第2课时 商品利润最大问题 教案

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第2课时 商品利润最大问题

1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系． 2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值． 3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．

一、情境导入

红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？

二、合作探究

探究点一：最大利润问题 【类型一】利用解析式确定获利最大的条件

为了推进知识和技术创新、节能

降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．

解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2

元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．

解：设该厂生产第x 档的产品一天的总利润为y 元，则有y ＝[10＋2(x －1)][76－

4(x －1)]＝－8x 2＋128x ＋640＝－8(x －8)2

＋1152.当x ＝8时，y 最大值＝1152.由此可见，

并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产

第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)

【类型二】利用图象解析式确定最大利润

(2014·福建莆田)某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月

至第12月，这种水果每千克售价y 1(元)与

销售时间第x 月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y 2(元)与销

售时间第x 月满足函数关系式y 2＝mx 2

－8mx ＋n ，其变化趋势如图②所示．

(1)求y 2的解析式；

(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？

解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经

过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨

⎪

⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，

解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1

8，n ＝63

8.

∴y 2

的解析式为y 2

＝18x 2

－x ＋

63

8

(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两

点(4，11)，(8，10)，∴⎩

⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得

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⎩⎪⎨

⎪⎧k ＝－14，

b ＝12.

∴y 1的解析式为y 1＝－14

x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(

18

x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18

(x －

3)2

＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最

大值21

4，∴第3月销售这种水果，每千克所

获的利润最大，最大利润是

21

4

元/千克． 三、板书设计

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.