坐标平面所围成;（2)42,42
=+-=y x x z 及三坐标平面所围成;
(3）22=0,(0)=1z z =a a >,y =x,x +y 及0x =在第一卦限所围成；(4）2222,8z x y z x y =+=--所围.
解:（1）平面012243=-++z y x 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体； （2）抛物柱面24z x =-与平面24x y +=及三坐标平面所围成；
（3)坐标面=0z 、0x =及平面(0)z =a a >、y=x 和圆柱面22=1x +y 在第一卦限所围成； (4）开口向上的旋转抛物面22z x y =+与开口向下的抛物面228z x y =--所围.作图略.
8、画出下列曲线在第一卦限内的图形
（１)⎩⎨⎧==21y x ;（２)⎪⎩⎪⎨⎧=---=0
422y x y x z ;(３)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222a z x a
y x
解：(１）是平面1x =与2y =相交所得的一条直线;
（2）上半球面z 与平面0x y -=的交线为1
4
圆弧; (3）圆柱面222x y a +=与222x z a +=的交线.图形略．
９、分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++0
16
2222222y z x z y x 的柱面方程.
解：消去x 坐标得1632
2=-z y ，为母线平行于x 轴的柱面;
消去y 坐标得：16232
2
=+z x ,为母线平行于y 轴的柱面．
10、求在yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程).
解：⎩⎨⎧==+0122x z y ；⎩⎨⎧==++01222x z y x ; ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++1
1222
22z y z y x .
１1、试求平面20x -=与椭球面222
116124
x y z ++=相交所得椭圆的半轴与顶点.
解：将椭圆方程22211612420x y z x ⎧++=⎪⎨⎪-=⎩化简为：22
193
2y z x ⎧+
=⎪⎨⎪=⎩
,可知其为平面2=x 上的椭圆，半轴分别为3,3,顶点分别为)3,0,2(),3,0,2(),0,3,2(),0,3,2(--.
12、将下面曲线的一般方程化为参数方程
(1）2229
x y z y x ⎧++=⎨=⎩; （2）⎩
⎨⎧==+++-04)1()1(22z z y x
解：（１)原曲线方程即:⎪
⎩⎪
⎨⎧=+=199222z x x
y ,化为⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
=≤≤==t
z t t y t x sin 3)20(cos 23cos 23π;ﻩ
（２）)20(0sin 3cos 31πθθθ≤≤⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧==+=z y x .
１3、指出下列方程所表示的曲线
（1）22225
3⎧++=⎨=⎩x y z x （2)⎩
⎨⎧==++13094222z z y x ;
（3）⎩⎨⎧-==+-3254222x z y x ； （4）⎩⎨⎧==+-+408422y x z y ; (５）⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-0
214
922x z y . 解：（１）圆; （2）椭圆; （３)双曲线; （4）抛物线; (5)双曲线.
1４、求螺旋线⎪⎩
⎪
⎨⎧===θθθ
b z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程．
解：⎩⎨⎧==+0222z a y x ；⎪⎩⎪⎨⎧==0sin x b z a y ;⎪⎩
⎪⎨⎧==0
cos
y b z a x .
１５、求曲线⎪⎩
⎪
⎨⎧=
=++21
1222z z y x 在坐标面上的投影.
解:（1)消去变量z 后得,432
2=+y x 在xOy 面上的投影为,0
432
2⎪⎩⎪⎨⎧==+z y x 它是中心在原点,
半径为
2
3
的圆周. (2)因为曲线在平面21=z 上，所以在xOz 面上的投影为线段.;2
3
||,
021≤
⎪⎩⎪
⎨⎧==x y z （3)同理在yOz 面上的投影也为线段．.2
3||,
21≤
⎪⎩⎪⎨⎧
==
y x z
16、求抛物面x z y =+2
2
与平面02=-+z y x 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.
解: 交线方程为⎩⎨⎧=-+=+0222z y x x z y ,(1）消去z 得投影,0
4522⎩⎨⎧==-++z x xy y x
(２)消去y 得投影2252400x z xz x y ⎧+--=⎨=⎩，(3)消去x 得投影2220
y z y z x ⎧++-=⎨=⎩.。