(完整版)高等数学答案第六章4曲面与曲线

习 题 6—4
1、一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则
(,,)M x y z C MA z u u u r
∈⇔
= 亦即
z z y x =++-222)4(
0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x .
2、 求下列各球面的方程：
（1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-；
（3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(2
2
2
=-+++-z y x （2）由已知，半径73)2(6222=+-+=
R ，所以球面方程为49222=++z y x
（3）由已知，球面的球心坐标12
3
5,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(2
1
222=++++-=
R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x
（4）设所求的球面方程为：02222
22=++++++l kz hy gx z y x
因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=-=-==2210k g h l
∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x .
3、求下列旋转曲面的方程：
（1）将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周所生成的旋转曲面； 解：222x y z +=(旋转抛物面) .
（2）将zOx 坐标面上的双曲线122
22=-c
z a x 分别绕x 轴和z 轴旋转一周所生成的旋转曲
面．
解： 绕x 轴旋转得122222=+-c z y a x 绕z 轴旋转得1222
22=-+c
z a y x .
4、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？
（1）1994222=++z y x ；（2）1
4
222
=+-z y x （3）1222=--z y x ；（4）222)(y x a z +=- 解：（1）xOy 平面上椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上椭圆22
1
49
+=x z 绕x 轴旋转而成
（2）xOy 平面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转而成；或者 yOz 平面上的双曲线22
1
4
-=y z 绕y 轴旋转而成
（3）xOy 平面上的双曲线122=-y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上的双曲线221x z -=绕x 轴旋转而成
（4）yOz 平面上的直线a y z +=绕z 轴旋转而成或者 xOz 平面上的直线z x a =+绕z 轴旋转而成.
5、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？
（1）1+=x y ；（2）42
2
=+y
x ；（3）12
2=-y x ；（4）22x y =.
解：（1）1+=x y 在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面； （2）42
2
=+y x 在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面； （3）12
2=-y x 在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；
（4）y x
22=在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.
6、指出下列曲面的名称，并作图：
（1）22149x z +=；（2）22y z =；（3）22
1x z += ；（4）22220x y z x ++-=； （5）2
2
2
y x z +=；（6）22
441x y z -+=；（7）
22
1916
x y z ++=；
（8）222149
x y z -+=-；（9）1334222=++z y x ；（10）2
223122z y x +=+.
解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物
面；
（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.
7、 画出下列各曲面所围立体的图形：
（1）012243=-++z y x 与三个坐标平面所围成；（2）42,42
=+-=y x x z 及三坐标平面所围成；
（3）22=0,(0)=1z z =a a >,y =x,x +y 及0x =在第一卦限所围成；（4）2222,8z x y z x y =+=--所围.
解：（1）平面012243=-++z y x 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体； （2）抛物柱面24z x =-与平面24x y +=及三坐标平面所围成；
（3）坐标面=0z 、0x =及平面(0)z =a a >、y=x 和圆柱面22=1x +y 在第一卦限所围成；
（4）开口向上的旋转抛物面22z x y =+与开口向下的抛物面228z x y =--所围.作图略.
8、画出下列曲线在第一卦限内的图形
（1）⎩⎨⎧==21y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=---=0
422y x y x z ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222a z x a
y x
解：（1）是平面1x =与2y =相交所得的一条直线；
（2）上半球面z 与平面0x y -=的交线为1
4
圆弧； （3）圆柱面222x y a +=与222x z a +=的交线.图形略.
9、分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++0
16
2222222y z x z y x 的柱面方程.
解：消去x 坐标得1632
2=-z y ，为母线平行于x 轴的柱面；
消去y 坐标得：16232
2
=+z x ，为母线平行于y 轴的柱面.
10、求在yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.
解：⎩⎨⎧==+0122x z y ；⎩⎨⎧==++01222x z y x ； ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++1
1
22222z y z y x .
11、试求平面20x -=与椭球面222
116124
x y z ++=相交所得椭圆的半轴与顶点.
解：将椭圆方程22211612420x y z x ⎧++=⎪⎨⎪-=⎩化简为：22
193
2y z x ⎧+
=⎪⎨⎪=⎩
，可知其为平面2=x 上的椭圆，半轴分别为3,3，顶点分别为)3,0,2(),3,0,2(),0,3,2(),0,3,2(--.
12 、将下面曲线的一般方程化为参数方程
（1）2229
x y z y x ⎧++=⎨=⎩； （2）⎩⎨⎧==+++-0
4)1()1(22z z y x
解：（1）原曲线方程即：⎪
⎩⎪
⎨⎧=+=199222z x x
y ，化为⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
=≤≤==t
z t t y t x sin 3)20(cos 23cos 23π；
（2）)20(0sin 3cos 31πθθθ≤≤⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧==+=z y x .
13、指出下列方程所表示的曲线
（1）22225
3⎧++=⎨=⎩x y z x （2）⎩⎨⎧==++1
3094222z z y x ；
（3）⎩⎨⎧-==+-32542
2
2
x z y x ； （4）⎩⎨⎧==+-+40842
2
y x z y ； （5）⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-0
214
922x z y . 解：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线.
14、求螺旋线⎪⎩
⎪
⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.
解：⎩⎨⎧==+0222z a y x ；⎪⎩⎪⎨⎧==0sin x b z a y ；⎪⎩
⎪⎨⎧==0
cos
y b z a x .
15、 求曲线 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=
=++21
1222z z y x 在坐标面上的投影. 解：（1）消去变量z 后得,432
2=+y x 在xOy 面上的投影为,0
432
2⎪⎩⎪⎨⎧==+z y x 它是中心在原
点，半径为
2
3
的圆周. （2）因为曲线在平面21=z 上，所以在xOz 面上的投影为线段.;2
3
||,
021≤
⎪⎩⎪⎨⎧
==
x y z （3）同理在yOz 面上的投影也为线段..2
3||,
21≤
⎪⎩⎪
⎨⎧
==y x z
16、 求抛物面x z y =+2
2
与平面 02=-+z y x 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.
解： 交线方程为⎩⎨⎧=-+=+0
222z y x x
z y ，（1）消去z 得投影,004522⎩⎨⎧==-++z x xy y x
（2）消去y 得投影2252400x z xz x y ⎧+--=⎨=⎩，（3）消去x 得投影2220
0y z y z x ⎧++-=⎨=⎩
.。