最简二次根式与同类二次根式的判别方法小结
初二数学经典讲义 二次根式(基础)知识讲解
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则： 类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b ≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如= （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三【高清课堂：二次根式 高清ID 号：388065 关联的位置名称：填空题5】 【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】已知0a <，化简二次根式3a b -的正确结果是（ ）.A.a ab --B. a ab -C. a abD.a ab -【答案】A.3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）.1448ab44a +【答案】A.【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数. 类型二、二次根式的运算4．下列计算错误的是（ ）.A. 14772⨯=B. 60523÷=C. 9258a a a +=D. 3223-= 【答案】 D.【解析】选项A ： 14714727772⨯=⨯=⨯⨯= 故正确；选项B ：605605123423÷=÷==⨯=，故正确；选项C925358a a a a a +=+=故正确；选项D ：32222-= 故错误.【总结升华】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，属于基础性考题. 举一反三 【变式】计算：48(54453)833-+⨯ 【答案】243610-.5.化简20102011(32)(32)⋅. 【答案与解析】201020102010=(32)32)(32)(32)32)32)132)3 2.⋅⋅⎡⎤=⋅⋅⎣⎦=⋅=原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6 已知2231,12x x x x=-+求.【答案与解析】2231,1=30,(1)1313331=3x x x xx x x =+∴->∴=--++==原式当时，原式【总结升华】 化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三【高清课堂:二次根式 高清ID 号：388065关联的位置名称：计算技巧6-7】 【变式】已知a b +=-3, ab =1,求ab b a +的值. 【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b11+==-(+)=-=3--ab ab a bb a b a ab∴+原式.。
二次根式知识点总结及其应用
二次根式知识点及其应用一.二次根式的概念：（1）形如 的式子叫做二次根式. （即一个 的算术平方根叫做二次根式（2）二次根式有意义的条件:二. 二次根式化简:1.（1）最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； ③被开方数的每一个因数的指数都小于根指数2.（2）用来判断一个二次根式是否是最简二次根式 记忆：最简二次根式简记：最简根式三条件，号内不把字母含，幂指数根指数要互质，幂指数小于根指数。
（3）二次根式化简的一般步骤：①把带分数或小数化成假分数②把开方数分解成质因数或分解因式③把根号内能开尽的数移到根号外④化去根号内的分母，或者化去分母中的根号⑤约分 2.几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
3.分母有理化（1）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。
（2）分母有理化：在分母含有根号的式子中，把分母中的根号化去。
分母有理化方法：0()a ≥0①分子与分母同乘以分母的有理化因式 例如：②分子或分母分解因式，约去分母中含有二次根式的因式 例如：4.把因式移到根号内、外的方法：（1）①当根号外的数是一个负数时，把负号留在根号外，然后把这个数平方后移到根号内；②当根号外数是一个正数时，把这个数平方后移到根号内。
如： （2）①当根号内的数是一个负数时，开方移到根号外后填上负号；②当根号内数是一个正数时，直接开方移到根号外。
三.二次根式的性质：（1） 非负性问：（2）与（3）的异同点？0()a ≥0 2(2)(0)a = ≥ =(0,0)a b = ≥ ≥(00)0,0,)a b b a b a b == ≥>==≥≥≠ ,0,0)0,0)x y x y ==>>==>>(0);(0)a a ><((0)a a = >= <四.二次根式的运算： 二次根式乘法法则二次根式除法法则二次根式的加减： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式；注意：化简二次根式的方法：1.如果被开方数是整数或整式，先将其分解因数或分解因式，然后把开的尽方的因数或因式开出来。
判断最简二次根式的方法
判断最简二次根式的方法最简二次根式是指没有可约分的平方根的二次根式。
判断一个二次根式是否为最简形式，可以采取以下步骤：1.确定二次根式的形式：二次根式通常可以写成形如√(a)×√(b)的形式，其中a和b是非负实数，并且至少一个不是一个完全平方数。
例如，√(2)、√(3) × √(5)等。
2.化简根号：对于给定的二次根式，我们首先考虑其中的平方根是否可以被约分。
为此，我们可以将平方根的因式分解到最简形式。
例如，√(8)可以分解为√(2 × 4)，然后再进一步化简为√2 × 2。
这里需要使用一些常见的平方根公式和规则。
例如，平方根乘积规则√(a)×√(b) = √(a × b)。
3.判断平方根是否是最简形式：一旦我们得到了化简后的二次根式，我们需要判断平方根是否是最简形式。
最简形式的二次根式是不可约分的，也就是说，其中的平方根不能再被约分成更小的形式。
因此，我们需要判断平方根中是否有完全平方数可以约分。
4.应用数学方法：为了判断一个平方根是否是一个完全平方数，可以使用一些数学方法。
其中一种常见的方法是使用因式分解。
例如，对于一个平方根√(a)，我们可以尝试将a进行因式分解，如果其中的一个因子是完全平方数，那么这个平方根就可以被约分。
5.检查数学规律：最后，还可以检查一些常见数学规律来判断二次根式是否是最简形式。
例如，如果二次根式中含有不同的平方根，那么它一定不是最简形式。
另外，如果二次根式的底数是质数，那么它也一定是最简形式。
综上所述，判断一个二次根式是否是最简形式需要运用数学知识和技巧，包括化简根号、因式分解和判断完全平方数等方法。
在实际应用中，可以通过运用这些方法来判断一个二次根式是否是最简形式。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。
性质：1、2≥0,等于a;a<0,等于-a 3、4、 反过来:56、最简二次根式：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．7、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2，算术平方根为2；②4=2，二次根式即是算术平方根9、二次根式化运算及化简：①先化成最简 ②合并同类项二次根式中考试题精选一.选择题：1.【05宜昌】化简20的结果是 （ ）.A. 25B.52C. .D.54 2.【05南京】9的算术平方根是 （ ）.A.-3B.3C.± 3D.813.【05南通】已知2x <, ）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（ ）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x 6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（ ）.A.B. C. D.7.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：，以下判断正确的是（ ）.A. 甲的解法正确，乙的解法不正确B. 甲的解法不正确，乙的解法正确C. 甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确8.【05杭州】设22a b c ===,则,,a b c 的大小关系是: （ ）. (A)a b c >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >> 9.【05丰台】4的平方根是（ ）. A. 8B. 2C. ±2D. ±210.【05北京】下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）. A.24B.12C.32D.1811.【05南平】下列各组数中，相等的是（ ）.A.(-1)3和1B.(-1)2和-1C.|-1|和-1 和112.【05宁德】下列计算正确的是（ ）.A 、x 2·x 3＝x 6B 、(2a 3)2＝4a 6C 、(a －1)2＝a 2－1D 、 4 ＝±213.【05毕节―a 的正整数a 的值有( ).A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14.【05黄岗】已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）.A ．3B ．– 3C ．1D ．– 115.【05湘潭】下列算式中，你认为错误的是 ( ). A ．aa b ++b a b+=1 B ．1÷b a×a b=1 C +1 D ．21()a b +·22a b a b--=1a b+二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+= ．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b, 那么a , b 的值分别是 。
判断最简二次根式的方法
判断最简二次根式的方法最简二次根式指的是一个形如√a的表达式，其中a是一个正整数且不含有平方数因子。
判断一个二次根式是否为最简的可以按以下方法进行。
方法一：因式分解法我们对根号内部的数a进行因式分解，将a写成素数的乘积的形式。
比如，对于a=72，可以进行如下因式分解：72=2^3×3^2。
然后，我们将分解后的素数因子提取出来，结果即为最简形式。
对于此例子，√72=√(2^3×3^2)=2√2√3。
方法二：提取平方因子法如果根号内部的数a含有平方因子，可以将平方因子提取出来，使得a成为一个不含有平方因子的数。
比如，对于a=196，可以提取出a的平方因子，即196=14^2，结果为√196=14。
方法三：完全平方式对于一个完全平方数，即平方根为整数的数，比如a=25，可以直接得到√25=5，因为5是25的平方根。
方法四：无理数判别法如果一个数a是一个不含有平方因子的正整数且不是完全平方数，那么它的平方根√a是无理数。
此时，√a就可以认为是最简形式。
比如，√5就是无理数。
需要注意的是，方法一和方法二可以同时使用，根据数a的因式分解情况来选择最适合的方法。
对于较大的数，一般使用因式分解法或无理数判别法完成判断。
而对于小于等于100的正整数，可以先用方法二提取可能的平方因子，然后再用方法一减少根号内部数的因数数量，以达到最简形式。
综上所述，判断最简二次根式的方法包括因式分解法、提取平方因子法、完全平方式和无理数判别法。
根据数a的因式分解情况和是否为完全平方数可以选择最适合的方法来判断最简二次根式。
二次根式知识点总结及常见题型
二次根式知识点总结及常见题型一、二次根式的定义形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号,a 叫做被开方数.（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”;②被开方数是否为非负数.若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.（3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是:a m a m ⋅=（a ≥0）;（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质:（1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性:()a a =2（a ≥0）;（主要用于二次根式的计算）（3）转化性:⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简）重要结论:（1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A ,A ≥0,2B ≥0,C ≥0∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值. （2）()()()⎩⎨⎧≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简.（3）()()⎪⎩⎪⎨⎧<⋅->⋅=0022A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）()B A BA ⋅=22,其中B ≥0.该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子11-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________.分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2111+-+-=x x y ,化简:11--y y .分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴1212100<=++=y ∴11111-=--=--y yy y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数xxy 21-=,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________.例3. 若04412=+-+-b b a ,则ab 的值等于 【 】（A ）2- （B ）0 （C ）1 （D ）2分析:本题考查二次根式的非负性以及结论:若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.解:∵04412=+-+-b b a ∴()0212=-+-b a∵1-a ≥0,()22-b ≥0∴02,01=-=-b a ∴2,1==b a∴221=⨯=ab .选择【 D 】.例4. 无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义,则m 的取值范围是__________. 分析:无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义,即被开方数m x x +-62≥0恒成立,所以有如下两种解法:解法一:由题意可知:m x x +-62≥0 ∵()93622-+-=+-m x m x x ≥0∴()23-x ≥m -9∵()23-x ≥0∴m -9≤0,∴m ≥9. 解法二:设m x x y +-=62∵无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义 ∴m x x y +-=62≥0恒成立即抛物线m x x y +-=62与x 轴最多有一个交点 ∴()m m 436462-=--=∆≤0解之得:m ≥9.例 5. 已知c b a ,,是△ABC 的三边长,并且满足c c b a 20100862=++-+-,试判断△ABC 的形状.分析:非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值. 解:∵c c b a 20100862=++-+- ∴010020862=+-+-+-c c b a ∴()010862=-+-+-c b a∵6-a ≥0,8-b ≥0,()210-c ≥0∴010,08,06=-=-=-c b a ∴10,8,6===c b a∵10010,10086222222===+=+c b a ∴222c b a =+ ∴△ABC 为直角三角形.习题 6. 已知实数y x ,满足084=-+-y x ,则以y x ,的值为两边长的等腰三角形的周长为 【 】 （A ）20或16 （B ）20（C ）16 （D ）以上答案均不对习题7. 当=x _________时,119++x 取得最小值,这个最小值为_________.习题8. 已知24422--+-=x x x y ,则y x 的值为_________.习题9. 已知非零实数b a ,满足()()a b a b a a =++-+-++-415316822,求1-b a 的值.提示:由()()152+-b a ≥0,且012>+b 可得:5-a ≥0,∴a ≥5.例6. 计算:（1）()26; （2）()232+x ; （3）2323⎪⎪⎭⎫⎝⎛-. 分析:本题考查二次根式的性质: ()a a =2（a ≥0）.该性质主要用于二次根式的计算.解:（1）()662=;（2）()32322+=+x x ;（3）()6329323323222=⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-. 注意:()B A B A ⋅=22,其中B ≥0.该结论主要用于二次根式的计算.例7. 化简:（1）225; （2）2710⎪⎭⎫ ⎝⎛-; （3）962+-x x ()3<x .分析:本题考查二次根式的性质:⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a .该性质主要用于二次根式的化简.解:（1）2525252==;（2）7107107102=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-; （3）()339622-=-=+-x x x x∵3<x ∴原式x -=3.注意: 结论:()()()⎩⎨⎧≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2.该结论主要用于二次根式和绝对值的化简.例8. 当3-x 有意义时,化简:()()22125x x x -+-++.解:∵二次根式3-x 有意义 ∴3-x ≥0 ∴x ≥3 ∴()()22125x x x -+-++图（1）23125125+=-+-++=-+-++=x x x x x x x例9. 化简:()()2223-+-x x .分析:()222-=-x x ,继续化简需要x 的取值范围,而取值范围的获得需要挖掘题目本身的隐含条件:3-x 的被开方数3-x 为非负数. 解:由二次根式有意义的条件可知:3-x ≥0 ∴x ≥3 ∴()()2223-+-x x522323-=-+-=-+-=x x x x x 例10. 已知10<<a ,化简=-+-++2121aa a a __________. 解:∵10<<a ∴aa 1<∴2121-+-++aa a a aaa a a a a a a a a a a a a a a 21111111122=+-+=⎪⎭⎫⎝⎛--+=--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 例11. 已知直线()23-+-=n x m y （n m ,是常数）, 如图（1）,化简1442--+---m n n n m . 解:由函数()23-+-=n x m y 的图象可知:02,03<->-n m∴2,3<>n m∴1442--+---m n n n m()()()1121212122-=+-+--=-----=-----=-----=m n n m m n n m m n n m m n n m例12. 已知c b a ,,在数轴上的位置如图（2）所示,化简:()()222b a c c a a --++-.解:由数轴可知:b a c <<<0 ∴0<+c a ∴()()222b a c c a a --++-ba b c a c a a b a c c a a -=--+++-=--++--=习题10. 要使()()2222-=-x x ,x 的取值范围是__________.习题11. 若02=+a a ,则a 的取值范围是__________.习题12. 计算:=⎪⎪⎭⎫⎝⎛243_________. 习题13. 计算:=⎪⎭⎫⎝⎛-2221_________. 习题14. 若()332-=-x x 成立,则x 的取值范围是__________.习题15. 下列等式正确的是 【 】 （A ）()332= （B ）()332-=-（C ）333= （D ）()332-=-习题16. 下列各式成立的是 【 】图（2）（A ）21212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- （B ）()ππ-=-332（C ）21212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （D ）74322=+ 习题17. 计算:()=-272_________.习题18. 化简:()=+-22x x_________.习题19. 若=-+=++++-b a a b b a a 22221,01213则________. 习题20. 已知01<<-a ,化简414122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a a 得__________. 习题21. 实数c b a ,,在数轴上对应的点如图（3）所示,化简代数式:222212b ab a c b a a +---++-的结果为 【 】 （A ）12--c b （B ）1- （C ）12--c a （D ）1+-c b习题22. 化简:()2232144--+-x x x .例13. 把aa 1-中根号外的因式移到根号内,结果是 【 】 （A ）a - （B ）a - （C ）a （D ）a --分析:本题实为二次根式的化简:某些二次根式在化简时,把根号外的系数移到根号内,可以达到化简的目的,但要注意根号外面系数的符号.有如下的结论:()()⎪⎩⎪⎨⎧<⋅->⋅=0022A B A A B A B A ,其中B ≥0. 图（3）解:由二次根式有意义的条件可知:01>-a∴0<a ∴a a a a a --=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=-112.选择【 D 】. 习题23. 化简()212--a a 得__________. 三、二次根式的乘法 一般地,有:ab b a =⋅（a ≥0,b ≥0）（1）以上便是二次根式的乘法公式,注意公式成立的条件:a ≥0,b ≥0.即参与乘法运算的每个二次根式的被开方数均为非负数;（2）二次根式的乘法公式用于二次根式的计算;（3）两个带系数的二次根式的乘法为:ab mn b n a m =⋅（a ≥0,b ≥0）; （4）二次根式的乘法公式可逆用,即有:b a ab ⋅=（a ≥0,b ≥0）公式的逆用主要用于二次根式的化简.注意公式逆用的条件不变.例14. 若()66-=-⋅x x x x 成立,则 【 】 （A ）x ≥6 （B ）0≤x ≤6 （C ）x ≥0 （D ）x 为任意实数分析:本题考查二次根式乘法公式成立的条件:ab b a =⋅（a ≥0,b ≥0）解:由题意可得:⎩⎨⎧≥-≥060x x解之得:x ≥6. 选择【 A 】.例15. 若1112-⋅+=-x x x 成立,则x 的取值范围是__________.分析:本题考查二次根式乘法公式逆用成立的条件:b a ab ⋅=（a ≥0,b ≥0）解:由题意可得:⎩⎨⎧≥-≥+0101x x解之得:x ≥1. 例16. 计算:a a 812⋅（a ≥0）. 解:a a a a a a a 21214181281222=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⋅=⋅（a ≥0）. 习题24. 计算:=⨯2731_________. 习题25. 已知()21233-⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m ,则有 【 】 （A ）65<<m （B ）54<<m （C ）45-<<-m （D ）56-<<-m 习题26. 化简12的结果是_________. 四、二次根式的除法 一般地,有:baba =（a ≥0,0>b ） （1）以上便是二次根式的除法公式,要特别注意公式成立的条件; （2）二次根式的除法公式用于二次根式的计算;（3）二次根式的除法公式可写为:b a b a ÷=÷ （a ≥0,0>b ）; （4）二次根式的除法公式可逆用,即有:ba b a =（a ≥0,0>b ） 公式的逆用主要用于二次根式的化简,注意公式逆用的条件不变. 五、最简二次根式符合以下条件的二次根式为最简二次根式: （1）被开方数中不含有完全平方数或完全平方式; （2）被开方数中不含有分母或小数.注意:二次根式的计算结果要化为最简二次根式.六、分母有理化把分母中的根号去掉的过程,叫做分母有理化. 如对21进行分母有理化,过程为:2222221=⨯=;对321+进行分母有理化,过程为:()()723232323321-=-+-=+. 由举例可以看出,分母有理化是借助于分数或分式的性质实现的.例17. 计算:（1）654; （2）3223238÷; （3）()22728y xy -÷. 解:（1）39654654===; （2）24338169388323383823383832383223238=⨯==⨯⨯=÷⨯=÷=÷; （3）()x x y xy y xy 247287282222-=-=÷-=-÷.例18. 化简: （1）65; （2）4.0; （3）a a a 9623+-（3>a ）. 解:（1）63066656565=⨯⨯==; （2）51052524.0===; （3）∵3>a ∴()()()a a a a a a a a a a 3396962223-=-=+-=+- 注意:随着学习的深入,在熟练时某些计算或化简的环节可以省略,以简化计算. 例19. 式子2121-+=-+x x x x 成立的条件是__________.分析:本题求解的是x 的取值范围,考查了二次根式除法公式逆用成立的条件:ba b a = （a ≥0,0>b ）. 解:由题意可得:⎩⎨⎧>-≥+0201x x 解之得:2>x .例20. 计算:（1）7523⨯; （2）5120-; （3）2832-. 解:（1）5225275237523==⨯=⨯; （2）552515205120-=-=-; （3）解法1:224416282322832=-=-=-=-. 解法2:()2248216642228322832=-=-=⨯⨯-=-. 二次根式的乘除混合运算例21. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⨯21223222330; （2）182712⨯÷. 解:（1）原式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⨯=252382330 232443216435238302123-=⨯⨯-=⨯⨯-=⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=（2）原式228324182712===⨯=.习题27. 下列计算正确的是 【 】（A ）3212= （B ） （C ） （D ）x x =2习题28. 计算:=÷⨯213827_________. 习题29. 计算:=÷32643x x _________. 习题30. 直线13-=x y 与x 轴的交点坐标是_________.习题31. 如果0,0<+>b a ab ,那么下面各式:①ba b a =; ②1=⋅a b b a ; ③b b a ab -=÷. 其中正确的是_________（填序号）.习题32. 若0<ab ,则化简2ab 的结果是_________.习题33. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷7225283212; （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⨯2143236181841.例22. 先化简,再求值:1441132+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x x ,其中22-=x . 解:1441132+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x x ()()()()()()2221122211111322+--=++⋅+-+-=++⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=x x x x x x x x x x x x x 2323=x x x -=-3当22-=x 时 原式122242222222-=--=+----=.习题34. 先化简,再求值:11121122-+÷+-+--a a a a a a ,其中12+=a .习题35. 先化简,再求值:2222221y xy x y x x x yx +--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---,其中6,2==y x .习题36. 下列根式中是最简二次根式的是【】 （A ）32（B ）3 （C ）9 （D ）12例23. 观察下列各式: ()()()()()().;34434343431;23323232321;12212121211 -=-+-=+-=-+-=+-=-+-=+ （1）请利用上面的规律直接写出100991+的结果;（2）请用含n （n 为正整数）的代数式表示上述规律,并证明;（3）计算:()20171201720161431321211+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++ . 分析:本题考查分母有理化.解:（1）1131099100100991-=-=+; （2）n n n n -+=++111; （3）原式()()2017120162017342312+⨯-++-+-+-= ()()2016120171201712017=-=+-= 习题37. 化简:891231121++++++ .七、同类二次根式 如果几个最简二次根式的被开方数相同,那么它们是同类二次根式. 同类二次根式的判断方法:（1）先化简二次根式;（2）看被开方数是否相同;（3）定结果:若相同,则它们是同类二次根式;若不相同,则不是.同类二次根式的合并方法:几个同类二次根式相加减,将它们的系数相加减,二次根式保持不变.八、二次根式的加减二次根式相加减,先把各个二次根式化简,再合并同类二次根式.二次根式加减运算的步骤:（1）化简参与运算的二次根式;（2）合并同类二次根式;（3）检查结果.例24. 计算:（1）12188++; （2）451227+-. 解:（1）原式3225322322+=++=;（2）原式533533233+=+-=.注意:不是同类二次根式不能合并.例25. 计算:1832225-+.解:原式232425-+=2272225=+=例26. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+32233223;（2）()()()23225775-++-.解:（1）原式223223⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=36199243=-=（2）原式364875+-+-=649-=.。
最简二次根式和同类二次根式
最简二次根式和同类二次根式学习目标1．经历最简二次根式和同类二次根式的概括过程，体会比较与分析的思维方法；通过合并同类二次根式，体会类比与迁移的认知方法.2．理解最简二次根式的概念，会判别最简二次根式；会将非最简二次根式化为最简二次根式.3．理解同类二次根式的概念，会判断几个二次根式是否是同类二次根式.内容剖析知识点一 最简二次根式观察下列二次根式及其化简所得结果，比较每组两个二次根式里的被开方数前后发生了什么变化可以看到，化简后的二次根式里： （1）被开方数中各因式的指数都是1； （2）被开方数不含分母.被开方数同时满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如二次根式ab 3、42y x +、a bm 3等都是最简二次根式.判断下列二次根式是不是最简二次根式.（1）35a； （2）a 42； （3）324x ； （4）)12(32++a a .将下列二次根式化成最简二次根式.（1）)0(423>y y x ；（2）()())0(22≥≥+-b a b a b a；例1 例2 123233a 3a)0(3>b a ab )0(92>b ab（3）)0(>>-+n m nm nm ；（4）)00(36423><-y x y x z ，.基础过关11．满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式① ； ② .2．下列二次根式：51、b a 22、a 1.0、22y x +、3ab 、xy 32、11+x ，其中是最简二次根式的有 .3．化简：=-321a . 4．化简：=<+-)21(1442x x x .5．当x 时，x x 35)53(2-=-成立. 6．)0(245>+x x x 化成最简二次根式是 . 7．若1562+>x x ，则x 的取值范围是 .知识点二 同类二次根式 把二次根式a 8与a21化成最简二次根式，所得结果有什么相同之处？ 通过化简，得a a 228=；a aa 22121=. 可见，两个最简二次根式里的被开方数都是a 2.几个同类二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.我们知道，在多项式中，遇到同类项就可以合并.类似地，同类二次根式也可以合并.下列二次根式中，哪些是同类二次根式？12、24、271、b a 4、2)0(3>a b a 、)0(3>-a ab例3若最简二次根式b a b a 7752+-+和b a 3+是同类二次根式，求b a +的值的平方根.合并下列各式中的同类二次根式.（1）323132122++-； （2）xy b xy a xy +-3.基础过关21．几个二次根式化成 后，如果 相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式.2．若最简二次根式12+x 与23-x 是同类二次根式，则=x . 3．二次根式213a 与a 9- 同类二次根式.（填“是”或“不是”） 4．若0<x ，0<y ，计算=+yxx y. 5．有四个根式2、5、501、32， 其中是同类二次根式. 6．若最简二次根式b a a +5和b a 3+是同类二次根式，则=-a b .综合培优培优练习一一、选择题1. 不改变原来式子的值，把aa 1-中根号外的因式移入根号内后，计算正确的是（ ） A.a - B. a -- C. a - D.a2. 下列化简中，正确的是（ ）A.32123= B. 3327= C. b a a b ⋅=214 D. 23192= 例4 例53. 在122132、、、a ab 中，最简二次根式有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 下列化简正确的有（ ）个.①a a a -=-3；②x x x x x 45=-；③ab b a b a a 2326=；④6106124=+. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 二、解答题 5. 计算：（1）3636 （2）3)(48t s -（3）)00(1122<<-b a b a ab ， （4）)10()1(1422<<--x x x x x6. 已知44.0-=x ，求二次根式321x x x --+的值.7. 已知23+=x ，21-=y ，求41249622+--++y x y xy x 的值.8. 小杰在化简二次根式时发现：322322=，833833=，15441544=，24552455= 你能根据这些式子总结出一般规律吗？证明你总结出的规律.9. 先观察下列各式，再回答问题.211211112111122=-+=++；611312113121122=-+=++；1211413114131122=-+=++. （1）根据上述的计算，猜想2251411++的结果. （2）由此猜想22)1(111+++n n （n 为自然数，1>n ）的结果，并说明等式成立的理由.10. 若s b a 、、满足753=+b a ；b a s 32-=，求s 的最大值和最小值.培优练习二一、选择题1. 下列各二次根式中，与24是同类二次根式的为（ ）A.18B.30C.48D.54 2. 下列各组根式中的几个根式，是同类二次根式的是（ ）A.20，45，51 B.55bc a ，233c b a ，abc C.325x ，229y x ，xy 2-D.54，12.0，65 3. 下列计算中，正确的是（ ）A.853=+B.y x y x +=+22C.a a a 555253=+D.y x y x -=-2)(二、解答题 4. 计算：（1）6148294256+-（2）()20125.023155.03--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-（3）)0(327527333>+-x xy x y x y y x x（4）)00(2>>--++y x xyy x x yy x ，5. 分别按下列条件化简：x b x a x b a 222)(--+.（1）0>a ，0>b .（2）0<a ，0<b .（3）0<a ，0>b ，且b a >.6. 化简：625625--+.7. 已知实数x 满足x x x =-+-199198，求x 的值.8. 当x 取什么最小正整数时，52+x 与3是同类二次根式.。
八年级同步第2讲：最简二次根式与同类二次根式
最简二次根式和同类二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，是进一步研究二次根式运算的的知识基础．要点是最简二次根式、同类二次根式的判断，难点是同类二次根式的归并及最简二次根式的化简．1、最简二次根式的观点：（1）被开方数中各因式的指数都为 1；（ 2）被开方数不含分母被开方数同时切合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．．【例 1】判断以下二次根式是不是最简二次根式：（ 1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★【答案】（ 1）是；（ 2）不是；（ 3）是；（ 4）是．【分析】（ 1）被开方数中各因式的指数都为1；（ 2）被开方数不含分母．同时切合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，因此（ 1）（3）（ 4）是最简二次根式．【总结】此题考察了最简二次根式的观点．【例 2】判断以下二次根式是不是最简二次根式：（ 1）；（2）；（3）．【难度】★【答案】（ 1）不是；（ 2）不是；（ 3）不是．【分析】（ 1）被开方数中各因式的指数都为1；（ 2）被开方数不含分母．同时切合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，因此这三个二次根式均不是最简二次根式．【总结】此题考察了最简二次根式的观点．【例 3】判断以下二次根式是不是最简二次根式：（ 1）；（2）；（3）．【难度】★【答案】（ 1）不是；（ 2）不是；（ 3）不是．【分析】（ 1）被开方数中各因式的指数都为1；（ 2）被开方数不含分母．同时切合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，由于已知的三个二次根式中，每个被开方数里都含有指数为 2 的因式，因此这三个二次根式均不是最简二次根式．【总结】此题考察了最简二次根式的观点．【例 4】将以下二次根式化成最简二次根式：（1）；（2）；（3）（，，）．【答案】（ 1）；（2）；（3）．【分析】（ 1）；（ 2）；（ 3）．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简．【例 5】将以下二次根式化成最简二次根式：（1）（）；（2）；（3）．【难度】★★【答案】（ 1）；（2）；（3）．【分析】（ 1）；（2）；（3）．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简．【例 6】将以下二次根式化成最简二次根式：（ 1）；（2）；（ 3）（）（4）（，，）．【难度】★★【答案】（ 1）；（2）；（3）；（ 4）．【分析】（ 1）；（2）；（3）；（4）．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简．【例 7】将以下二次根式化成最简二次根式：（ 1）；（2）；（ 3）．【答案】（ 1）；（2）；（3）．【分析】（ 1）；（2）；（3）．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号．【例 8】假如是最简二次根式，求的值．【难度】★★【答案】．【分析】，；原式 =．【总结】此题考察了二次根式的化简以及最简二次根式的观点．【例 9】已知，求的值．【难度】★★★【答案】．【分析】，又，原式 =．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简，注意整体思想的运用．1、同类二次根式的观点：几个二次根式化成最简二次根式后，假如被开方数同样，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．【例 10】判断以下各组的二次根式能否为同类二次根式？（1），，；（2），，．【难度】★【答案】（ 1）不是；（2）不是．【分析】（ 1）；；．（2）；；．【总结】此题主要考察同类二次根式的观点，先化简再判断．【例 11】判断以下各组的二次根式能否为同类二次根式？（1）和；（2）和．【难度】★【答案】（ 1）是；（2）不是．【分析】（ 1）；．（2）；．【总结】此题主要考察同类二次根式的观点，先化简再判断．【例 12】归并以下各式中的同类二次根式：（ 1）；（2）；（ 3）；（ 4）．【难度】★【答案】（1）；（2）；（3）；（ 4）．【分析】（ 1）（2）；（3）；（4）．【总结】此题主要考察二次根式的加减运算，注意先化简后归并．【例 13】判断以下各组的二次根式能否为同类二次根式？（1）和；（2）和．【难度】★★【答案】（ 1）不是；（2）不是．【分析】（ 1）；．（2）；．【总结】此题主要考察同类二次根式的观点，先化简再判断．【例 14】若最简二次根式与是同类二次根式，求、的值．【难度】★★【答案】．【分析】由题意得：，解得：．【总结】此题主要考察最简二次根式和同类二次根式的观点，而后依据题意列出方程组并求解．【例 15】当时，二次根式的值为，求的值．【难度】★★【答案】．【分析】把代入得：，解得：．【总结】此题主要考察二次根式的化简求值．【例 16】归并以下各式中的同类二次根式：（1）；（2）；（3）．【难度】★★【答案】（ 1）；（2）；（3）．【分析】（ 1）；（2）；（3） =．【总结】此题主要考察二次根式的加减运算，注意先化简后归并．【例 17】计算：（ 1）；（2）．【难度】★★【答案】（ 1）；（2）．【分析】（ 1）；（2），，．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质求解不等式和方程．【例 18】若最简二次根式和是同类二次根式，求的值？【难度】★★★【答案】．【分析】由题意得：，解得：，．而后依据题意列出方程组并求【总结】此题主要考察最简二次根式和同类二次根式的观点，解．【习题 1】判断以下二次根式是不是最简二次根式：（ 1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★【答案】（ 1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）不是；【分析】（ 1）被开方数中各因式的指数都为1；（ 2）被开方数不含分母．同时切合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，【总结】此题考察了最简二次根式的观点．【习题 2】将以下二次根式化成最简二次根式：（ 1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★【答案】（ 1）；（2）；（3）；（ 4）．【分析】（ 1）；（ 2）；（ 3）；（ 4）．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简．【习题 3】将以下二次根式化成最简二次根式：（ 1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★【答案】（ 1）；（ 2）；（ 3）；（ 4）．【分析】（ 1）；（2）；（ 3）；（4）．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号的议论．【习题 4】以下二次根式，哪些是同类二次根式：（1），，，，，．【难度】★【答案】与是同类二次根式；与是同类二次根式．【分析】；；；；；．【总结】此题主要考察同类二次根式的观点，注意先化简再判断．【习题 5】将以下二次根式化成最简二次根式：（ 1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★★【答案】（ 1）；（2）；（3）；（ 4）．【分析】（ 1）；（ 2）；（ 3）；（4）．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号的议论．【习题 6】已知最简二次根式和是同类根式，求的值．【难度】★★【答案】．【分析】由题意得：，解得：．【总结】此题主要考察最简二次根式和同类二次根式的观点，而后依据题意列方程并求解．【习题 7】归并以下各式中的同类二次根式并计算．（1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★★【答案】（ 1）；（2）；（3）；（ 4）．【分析】（ 1）；（2）；（3）；（4）．【总结】此题主要考察二次根式的加减运算，注意先化简后归并．【习题 8】归并以下各式中的同类二次根式：（ 1）；（2）；（ 3）；（4）（）．【难度】★★★【答案】（ 1）；（2）；（3）；（ 4）．【分析】（ 1）；（2）；（3）；（4）．【总结】此题综合性较强，主要考察二次根式的加减运算，注意先化简后归并．【作业 1】以下式子中是最简二次根式的是：（ 1）；（2）；（3）．【难度】★【答案】（ 1）不是；（2）不是；（3）不是；【分析】（ 1）被开方数中各因式的指数都为1；（ 2）被开方数不含分母．同时切合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，【总结】此题考察了最简二次根式的观点．【作业 2】以下各组二次根式，是不是同类二次根式．（1），，；（2），，；（3），，．【难度】★【答案】（ 1）是；（ 2）不是；（ 3）是．【分析】（ 1）；；．（2）；；．（3）；；．【总结】此题主要考察同类二次根式的观点，注意先化简再判断．【作业3】归并以下二次根式中的同类二次根式：（1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★【答案】（ 1）；（2）；（3）；（ 4）．【分析】（ 1）；（2）；（3）；（4）．【总结】此题主要考察二次根式的加减运算，注意先化简后归并．【作业4】若，则化简得（）（A ）；（B）；（ C）；（ D）．【难度】★★【答案】．【分析】．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号．【作业 5】将以下二次根式化成最简二次根式．（ 1）；（ 2）；（ 3）；（ 4）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）；（ 4）．【分析】（ 1）；（2）；（ 3）；（4）．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号．【作业 6】将以下二次根式化成最简二次根式．（1）；（ 2）；（3）；（ 4）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）；（ 4）．【分析】（ 1）；（ 2）；（ 3）；（ 4）．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号．【作业 7】归并以下各式中的同类二次根式．（1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★★【答案】（ 1）；（2）；（3）；（ 4）．【分析】（ 1）；（2）；（3）；（4）．【总结】此题主要考察二次根式的加减运算，注意先化简后归并．。
数学概念知识点总结之同类二次根式
数学概念知识点总结之同类二次根式同类二次根式是指具有相同根次和相同根指数的二次根式。
在数学中，二次根式是指根号下面的式子为一个二次方程的根。
我们将同类二次根式进行集合，并合并同类项，就可以进行简化和比较大小。
下面是关于同类二次根式的知识点总结。
一、同类二次根式的定义同类二次根式具有相同的根次和相同的根指数。
根次指的是根号下面的数字的次数，根指数指的是根号的指数。
例如，√2和√3就是同类二次根式，因为它们的根次都是2，根指数都是1二、同类二次根式的加法和减法1.加法：同类二次根式的加法要求根次和根指数都相同，才能进行相加。
例如，√2+√3=√2+√3；但是√2+√4是不同类的二次根式，不能进行相加。
2.减法：同类二次根式的减法也要求根次和根指数都相同，才能进行相减。
例如，√6-√2=√6-√2；但是√6-√4是不同类的二次根式，不能进行相减。
三、同类二次根式的乘法和除法1.乘法：同类二次根式的乘法是将根号里面的数字相乘，然后将根号保留，根次和根指数不变。
例如，√2×√3=√(2×3)=√6；但是√2×√4=√(2×4)=√8=2√22.除法：同类二次根式的除法是将根号里面的数字相除，然后将根号保留，根次和根指数不变。
例如，√6÷√2=√(6÷2)=√3；但是√6÷√4=√(6÷4)=√(3/2)。
四、同类二次根式的化简对于同类二次根式，我们可以将可以化简的二次根式进行化简。
具体的化简方法如下：1.化简含有平方数的二次根式：对于能够约分的二次根式，我们可以将其化为简单的数。
例如，√8=√(4×2)=2√2；√12=√(4×3)=2√32.加减同类项：对于同类项，我们可以进行合并，得到更简单的表达。
例如，√3+√3=2√3；2√2+3√2=5√23.简化系数：对于最后的结果，我们可以将系数进行化简。
例如，2√7+3√7=5√7五、对同类二次根式的比较大小1.同类二次根式的比较大小，可以先将二次根式化为最简形式，然后比较根号里面的数字的大小。
同类二次根式与最简二次根式
同类二次根式与最简二次根式在学习二次根式的过程中，我们经常会遇到同类二次根式和最简二次根式这两个概念。
它们在二次根式的化简和比较大小中起着重要的作用。
下面我们就来详细了解一下同类二次根式和最简二次根式的概念以及它们的应用。
一、同类二次根式同类二次根式是指具有相同根指数和相同根式的二次根式。
通俗地说，就是两个或多个二次根式中的根指数相同，且根式也相同，那么它们就是同类二次根式。
如下面的例子所示：√5 和√20 就是同类二次根式，因为它们都是根指数为2，根式为5的二次根式；√7 和√15 也是同类二次根式，因为它们都是根指数为2，根式为7的二次根式。
在进行运算时，我们可以将同类二次根式进行合并。
具体方法是将它们的根式相加或相减，而根指数保持不变。
举个例子，对于√5 + √20，我们可以将它们合并为√(5+20)，即√25，最终结果为5√1。
二、最简二次根式最简二次根式是指在同类二次根式中，系数为1且根式中的数不能再进行开方的二次根式。
也就是说，最简二次根式的系数是1，而且根式中的数是不可再开方的。
比如，√5 就是最简二次根式，因为根式中的数5是不可再开方的；而√20不是最简二次根式，因为根式中的数20可以进一步开方为2√5。
化简二次根式的一个重要原则就是将其化为最简二次根式。
这样可以使得二次根式的表达更加简洁，并且便于进行比较和运算。
三、应用举例在实际应用中，同类二次根式和最简二次根式经常用于比较大小和进行运算。
下面举几个例子来说明其应用。
例1：比较大小比较√5和√20的大小。
我们将它们化为最简二次根式。
√5已经是最简二次根式，而√20可以进一步化简为2√5。
因此，√5 < 2√5。
例2：合并同类项将4√3 - 2√3 + 3√3进行合并。
我们可以看出这三项都是同类二次根式，因为它们的根指数和根式都相同。
然后，我们将系数相加：4 - 2 + 3 = 5。
将根式保持不变，得到最终结果：5√3。
通过这个例子，我们可以看到合并同类项的步骤：先将系数相加，然后保持根指数和根式不变。
二次根式方法总结大全
二次根式一一、二次根式的定义一般地，0)a ≥的式子叫做二次根式。
A 叫做被开方数。
叫做二次根号。
注意：二次根式必须满足两个条件：（1；（2）被开方数一定是非负数。
考点一：识别二次根式例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？1x x>0）1x y+x ≥0，y ≥0）总结：判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看所给的式子是不是具备二次根式的两个特征。
二、二次根式的性质1、积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥•=b a b a ab ；2、商的算术平方根的性质：)0,0(>≥=b a bab a 。
考点二：二次根式的化简 例2 求下列各式的值：（1 （2； （3 （4 例3 化简：（1 （2 （3随堂练习一1、在式子（1（2（3；（4；（5中，是二次根式的有（ ）个A 、2B 、3C 、4D 、5 2、下列各式中，一定是二次根式的是( )．A 、23-B 、2)3.0(-C 、2-D 、x3、化简：（1（2（3（4三、最简二次根式与同类二次根式1、一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的根式叫做最简二次根式。
注意：最简二次根式必须具备两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
2、几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
注意：同类二次根式以下三点： ①都是二次根式，即根指数都是2；②必须先化成最简二次根式；③被开方数相同。
考点三：化成最简二次根式 例4 把下列根式化成最简根式（1）16；（2）12；（3）8；（4）125 ；（5；（6例5下列根式中，哪些是同类二次根式？为什么？，总结：在判断同类二次根式时，一定要看清楚被开方数和根指数是否相同。
随堂练习二1、把下列二次根式32，27，125，454，82，18，12，15化简后，与2 的被开方数相同的有________；与3的被开方数相同的有________；与5的被开方数相同的有________．2、化简后，与2的被开方数相同的二次根式是( )．A 、12B 、18C 、41 D 、61 3、在二次根式①12；②23；③32；④27中，与3是同类二次根式的是（ ） A 、①，③ B 、②，③ C 、①，④ D 、③，④4 ）A B C D乘除法法则：（10,0)a b ≥≥；（20,0)a b=≥＞。
2023最简二次根式与同类二次根式(解析版)
最简二次根式与同类二次根式【知识梳理】一．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．二．同类二次根式同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．【知识拓展】同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．【考点剖析】一．最简二次根式（共5小题）1．（2022秋•黄浦区月考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义即可求解．【解答】解：A．＝＝3，选项A不符合题意；B．＝＝，选项B不符合题意；C．是最简二次根式，选项C符合题意；D．＝＝a2，选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．2．（2018秋•松江区期末）化为最简二次根式：＝．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是最简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键．3．（2022秋•长宁区校级期中）二次根式中：、、、是最简二次根式的是．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，＝2，＝|x|是最简二次根式，故答案为：．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．4．（2022秋•虹口区校级月考）在，，，，中，最简二次根式有个．【分析】根据二次根式的定义即可得出答案．【解答】解：最简二次根式有，共1个．故答案为：1．【点评】此题考查了最简二次根式，最简根式应满足的条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数的因式的指数必须小于根指数．5．（2019秋•宝山区校级月考）将式子﹣（m﹣n）化为最简二次根式．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：m﹣n＜0，∴n﹣m＞0，∴原式＝﹣（m﹣n）＝故答案为：【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．二．同类二次根式（共11小题）6．（2021秋•金山区期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．【解答】解：＝2，A、原式＝2，故A不符合题意．B、原式＝2，故B不符合题意．C、原式＝，故C符合题意．D、原式＝，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式的定义，本题属于基础题型．7．（2021秋•宝山区校级期中）最简二次根式3与是同类二次根式，则x的值是．【分析】根据同类二次根式：二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同列方程，解出即可．【解答】解：∵最简二次根式3与是同类二次根式，∴2x﹣5＝7﹣x，解得x＝4；故答案为：4．【点评】本题考查同类二次根式、最简二次根式，掌握同类二次根式的定义，根据定义列方程是解题关键．8．（2022秋•虹口区校级期中）若两最简根式和是同类二次根式，则a+b的值的平方根是．【分析】根据同类二次根式的概念列出二元一次方程组，解二元一次方程组求出a、b，根据平方根的概念解答即可．【解答】解：由题意得：，整理得：，解得：，则a+b＝8，∵8的平方根为±2，∴a+b的平方根为±2，故答案为：±2．【点评】本题考查的是同类二次根式的概念、平方根的概念、二元一次方程组的解法，掌握同类二次根式的概念是解题的关键．9．（2022秋•黄浦区期中）若最简二次根式和是同类二次根式，那么a+b的值是．【分析】由同类二次根式的概念即可求解．【解答】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，∴b﹣1＝2，1﹣2a＝7，∴a＝﹣3，b＝3，∴a+b＝0．故答案为：0．【点评】本题考查同类二次根式的概念，关键是掌握：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．10．（2022秋•青浦区期中）下列各根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】把各选项中式子化为最简二次根式，利用同类二次根式定义判断即可．【解答】解：A、＝，与为同类二次根式；B、＝与不是同类二次根式；C、＝4与不是同类二次根式；D、＝2与不是同类二次根式；故选：A．【点评】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握同类二次根式定义是解本题的关键．11．（2022秋•嘉定区校级月考）最简二次根式与是同类二次根式，则a+b＝．【分析】根据根指数及被开方数分别相同可列出方程，解出后可得出a和b的值，代入可得出答案．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得：，则a+b＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了同类二次根式及的知识，属于基础题，要熟练掌握最简同类二次根式的根指数相同，且被开方数相同．12．（2022秋•青浦区期中）如果最简二次根式和是同类二次根式，则ab＝．【分析】先根据同类二次根式的定义求出a，b的值，进而可得出结论．【解答】解：由题意得，，解得，所以ab＝0．故答案为：0．【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．13．（2022秋•徐汇区校级期中）如果最简二次根式与2是同类二次根式，则x的值是．【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，可得x2+7＝4x+3，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵最简二次根式与2是同类二次根式，∴x2+7＝4x+3，∴x2﹣4x+4＝0，∴（x﹣2）2＝0，∴x﹣2＝0，∴x＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．14．（2022秋•虹口区校级月考）在二次根式①；②；③；④；⑤中，与是同类二次根式的有．（填写编号）【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：∵①＝2，②＝，③＝2，④＝5，⑤＝a ，∴与是同类二次根式的有②⑤．故答案为：②⑤．【点评】本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的性质与化简，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．15．（2018秋•普陀区校级月考）若最简二次根式与是同类二次根式，求a，b的值．【分析】直接利用同类二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得：．【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．16．（2022秋•宝山区校级期中）若最简二次根式与是同类根式，则2a﹣b＝．【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．【解答】解：∵最简二次根式与是同类根式，∴2a﹣4＝2，3a+b＝a﹣b，解得：a＝3，b＝﹣3．∴2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．【过关检测】一、单选题【答案】C【分析】将各选项化简，不能化简的即为答案．A不符合题意；=，所以B不符合题意；C符合题意；==D不符合题意．a故选：C．【点睛】本题主要考查了最简二次根式，即被开方数中不含能被开方的数或式子．【答案】D【分析】先根据同类二次根式的定义，列方程求出a 的值，再根据二次根式的定义列出不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】解：∵∴61822a a −=−，∴4a =，∴420a x −≥，∴1620x −≥，∴8x ≤，故选：D ．【点睛】本题考查了同类二次根式的概念及二次根式的性质：概念：化成最简二次根式后，被开方数相同的根式叫同类二次根式；性质：被开方数为非负数．【分析】先判断a 和b 的符号，然后根据二次根式的符号化简即可． 【详解】解：20ba −≥0b ∴≤0ab >所以a 和b 同号，0,0a b ∴<<，a a ==−故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质；熟练掌握性质是解答本题的关键．【答案】D【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】解：0)m >有意义， ∴0n <=−故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．【答案】C【分析】根据同类二次根式的概念逐个判断即可．【详解】A2A 选项不符合题意； B2=B 选项不符合题意；C 和C 选项符合题意；D D 选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查同类二次根式，正确理解同类二次根式的概念是解题的关键．【答案】A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式将4x =代入得，原式1=.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母二、填空题1【分析】根据分母有理化进行化简,然后判断出整数部分和小数部分,相乘解出即可.【详解】∵,23< ,∴536< ,∴532<< ,∴2m = ,2n == ,∴1mn . 【点睛】本题考查分式的有理化,熟悉定义是本题关键.【答案】②⑤/⑤②【分析】先将各项化简成最简二次根式，再利用同类二次根式的性质判断即可作答．【详解】===②和⑤， 故答案为：②⑤．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．2/2−【分析】将分子和分母同时乘以(2 ，再运用平方差公式进行化简即可得到结果．2====．2【点睛】本题主要考查二次根式的化简，当分母为含有二次根式的多项式时，可利用平方差公式进行“分母有理化”，掌握此方法是解此题的关键．【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．，==【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【答案】【详解】解：原式==．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．【答案】2或0【分析】根据二次根式和同类二次根式的定义列方程求出x、y的值，再计算x y+．【详解】由题意得，12+=y，22311x x+=−，解得1y =，1x =±，∴当11x y ==，时，112x y +=+=； 当11x y =-=，时，110x y +=−+=； 故答案为2或0．【点睛】本题考查二次根式和同类二次根式的定义，二次根式省略的根指数为2，化成最简二次根式之后，若被开方数相同，称为同类二次根式，掌握基本概念是关键．【答案】2/0.5【分析】根据同类二次根式的被开方数相同，得出关于a 的方程，解出即可得出答案．【详解】解：∵ ∴223+=a ， 解得：12a =．故答案为：12【点睛】解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握同类二次根式的被开方数相同．【答案】5【分析】利用同类二次根式的概念即可求出．【详解】∵两个最简二次根式只有同类二次根式才能合并，∴38172,5a a a −=−=． 故答案为：5．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，掌握同类二次根式的概念为关键．当变形后移至根号内得______．【分析】根据二次根式的性质可得110a −>，则a<0，据此即可求解．【详解】解：∵∴110a −>，则a<0，∴==【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．【答案】±【分析】根据同类二次根式的定义，列出方程，求解即可，【详解】解：由题意可得：722573a b a b a b +=⎧⎨+−=+⎩，解得91a b =⎧⎨=−⎩8a b +=8的平方根为±故答案为：±【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．【答案】3−【分析】根据同类二次根式的定义，即可求出a 、b 的值，然后计算a+b 的值即可.【详解】解：∵最简二次根式b +是同类二次根式， ∴1422a +=，12b +=，∴4a =−，1b =， ∴413a b +=−+=−； 故答案为：3−.【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的定义，正确求出a 、b 的值.【答案】2a −【分析】根据二次根式性质：被开方式非负得到430a b −≥，解得0b ≤a 化简即可得到答案．2a =430a b −≥，∴0b ≤，∴2a2a =−∴2a =−故答案为：2a −a及去绝对值运算等知识，熟练掌握二次根式是解决问题的关键．三、解答题【答案】1a =，1b =．【分析】根据同类二次根式的定义列方程即可求出． 【详解】解：最简二次根式122543a a a b +=⎧∴⎨+=+⎩解得：11a b =⎧⎨=⎩ 即1a =，1b =．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．【答案】【分析】根据二次根式的性质和非负数的性质可得关于x 、y 的方程，解方程即可求出x 、y 的值，然后代入所求式子计算即可．【详解】解：∵x2﹣12x+＝0，∴x2﹣0，∴（x ﹣6）0，∴x ﹣6＝0，y+4＝0，解得：x ＝6，y ＝﹣4，=【点睛】本题考查了二次根式的性质和非负数的性质以及二次根式的化简求值，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题关键．【答案】【分析】先把原式的前两项化为最简二次根式，再合并即得结果． 【详解】解：原式=2334⋅⋅==【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，属于基本题型，熟练掌握二次根式的加减运算法则是关键． 【答案】【分析】根据二次根式的性质先化简二次根式，再约分化简即可．【详解】解：原式25c ==． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和分式的乘法，属于常见题型，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【答案】−【分析】根据二次根式的性质进行化简各二次根式后，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：由题意知，00，x y <<62=2623y x ⨯=2623y x ⨯==−【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．【答案】3x ≤【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，结果化为最简二次根式即可．−≥≥合并同类项得：x ≥系数化1得：x ≤，∴x ≤，∴3x ≤，∴原不等式解集为3x ≤．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，以及二次根式的化简，熟练掌握一元一次不等式的解法以及二次根式的运算法则是解答本题的关键．【答案】（1（2）（3）m=a ＋b ，n=ab【分析】观察上述例子可发现，通过把被开方数变成一个完全平方式，再利用二次根式性质化简即可， 需注意完全平方公式中的a2＋b2在被开方数中被合并，可以通过2ab 去判断a 、b 的值.【详解】解：（1，（2（3）通过以上规律不难发现：m=a ＋b ，n=ab.【点睛】此题考查的是利用完全平方公式化简同类二次根式，找出其中的规律是解决此题的关键.【答案】(1)6 (2)1023【分析】（1）根据同类二次根式的性质列出等式即可求解a ； （2）代入a 的值，根据新定义的运算法则即可求解． 【详解】（1）∵∴2216a a −=−+， ∴6a =， （2）当6a =时 (2[])a a −※※ 26)[6](=−※※866==14646==−※542234==⨯ 1023=．【点睛】本题考查了同类二次根式的性质、新定义下的实数的运算等式，理解新定义的运算法则是解答本题的关键．【答案】(1)313(1)1,,212(1)n n n n +++ ;(2)221n n n ++【分析】（1）分别求出S1，S2，…的值，再求出其算术平方根即可；（2）根据（1）的结果进行拆项得出1+12+1+112+⋯+1+()11n n +，求出答案即可．【详解】（1）∵S1=1+22119124+= ，32=； ∵S2=1+2211492336+=，76=； ∵S3=1+221116934144+=，1312； ∵Sn=1+()()()22222211111n n n n n n+++=++，()n n 11n n 1)+++（；（2）解：S=()()11371326121n n n n +++++⋯++=()1111111126121++++++⋯+++n n=1111111n 1223341n n ⎛⎫+−+−+−+⋯+− ⎪+⎝⎭1n 11n =+−+=221n nn ++【点睛】本题考查二次根式的化简和数字类规律，解题的关键是掌握二次根式的化简运算和数字类规律基本解题方法．【答案】（1（22；（3）【分析】（1）观察题中给的例子，我们将10拆成22+与−根式的性质化简即可；（2）将10拆成222+与−（312拆成22+与接下来按照二次根式的性质化简即可.【详解】（1（22；（3=.【点睛】本题考查了二次根式化简与完全平方式的综合运用，通过题干得出相应的方法是解题关键.。
二次根式知识点总结
二次根式【知识点回顾】 一、概念：1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
“”叫二次根号，根指数为2，a叫被开方数。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含小数或分数线； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
问:同类二次根式被开方数一定相同吗？二、二次根式的性质：（1）双重非负性 a ≥0，a ≥0（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）==a a 2三、二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面。
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，找同类二次根式，合并同类a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）二次根式。
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式。
ab =a ·b （a≥0，b≥0）；b ba a=（b≥0，a>0）． 二次根式的乘法公式和除法公式返过来可以对二次根式进行化简。
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。
【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）42-x （2）m1 （3）421-x （4）21-+x x （5）21++x x（6）x x --+21例3、 在根式1)222;2);3);4)275xa b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4、已知：的值。
数学概念知识点总结之同类二次根式
数学概念知识点总结之同类二次根式化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满意条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。
把分母中的根号划去叫做分母有理化。
上述就是的我为大家带来的是中学数学重要概念：同类二次根式、最简二次根式、分母有理化知识点总结。
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中学数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，盼望同学们很好的掌控下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条相互垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为*轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③相互垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般状况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上需要相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌控了吧，盼望同学们都能考试胜利。
中学数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做*轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，*轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，盼望同学们对上面的内容都能很好的掌控，同学们仔细学习吧。
中学数学知识点：点的坐标的性质下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们仔细看看哦。
点的坐标的性质建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。
二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念
二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念根式、最简二次根式、同类二次根式的概念点评：此题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2.（2011•江苏徐州，5，2x的取值范围是（）a、x≥1b、x＞1c、x＜1d、x≤1考点：二次根式有意义的条件。
专题：计算题。
分析：根据二次根式有意义的条件判断即可．解答：解：根据二次根式有意义的条件得：x﹣1≥0，∴x≥1，故选a．点评：本题考查了二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．3.（2011江苏镇江常州，5，2分）则x的取值范围（）a．x≥2c．x＞2b．x≤2d．x＜2考点：二次根式有意义的条件．专题：计算题．分析：二次根式有意义，被开方数为非负数，即x﹣2≥0，解不等式求x的取值范围．解答：∴x﹣2≥0，解得x≥2．故选a．点评：本题考查了二次根式有意义的条件．关键是明确二次根式有意义时，被开方数为非负数．4.（2011四川凉山，5，4分）已知y3，则2xy的值为（）a15b．15c1515d．22考点：二次根式有意义的条件．分析：首先根据分式有意义的条件求出x的值，然后根据题干式子求出y的值，最后求出2xy的值．解得x＝2x50，52x055，故y＝－3，∴2xy＝－2××3＝－15．22故选a．点评：本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出x和y的值，本题难度一般．5.（2011台湾，4，47527之值为何（）a．5b．333c．3d．9考点：同类二次根式；二次根式的加减法。
分析：先将二次根式化为最简，然后合并同类项即可得出答案．解答：解：原式＝7－53＋3＝53．故选a．点评：本题考查同类二次根式及二次根式的加减运算，难度不大，注意只有同类二次根式才能合并．6.（2011•柳州）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）a、x＞2b、x＞3c、x≥2d、x＜2考点：二次根式有意义的条件。
3二次根式小结与复习
二次根式小结与复习【主要内容】本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、•同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．【要点归纳】1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．EX:10．若代数式有意义，则的取值范围是（）A．且B．C．且D．且2. 二次根式的性质：①②③④Ex：1．化简：______；_________．2．当______时，．3．等式成立的条件是______．4．当，化简_______．5．比较与的大小：_______．6．分母有理化：（1）__________；（2）__________；（3）__________．9．如果，那么的值为___________．10．若有意义，则的取值范围是___________．选择题：1．下式中不是二次根式的为（）A．；B．；C．；D．9．的值为（）A．B．C．D．3. 二次根式的运算二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．（1）二次根式的加减：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．（2）二次根式的乘法：（3）二次根式的除法：注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．EX:7．已知，，，那么________．8．计算_________．（4）二次根式的混合运算：先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成．EX: 2．计算得（）A．；B．C．D．173．若，则化简等于（）A．B．C．D．14．化简的结果是（）A．B．C． D．5．计算的结果是（）A．B．C． D．6．化简的结果是（）A．2 B．C．D．以上答案都不对（5）有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：①与；②与；③与；④与．说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．【难点指导】1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；4、区别和的不同：中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：（1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：EX: 7．把式子中根号外的移到根号内，得（）A．B．C．D．8．等式成立的条件是（）A．B．C．D．6、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有．说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．强化训练【时间60分钟满分100分】计算与化简：（每小题2分，共16分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）求值题：（每小题4分，共16分）1．已知：，求的值．2．已知，求的值。
最简二次根式与同类二次根式的判别方法小结
最简二次根式与同类二次根式的判别方法小结最简二次根式是一种特殊形式的二次根式，如果一个二次根式不是最简二次根式，应根据积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质将其化为最简二次根式.被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式。
这两个概念是本章最重要的两个概念，希望同学们一定要掌握好！现把判断最简二次根式、同类二次根式的方法总结如下：一、最简二次根式的判别方法1．被开方数不能含有开得尽方的因数例1:化简363温馨提示:被开方数中含有开得尽方的因数121.解：原式 =31131131212=⨯=⨯.2．被开方数不能含有小数或分数例2:化简：(1).315)2(;72.0温馨提示：（1）中被开方数中含有小数0.72;(2) 中被开方数中含有分数13. 解(1) 原式 =.2531007210072==(2) 原式 =.33433316316=⨯⨯= 3．被开方数不能含有开得尽方的因式例3:温馨提示：被开方数中含有开得尽方的因数16和因式x 2、y 4.解：原式4xy = 判断最简二次根式就是注意两点：一是被开方数中不能含有分母或小数; 二是被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式.二、同类二次根式的判别方法判别几个根式是否为同类二次根式，其依据的同类二次根式的定义，若几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式. 例4:下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？（1）18，31； （2）32，8； 温馨提示：要判断所给的两组二次根式是否是同类二次根式，首先要把所给的二次根式化成最简二次根式,再判断被开方数是否相同.解：（1）2318=，31=331，由于化成最简二次根式后，两个根式被开方数不同，所以18与31不是同类二次根式. （2）2432=，228=，由于化成最简二次根式后，两个根式的被开数相同，所以32与8是同类二次根式.例5:下列二次根式中，哪些与32是同类二次根式？271,50,54,48,3.0． 温馨提示：要判断哪个几个根式与32是同类二次根式，只要将所给的二次根式化成最简二次根式，然后观察其被开方数是否为3. 解：因为301013.0=，3448=，6354=，391271=，所以48，271与32是同类二次根式.同学们在平时的学习中不断总结、反思，逐渐形成解题技能和技巧，在平时的学习中就会知一题而会一片!。
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最简二次根式与同类二次根式的判别方法小结
綦江县赶水中学 李开铜（401437）
最简二次根式是一种特殊形式的二次根式，如果一个二次根式不是最简二次根式，应根据积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质将其化为最简二次根式.被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式。
这两个概念是本章最重要的两个概念，希望同学们一定要掌握好！现把判断最简二次根式、同类二次根式的方法总结如下：
一、最简二次根式的判别方法
1．被开方数不能含有开得尽方的因数
例1:化简363
温馨提示:被开方数中含有开得尽方的因数121.
解：原式 =31131131212=⨯=⨯.
2．被开方数不能含有小数或分数
例2:化简：(1).3
1
5)2(;72.0 温馨提示：（1）中被开方数中含有小数0.72;(2) 中被开方数中含有分数13. 解(1) 原式 =.253100
7210072==(2) 原式 =.33433316316=⨯⨯= 3．被开方数不能含有开得尽方的因式
例3:温馨提示：被开方数中含有开得尽方的因数16和因式x 2、y 4.
解：原式4xy =
判断最简二次根式就是注意两点：一是被开方数中不能含有分母或小数; 二是被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式.
二、同类二次根式的判别方法
判别几个根式是否为同类二次根式，其依据的同类二次根式的定义，若几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式. 例4:下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？
（1）18，3
1； （2）32，8； 温馨提示：要判断所给的两组二次根式是否是同类二次根式，首先要把所给的二次根式化成最简二次根式,再判断被开方数是否相同.
解：（1）2318=，31=33
1，由于化成最简二次根式后，两个根式被开方数不同，所以18与3
1不是同类二次根式. （2）2432=，228=，由于化成最简二次根式后，两个根式的被开数相同，所以32与8是同类二次根式.
例5:下列二次根式中，哪些与32是同类二次根式？
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1,50,54,48,3.0． 温馨提示：要判断哪个几个根式与32是同类二次根式，只要将所给的二次根式化成最简二次根式，然后观察其被开方数是否为3. 解：因为3010
13.0=，3448=，6354=，391271=，所以48，271与32是同类二次根式.
同学们在平时的学习中不断总结、反思，逐渐形成解题技能和技巧，在平时的学习中就会知一题而会一片!。