16.2 最简二次根式与同类二次根式
16.2.4二次根式的加减(课件ppt）
沪科版 八年级下
新知导入
3 与 27 俩兄弟上次乘坐乘法快车 3 27 327 81 9 到有理 数王国游玩后，回到无理数王国，他们的国王问道：“你们 兄弟俩这次出访有理数王国有何收获？”兄弟俩异口同声的 答道：“加法！”并请国王欣赏：“ 3 27 3 27 30 ”， 两兄弟正在等待国王的嘉奖，谁知国王大发雷霆：“胡说！ 你俩本为同类，可以相加，合二为一，但不能用有理数那一 套，坏了我国的规矩，罚你二人到藏书阁学习二次根式的加 减法。”
作业布置
习题16.2 第3、4、5题
（3）合并同类二次根式；
（4）在二次根式的运算中实数的运算性质和法则同 样适用。
一化
二找 三合并
课堂练习
1.在下列各级根式中，是同类二次根式的是（B）
A. 2, 12 B. 2, 1 C. 2ab, ab2 D. a 1, a 1 2
课堂练习
2.与 12 是同类二次根式的是（D）
A. 32 B. 24 C. 125 D. 1 27
(1)( 3 1)( 3 1), (2)( 6 2 3)2 6(3 3)
解: (1)( 3 1)( 3 1) ( 3)2 12 3 1 2
(2)( 6 2 ຫໍສະໝຸດ )2 6(3 3)( 6)2 2 6 2 3 (2 3)2 6 3 6 3
6 12 2 12 18 6 3 6 3 12 2
中考链接
1．(2018上海)下计算 18 2 的结果是( C )
–
A.4 B.3 C. 2 2 D. 2
2．(2018长沙，)下计算正确的是( D )
A.a2 a3 a5 C.( x2 )3 x5
B.3 2 2 2 1 D.m5 m3 m2
16.2二次根式的运算(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式运算的基本概念。二次根式是指形如√a的表达式，其中a是非负实数。它在数学运算中非常重要，可以帮助我们解决实际问题，如几何中的长度计算等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何计算两个二次根式的乘积和商，以及这些运算在几何问题中的应用。
16.2二次根式的运算（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第十六章第二节，主要围绕二次根式的运算展开，具体内容包括：
1.二次根式的乘法与除法法则：掌握二次根式乘法与除法的运算规则，能够正确进行相关计算。
-乘法法则：\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)，其中\(a \geq 0\)，\(b \geq 0\)；
3.二次根式的性质与化简：掌握二次根式的性质，能够对二次根式进行化简。
-性质：\(\sqrt{a^2} = |a|\)，其中\(a\)为实数。
二、核心表达与交流的能力，通过二次根式运算的学习，使学生能够准确、清晰地用数学语言表述问题，展示逻辑推理过程。
-除法法则：\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)，其中\(b \neq 0\)，\(a \geq 0\)，\(b > 0\)。
2.二次根式的加法与减法法则：了解二次根式加、减运算的法则，能够进行简单的合并同类二次根式。
-加减法则：\(\sqrt{a} \pm \sqrt{b}\)，其中\(a\)、\(b\)为正实数，且两个二次根式具有相同的根指数和被开方数。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次根式乘法与除法法则，以及合并同类二次根式这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的例题和对比分析来帮助大家理解。
人教初中数学八下 16.2.2 最简二次根式课件 【经典初中数学课件汇编】
5．被开方数有隐含条件的二次根式化简
例 5 化简 a －1a的结果是：
．
分析：含字母的化简，通常要知道字母的符 号,而字母的符号又常借被开方数的非负性而隐 藏．因此，化简时要从被开方数入手．
26
5．被开方数是隐含条件的二次根式化简
例 5 化简 a －1a的结果是：
．
解：∵a －a1有意义，∴－1a≥0，∴－a＞0．
值范围是(C ) A. a2
C. 2a4
B. a2
D. a2或 a4
21
二次根式化简
1．被开方数是非完全平方数的二次根式化简 例 1 化简 48． 分析：因为，48=16×3=42×3，所以，根据公 式 a b= ab (a≥0，b≥0)，就可以把积的是完 全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来， 从而实现化简的目的． 解： 48＝ 16×3＝ 16× 3＝ 42× 3＝4 3．
p
-1 0 1 2
18
6、已知三角形的三边长分别是 a、b、c，
且 ac ，那么 ca (acb)2
等于（ D ）
A、2a-b
B、2c-b
C、b-2a
D、b-2c
19
7.当 . a1时，a2求 211的值
2
aa
错解 （ ： a1)2 原 1a 式 11a1 a a aa 2
分析：上述做法 有中 注， 意没 到 a当 1时， 2
【解析】 25 600÷128 = 200（千米）.
(2) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：
天)之间有什么关系？
【解析】 y=200x（0≤x≤128）.
(3)这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程 大约是多少千米？ 【解析】当x=45时，y=200×45=9 000（千 米）.
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上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理第十六章 二次根式第一节 二次根式的概念和性质16.1 二次根式1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。
2． 二次根式的性质 ①⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a ba b a 16.2 最简二次根式与同类二次根式1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式16.3 二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：≥0)).0,0(≥≥=⋅b a ab b a=a ≥0,b>0）n =≥0)第十七章 一元二次方程17.1 一元二次方程的概念1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2．一般形式y=ax ²+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项17.2 一元二次方程的解法1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a---= , = ； △=24b ac -≥017.3 一元二次方程的判别式1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠：△＞0时，方程有两个不相等的实数根△＝0时，方程有两个相等的实数根△＜0时，方程没有实数根2．反过来说也是成立的17.4 一元二次方程的应用1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根2．把二次三项式分解因式时；如果24b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式 第十八章 正比例函数和反比例函数18.1．函数的概念1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x =4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值18.2 正比例函数1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数3．对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像4．一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =18.3 反比例函数1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例2．解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数 反比例函数的定义域是不等于零的一切实数18.4函数的表示法1．把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达------解析法2．把两个变量之间的依赖关系用图像来表示------图像法3．把两个变量之间的依赖关系用表格来表示------列表法第十九章 几何证明19.1 命题和证明1．我们现在学习的证明方式是演绎证明，简称证明2．能界定某个对象含义的句子叫做定义3．判断一件事情的句子叫做命题；其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题4．数学命题通常由题设、结论两部分组成5．命题可以写成“如果……那么……”的形式，如果后是题设，那么后是结论19.2 证明举例1．平行的判定，全等三角形的判定19.3 逆命题和逆定理1．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，二第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题2．如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理19.4线段的垂直平分线1. 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
人教版八年级数学下册 16.2 二次根式的乘除 易错题分类讲义(含答案)
16.2 二次根式的乘除 易错题分类讲义二次根式是初中数学中的重要内容，其中的概念和性质都有条件限制，同学们在运用这些概念和性质解题时，往往会忽视这些条件而导致错解．现列举六种常见的解题错误进行分析，希望能引起同学们的注意． 一、忽视二次根式a 中0≥a 这一隐含条件而造成错解例1、化简11)1(---a a 错解：)11()1(11)1(2--•-=---a a a a =a a -=--1)1(辨析：错解中忽视了11--a ＞0这一隐含条件，即a ＜1，此式的值应为负值． 正解：)11()1(11)1(2--•--=---a a a a =a a --=---1)1( 二、运用a a =2时忽视a ＜0这种情形，没有把22)(a a 和区别开来． 例2、化简2)21(- 错解：2)21(-=1－2 辨析：错解中没有把22)(a a 和区别开来，忽视了1－2是一个负数这种情况．平时应养成先判断a 的符号，再脱去2a 中的根号这一好的习惯．正解：因为1－2＜0 所以2)21(-=21-=2－1三、运用二次根式性质时出错例3、5253• 错解：565)23(5253=⨯=• 辨析：上面错在不明确5253和的意义，也不明确二次根式乘法的运算步骤．正解：3056)55)(23(5253=⨯=⨯⨯=•四、忽视同类二次根式的定义例4、已知b a b b a ++34与是同类二次根式，则a 、b 的值是（ ）A 、 0a =，2b =B 、1a =，1b =C 、1b ,1a 2b ,0a ====或D 、 0b ,2a ==错解：由⎩⎨⎧+==+b a 3b 42b a 解得⎩⎨⎧==1b 1a 故选B ．辨析：两个根式是同类二次根式，必须满足以下两个条件：①是最简二次根式，②被开方数相同。
而b a b 4+不是最简二次根式，故需先将其化简．正解：依题意：⎩⎨⎧+==+b a 3b 2b a 解得⎩⎨⎧==2b 0a 故选A ．五、违背运算规律例5 计算：231)23(2-⨯-÷． 错解：原式=212=÷．分析：对于同一级运算，要按从左到右的顺序进行，错解中违反了这一规律． 正解：原式=2)23(2231232-=-⨯- =34256252+=-六、忽视将二次根式的计算结果化为最简二次根式例6、 计算：)3225)(65(-+。
16.2.2二次根式的加减课件(2014年沪科版八年级下)
解： (1)原式＝
倍 速 课 时 学 练
1 2 1 (2)原式 2 6 2 6 2 6 2 3 4
2 1 1 2 1 6 2 3 2 4
9 3 3 2 4 2 2 2 4 1 2 2 2 2
形式上都是二次根式，实质上
5 50 不是最简二次根式，可以化简：
倍 速 课 时 学 练
2
但4
2 是最简二次根式
50 18 32 和5 2 3 2 4 2
还可以化简吗？二次根式的加减
A
?m
C
倍 速 课 时 学 练
50
m
18 m
问题：已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝ BC＝ 18 m，那么△ABC的周长 L等于多少呢？
解：∵
48 4 3 4 3
2
2
4 3，
2 1 1 ， 2 2 2
1 1 3 ， 27 3 3 9
倍 速 课 时 学 练
2 8ab3 3
2 2 4 b 2ab 3
2 2b 2ab 3
4b 2ab 3
，
a a 6b 6b 2b 2b
a 2b 6b 2b 2b
4ab , ab
D. D
a 1, a 1
)
1 6 27
1 2
?
2. 与
A.
12 是同类二次根式的是( B C 125 D. 32 B. 24 C.
?
倍 速 课 时 学 练
× ×
1
3
3.判断:下列计算是否正确?为什么?
8 18 2 4
2 3 5; 2 2 2 2 2 ;
新人教版八年级下册二次根式(全章)习题及答案
二次根式16.1 二次根式：1. 有意义的条件是 。
2. 当__________3. 11m +有意义，则m 的取值范围是 。
4. 当__________x 是二次根式。
5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。
6. 2x =，则x 的取值范围是 。
7. 2x =-，则x 的取值范围是 。
8. )1x 的结果是 。
9. 当15x ≤5_____________x -=。
10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。
11. 11x =+成立的条件是 。
12. 若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。
13. )()()230,2,12,20,3,1,x y y x xx x y +=--++中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）15. 若23a ，则）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a -16. 若A ==（ ）A. 24a + B. 22a + C. ()222a + D. ()224a +17. 若1a≤）A. (1a-B. (1a-C. (1a-D. (1a-18.=x的取值范围是（）A. 2x ≠ B. 0x≥ C. 2x D. 2x≥19.）A. 0B. 42a- C. 24a- D. 24a-或42a-20. 下面的推导中开始出错的步骤是（）()()()()23123224==-==∴=-∴=-A. ()1B. ()2C. ()3D. ()421.2440y y-+=，求xy的值。
22. 当a取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。
23. 去掉下列各根式内的分母：())10x ())21x24. 已知2310x x -+=25. 已知,a b (10b -=，求20052006a b -的值。
16.2 二次根式的乘除1. 当0a ≤，0b__________=。
人教版八年级下册16.2二次根式的除法(教案)
-举例：化简√(50/4)，引导学生先简化分数得到√(25/2)，再将√25与√2分别处理，得到5√2/2。
-难点三：在解决实际问题中，能够将问题转化为二次根式除法问题并进行正确计算。
-举例：如果一个三角形的面积是(6√3 + 3√6)平方米，底是3米，求高。
3.通过对混合运算中二次根式除法的运用，增强学生的运算能力和数据分析能力。
4.引导学生发现二次根式除法在实际问题中的应用，激发他们的创新意识，培养数学探究精神。
5.在小组合作交流中，培养学生的团队协作能力和沟通表达能力，提高他们的数学交流素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：二次根式除法的法则及其运用。
实践活动和小组讨论环节，学生们表现得相当积极。他们通过分组讨论和实验操作，不仅加深了对二次根式除法的理解，还学会了如何将数学知识应用到解决实际问题中。看到他们互相交流、共同解决问题的样子，我感到非常欣慰。
然而，我也注意到在小组讨论中，部分学生还是比较被动，可能是因为他们对知识点还不够自信。在今后的教学中，我需要更多地关注这部分学生，鼓励他们大胆发言，增强他们的自信心。
人教版八年级下册16.2二次根式的除法（教案）
一、教学内容
人教版八年级下册16.2二次根式的除法，主要包括以下内容：
1.掌握二次根式除法的法则：a)同类二次根式相除，等于它们的系数相除，被开方数不变；b)不同类二次根式相除，先将它们化成同类二次根式，再按同类二次根式相除的法则进行计算。
2.能运用二次根式除法法则解决实际问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
16.2二次根式的运算(第1课时)讲解与例题
二次根式的运算第1课时1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立．②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根． ③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4× 3.6；(2)545×3223. 分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法． 解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230. 2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a ≥0，b ≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a ，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可．②公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)可以推广为abc ＝a ·b ·c (a ≥0，b ≥0，c ≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简： (1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a 3b 6(a ＞0，b ＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)进行化简． 解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a 3b 6＝42·6·a 2·a ·(b 3)2＝4ab 36a .3．二次根式的除法法则 对于两个二次根式a ，b ，如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝a b.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝a b .②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a ≥0，b ＞0与二次根式乘法的条件a ≥0，b ≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝m na b (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝a b，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用：(1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝a b ； (2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握)【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内．(1)535； (2)－2a 12a； (3)－a －1a ； (4)x y x(x ＜0，y ＜0)． 分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15. (2)∵12a＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a＝－(2a )2·12a＝－2a . (3)∵－1a＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a)＝－a . (4)∵x ＜0，y ＜0，∴x y x ＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋b b 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2. 所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算(1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用．(3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件；②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上；④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式．【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a)． 分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除． 解：(1)9145÷(3235)×12223 ＝(9÷32×12)145÷35×83＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12ab a 2b ·a b·a ＝－12ab a 4 ＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式． a 与a ；a ＋b 与a －b ；a ＋b 与a －b ；a b ＋c d 与a b －c d .③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab ＜0时，化简ab 2，得__________．(2)把代数式x －1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________． (3)把－x 3(x －1)2化成最简二次根式是__________． (4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是( )． A ．甲正确，乙不正确B ．甲不正确，乙正确C ．甲、乙的解法都正确D ．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab 2中，因为ab 2≥0，所以ab ·b ≥0.因为ab ＜0，b ≠0，所以b ＜0，a ＞0.原式＝b 2·a ＝－b a .(2)因为－1x ≥0，又由分式的定义x ≠0，得x ＜0.所以原式＝－(－x )－1x＝－(－x )2(－1x)＝－－x . (3)化简时，需知道x ，x －1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出． ∵(x －1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x 3≥0，即x ≤0,1－x ＞0. 故原式＝(－x )2·(－x )(1－x )2＝－x 1－x－x . (4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a (2)－－x(3)－x 1－x－x (4)C 8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用．如：借助于计算器可以求得42＋32＝__________，442＋332＝__________，4442＋3332＝__________，4 4442＋3 3332＝__________，……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55，4442＋3332＝308 025＝555，4 4442＋3 3332＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－x x －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值． 分析：式子a b ＝a b，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x －6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x >6. ∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8.∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1) ＝(1＋x )x －4x ＋1 ＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6.【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38. 验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23； 338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38. (1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用． 解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415. (2)猜想：n n n 2－1＝n ＋n n 2－1(n ≥2，n 为正整数)． 证明：因为n n n 2－1＝n 3n 2－1＝n 3－n ＋n n 2－1＝n (n 2－1)＋n n 2－1＝n ＋n n 2－1，所以nn n 2－1＝n ＋n n 2－1.。
上海教育出版社八年级数学目录(上下学期)
第一节 一元二次方程的概念
17.1 一元二次方程的概念
第二节 一元二次方程的解法
17.2 一元二次方程的解法
17.3 一元二次方程的判别式
第三节 一元二次方程的应用
17.4 一元二次方程的应用
第二节 一次函数的图像与性质
20.2 一次函数的图像
20.3 一次函数的性质
第三节 一次函数的应用
20.4 一次函数的应用
阅读材料 直线型经验公式
第二十一章 代数方程
第一节 整式方程
21.1 一元整式方程
22.5 等腰梯形
22.6 三角形、梯形的中位线
第四节 平面向量及其加减运算
22.7 平面向量
22.8 平面向量的加法
22.9 平面向量的减法
阅读材料 用向量方法证明几何问题2 二项方程
第二节 分式方程
21.3 可化为一元二次方程的分式方程
第三节 无理方程
21.4 无理方程
第四节 二元二次方程组
21.5 二元二次方程和方程组
21.6 二元二次方程组的解法
第五节 列方程（组）解应用题
八年级上册
第十六章 二次根式
第一节 二次根式的概念和性质
16.1 二次根式
16.2 最简二次根式和同类二次根式
第二节 二次根式的运算
16.3 二次根式的运算
第十七章 一元二次方程
21.7 列方程（组）解应用题
阅读材料 一些特殊的一元高次方程的解法
第二十二章 四边形
第一节 多边形
22.1 多边形
第二节 平行四边形
22.2 平行四边形
16.2二次根式乘除知识点总结
16.2二次根式的乘除知识点总结及练习知识清单
知识点一：二次根式的乘法法则
1、二次根式的乘法法则：
即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘。
.
知识点二：积的算术平方根的性质
2、积的算术平方根的性质：
即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.。
知识点三：二次根式的除法法则
3、二次根式的除法法则：即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.
知识点四：商的算术平方根的性质
4、商的算术平方根的性质：即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.。
知识点五：最简二次根式
5、最简二次根式定义：当二次根式满足以下两条：
(1)被开方数不含（）；
(2)被开方数中不含能开得尽方的（）或
（）。
.。
16.2 同类二次根式(第2课时)(3种题型基础练+提升练)(原卷版)
16.2 同类二次根式（第2课时）（3种题型基础练+提升练）考查题型一 同类二次根式1．（2022秋•青浦区期中）下列各根式中，与是同类二次根式的是（ ） A ． B ． C ． D ．2．（2021·上海市徐汇中学八年级期中）下列各组根式中，是同类二次根式的是 （ ） A 212 B 50.5C 2ab 32ab D 1a -1a + ．3．（2021·上海市民办文绮中学七年级期中）下列不是同类二次根式的一组是（ ）． A 3x 2xy B 5x 3245x y C 34z x y 9x yz D xy 11x y+4．（2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）在二次根式①8；②1753a ；③293a ；④125；⑤3233a 中，与3a 是同类二次根式的有___________．（填写编号） 5．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）如果最简根式618a -与22a -是同类二次根式，那么使42a x -有意义的x 的取值范围是（ ）A ．6x ≥B ．6x ≤C ．8x ≥D ．8x ≤ 6．（2022·上海·26a +33-a 可以等于___________．（写出一个即可）7．（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）若23与最简二次根式22a +是同类二次根式，则=a ____________．考查题型三 合并同类二次根式8.合并下列各式中的同类二次根式：（1）112232323（2）3xy xy xy （3）31850572 （4）3(3)(4)b b ab b -．9.合并下列各式中的同类二次根式．（1）；（2）-(；10.合并下列各式中的同类二次根式并计算．（1）-（2）（3）-； （4）．125a a 与4a13.17+x y x y x 若和x y 和的值．14.若最简根式7257ab a b 和3a b 是同类二次根式，求a b 的值的平方根．15.分别求出满足下列条件的字母a 的取值：（1与8是同类二次根式； （2与8是同类二次根式．16.若2152a ab 与是同类二次根式，求b a 的值．17.若最简二次根式a ab 的值？a与是同类二次根式，解答下列问题：19.438（1）若a是正整数，则符合条件的a有几个？试写出a的最大值和最小值；（2）若a是整数，则符合条件的a有几个，是否存在a的最大值和最小值？为什么？。
七年级上册知识点知识梳理
初中知识梳理第九章9.1字母表示数字母可以表示任意数，也可以表示特意的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数。
（2a ´ 写成2a ）9.2代数式用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式（单独的一个数或者一个字母也是代数式）9.3代数式的值用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结构叫做代数式的值9.4整式单项式：由数与字母的积或字母与字母的的积所组成的代数式系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数多项式：由几个单项式的和所组成的代数式项:在多项式中的每一个单项式叫做这个多项式的项常数项：不含字母的项多项式的次数：次数最高项的次数就是这个多项式的次数整式：单项式，多项式统称为整式9.5合并同类项同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项（把相同项的系数相加作为合并后的系数，字母和字母的指数不变）几项式：一个多项式合并后含有几项9.6整式的加减去括号法则：括号前是“+”不变号，括号前是“-”括号内多要变号()()a b c d a b c d a b c d a b c d++-=++--+-=--+ 9.7同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变。
指数相加n m n m a a a += （m ,n 都是正整数）9.8幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘即()m n mn a a = （m ,n 都是正整数）9.9积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即()n n n ab a b = （n 都是正整数）9.10整式的乘法单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式单项式与多项式相乘：用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，如：()p q b bp bq +=+多项式与多项式相乘：先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
人教八下数学《16.2.2二次根式的除法法则》教学设计2个
人教八下数学《16.2.2二次根式的除法法则》教学设计2个16.2二次根式的乘除第二课时一、教学目标1.核心素养：通过对最简二次根式和二次根式除法法则的学习，培养学生逻辑推理和运算能力．2.学习目标（1）理解和，并能利用它们进行计算；（2）理解最简二次根式的定义，知道二次根式运算的结果必须是最简二次根式．3.学习重点理解和，并能利用它们进行计算和化简.4.学习难点利用和进行计算和化简．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1 二次根式的除法法则是怎样的？任务2 什么叫最简二次根式？2.预习自测1．式子成立的条是（）A．B．C．D．2.下列根式中不是最简二次根式的是（）A.B.C.D.3.计算的值为（）A.B.C.D.预习自测1.B2.B3.B（二）课堂设计1.知识回顾（1）二次根式的乘法法则：；（2）积的算数平方根的性质：.2.问题探究问题探究一二次根式的除法法则是怎样的？▲ 活动一从特殊到一般探究法则计算下列各式：（1），；（2），；（3），；观察上面的计算结果，你的发现的规律是（文字表达）；总结二次根式的除法法则：（用字母表达）.活动二反思法则巩固提升为什么中要对的取值进行限制？与二次根式的乘法法则进行比较，的取值有什么变化？（因为既要考虑二次根式本身有意义，还得考虑整个式子是否有意义，因此，与二次根式的乘法法则比较，的取值变化是这里的，所以）活动三逆向思维类比迁移对二次根式的化简？类比积的算术平方根的性质我们可以得到商的算术平方根的性质论：.结论：商的算术平方根的性质例1 计算：（1）；（2）【知识点：二次根式的除法】详解：（1）；（2）【点拨】按照二次根式的除法法则运算即可.例2 化简：（1）；（2）=；（3）=.（4）=.【知识点：二次根式的除法】详解：（1）；（2）；（3）；（4）.【点拨】如果被开方数是带分数，则先将带分数化为假分数，再利用商的算术平方根的性质进行计算，如果被开方数是小数，则可先将小数化为分数，再直接利用商的算术平方根的性质计算即可.问题探究二什么样的式子是最简二次根式？▲ 观察与思考下列各式中的被开方数有何共同特点？，，，特点：（1）被开方数不含；（2）被开方数不含；结论：我们把满足以上两个条的二次根式叫做最简二次根式.温馨提示：在二次根式的运算中，一般要把二次根式化为最简二次根式.例3 化简（1）；（2）.【知识点：二次根式的除法】详解：（1）；（2）.【点拨】被开方数是带分数的要先化成假分数后，再进行乘除，计算的结果含有分母时，要乘以分母的有理化因式，使其被开方数不含分母和开得尽方的因数或因式，达到最后结果是最简二次根式的目的.3.课堂小结【知识梳理】（1）二次根式的除法法则：（2）最简二次根式的条：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.【重难点突破】（1）在运用二次根式除法法则时，注意被开方数的取值范围，即 0， 0，要特别注意，因为当时，分式没有意义；当被开方数是带分数时，应先化成假分数，如必须先化成，避免出现 =这样的错误.（2）只有当 0， 0时，才能成立．（3）二次根式的运算结果都必须是最简二次根式，把二次根式化成最简二次根式需满足以下两个条：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．（4）当二次根式的被开方数是不能再约分的分数（包括小数）或分式时，化简方法一，利用商的算术平方根的性质化简：①“化”，将根号下的数化成分数形式，如果是带分数，则将其化为假分数的形式；②“写”，利用商的算术平方根的性质将写成的形式；③“乘”，分子、分母都同时乘以一个适当的数，化去分母中的根号；④“约”，即约去分子、分母中的公因式,如：.方法二，先直接去分母再化简：①将根号下的数化成分数形式，如果是带分数，则将其化为假分数的形式；②将分子、分母都同时乘以一个适当的数或式，使分母变成一个数的平方数；③将分母进行开方，直接作为化简后的分母，再对分子利用积的算术平方根的性质进行化简.如：.4.随堂检测1.设一个长方形的面积为，一边长为，则另一边长为（）A．B．C．D．【知识点：二次根式的除法】【答案】B 【思路点拨】长方形的面积除以其中一边长就等于另一边长.2.下列二次根式中，是最简二次根式的是 ( ) A．B．C．D．【知识点：最简二次根式】【答案】C 【思路点拨】 3.等式成立的条是( ) A.B.C.D.且【知识点：二次根式的除法】【答案】C 【思路点拨】由题意可得，所以.4.化简：=_________.【知识点：二次根式除法】【答案】【思路点拨】中，被开方数的分子、分母同时乘以就可实现分母有理化.《二次根式的除法法则》预习导学学习目标1．经历探究二次根式除法法则的过程，能熟练地进行二次根式除法运算．2．知道最简二次根式的概念，能将二次根式进行化简．3．能运用二次根式乘、除法则解决实际问题.l 重点：二次根式的除法法则．l 难点：容易忽略二次根式化简过程中变量的取值范围.预习导学问题导入之前，我们学习过整式、分式的乘除运算，上一课，我们又学习了二次根式的乘法运算，这节课，我们来看看二次根式的除法运算.你想不想知道二次根式的除法与整式、分式的除法有什么相同点和不同点呢？知识点一二次根式的除法法则阅读课本本课时“例6”之前的内容，回答下列问题．1．比较大小：；；．2．猜想：与(a≥0，b>0)相等吗？与相等吗？归纳总结二次根式的除法法则：=(a≥0，b>0).3.讨论：在“例5”中，化简二次根式，将化为什么形式？为什么？知识点二最简二次根式阅读课本本课时“例6”至“练习”之间的内容，思考下列问题．1．讨论：(1)在“例4、5、6”中的二次根式，分母是否为有理数？是否可以将分母变成有理数？ (2)=是否可以化简？=是否可以化简？2．思考：将二次根式化简，应注意哪些方面？怎样的形式才是最后结果？ 3．揭示概念：符合①被开方数不含；②被开方数中不含能开得尽方的的二次根式叫 .。
16.2二次根式的运算(第2课时)讲解与例题
【例2】计算：
(1)－2－3＋5＋4；
(2)(－)－(－)．
分析：进行二次根式的加减法可按一化(把二次根式化成最简二次根式)、二看(看被开方数是否相同)、三合并(把被开方数相同的二次根式进行合并)的步骤进行．(1)题中的每个二次根式都是最简二次根式，可直接识别出：－2与5，－3与4被开方数相同，因此可直接进行合并．
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二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并．
(5)二次根式的加减法的一般步骤：
①将每一个二次根式化成最简二次根式；
②找出其中的同类二次根式；
③合并同类二次根式．
知识点拓展：(1)①当式子中有括号时要先去括号，并且在运算过程中应注意符号；②二次根式的加减与整式的加减相类似，体现了数学中的类比思想，在学习时应注意对比理解和应用．
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解：(1)－2－3＋5＋4
＝(－2＋5)＋(－3＋4)＝3＋.
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16.2 最简二次根式和同类二次根式
一、 课本巩固练习
1、判断下列二次根式是不是最简二次根式：
（1； （2
（2 （4
2、判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式：
3、 将下列二次根式化简成最简二次根式：
（1） 0)y >；
（20)a b ≥≥；
（2） (0)m n >>.
4、将下列各二次根式化成最简二次根式：
0)b >0)x y >>0)p q >>
5、下列二次根式中，哪些同类二次根式？
0)a >，0)a >.
6、判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式：
（1 （20)x ≥；
（30)a >0)y >
7、 合并下列各式中的同类二次根式：
（1）； （2）
8、合并下列二次根式中的同类二次根式：
（1） （2）
二、基础过关
一选择题
1下列式子一定是二次根式的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
23b =-，则 （ ）
(A) 3b > (B) 3b < (C) 3b ≥ (D) 3b ≤
3m 能取的最小整数值是 （ ）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
4x 的取值范围是 （ ）
(A) 0x ≥ (B) 6x ≥ (C) 06x ≤≤ (D) x 为一切实数
5=x 的取值范围是 （ ）
(A) 0x ≥ (B) 0x > (C) 1x ≥ (D) 1x >
6下列跟式中，最简二次根式是 （ ）
（A (B)
(C) (D) 二填空题
1当x 时，x
x 的取值范围是
2当x 时，二次根式取最小值，其最小值为
3=a 的取值范围
4当x 时，12x =-.
5计算：101
()(2π--+=
6若2x <3x -的正确结果是 .
三简答题
1 2()0x y +=，求2x xy -的值.
2 已知a ，b ，c
3已知x
=的值.。