高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 7 第7讲 抛物线教案 理-高三全册数学教案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第7讲 抛物线
1.抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内;
(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等; (3)定点不在定直线上.
2.抛物线的标准方程和几何性质
标准 方程
y 2=2px
(p >0)
y 2=-2px
(p >0)
x 2=2py
(p >0)
x 2=-2py
(p >0)
p 的几何意义:焦点F 到准线l 的距离
图形
顶点 O (0,0)
对称轴 y =0
x =0
焦点 F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2
,0 F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫-p 2
,0 F ⎝
⎛⎭
⎪⎫0,p 2 F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0,-p 2
离心率 e =1
准线 方程 x =-p 2
x =p 2
y =-p 2
y =p 2
范围 x ≥0,y ∈R
x ≤0,y ∈R
y ≥0,
x ∈R
y ≤0, x ∈R
开口
方向 向右
向左
向上
向下
焦半径 (其中
P (x 0, y 0))
|PF |=
x 0+p 2
|PF |= -x 0+p
2
|PF |= y 0+p 2
|PF |= -y 0+p
2
3.与焦点弦有关的常用结论 (以右图为依据)
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). (1)y 1y 2=-p 2
,x 1x 2=p 2
4
.
(2)|AB |=x 1+x 2+p =2p
sin 2θ(θ为AB 的倾斜角).
(3)1|AF |+1
|BF |为定值2
p
.
(4)以AB 为直径的圆与准线相切. (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.( )
(3)若一抛物线过点P (-2,3),则其标准方程可写为y 2
=2px (p >0).( )
(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
(教材习题改编)抛物线y =-14x 2
的焦点坐标是( )
A .(0,-1)
B .(0,1)
C .(1,0)
D .(-1,0)
解析:选A.抛物线y =-14x 2的标准方程为x 2
=-4y ,开口向下,p
=2,p
2
=1,故焦点为(0,-1).
顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点P (-4,-2)的抛物线的标准方程是( ) A .y 2
=-x
B .x 2
=-8y
C .y 2
=-8x 或x 2
=-y
D .y 2
=-x 或x 2
=-8y
解析:选D.设抛物线为y 2
=mx ,代入点P (-4,-2),解得m =-1,则抛物线方程为y 2
=-x ;设抛物线为x 2
=ny ,代入点P (-4,-2),解得n =-8,则抛物线方程为x 2
=-8y .
(教材习题改编)焦点在直线2x +y +2=0上的抛物线的标准方程为________.
解析:抛物线的标准方程的焦点都在坐标轴上,直线2x +y +2=0与坐标轴的交点分别为(-1,0)与(0,-2),故所求的抛物线的焦点为(-1,0)或(0,-2),当焦点为(-1,0)时,易得抛物线标准方程为y 2
=-4x .
当焦点为(0,-2)时,易得抛物线标准方程为x 2
=-8y . 答案:y 2
=-4x 或x 2
=-8y
设抛物线y 2
=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是________.
解析:如图所示,抛物线的准线l 的方程为x =-2,F 是抛物线的焦点,过点P 作PA ⊥y 轴,垂足
是A ,延长PA 交直线l 于点B ,则|AB |=2,由于点P 到y 轴的距离为4,则点P 到准线l 的距离|PB |=4+2=6,所以点P 到焦点的距离|PF |=|PB |=6. 答案:6
抛物线的定义(高频考点)
抛物线的定义是高考的热点,考查时多以选择题、填空题形式出现,个别高考题有一定难度.高考对该内容的考查主要有以下三个命题角度:
(1)求抛物线的标准方程;
(2)求抛物线上的点与焦点的距离; (3)求距离和的最值.
[典例引领]
角度一 求抛物线的标准方程
(2018·天津模拟)已知动圆过定点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
p 2,0,且与直线x =-
p
2
相切,其中p >0,则动圆圆心的轨迹E 的方程为
________________.
【解析】 依题意得,圆心到定点
F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
p 2,0的距离与到直线x =-
p
2
的距离相等,再依抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹E 为抛物线,其方程为y 2
=2px . 【答案】 y 2
=2px
角度二求抛物线上的点与焦点的距离
(2017·高考全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M 是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=____________.
【解析】法一:依题意,抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线x=-2,因为M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点,设M(a,b)(b>0),所以a=1,b=22,所以N(0,42),|FN|=4+32=6.
法二:依题意,抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线x=-2,因为M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点,则点M的横坐标为1,所以|MF|=1-(-2)=3,|FN|=2|MF|=6.【答案】6
角度三求距离和的最值
已知抛物线y2=4x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________.
【解析】如图,过点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|,则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.
即|PB|+|PF|的最小值为4.
【答案】4
若本例中的B点坐标改为(3,4),试求|PB|+|PF|的最小值.解:由题意可知点(3,4)在抛物线的外部.因为|PB|+|PF|的最小值即为B,F两点间的距离,
所以|PB |+|PF |≥|BF |=42+22
=16+4=2 5.即|PB |+|PF |的最小值为2 5.
抛物线定义的应用
(1)利用抛物线的定义解决此类问题,应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.即“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”.
(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ,y )到焦点F 的距离|PF |=|x |+p 2或|PF |=|y |+p
2
. [通关练习]
1.已知抛物线C :y 2
=x 的焦点为F ,A (x 0,y 0)是C 上一点,|AF |=5
4
x 0,则x 0=( ) A .1 B .2 C .4
D .8
解析:选A.由题意知抛物线的准线为x =-14.因为|AF |=5
4x 0,根
据抛物线的定义可得x 0+14=|AF |=5
4
x 0,解得x 0=1.
2.已知动点P 的坐标(x ,y )满足方程5(x -1)2
+(y -2)2
=|3x +4y +12|,则点P 的轨迹是( ) A .圆 B .椭圆 C .双曲线
D .抛物线
解析:选 D.由5
(x -1)2+(y -2)2
=|3x +4y +
12|⇒(x -1)2
+(y -2)2
=
|3x +4y +12|
5
,所以动点P 到定点
(1,2)的距离等于其到直线l :3x +4y +12=0的距离,所以点P 的轨迹是抛物线.
3.已知F 是抛物线y 2
=x 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,且|AF |+|BF |=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B .1 C.54
D.74
解析:选C.如图所示,设抛物线的准线为l ,AB 的中点为M ,作AA 1⊥l 于A 1,BB 1⊥l 于B 1,MM 1⊥l 于M 1,
由抛物线的定义知p =1
2,|AA 1|+|BB 1|=|AF |+
|BF |=3,
则点M 到y 轴的距离为|MM 1|-p 2=1
2(|AA 1|+|BB 1|)-14=5
4.故选C.
抛物线的性质
[典例引领]
(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=42,|DE |=25,则C 的焦点到准线的距离为( )
A .2
B .4
C .6
D .8
(2)(2018·东北四市模拟)若点P 为抛物线y =2x 2
上的动点,F 为抛物线的焦点,则|PF |的最小值为( ) A .2 B.12 C.14
D.18
【解析】 (1)由题意,不妨设抛物线方程为y 2
=2px (p >0),由|AB |=42,|DE |=25,可取
A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p
,22,D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
-p 2
,5,设O 为
坐标原点,由|OA |=|OD |,得16p 2+8=p
2
4
+5,得p =4,所以选B.
(2)由题意知x 2
=12y ,则F ⎝
⎛⎭⎪⎫0,18,设P (x 0,2x 2
0),则|PF |=
x 2
+⎝
⎛⎭⎪⎫2x 20-182=
4x 40
+12x 20+164=2x 20+18
,所以当x 2
0=0时,
|PF |min =1
8
.
【答案】 (1)B (2)D
抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程.
(2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质以形助数.
[通关练习]
1.(2018·河南中原名校联考)抛物线y 2
=2px (p >0)的焦点为F ,O 为坐标原点,M 为抛物线上一点,且|MF |=4|OF |,△MFO 的面积为43,则抛物线的方程为( ) A .y 2
=6x B .y 2
=8x C .y 2=16x
D .y 2
=15x 2
解析:选 B.设M (x ,y ),因为|OF |=p
2,|MF |=4|OF |,所以|MF |
=2p ,由抛物线定义知x +p
2=2p ,所以x =3
2p ,所以y =±3p ,
又△MFO 的面积为43,所以12×p
2×3p =43,解得p =4(p =-
4舍去).所以抛物线的方程为y 2
=8x .
2.如图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m ,水面宽4 m .当水面宽为2 6 m 时,水位下降了________ m.
解析:以抛物线的顶点为坐标原点,水平方向为x 轴建立平面直角坐标系,设抛物线的标准方程为x 2
=-2py (p >0),把(2,-2)代入方程得p =1,即抛物线的标准方程为x 2
=-2y .将x =6代入
x 2=-2y 得:y =-3,又-3-(-2)=-1,所以水面下降了1 m.
答案:1
直线与抛物线的位置关系
[典例引领]
(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,直线l :y =
t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C :y 2=2px (p >0)于点P ,M 关于
点P 的对称点为N ,连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |
;
(2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其他公共点?说明理由. 【解】 (1)由已知得
M (0,t ),P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
t 22p ,t .
又N 为M 关于点P 的对称点,
故N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
t 2p ,t ,
ON 的方程为y =p
t
x ,代入y 2=2px ,
整理得px 2
-2t 2
x =0,解得x 1=0,x 2=
2t
2
p
.
因此H ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2t 2p ,2t .
所以N 为OH 的中点,即|OH ||ON |
=2.
(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点.理由如下: 直线MH 的方程为y -t =p
2t x ,
即x =2t
p
(y -t ).
代入y 2=2px 得y 2-4ty +4t 2
=0, 解得y 1=y 2=2t ,
即直线MH 与C 只有一个公共点,
所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点.
直线与抛物线位置关系的判断
直线y =kx +m (m ≠0)与抛物线y 2
=2px (p >0)联立方程组,消去y ,得到k 2x 2
+2(mk -p )x +m 2
=0的形式.当k =0时,直线和抛物线相交,且与抛物线的对称轴平行,此时与抛物线只有一个交点;当k ≠0时,设其判别式为Δ,
(1)相交:Δ>0⇔直线与抛物线有两个交点; (2)相切;Δ=0⇔直线与抛物线有一个交点; (3)相离:Δ<0⇔直线与抛物线没有交点.
[提醒] 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线.
[通关练习]
1.过点(-2,1)斜率为k 的直线l 与抛物线y 2
=4x 只有一个公共点,则由k 的值组成的集合为________. 解析:设l 的方程为y -1=k (x +2),
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +(2k +1)
y 2=4x
,得
ky 2-4y +4(2k +1)=0,
①当k =0时,y =1,此时x =1
4
,l 与抛物线仅有一个公共点
⎝ ⎛⎭
⎪⎫14,1. ②当k ≠0时,由Δ=-16(2k 2
+k -1)=0,得k =-1或k =12
,
所以k
的值组成的集合为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
0,-1,12.
答案:⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
0,-1,12
2.(2018·湖南长沙四县联考)如图,已知点F 为抛物线E :y 2
=2px (p >0)的焦点,点A (2,m )在抛物线E 上,且|AF |=3. (1)求抛物线E 的方程;
(2)已知点G (-1,0),延长AF 交抛物线E 于点B ,证明:GF 为∠AGB 的平分线.
解:(1)由抛物线定义可得|AF |=2+p
2=3,解得p =2.
所以抛物线E 的方程为y 2
=4x .
(2)证明:因为点A (2,m )在抛物线E 上, 所以m 2
=4×2,解得m =22,即A (2,22), 又F (1,0),
所以直线AF 的方程为y =22(x -1),
由⎩⎪⎨⎪⎧y =22(x -1),y 2=4x ,
得2x 2
-5x +2=0,解得x =2或1
2
,所以
B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12,-2. 又G (-1,0),所以k GA =223,k GB =-22
3,
所以k GA +k GB =0,所以∠AGF =∠BGF , 所以GF 为∠AGB 的平分线.
抛物线定义的实质可归结为“一动三定”;一个动点M ,一个定点F (抛物线的焦点),一条定直线l (抛物线的准线),一个定值1(抛物线的离心率). 抛物线最值问题的求法
(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离,可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离,再利用函数求最值的方法求解,亦可转化为抛物线过某点的切线与定直线平行时,两直线间的距离问题.
(2)求抛物线上一点到定点的最值问题,可以利用两点间的距离公式表示出所求距离,在利用函数求最值的方法求解时,要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围. 易错防范
(1)区分y =ax 2
(a ≠0)与y 2
=2px (p >0),前者不是抛物线的标准方程.
(2)求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程
有时可设为y 2
=mx 或x 2
=my (m ≠0).
1.已知点A (-2,3)在抛物线C :y 2
=2px (p >0)的准线上,记C 的焦点为F ,则直线AF 的斜率为( ) A .-4
3
B .-1
C .-34
D .-12
解析:选C.由已知,得准线方程为x =-2,所以F 的坐标为(2,0).又A (-2,3),所以直线AF 的斜率为k =3-0-2-2=-3
4.
2.若点A ,B 在抛物线y 2
=2px (p >0)上,O 是坐标原点,若正三角形OAB 的面积为43,则该抛物线方程是( ) A .y 2
=23
3
x
B .y 2
=3x C .y 2
=23x
D .y 2
=3
3
x
解析:选 A.根据对称性,AB ⊥x 轴,由于正三角形的面积是43,故34AB 2
=43,故AB =4,正三角形的高为23,故可以设
点A 的坐标为(23,2),代入抛物线方程得4=43p ,解得p =33,故所求的抛物线方程为y 2=233
x .故选A. 3.(2018·皖北协作区联考)已知抛物线C :x 2
=2py (p >0),若直线y =2x 被抛物线所截弦长为45,则抛物线C 的方程为( ) A .x 2
=8y
B .x 2
=4y
C .x 2
=2y D .x 2
=y
解析:选
C.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2=2py ,y =2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =0或⎩⎪⎨⎪⎧x =4p ,y =8p ,
即两交点坐标为
(0,0)和(4p ,8p ),则(4p )2
+(8p )2
=45,得p =1(舍去负值),故抛物线C 的方程为x 2
=2y .
4.(2018·湖南省五市十校联考)已知抛物线y 2
=2x 上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4,且|AF |>2,则点A 到原点的距离为( ) A.41 B .22 C .4
D .8
解析:选B.令点A 到点F 的距离为5a ,点A 到x 轴的距离为4a ,则点A
的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫5a -1
2,4a ,代入
y 2
=2x 中,解得a =12或a =
1
8
(舍),此时A (2,2),故点A 到原点的距离为2 2.
5.(2018·太原模拟)已知抛物线C :y 2
=8x 的焦点为F ,准线为
l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP →=4FQ →,则
|QF |等于( ) A.7
2 B.52 C .3
D .2
解析:选C.因为FP →=4FQ →,所以|FP →|=4|FQ →|,所以|PQ ||PF |=34
.如图,过Q 作QQ ′⊥l ,垂足为Q ′,
设l 与x 轴的交点为A ,则|AF |=4,所以|PQ ||PF |=|QQ ′||AF |=3
4,所以
|QQ ′|=3,根据抛物线定义可知|QQ ′|=|QF |=3.
6.(2018·云南大理州模拟)在直角坐标系xOy 中,有一定点M (-1,2),若线段OM 的垂直平分线过抛物线x 2
=2py (p >0)的焦点,则该抛物线的准线方程是________.
解析:依题意可得线段OM 的垂直平分线的方程为2x -4y +5=0,
把焦点坐标⎝
⎛⎭⎪⎫
0,p 2代入可求得
p =5
2
,
所以准线方程为y =-5
4.
答案:y =-5
4
7.(2018·河北六校模拟)抛物线C :y 2
=2px (p >0)的焦点为F ,点
O 是坐标原点,过点O ,F 的圆与抛物线C 的准线相切,且该圆的
面积为36π,则抛物线的方程为________. 解析:设满足题意的圆的圆心为M . 根据题意可知圆心M 在抛物线上, 又因为圆的面积为36π,
所以圆的半径为6,则|MF |=x M +p 2=6,即x M =6-p
2,
又由题意可知x M =p 4,所以p 4=6-p
2,解得p =8.
所以抛物线方程为y 2
=16x .
答案:y 2
=16x
8.已知抛物线C 1:y =12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2:x 2
3-y 2
=1的
右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于
C 2的一条渐近线,则p =________.
解析:抛物线的焦点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫
0,p 2,双曲线的右焦点坐标为(2,
0),所以上述两点连线的方程为x 2+2y
p
=1.双曲线的渐近线方程为
y =±33x .对函数y =12p x 2,y ′=1p x .设M (x 0,y 0),则1p x 0=3
3,
即x 0=33p ,代入抛物线方程得y 0=16p ,由于点M 在直线x 2+2y p =1
上,所以36p +2p ×p 6=1,解得p =43=43
3.
答案:43
3
9.顶点在原点,焦点在x 轴上的抛物线截直线y =2x -4所得的弦长|AB |=35,求此抛物线方程.
解:设所求的抛物线方程为y 2
=ax (a ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,
y 2),把直线y =2x -4代入y 2=ax ,
得4x 2
-(a +16)x +16=0,
由Δ=(a +16)2
-256>0,得a >0或a <-32. 又x 1+x 2=
a +16
4
,x 1x 2=4,
所以|AB |=(1+22)[(x 1+x 2)2
-4x 1x 2] =
5⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤⎝
⎛⎭⎪⎫a +1642-16=35,
所以5⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤⎝
⎛⎭⎪⎫a +1642-16=45, 所以a =4或a =-36.
故所求的抛物线方程为y 2
=4x 或y 2
=-36x .
10.已知抛物线y 2
=2px (p >0)的焦点为F ,A 是抛物线上横坐标为4,且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于5,过A 作
AB 垂直于y 轴,垂足为B ,OB 的中点为M .
(1)求抛物线的方程;
(2)若过M 作MN ⊥FA ,垂足为N ,求点N 的坐标. 解:(1)抛物线y 2
=2px 的准线为x =-p
2,
于是4+p
2=5,
所以p =2.
所以抛物线方程为y 2=4x . (2)因为点A 的坐标是(4,4), 由题意得B (0,4),M (0,2). 又因为F (1,0),所以k FA =4
3,
因为MN ⊥FA ,所以k MN =-3
4
.
又FA 的方程为y =4
3(x -1),①
MN 的方程为y -2=-3
4x ,②
联立①②,解得x =85,y =4
5,
所以点N
的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
85,45.
1.(2018·甘肃兰州模拟)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线y 2
=2px (p >0)上任意一点,M 是线段PF 上的点,且|PM |=2|MF |,则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.3
3 B.23 C.22
D .1
解析:选C.由题意得
F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0,设P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 2
02p ,y 0, 显然当y 0<0时,k OM <0;当y 0>0时,k OM >0.要求k OM 的最大值,则
y 0>0,
则OM →=OF →+FM →=OF →+13FP →=OF →+13(OP →-OF →)=13OP →+23
OF →=⎝ ⎛⎭
⎪⎫
y 2
06p +p 3,y 03,所以k OM =
y 0
3
y 20
6p +p 3=
2
y 0p +
2p y 0≤
2
2
y 0p ·2p y 0
=22
, 当且仅当y 20=2p 2
时,取得等号.
2.(2018·福建省普通高中质量检查)过抛物线y 2
=4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ,B 两点,交其准线于点C ,且A ,C 位于x 轴同侧,若|AC |=2|AF |,则|BF |等于( ) A .2 B .3 C .4
D .5
解析:选C.设抛物线的准线与x 轴交于点D ,则由题意,知F (1,0),D (-1,0),分别作AA 1,BB 1垂直于抛物线的准线,垂足分别为A 1,B 1,则有|AC ||FC |=|AA 1||FD |,所以|AA 1|=43,故|AF |=43.又|AC |
|BC |=
|AA 1||BB 1|,即|AC ||AC |+|AF |+|BF |=|AF ||BF |,亦即2|AF |3|AF |+|BF |=|AF |
|BF |,解得|BF |=4,故选C.
3.(2017·高考北京卷)已知抛物线C :y 2
=2px 过点P (1,1).过点(0,1
2)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过点M 作x
轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ,B ,其中O 为原点. (1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:A 为线段BM 的中点.
解:(1)由抛物线C :y 2
=2px 过点P (1,1),得p =1
2
.所以抛物线C
的方程为y 2
=x . 抛物线C
的焦点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫14,0,准线方程为x =-14.
(2)证明:由题意,设直线l 的方程为y =kx +1
2(k ≠0),l 与抛物
线C 的交点为M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +12,y 2=x
得4k 2x 2
+(4k -4)x +1=0. 则x 1+x 2=1-k k 2,x 1x 2=14k
2.
因为点P 的坐标为(1,1),所以直线OP 的方程为y =x ,点A 的坐标为(x 1,x 1).
直线ON 的方程为y =y 2
x 2x ,点B 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫x 1,y 2x 1x 2.
因为y 1+y 2x 1x 2-2x 1=y 1x 2+y 2x 1-2x 1x 2
x 2
=
⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1+12x 2+⎝
⎛⎭⎪⎫
kx 2+12x 1-2x 1x 2
x 2
=(2k -2)x 1x 2+1
2
(x 2+x 1)
x 2
=(2k -2)×14k 2+1-k 2k
2
x 2
=0, 所以y 1+
y 2x 1
x 2
=2x 1. 故A 为线段BM 的中点.
4.(2018·湖南六校联考)已知抛物线的方程为x 2
=2py (p >0),其焦点为F ,点O 为坐标原点,过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的两条切线,设两条切线交于点M . (1)求OA →·OB →;
(2)设直线MF 与抛物线交于C ,D 两点,且四边形ACBD 的面积为
323
p 2,求直线AB 的斜率k .
解:(1)设直线AB 的方程为y =kx +p
2
,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由
⎩
⎪⎨
⎪⎧x 2=2py ,y =kx +p 2
,
得x 2-2pkx -p 2
=0, 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=2pk ,x 1
·x 2=-p 2
, 所以OA →·OB →=x 1·x 2+y 1·y 2=-34
p 2
.
(2)由x 2
=2py ,知y ′=x
p
,
所以抛物线在A ,B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ,x 2p
,
所以直线AM 的方程为y -y 1=x 1
p
(x -x 1),直线BM 的方程为y -y 2
=x 2
p (x -x 2),则可得M ⎝
⎛⎭⎪⎫pk ,-p 2.
所以k MF =-1
k
,所以直线MF 与AB 相互垂直.
由弦长公式知,|AB |=k 2+1|x 1-x 2|=k 2+1·4p 2k 2+4p 2
=2p (k 2
+1),
用-1
k
代替k 得,|CD |=2p ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1k
2+1,
四边形ACBD 的面积S =12·|AB |·|CD |=2p 2
⎝
⎛⎭⎪⎫2+k 2+1k 2=323p 2,
解得k 2
=3或k 2
=1
3
,
即k =±3或k =±3
3
.。