一些素数个数计算

一些素数个数计算

根据自然数数列因子分布规律和不遵从自然数数列的数列因子分布规律，用这两种方法建立计算公式求算素数个数.

标签：数列素数个数计算项差分布规律猜想

一、欧几里得素数

概念：都是整数，其形式为En=Pn+1，其中Pn是Pn的质数阶乘。

前几个欧几里得数3 7 31 211 2311 30031 510511 ……

因为是En=Pn+1，数列中的项差分布与自然数数列项差分布不同，所以，就不能用求自然数数列的奇质数方法计算。根据欧几里得数的阶乘性质和素数个数分布与计算原理，每一个欧几里得数是否奇质数，只能单独计算。

根据欧几里得数的性质，第1、2、3项欧几里得数不可能有因子，只能是奇质数；第4项211因子可能是11和13，不可能是2、3、5、7，以及≥17的奇质数，所以第4项是奇质数的可能性为1×10/11×12/13≈0.839，以后以此类推。欧几里得素数总个数计算公式F=1（第1项）+1（第2项）+1（第3项）+1×10/11×12/13（第4项）+1×12/13×16/17×18/19×22/23×28/29×30/31×36/37×40/41×42/43×46/47（第5项）+……

随着欧几里得数的不断增大，F也不断缓慢增大，所以，欧几里得素数有无限个。

以上的单个计算方法，适合于随机抽取（项差不遵从自然数数列项差分布规律）的一组数列和自然数数列的奇质数个数计算。项数越多，计算值越准确。

二、费马素数

概念：形式为2n+1（n=2m，m取值为0、1、2、3……则n为1、2、4、8……）前几个费马数是3、5、17、257、65537、4294967297……求其中的素数个数。

从上面可以看出，项差不符合自然数数列分布规律，费马数数列只是2k+1（k取值为0、1、2、3……）数列中的一部分，可以参照上面的欧几里得素数素数计算方法求解。

当k≠1、2、4、8、16……2n数时，叫做非费马数。非费马数都可以进行因式分解，所以，非费马数都是合数，因子是绝大多数奇质数。以上可以得出结论，费马数是非费马数的因子，而非费马数中除费马数因子之外的因子不可能是费马数的因子。又因n=1、2、4、8、16……所以，费马数自身因子不循环分布，并

且每一个数值或其中分解出来的因子在整个数列中只能出现1次，此后就到非费马数中循环去了，而非费马数都是合数，根据相同数列具有相同性质理论可以判定，费马数也应该都是合数，只是初期各项数值太小不能分解，只能为奇质数，这就是前几项费马数是奇质数的原因。理论上当费马数的数值达到一定大小时以后就全是合数了。费马数合数的因子是非费马数中的所有因子之外的所有因子，并且在成为因子时在费马数数列中只能出现1次，而费马数有∞个，所以，对每一个费马数是否奇质数的可能性是1×1/∞，所以得出计算公式：F（费马素数个数）=1（第1项）×1/∞+1（第2项）×1/∞+1×（第3项）×1/∞+……+1（第n项）×1/∞→0。现在已知有5个素数，也只有这5个，不会再有。

孪生费马素数：根据费马数项差性质，孪生费马素数只有一个：3和5。

三、胡道尔数

概念：形式如n×2n-1（写作Wn）的自然数，前n项胡道尔数是1、7、23、63、159、383、895……

有颇少胡道尔数同时为质数，10亿以内只有7、23、383。本说法没有什么意义，是因10亿以内的胡道尔数仅26个而已。当n=2、3、6、30、75、81、115、123……时Wn便为胡道尔数素数。求解“几乎所有的胡道尔数都是合成数（合数）”仍是猜想。

因为胡道尔数数列项差不符合自然数数列规律，所以，只能用单个计算方法计算。第1项是1，不是奇质数，可以不计；第2项也是独立的奇质数；第3项为1×2/3=0.667；第4项为1×2/3×4/5×6/7=0.457……根据以上原理，计算如下：F （胡道尔素数个数）=1+1×2/3+1×2/3×4/5×6/7+……本公式反映出胡道尔素数个数增加变化趋势，经过计算，F值随着项数的不断增多而缓慢增加→∞个。

随着项数不断增加，胡道尔素数不断变稀，但是胡道尔素数始终存在。

四、幸运质数猜想

幸运数：任意一个整数上的各位数之平方和，得到的新数再次求各位数之平方和，如此重复进行，如果最终结果是1，则此原数称为幸运数。在重复过程产生的中间数叫中间桥数，也叫幸运数。若是质数叫幸运质数。如①23：22+32=13，12+32=10，12+02=1。若最终不等于1，必在某些桥数之间往复循环，此原数叫非幸运数。如②11：12+12=2，22=4，【42=16→12+62=37→32+72=58→52+82=89→82+92=145→12+42+52=42→42+2 2=20→22+02=4…】重復进行。16、37、58、89、145、42、20、4为循环桥数。

幸运数在其没等于1之前一步皆为10、100、1000……叫幸运满意数。任一满意数都可以分解出无限个一级平方和之形式，如10=32+12+n个02=22+22+12+12+n个02=22+6×12+n×02……以相同的方式，每一个一级平方和又可以分解成无限个二级平方和之形式，再以相同的方式，每一个二级平方和又

可以分解成无限个三级平方和之形式……由此可以证明幸运数原值包括中间桥数有无限个，如13、31、103、301、1003、3001……原值或者中间桥数分解出来的二级幸运数，如13=32+22+n个02=22+22+22+12+n个02=22+22+5个12+n 个02=22+9个12+n个02=13个12+n个02……23=42+22+3个12+n个02……幸运数是由合数和质数组成，全体称为幸运数集合，质数之全体称为幸运质数集合。幸运数邻差：根据规律性对幸运数进行分组，每一组称为一个幸运数数列，每一个数列含有无限个幸运数。为计算方便，尾数以奇数为主（不含5），并在相同位置逐渐增加0的个数。然后计算相邻差。

例1：13 103 1003 10003……

相邻差90 900 9000……

例2：31 301 3001 30001……

相邻差270 2700 27000……

其它的也都是这样的。

从以上可以看出，邻差值是等比数列。很容易推导出相邻差都是9的倍数，相邻差因子组成也是有规律的。

计算方法一：根据项差特点，可以使用单个形式的计算方式。以13 103 1003 10003……为例，又因首项13是奇质数，项差因子为2、3、5，所以，这些幸运数因子中不可能有2、3、5因子。所以，它的F（幸运质数个数）=1（第1项）+1×6/7（第2项）+1×6/7×10/11×12/13×16/17×18/19×22/23×28/29×30/31（第3项）+……通过计算，幸运质数有多个。而根据幸运数形成原理，这样的一级平方和形式有无数个，由此分出来的二级平方和数列也有无限个，再往上是三级平方和也有无限个……由此可以证明，幸运数有无限个，幸运质数也就有无限个。

计算方法二：幸运数数列的因子是该数列中的每一个幸运数。分布周期是该幸运数自身值，并且有周期内分布。如13，一个完整周期是13项，而第6项为周期內分布。如果是分解出来的因子，其周期为因子值-1，如301=7×43，因子7周期是7-1=6项，没有周期内分布。假定都有周期内分布，则每一个因子分离排除个数为（n-2）/n×总个数。仍以上面的例题为例：A（幸运质数个数）=B（幸运数个数）×11/13×101/103×16/17×58/59×10001/10003……×（an-2）/an或者×（am-1）/am+k（k为因计算减少的幸运质数个数），随着项数不断增多，A越来越大于B（幸运数个数）×1/3×3/5×5/7×……（d-2）/d，B（幸运数个数）×1/3×3/5×5/7×……（d-2）/d的取值范围是（0，1/3】，证明该数列中幸运质数有∞个。其中d为奇数；an是幸运质数，am是幸运合数中的奇质数，只要出现就计算。

根据幸运数数列相邻差步调节奏（相邻差因子组成结构）规律也可以证明，不存在哪一个或哪些因子能够将任一幸运数奇数数列（尾数不是5）全变成幸运