【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 1.1

(2)选D.若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或
有两个相等实根.
当a=0时,x= 2 ,符合题意,
当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a= 9 ,所以a的值为0或
8 3 9 . 8
【互动探究】本例题(1)中,集合A不变,试确定集合
B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A}中元素的个数.
(
)
【解析】选D.根据题意,由集合中元素的互异性, 可得集合{x2+x,2x}中,x2+x≠2x,即x≠0,x≠1, 则x的取值范围是(-≦,0)∪(0,1)∪(1,+≦), 故选D.
考点2
集合间的基本关系
a
【典例2】(1)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0, b ,b},则b-a=
.
(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的
3.真题小试
感悟考题
试一试
(1)(2014·新课标全国卷Ⅱ)设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则 M∩N= A.{1} ( ) B.{2} C.{0,1} D.{1,2}
【解析】选D.由x2-3x+2=(x-1)(x-2)≤0,解得1≤x≤2,故 N={x|1≤x≤2},所以M∩N={1,2}.
【解析】当x=0时,y=0,当x=1时,y=0,1,
当x=2时,y=0,1,2.因此集合B中有6个元素.
【规律方法】与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意
检验集合是否满足元素的互异性.
【解题提示】先简化集合A,再求交集.
【规范解答】选A.由已知得A={x|x≤-1或x≥3},故A∩B={x|-2≤
x≤-1}.
命题角度2:求并集
【典例4】(2015·南昌模拟)集合M={x|x2+px+2=0},N={x|x2+xq=0},M∩N={2},则M∪N= ( A.{1,2,-3} C.{1,-2,3} )
答案:{(1,-1),(-1,1)}
考点3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
集合的基本运算
知·考情
集合的基本运算是历年高考的热点,常与函数、方程、不等式等 知识综合,主要以选择题的形式出现.
明·角度
命题角度1:求交集
【典例3】(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x-3≥0}, B={x|-2≤x<2},则A∩B= ( A.[-2,-1] B.[-1,2) ) C.[-1,1] D.[1,2)
【小题快练】
1.思考辨析
静心思考
判一判
( )
x 1 }是同一个集合.
(1)集合{x2+x,0}中实数x可取任意值. (2)任何集合都至少有两个子集. (3)集合{x|y= (
)
x 1 }与集合{y|y=
(
)
(4)若A={0,1},B={(x,y)|y=x+1},则A⊆B.
(
)
【解析】(1)错误.由元素的互异性知x2+x≠0,即x≠0且x≠-1. (2)错误.⌀只有一个子集. (3)错误.{x|y=
第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合
【知识梳理】
1.必会知识
教材回扣
填一填
(1)集合的基本概念:
确定性 、_______ 无序性 、_______. 互异性 ①集合元素的性质:_______
②元素与集合的关系: ∈ ∉ ⅰ属于,记为___;ⅱ不属于 ,记为__.
③常见集合的符号:
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
2n-1 非空真子集个数为____. 2n-2 数为____,
(2)A∪B=A⇔B⊆A,
A∩B=A⇔A⊆B.
(3)一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+
card(B)-card(A∩B).
3.必用技法
核心总结
看一看
(1)常用方法:进行集合运算的数轴图示法、Venn图法.
一个元素相等,有几种情况,然后列方程(组)求解. 提醒:解决两个集合的包含关系时,要注意空集的情况.
【变式训练】(2015·临沂模拟)已知集合A={x|ax=1},B={x|x2-1=0},
若A⊆B,则a的取值构成的集合是
A.{-1} C.{-1,1} B.{1}
(
)
D.{-1,0,1}
【解析】选D.由题意,得B={-1,1},
A.{1,3,5,6} C.{2,4,7}
【解析】选C.因为全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},所以
∁UA={2,4,7}.
考点1
集合的基本概念
【典例1】(1)(2015·南昌模拟)已知集合A={0,1,2},则集合B={xy|x∈A,y∈A}中元素的个数是 A.1 B.3 C.5 ( ) D.9
取值范围是
.
【解题提示】(1)从a能否为0入手,根据集合相等的性质求解.
(2)分B=⌀与B≠⌀两种情况讨论求解.
【规范解答】(1)由题意知a≠0,则a+b=0,从而 b =-1,b=1,a=-1,故ba
a=1-(-1)=2. 答案:2 (2)当B=⌀时,满足B⊆A,此时有m+1≥2m-1,即m≤2,
(
D.4
)
【解析】选D.A={x|x2-3x+2=0,x∈R}={1,2},B={x|0<x<5,x∈N}
={1,2,3,4},由A⊆C⊆B,
方法一:C中含有除1,2之外的3,4两元素中的0个、1个、2个,即C的个 数可以看作是集合{3,4}的子集的个数,有22=4个. 方法二:C可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4} 共4个.
2.设集合A={x,y,x+y},B={0,x2,xy},若A=B,则实数对(x,y)的取值集
合是
.
【解析】由A=B,且0∈B,故集合B中的元素x2≠0,xy≠0,故x≠0,y≠0,
那么集合A中只能是x+y=0,此时就是在条件x+y=0下,{x,y}={x2,xy},
x y 0, x y 0, x 1, 或 x 1, 2 2 即 或 解得 x x, x y, y 1, y 1. xy y, xy x.
A∪B= {x|x∈A或 __________ x∈B} ______
A∩B= {x|x∈A ________ 且x∈B} ________
∁U A=
{x|x∈U ________ 且x∉A} _______
2.必备结论
教材提炼
记一记
(1)对于有限集合A,若card(A)=n,则集合A的子集个数为2n,真子集个
子
集
表示 关系 真子集
文字语言 若A⊆B且A≠B, 则集合A是集合B 的真子集 任何集合 的 空集是_________ 任何非空集合 子集,是_____________ 的真子集
符号语言 A Ü B或_____ B A _____
空
集
⌀⊆A
⌀B(B≠⌀)
(3)集合的基本运算:
并集
图形
交集
补集
符号
(2)(2013·江西高考改编)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元 素,则a= A. 9
2
(
) B.
9 8
C.0
D.0或
9 8
【解题提示】(1)用列举法把集合B中的元素列举出来,注意元素的互 异性. (2)分a=0和a≠0两种情况讨论. 【规范解答】(1)选C.当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2, 当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1, 当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0. 根据集合中元素的互异性知,集合B中的元素为-2,-1,0,1,2.共5个.
1.根据集合的关系求参数的关键点及注意点
(1)关键点:将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满
足的关系是解题关键,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮
助分析,而且常要对参数进行讨论.
(2)注意点:注意区间端点的取舍.
2.解决集合相等问题的一般思路
若两个集合相等,首先分析某一集合的已知元素在另一个集合中与哪
C.7
【解析】选C.因为M={x∈N*|x=4-m,m∈N*}={3,2,1},所以集合M真子 集的个数为23-1=7.
(2)(必修1P14习题1-3A组T2(5)改编)设A={x|-5<x<2},B={x∈N|-2< x<3},则A∩B= .
【解析】因为B={x∈N|-2<x<3}={0,1,2},A={x|-5<x<2},所以A∩B= {0,1}. 答案:{0,1}
符号 N
*或N N + ______
Z __
Q __
R __
列举法 、_______ 描述法 、_______. 图示法 ④集合的表示方法:_______
(2)集合间的基本关系: 表示
关系
相 等
文字语言
集合A与集合B中的 相同 所有元素_____ A中任意一个元素均 为B中的元素
符号语言
A⊆B 且____ B⊆A ⇔A=B ____ A⊆B 或____ B⊇A ____
(2)数学思想:分类讨论,数形结合.
(3)记忆口诀:
集合概念不定义,属性相同来相聚.内含子交并补集,高中数学的基础.
集合元素三特征,互异无序确定性.集合元素尽相同,两个集合才相等.
书写采用符号化,表示列举描述法.元素集合多属于,集合之间谈包含.
0和空集不相同,正确区分才成功.运算如果有难处,Venn图儿来相助.
B.{1,2,3} D.{-1,2,3}
【解题提示】根据M∩N={2},求p,q.
【规范解答】选A.因为M∩N={2},所以2∈M且2∈N,
4 2p 2 0， p 3， 故 所以 4 2 q 0， q 6，
所以M={x|x2-3x+2=0}={1,2},N={x|x2+x-6=0}={2,-3},故 M∪N={1,2,-3}.
(2)(2014·广东高考)已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N= ( A.{0,1} C.{-1,0,1,2} B.{-1,0,2} D.{-1,0,1} )
【解析】选C.结合Venn图,可知M∪N={-1,0,1,2}.
(3)(2014·湖北高考)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5, 6},则∁UA= ( ) B.{2,3,7} D.{2,5,7}
【加固训练】1.已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范 围是 ( ) B.(-∞,1] D.[0,+∞)
A.(-∞,0] C.[1,+∞)
【解析】选B.若1∈A,则1-2+a>0,解得a>1. 因为1∉A,所以a≤1.故选B.
2.数集{x2+x,2x}中,x的取值范围是 A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)∪(0,+∞) C.(-∞,1)∪(1,+∞) D.(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
因为A⊆B,所以当A=⌀时,a=0;
当A={-1}时,a=-1;当A={1}时,a=1. 又A中至多有一个元素, 所以a的取值构成的集合是{-1,0,1}.
【加固训练】1.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},
则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为
A.1 B.2 C.3
x 1 }={x|x≥1},
{y|y= x 1 }={y|y≥0}. (4)错误.集合A是数集,集合B是点集. 答案:(1)✕ (2)✕ (3)✕ (4)✕
2.教材改编
链接教材
练一练
(1)(必修1P19复习题一A组T1(3)改编)若集合M={x∈N*|x=4-m,m∈N*}, 则集合M真子集的个数为 A.5 B.6 ( ) D.8
【变式训练】已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则实数a的
取值集合为
.
【解析】若a+2=1,则a=-1,此时,a2+3a+3=1,不合题意.若(a+1)2=1,则
a=0或a=-2,经验证a=0符合题意,a=-2不合题意.
若a2+3a+3=1,则a=-2或a=-1,均不合题意,综上知,实数a的取值集合为 {0}. 答案:{0}
m 1 2, 当B≠⌀时,要使B⊆A,则有 2m 1 7, 解得2<m≤4. m 2,
综上知m≤4.
答案:(-≦,4]
【易错警示】解答本例题(2)有两点容易出错: (1)忽视B=⌀的情况导致解析不完整. (2)当B≠⌀列不等式组时忽视等号成立的情况导致错解.
【规律方法】