中考复习策略梳理——巧构“辅助圆”,最全辅助圆解题技巧
培优辅导《辅助圆》
辅助圆在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决．而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法有：1．利用圆的定义添补辅助圆；2．作三角形的外接圆；3．运用四点共圆的判定方法：(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．(2)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆．(3)若四边形ABCD 的对角线相交于P，且PA·PC=PB·PD，则它的四个顶点共圆．(4)若四边形ABCD 的一组对边AB、DC 的延长线相交于P，且PA·PB＝PC·PD，则它的四个顶点共圆．【例1】如图，直线AB 和AC 与⊙O 分别相切于B、C，P 为圆上一点，P 到AB、AC 的距离分别为4cm、6cm，那么P 到BC 的距离为．【例2】如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC 与PB 交于点P，且PB=4，PD=3，则AD·DC 等于( )A．6 B．7 C．12 D．16【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC，任意延长CA 到P，再延长AB 到Q，使AP=BQ，求证：△ABC 的外心O 与A，P，Q 四点共圆．【例4】如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A，PBC 是⊙O 的割线，AD⊥PO 于D．求证：PB PC ．PD CD练习１．AD、BE是锐角三角形的两条高，S△ABC =18，S△DEC=2，则COSC等于()A．3 B．1C．2D．3 3 3 4２.如图，在△ABC 中，高BE、CF 相交于H，且∠BHC=135°，G 为△ABC 内的一点，且GB=GC，∠BGC＝3∠A，连结HG，求证：HG 平分∠BHF．３．如图，P 是⊙O 外一点，PA 和PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，P O 与AB 交于点M，过M 任作⊙O 的弦CD．求证：∠CPO=∠DPO．。
精心构造辅助圆,解决问题少困难
精心构造辅助圆 解决问题少困难圆是几何中具有美学价值的一种图形，不仅曲线光滑圆润，美丽迷人，是美好象征的化身，而且几何性质众多，在解决诸多数学问题中，显示出非常重要的作用，有圆的参与，将会使一个比较困难的问题简单起来，所以，在解决一些与圆有关的问题中，要深入挖掘圆的信息，精心构造辅助圆，利用圆的几何性质和圆的方程，发挥出圆的价值，让这些问题迎刃而解，实现“精心构造辅助圆，解决问题少困难”的理想目标.一、利用方程，构造圆在平面上涉及动点轨迹的问题中，直接求解问题比较困难时，可以先考虑建立直角坐标系，特别是有垂直条件与对称条件时，就更要考虑解析法，求出动点的轨迹方程，如果满足圆方程的结构特点，就可以构造圆，让圆的几何性质闪耀光彩，使问题得到解决.例1. （2016届北京西城期末理科）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ）（A ）(0,7)（B ）(4,7)（C ）(0,4)（D ）(5,16)- 图1解：以D 为坐标原点，DC 所在直线建立直角坐标系，设点(,)P x y ，则点(0,4),(6,4)E F ，所以(0,4),=(6-x,4-y)PE x y PF =--，由=PE PF λ⋅得动点P 的轨迹方程是：22(3)(4)9x y λ-+-=+，所以动点P 的轨迹是一个以（3,4）为圆心， 9λ+为半径的圆，所以“在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立”等价于“圆与正方形四条边有且仅有6个不同交点”，当且仅当3913λ<+<，解得：04λ<<，所以选C.评析：通过解析法揭穿了动点P 的几何意义，为实现问题的转化起到了桥梁作用，通过几何背景的分析，抽象代数特征，促使问题圆满解决，其间，由代数方程，构造了一个圆，将原问题转化为直线与圆的位置关系讨论，从而建立起了不等式，实现了向量问题坐标化，几何问题代数化的转化目标.从而减少了解题的困难程度. 例2.直线:(2)l y k x =+与曲线2:465C y x x =----有且仅有两个不同公共点.求实数k 的取值范围.解：由曲线2:465C y x x =----的方程可以构造出半圆：22(3)(+4)4x y -+=且4y ≤-. E FD P C A BE FD P C A B x y 图2如图所示：要使直线l 与曲线C 有且仅有2个公共点，则需AB AC k k k <≤其中AB 为半圆的切线，(1,4)C -，半圆的圆心到直线:(2)l y k x =+的距离是2342202372,211k kd k k ++-±==⇒=+由图可知：20237=21AB k --，43AC k =- 所以实数k 的取值范围是202374(,]213--- 评析：解决本题的关键是由曲线C 的方程构造半圆，然后由图形抽象代数条件，完全回避了探究较复杂的一元二次方程在区间[1,5]上有两个不等实根的条件.所以在解决解析几何的问题时，一定要分析曲线方程的结构特点，抓住构造几何图形的机会，将会让图形闪耀光辉.相关问题：1.（2019届北京昌平区高三上期末理科）设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是（ ） BA ．B ．C ．5D ．8 2.（2019届北京西城区高三上期末理科） 设双曲线22: 13y C x -=的左焦点为F ，右顶点为A . 若在双曲线C 上，有且只有2个不同的点P 使得=PF PA λ⋅成立，则实数λ的取值范围是____． （-2,0）二、利用定义，构造圆圆的定义是：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.即动点满足一定点和一定长的轨迹可以生成圆，在解决问题的过程中，如能构造出这样的几何条件，就可以构造辅助圆，将原问题转化为圆的问题求解，可能使复杂问题简单化.例3. 设直线：，圆，若在圆C 上存在两点，在直线 上存在一点M ，使得，则的取值范围是（ ）A. [18,6]-B. [652,652]-+C. [16,4]-D. [652,652]---+解：考虑极端情形：当,MP MQ 是圆C 的切线时，如果此时的M 点轨迹与直线有公共点，那 么对于,MP MQ 不都是圆C 的切线时，都能在直线上存在符合条件的M 点.所以“在圆C 上存 在两点，在直线上存在一点M ，使得”等价于“当,MP MQ 是圆C 的切线时，M 点的轨迹与直线有公共点”.而当,MP MQ 是圆C 的切线时，易证：四边形MPCQ 是正方形，所 以MC 的长是定值2，且C 为定点，因此，动点M 的轨迹是以C 为圆心，2为半径的圆， C 123l 340x y a 22 (2)2C x y ：,P Q l 90PMQ a l l ,P Q l 90PMQ l AD C B即M 点的轨迹方程是22(2)4x y -+=，直线2164a ≤⇒-≤≤，所以选C.评析：根据极端性原理，抓住几何条件构造点M 的圆轨迹是解决本题的关键，而构造圆的关键在于构造定值（即半径）与配套的定点（即圆心），所以在解决解析几何问题时，要时刻关注定值的出现于定点的出现，特别是在解决有关椭圆、双曲线问题中，要紧扣椭圆、双曲线定义，关注定值的相关信息与定点的相关信息.例4.过点(1,2)P --作圆22:(3)(4)1C x y -+-=的两切线,PA PB ,其中，,A B 为切点，求直线AB 的方程.解：由圆的切线性质可知：=PA PB ，所以由圆的定义可知：,A B 在以PA 为直径，P 为圆心的圆上，=PA PB =于是可得圆P 的方程：22(1)(2)52x y +++=，将圆C 的方程与圆P 的方程相减可得公共弦AB 所在的直线方程为：812710x y +-=评析：本题的解决中利用了等长线段构造辅助圆，从而出现了两圆公共弦的大好时机.具有一个公共定点的等长线段的另一个端点在一个圆上，这就是圆定义的灵活运用，在解决问题中要注意这些信息.相关问题：已知椭圆C: 22143x y +=的左右焦点分别是12,F F ,点P 是椭圆C 上的动点，N 是线段1F P 的延长线上一点，点M 是2NPF ∠的平分线上一点，且20PM F M ⋅=,直线:34150l x y --=与x 轴、y 轴交点分别为,A B ，求ABM ∆面积的最大值. 1258三、利用垂直，构造圆圆有一个重要性质是：直径上的圆周角是直角.反过来说，直角三角形的直角顶点在以斜边为直径，斜边中点为圆心的圆上，这显然是一个真命题.这也是构造辅助圆的依据，所以当垂直条件出现时，要注意辅助圆的构造，可能使原问题转化为圆的问题，从而获得解题思路. 例5. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4解：由于，所以可以构造一个圆：点P 在以AB 为直径的圆上，记此圆为圆O ，点P 又在圆C 上，所以“圆上存在点，使得”等价于“圆O 与圆C 有公共点”， 所以1146m CO m m -≤≤+⇒≤≤，所以的最大值为6.选B.评析：从垂直条件出发，构造了一个辅助圆，实现了将原问题转化为两圆位置关系的转化目标，使问题轻松获解，其间表现出辅助圆的重要作用. l ()()22:341C x y -+-=(),0A m -()(),00B m m >C P 90APB ∠=m 90APB ∠=C P 90APB ∠=m例6.过点(0,4)P 的直线l 交椭圆22:14x C y +=于不同两点,A B （A 在PB 之间），O 为坐标原点.当90PAO ∠=，求直线l 的斜率.解：按照通常用到的方法，将直角用斜率之积为-1或用向量的数量积为0写出坐标关系，再用直线与曲线联立，出韦达定理，代入求值.但是在直角中不涉及,A B 两点坐标，只涉及A 点的坐标，所以直曲联立与韦达定理不好使.基于此，需要变换思路，由直角构造圆，点A 在PO 为直径的圆上，于是得到下列解法：设00(,)A x y ，则2200(2)4x y +-=，220044x y +=，消去0x 得：002,23y y ==-（舎），0x =l的斜率是24k -=24k -== 评析：由此题的解答可见：由垂直条件构造辅助圆是构造方程的主要依据，这种方法仅是直曲联立用韦达定理方法的补充，不能迷信它.比如将本题的条件90PAO ∠=改为90AOB ∠=，就没有必要构造辅助圆了，直接用斜率之积为-1或用向量的数量积为0，写出坐标关系，直曲联立出韦达定理，代入求值比较简单.相关问题：设点P 是双曲线22:1169x y C -=上一点，12,F F 是双曲线C 的左右焦点，且120PF PF ⋅=,求点P 到x 轴的距离. 95四、利用换元，构造圆由于圆的方程是特殊的二元二次方程，特殊性表现在两个方面：一是没有两元的交叉项，二是两元的二次项系数相等。
巧解初中几何问题——以构造辅助圆为例
２０２３年１２月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀巧解初中几何问题以构造辅助圆为例◉江苏省靖江市外国语龙馨园学校㊀徐㊀乐㊀㊀圆是初中数学平面几何中非常重要的一个知识点,与初中数学中其他几何问题有着紧密的联系．所以在解决几何问题时,一些无法利用常规思路求解的综合问题可以尝试通过构造辅助圆的方式来解决．因此,在初中数学几何问题解题教学中,教会学生如何正确使用辅助圆来巧解几何问题是教师需要重点研究的问题．下面将通过例题对辅助圆的应用进行说明．１角的问题例１㊀在әA B C 中,A B ＝A C ,øA B C 的平分线交A C 于点D ,已知B C ＝B D ＋A D ,求øA 的度数．分析:根据题中所给已知条件,可以判定әA B C为等腰三角形,但是想要根据已知条件通过常规方式求øA 的度数存在一定困难．结合题中所给的角平分线,可以联想圆中共顶点的角的问题,作әA B D 的外图１接圆,与әA B C 的B C 边交于点E ,连接D E ,如图１．根据B D 是øA B C 的角平分线,可以知道A D ＝D E ,同时还能得到这个辅助圆为四边形A B E D 的外接圆．根据圆内接四边形的对角互补的性质可得øA B C ＝øE D C ,根据әA B C 为等腰三角形可知øA B C ＝øE D C ＝øC ,于是可得øB E D ＝２øC ,且әE D C 为等腰三角形．所以D E ＝C E ,则A D ＝D E ＝C E ,然后结合B C ＝B E ＋A D 得到B D ＝B E ,所以øB D E ＝øB E D ＝２øC ．这样就可以在әB D E 中计算øC 的度数,即１２øC ＋２øC ＋２øC ＝１８０ʎ,所以øC ＝４０ʎ,最后计算得出øA ＝１００ʎ．在初中数学几何问题中构造辅助线需要充分结合试题的情况来进行．本题中辅助圆的构造就是结合了本题所给定的角平分线的关系,根据相等的圆周角所对应的弧和弦长相等的性质来实现;然后通过辅助圆及相关线段关系来与相关角取得联系;最后利用三角形的性质求解．教师要对学生进行相应的引导,让学生掌握通过角的关系来构造辅助圆,进而借助辅助圆解决问题．２线段长度的问题图２例２㊀如图２所示,在R t әA B C中,A B ʅB C ,A B ＝６,B C ＝４,P 是R t әA B C 内部的一个动点,且满足øP A B ＝øP B C ,则线段C P 的最小值为(㊀㊀)．A．３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀B ．２C ．８１３１３D．１２１３１３图３分析:根据A B ʅB C 可以知道øA B C ＝９０ʎ,结合øP A B ＝øP B C 可得到øA P B ＝９０ʎ,所以әA B P 是直角三角形．根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半以及圆的直径所对的圆周角是９０ʎ,可知点P 在以A B 为直径的圆上．以A B 的中点O 为圆心,A B 为直径作圆,如图３所示．这样就可得到当P C 的值最小时,点P 正好在线段O C 上．因为A B ＝６,所以O B ＝３．在R t әO B C 中,B C ＝４,根据勾股定理得到O C ＝５,于是可求出P C 的最小值为２．所以正确答案是选项B ．例２的解题关键是需要判断点P 的轨迹,首先根据试题中所给定的关系得到øA P B ＝９０ʎ,结合直角三角形的性质和圆的性质很容易判断出点P 在以直线A B 为直径的圆上,然后就能够求解最小值．因此,在解题的过程中,只有认真分析题目条件,才能顺利找到解题思路．教师在进行解题教学时需要教会学生如何根据题目中所给定的已知条件来进行分析,从而找到解题思路．很多几何问题都是需要在解题的过程中才能够找到相应的解题思路,并不是通过对试题的观察就能得到解题思路的．因此结合已知条件来对试９７解法探究２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀题中存在的关系进行分析,在解题的过程中发现解题思路,是解决问题最好的方式．教师需要引导学生先根据已知条件尝试找到解题的思路,进而解决问题．３三角形相似的问题例３㊀әA B C 中,A D 是øB A C 的外角平分线,交B C 的延长线于点D ,求证:B D D C ＝A BA C．分析:A B ,A C 是әA B C 的两条边,而B D ,D C则是线段B D 上的两条线段,根据所学的知识,要证明B D D C ＝A BA C ,线段成比例关系可以通过证明三角形相似来解决．因此需要将线段B A 延长至点F ,连接D F ,构建出әB A C ʐәB D F ,得到A B A C ＝B DD F,然后证明C D ＝D F 就可以了,从而将证明的关键转化为证明C D ＝D F ．结合题意,øB A C 的外角平分线交B C的图４延长线于点D ,如图４,根据例题１中的方式构造әA C D 的外接圆,B A 的延长线与圆交于点F ,连接D F ．根据圆的性质可以得到C D ＝D F ,通过相似三角形的证明就可以解决问题．几何问题中需要求证的结论存在线段比例关系或者线段等积关系时,都会涉及三角形相似或者全等的证明,通过构造圆为三角形相似或者全等提供条件,实现对问题的求解．在这个过程中,需要充分结合例题１和例题２中辅助圆构造的方式来找到相应的关系．４动点的问题图５例４㊀如图５所示,边长为３的等边三角形A B C ,D ,E 分别是B C ,A C 边上的两个动点,且B D ＝C E ,A D ,B E 交于点P ,求点P 的运动路径长和C P 的最小值．分析:首先需要对点P 的运动路径进行判定．根据等边三角形的相关性质和B D ＝C E 可以得到әA B D ɸәB C E ,这样就得到øC B E ＝øB A D ,然后通过øC B E ＋øA B P ＝６０ʎ得到øB A P ＋øA B P ＝øA P E ＝６０ʎ,于是øA P B ＝１２０ʎ．可以发现在点D 和点E 移动的过程中,øA P B ＝１２０ʎ是恒成立的,所以可以认为点P 在A B 为弦的圆上．假设弦A B 所在圆的圆心为O ,连接O P ,O A ,O B ,根据圆的性质㊁әA B C 的边长为３可计算出圆O 的半径O A ＝３,然后计算出点P 的运动路径长度为２３３π,C P 的最小值为３．解:由A B ＝B C ,øA B D ＝øB C E ,B D ＝C E 得әA B D ɸәB C E ．由øC B E ＋øA B P ＝６０ʎ,得øB A P ＋øA B P ＝øA P E ＝６０ʎ．所以øA P B ＝１２０ʎ．故点P 的运动轨迹是以A B 为弦的圆上的一段弧．图６如图６所示,作әA B P 的外接圆,圆心为O ,连接O A ,O B ,O P ,O C ．由O A ＝O B ,A C ＝B C ,得әA O C ɸәB O C ．所以øO A C ＝øO B C ,øA C O ＝øB C O ＝１２øA C B ＝３０ʎ,øA O C ＝øB O C ＝１２øA P B ＝６０ʎ．故øO A C ＝９０ʎ．根据勾股定理,可得O A ＝３,O C ＝２３．所以,弦A B 所对的弧长为３ˑ２３π＝２３３π;当O ,P ,C 三点共线时,C P 最小,且最小值为３．在三角形的动点问题中,如果动点与一条线段所构成的角度固定,则说明这个动点的轨迹是以这个线段为弦的圆上的一段弧,通过这个关系可以构造辅助圆,然后利用圆的性质来求解问题．本题给定的是正三角形,当然不同的三角形中所呈现的关系可能会存在差别,但是本质没有变化．例如,在例题２中通过计算所得到的角度为９０ʎ的特殊角,这个辅助圆的圆心就在直角三角形的斜边上．例４中这个角度为１２０ʎ,圆心在三角形的外部,通过辅助圆来充分利用圆的相关性质,能够更好地对问题进行求解,实现问题的解决．本文中对辅助圆在初中数学平面几何中的应用进行了总结,并通过相关例题对其用法进行了说明．在初中数学平面几何问题中巧用辅助圆能够优化试题解法,实现快速求解．因此,教师在解题教学的过程中需要对学生进行有效地引导,让学生掌握辅助圆的应用,从而提升解题能力;提升数学素养．Z０８。
图中无圆,心中构圆——谈中考压轴题巧构辅助圆的策略
40 福建中学数学 2018年第6期图中无圆，心中构圆——谈中考压轴题巧构辅助圆的策略李昌刚 福建省福州市罗源第三中学（350600）圆的内容是初中数学的重要组成部分，学好这章知识将有助于学生高中继续学习椭圆、圆等有关知识．但在实际课堂教学中，很多教师不重视这一章的教学内容，没有去挖掘圆的旋转不变性与对称性的特征，使学生在解答中考压轴题时，不懂得根据题意巧妙构造出辅助圆将一般问题转化成特殊问题加以解决． 其实，在数学教学过程中常常需要借助于圆的性质，问题才能得以解决．而我们需要的圆并不存在，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，化未知为已知，将不熟悉的图形转化为熟悉图形，这实际上体现数学上转化与化归的思想方法．笔者结合近几年初三中考数学压轴题的教学实践，谈几点构造辅助圆的策略，以期抛砖引玉． 1 根据圆的定义，构造圆根据定义、定理（或公理），构造基本图形解决问题是添加辅助线最为基本的方法，圆有运动性定义和集合性定义两种．我们可根据实际问题从两种定义的不同特点入手进行构造． 1.1 根据运动性定义构造圆 圆的运动性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．因此若一道问题中出现旋转变化这一条件时，我们就可以考虑构造以旋转中心为圆心的圆，将问题转化成与圆有关问题进行研究． 例1 如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，90BAC ∠=，点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A C ，分别在DG 和DE 上，连接AE BG ，．若BC DE m ==，将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转角度(0360)αα<<过程中，当AE 为最大值时，求AF 的值．分析 将正方形DEFG 在绕点D 旋转的过程中，E 点运动的图形是以点D 为圆心，DE 为半径的圆，将正方形绕点D 逆时针旋转270 ，即当AE 过圆心D 时，AE 最大，利用勾股定理求出AF 即可解决问题． 解 正方形DEFG 在绕点D 旋转的过程中，E 点运动的图形是以点D 为圆心，DE 为半径的圆，则正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转270 ，即A D ，，E 在一条直线上时，AE 最大时，如图2， BC DE m == ， 2mAD ∴=，EF m =，在t AEF ∆R 中，222AF AE EF =+ 22213()4AD DE EF m =++=，AF ∴=，即在正方形DEFG 旋转过程中，当AE 为最大值时，AF =． 本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆中最长问题等知识．解题关键是根据条件“旋转360︒”确定点E 的运动轨迹，学会求圆内一点到圆的最长距离，是中考常见题型． 1.2 依据圆的集合定义，构造圆 圆的集合定义：圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合，其中定点为圆心，定长为半径，由此对于题目中出现一些点与定点的距离都等于定长时，我们就可考虑构造一个以定点为圆心定长为半径的圆，将所要研究的问题转化成圆的问题． 例2（2017年福州市期末质检）如图3，C 为线段AB 上一点，分别以AC BC ，为边在AB 的同侧作等边HAC ∆与等边DCB ∆，连接DH ．现将图中DCB∆绕点C 顺时针旋转一定角度(090)αα<< ，如图4，点C 关于直线DH 的对称点为E ，求证：CE 平分AEB ∠．分析 本题由对称性得到HC HE =，进而得出A C E ，，三点到H 距离都相等，从而构造以H 为圆心，GFBA D C 图1A B DC GF E 图22018年第6期 福建中学数学 41HA 为半径的圆（如图5），根据圆的性质得到AEC ∠=1302AHC ∠= ，同理可得1302BEC BDC ∠=∠= （两次构造圆也是本题的一大难点），最后得出EC 平分AEB ∠．证明 如图5，由对称性可知HC HE =， 又HAC ∆是等边三角形， AH HC ∴=，HC HA HE ∴==， A C E ∴，，都在以H 为圆心，HA 为半径的圆上， 1302AEC AHC ∴∠=∠=，同理1302BEC BDC ∠=∠= ，AEC BEC ∴∠=∠， EC ∴平分AEB ∠．此题的关键是作辅助圆，将分散的条件集中，然后灵活应用圆周角定理及等边三角形等知识来解答．两次构造圆是本题的一大难点．2 依据圆的有关性质，构造圆圆的性质主要集中在圆心（或周）角、弧、弦（或直径）等对象之间的相互关系上，因此在解决有关角、线之间的问题时，我们可考虑添加辅助圆，把问题转化为圆的问题，借助圆的性质来解决．2.1 依据圆周角动而不变性质，构造圆定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；同弧所对的圆周角相等．这些角具有其大小不变，顶点位置改变的性质，根据这一特性，我们可以用来构造相等角．例3 如图6，平面直角坐标系xOy 中，抛物线 243y x x =-+与x 轴交于点A B ，，与y 轴的正半轴交于点C ，抛物线的顶点为D ．若此抛物线的对称轴上的点P 满足APB ACB ∠=∠，求点P 的坐标．分析 此题要进行适当的转化，构造ABC ∆的外接圆，根据圆周角定理可知：抛物线对称轴与E 的交点就是题目要求的点P ，那么只需求出圆心E 的坐标和圆的半径即可得到点P 的坐标．由对称轴及点A B ，的坐标可确定点F 的坐标及AF 的长，由此可确定该中垂线的解析式，而弦BC 的垂直平分线过点E ，进一步可确定点E 的坐标；最后由勾股定理得AE 长，最后求出点P 的坐标．解 作ABC ∆的外接圆E ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为F ，设E 与抛物线的对称轴位于x 轴上方部分的交点为1P ，1P 关于x 轴的对称点为2P ，点12P P ，均为所求点．由图6知圆心点E 必在AB 边的垂直平分线，即抛物线的对称轴2x =上．1AP B ∠ ，ACB ∠都是AB 所对的圆周角，1AP B ACB ∴∠=∠，且射线FE 上的其它点P 都不满足APB ACB ∠=∠．令0x =，得3y =，C 的坐标为(03)，．令0y =，得2x - 430x +=，A ∴的坐标为(10)，，B 的坐标为(30)，，3OB OC ∴==，2AB =，45OBC ∴∠=，得圆心E 也在BC 边垂直平分线y x =上，E 的坐标为(22)E ，．由勾股定理得EA =1EP EA ∴==∴1P 的坐标为1(22P ，．由对称性得2P 的坐标为2(22P -，．∴符合题意的P 的坐标为1(22P ，，2(22P --，． 本题主要利用了圆周角定理及抛物线的图象与性质及勾股定理进行解题，由角相等构造辅助圆是解答此题的关键．2.2 依据直径与直角之间的关系，构造圆定理 径所对圆周角为直角；90 的圆周角所对的弦为直径．如果题目中条件有90 的直角，可以考虑构造圆，用圆的有关性质解决问题．例4 已知二次函数22(22)23y x m x m m =+-+--（m 是常数）的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边）二次函数的图象经过原点．（1）求m 的值； （2）若0m <，点C 是一次函数(0)y x b b =+>图象上的一点，且90ACB ∠= ，求b 的取值范围；分析 （1）将原点坐标代入解析式求得m 的值；（2）此题根据直径所对的圆周角为直角，构造以AB 为直径的圆，通过直线与圆的交点确定b 的取值范围．当直线与圆在第一象限相切时，此时b 的值A CB HE D图5A C BH D 图4图3ACDH42 福建中学数学 2018年第6期 最大．解 （1）依题意把(00)，代入22(22)y x m x m =+-+ 23m --，得2230m m --=，解得1231m m ==-，． （2） 0m <，∴1m =-，把1m =-代入解析式得24y x x =-，易得4AB =，以AB 为直径作圆P ，根据直径所对的圆周角是直角，可知当一次函数的图象与圆相交时，可得90ACB ∠= ，当直线与圆在第一象限相切时，此时b 的值最大．如图7，一次函数图象与圆P 相切于点C ，与x 轴交于点F ，与y 轴交于点E ，连接PC ，易得90PCF ∠= ．把0x =，0y =分别代入y x b =+， 得y b =，x b =，AE AF b ∴==．在t FAE ∆R中，由勾股定理得EF =． AE AF = ，45OFE ∴∠= ． 在t FCP ∆R 中，1CP CF ==，PF ∴=OF FP OP ∴=+=0b ∴<≤．本题考查直线与圆的位置关系，圆周角定理的推论，锐角三角形函数等知识，解题的关键是由直角联想到构造辅助圆．2.3 依据四点共圆情况构造圆在平面几何问题中有着四点共圆的条件大约有４种情况：第一种，若四个点到同一点的距离相等，则这四点共圆；第二种，两个直角三角形共斜边，则这两个直角三角形的各顶点在同一个圆上（如图8）；第三种：若两个三角形有一条公共边，且它们所对的角在这条边的同侧且相等，则这两个三角形共圆（如图9）；第四种，若四边形的对角互补或者它的任意一个外角都等于它的内对角，则这四点共圆（如图10）．如果能够发现以上4种情况构造圆，则可帮助我们把直线型问题转化为圆的问题，利用圆的有关性质，得到些新思路与解法．例5 （2017年福建中考·24）如图11，矩形ABCD中，6AB =，8AD =，P E ，分别是线段AC BC ，上的点，且四边形PEFD 为矩形．若AP =，求CF 的长．分析 如图12矩形ABCD 与矩形PEFD 共顶点D ，易得12∠=∠，t EPD ∆R ，t EFD ∆R 与t EDC ∆R 共斜边，以ED 为直径构造圆，则点E C F D P ，，，，五点共圆，因DF PE =可得 DFPE =，根据等弧所对的圆周角相等得到35∠=∠，由于//AD BC ，所以4∠5=∠，34∠=∠，由两角法得APD ∆∽DCF ∆，问题得到解决．解 四边形ABCD 与PEFD 都是矩形， 90ADC PDF ∴∠=∠= ，12∴∠=∠， 连接ED 与PF 交于点H ，连接HC ， 四边形PEFD 都是矩形，PH EH HF DH ∴===，90BCD ∴∠= ， PH EH HF DH HC ∴====， 则点E C F D P ，，，，五点共圆，DF PE = ， DFPE ∴=，35∴∠=∠， APD ∴∆∽DCF ∆，AD APCD CF∴=， 6CD AB == ，8AD =，AP =， 86∴=CF ∴=．本题的关键是构造辅助圆，将分散的条件集中，把角进行合理转换，然后结合矩形及相似三角形的判定与性质进行分析解答．总之，在平时的教学中，我们要做到“图中无圆，心中有圆”．认真分析题意找出题目中所隐含着圆的旋转不变性与对称性的特征，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果！从而达到高效解题的目的．参考文献 [1]罗增儒．中学数学解题的理论与实践[M]．南宁：广西教育出版社，2008 [2]王国兵．巧作辅助圆解题[J]．初中数学教与学，2013（15）：13-15 [3]孙卫荣．例谈中考试题中的辅助圆[J]．初中数学教与学，2016（1）：32-34图7图12P B图10图9图8图11P B。
2023年中考数学专项复习课件：辅助圆在解题中的应用
模型分析
(2)当∠C＝90°时，点C在⊙O上运动(如图②，不与点A，B重合).其中 AB为⊙O的直径；(3)当∠C>90°时，点C在如图③所示的 上运动( 不与点A，B重合).其中 ∠AOB＋∠ACBA＝B 180°
1 2
模型应用
12. 如图，在矩形 ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点 ，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为2__1_0__2___．
r－d
0
d－r
连接OD并延长交
连接OD交⊙O于
此时点E的位置
点E与点D重合
⊙O于点E
点E
模型应用 1. 如图，在平面直角坐标系中，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4) ，P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB分别与x轴交于点A，B. 若点A，B关于原点O对称，则AB的最小值为_6_______．
对的劣弧BD上运动，连接OA，OP，则AP≤OA＋OP，
∴当O，A，P三点共线时，AP取得最大值，最大值即为OA＋OP的值．
过点O作OQ⊥AB于点Q，
∵∠DPB＝120°，∴∠BAD＝60°，
∵AD＝BD＝6，∴∠OAQ＝30°，AQ＝ 1 AB＝3，
2
∴OA＝2 3 ，∴OA＋OP＝4 3，
∴AP的最大值为4 3 .
15 4
过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为______.
第8题图
第9题图
10. 如图，在四边形ABCD中，BD＝4，∠BAD＝∠BCD＝90°，则四边
形ABCD面积的最大值为___8_____．
11. 如图，等腰直角△ABC的斜边AB下方有一动点D，∠ADB＝90°，
CE
第1题图
2024年中考数学二轮复习题型突破课件—构造辅助圆解题
典例9图答案
强化练习
1. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边BC上，沿AE将正方形进行折
叠，使点B落在正方形ABCD内部的点P处，则CP长的最小值是（ C ）
A. 2
B. 2－
C. 2－2
D. 2＋2
第1题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，D是边BC上一
圆心，圆心角为360°－2α的劣弧上运动（点O，C在AB的异侧）.
典例7 如图，∠ABC＝∠EAD＝90°，D是线段AB上的动点且AC⊥ED于
点G，AB＝AE＝4，则BG长的最小值为（ C ）
A. 2
B. 2－1
C. 2－2
D.
典例7图
典例8 如图，O是等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，且
8
9
10
11
12
5. （2023·亳州谯城一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P是
矩形ABCD内的一点，连接PA，PC，PD.若PA⊥PD，则PC长的最小值
为（ C ）
A. 2－4
B. 2－3
C. 2
D. 4
第5题
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. （2023·合肥瑶海一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，以
1
2
3
4
5
6
7
8
9
.
10
11
辅助圆的构造策略与解题技巧
由旋转得 ：ＡＡＢＣ￣ＡＡＤＥ，
‘ ＯＡ＝ＯＦ＝ＯＥ＝ＯＧ，
．
．
ＢＡＤ＝／ＣＡＥ ．
·
。 ．
四 边 形 ＡＢＣＤ是 矩 形
，
‘ ＡＢ＝ＡＤ ，ＡＣ＝ＡＥ ，
．．
４
Ａ曰 ＡＤ
．
一
— Ａｃ ＡＥ ’
‘ Ａ．ＥＣＧ＝９０。，
．
．
。 ＯＣ＝ＯＥ ，
．．
’ △Ａ８Ｄ一 △ ＡＣＥ
．．
Ｇ
ＢＥ： —３，３－６
． ．．
—
一
．
）
（３）点 Ｅ在 边 ＢＣ上 的运 动过 程 中 ，ＺＡＣＦ
的大小总保持不变．
理 由是 ：连 接 ＡＦ、ＥＧ交 于点 ０，连 接 ＯＣ，
如图 ５，
Ｇ
圆 图５
图 ３
·’ ．
四边形
ＡＥＦＧ是 矩 形
，
【解析】解：（１）ＡＡＢＤ与△ 相似．
’ ＯＡ＝ＯＦ ，ＯＥ＝ＯＧ，Ａ ＥＧ ，
’ ＯＡ＝ＯＦ＝ＯＥ＝ＯＧ＝ＯＣ ，
．
．
（２）如 图 ４，连接 印 ．
．
· ．
点
Ｃ、Ｅ、，、Ｇ、／４在
以
０为圆心的圆上
，
Ｇ
． · ． ＡＦ为圆 ０的直径 ，
。
．
．
ＣＦ＝９０。．
即 厶ｌｃ 的大小保持 不变． 【点评 】本题 的 第三题可 以用 第一题 的思
路 ，证 明 ＡＡＢＥ￣ＡＡＣＦ，运 用相似三 角形的对
ＢＡ ＡＥ
．
—
— ＡＪＤ ＡＧ ’
‘ △Ａ Ｅ一 △ＡＤＧ．
中考数学模型巧构辅圆解难题一题多解
中考数学模型巧构辅圆解难题一题多解一道题目，11种解法，不同的构造方法，不同的思路，每一种解法都是一道思维的火花，点燃智慧的火焰。
方法一：巧构圆如图，构造△ABC的外接圆，圆心O，过O作OE⊥AB于E，过O作OF//AB，交CD延长线于F.连接OA,OC,AB.∵AD=6,BD=20∴AE=BE=13∴DE=7∵∠ACB=135°∴∠AOB=90°∴OE=13,AO=BO=CO=13√2由辅助线易得，四边形OEDF是矩形.∴OF=7由勾股定理可得，CF=17∴CD=4方法二：勾股定理如图，延长AC，过点B作BE⊥AC延长线于E设，BE=x,因为∠ACB=135°，所以∠BCE=45°，则CE=x,BC=√2x,则勾股定理可得其余线段的长度如上图。
由题很容易得到△ADC∽△AEB，则则CD=4或9√10（多出来一个解，有谁知道为什么吗？）.备注：上面的方程很难解！所以虽然这个方法可以解出来，但是不推荐。
如果数字小一点，可以使用。
向另外一边作垂线一样可以求出，如下图：评述：第一种方法，根据135度圆周角所对圆心角是90度，巧妙的构造圆，然后巧妙转化，解决问题。
第二种方法，从135度的邻补角是45度入手，构造直角三角形。
通过勾股定理来解决。
第一种方法辅助线多，构思巧妙，不容易想到，第二种方法容易想到，但是数字比较大，方程难解。
从普通的条件入手，开拓思路，张引路老师的方法还是很巧妙的解法三：面积法如上图，过A作AE//BC,BE//AC交于E点.过E作EF⊥BC于F.因为∠ACB=135°，所以∠CBE=45°∴∴∴解得 x=4简评：这个方法同样存在方程难题的问题，如果数字比较小可以用。
解法三变式三角形的面积公式可以表示为直接用三角形面积公式，不过初中没有学过这个公式，还有一个就是sin135°的问题，好的学生可以补充，老师参考一下，拓宽一下思路。
初中数学《圆》常用辅助线构造技巧
初中数学《圆》常用辅助线构造技巧圆是初中数学中的重要内容，常常会涉及到圆的基本性质、切线、切点、弦、弦长、弧、弧长等概念。
为了更好地解题，我们可以使用一些常用的辅助线构造技巧。
下面，我将介绍几种常用的辅助线构造技巧。
1.直径是圆的特殊弦，通过任意两点连接圆心，可以得到直径。
在解题中，如果涉及到圆心和两点的位置关系，可以考虑构造直径。
2.过圆心的直线与圆的切线垂直。
当我们需要求解两个垂直的线段或角度时，可以考虑构造一条过圆心的直径，使其与需要垂直的线段或角度相交。
3.过圆心的直线将弧等分为两个等长的弧。
当我们需要将一个弧等分为两个等长的弧时，可以考虑构造一条过圆心的直线，将这个弧分割为两个等长的弧。
1.过切点的切线与圆的半径垂直。
当我们需要求解两个垂直的线段或角度时，可以考虑构造一条过切点的切线，并将其延伸至圆心，使其与需要垂直的线段或角度相交。
2.过切点的切线等于切点至圆心的半径。
当我们需要求解两个等长的线段或角度时，可以考虑构造一条过切点的切线，并将其延伸至圆心，使其与另一条需要等长的线段或角度相交。
1.弦的中点与圆心以及两个端点可以构成一个等腰三角形。
当我们需要求解与等腰三角形相关的线段或角度时，可以考虑构造一条连接弦的中点与圆心以及两个端点的直线。
2.以弦的中点为顶点的直角三角形。
当我们需要求解与直角三角形相关的线段或角度时，可以考虑构造一条连接弦的中点与两个端点的直线，并通过调整弦的位置，使其与这条直线构成一个直角。
1.弦的垂直平分线同时也是弦的中垂线。
在解题中，如果需要求解弦的垂直平分线或者弦的中垂线，可以考虑构造一条连接弦的两个端点的直线，并将其垂直平分或中垂。
2.连接弦的两个端点与圆心的线段是一个等角二段线。
当我们需要求解与等角二段线相关的线段或角度时，可以考虑构造一条连接弦的两个端点与圆心的直线。
以上是一些常用的圆的辅助线构造技巧，通过合理地运用这些技巧，可以帮助我们更好地理解和解题。
中考复习策略梳理——巧构“辅助圆” 辅助圆解题技巧
中考复习策略梳理——巧构“辅助圆”，最全辅助圆解题技巧!
新课程改革以来，课标对“圆”这部分的要求大大降低了，但是很多题目往往都具有“圆”的问题背景，初中数学有些问题看似与圆无关，但如果我们根据题目中的已知条件构造辅助圆，往往能起到化隐为显，化难为易，化繁为简的解题效果，那么何时构造合适的“辅助圆”，使得解题举重若轻，柳暗花明呢？
图中无圆，心中有圆，用“圆”完美解题
对于平面几何问题，学生常常想到得是构造直线型辅助线来转化条件，从而利用三角形、四边形的知识来解决，辅助线的添加就被局限在直线型，但实际上，曲线形辅助线在一些特定条件下更利于条件的集中，辅助圆是曲线形辅助线的代表，圆会让图形的条件更丰富，更容易指向问题的深层结构。
有些几何问题，从表面上看，似乎与圆无关，但如果我们能深入挖掘题目中的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果！
我们今天来学习构造辅助圆的问题：图中无圆，心中有圆，“圆”来很完美。
辅助圆解题补充：。
中考数学教学指导：巧构辅助圆,求解张角问题
巧构辅助圆，求解张角问题关于动点对定线段所张的角为定值问题，从表面上看似与圆无关，但如果我们能深入挖掘题目中的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果.本文以部分中考试题为例，说明这类问题的构造策略.问题1 .(1)如图1，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，如果BC 边上存在点P ，使APD ∆为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形APD ∆,并求出此时BP 的长.(2)如图2，在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，12BC =, AD 是BC 边上的高，E ，F 分别为边AB ，AC 的中点.当6AD =时，BC 边上存在一点Q ，使90EQF ∠=︒，求此时BP 的长.(3)有一山庄，它的平面图为如图3的五边形ABCDE .山庄保卫人员想在线段CD 上选一点M 安装监控装置，用来监视边AB ，现只要使AMB ∠大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳.已知90A E D ∠=∠=∠=︒，270AB =m ，400AE =m ， 285ED =m ，340CD =m,问在线段CD 上是否存在点M ，使60AMB ∠=︒?若存在，请求出符合条件的DM 的长;若不存在，请说明理由.分析 本题第(1)问相对简单，这里分析第(2)(3)问二(2)由条件“当6AD =时，BC 边上存在一点Q ，使90EQF ∠=︒”，动点Q 对定线段EF 所张的角为直角，因此联想到“直径所对的圆周角是直角”.以EF 为直径作⊙O ，易证⊙O 与BC 相切，从而得到符合条件的点Q 唯一;然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ 长.(3)要满足动点M 对定线段AB 所张的角60AMB ∠=︒，由此联想到“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”.于是，可构造以AB 为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD 的交点就是满足条件的点;然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可求出符合条件的DM 的长.解 (1)符合条件的等腰三角形如图4.(2)∵E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，∴//EF BC ，162EF BC == ∵AD BC ⊥，6AD =∴EF 与BC 之间的距离为3. 以EF 为直径作⊙O ，过点O 作OQ BC ⊥于Q ，连结EQ 、FQ ，如图5.则有3OQ OE ==，∴⊙O 与BC 相切，切点为Q .∵EF 为⊙O 的直径，∴90EQF ∠=︒.过点E 作EG BC ⊥，垂足为G ，∴3EG OQ ==，且//EG OQ ,∴四边形EOQG 是正方形，∴3GQ =.在Rt EBG ∆中，60B ∠=︒，3EG =∴BG =∴3BQ GQ BG =+=(3)如图6，构造等边ABG ∆.作GP AB ⊥于点P ，AK BG ⊥于点K ，AK 与GP 交于点O .以O 为圆心OA 长为半径画圆，则⊙O 为ABG ∆的外接圆，作OH CD ⊥于点H .在Rt AOP ∆中，11352AP AB ==，OA =OP =又2702851502OH =-=而150>，∴⊙O 与CD 相交.记⊙O 与CD 的交点为M ，连结OM 、MA 、MB ，则60AMB AGB ∠=∠=︒.∵在Rt OHM ∆中，HM ===∴400340DM =-<.或400340DM =-(舍去).∴CD 上存在符合题意的点只有一个，即点M .故(400DM =-m.问题2.如图7，点A 与点B 的坐标分别是(1,0)，(5,0)，点P 是该直角坐标系内的一个动点.(1)使30APB ∠=︒的点P 有 个.(2)若点P 在y 轴上，且30APB ∠=︒，求满足条件的点P 的坐标.(3)当点P 在y 轴上移动时，APB ∠是否有最大值?若有，求点P 的坐标，并说明此时APB ∠最大的理由;若没有，也请说明理由.分析 (1)动点P 对定线段AB 所张的角30APB ∠=︒，只需点P 在过点A 、点B 的圆上，且弧AB 所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P 有无数个.(2)根据(1)中的分析可知，当点P 在y 轴的正半轴上时，点P 是(1)中的圆与y 轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识，即可求出符合条件的点P 的坐标.当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P 的坐标.(3)由结论“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角”知，要使APB ∠最大，只需构造过点A 、点B 且与y 轴相切的圆，切点就是使得APB ∠最大的点P ;然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题. 解 (1)以AB 为边，在第一象限内作等边三角形ABC .以点C 为圆心，AC 为半径作⊙C ，交y 轴于点1P 、2P .在优弧1APB 上任取一点P , 则11603022APB ACB ∠=∠=⨯︒=︒ ∴使30APB ∠=︒的点P 有无数个. (2)①当点P 在y 轴的正半轴上时，过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，如图7.∵(1,0)A ，点(5,0)B ，∴1OA =，5OB =∴4AB =.∵点C 为圆心，CG AB ⊥, ∴122AG BG AB ===， ∴3OG OA AG =+=∵ABC ∆是等边三角形，∴4AC BC AB ===，∴CG =∴点C 的坐标为.过点C 作CD y ⊥轴，垂足为D ，连结2CP .∵点C 的坐标为，∴3CD =，OD =∵1P 、2P 是⊙C 与y 轴的交点，∴1230APB AP B ∠=∠=︒.∵24CP CA ==，3CD =∴2DP ==∵点C 为圆心，12CD PP ⊥，∴12PD P D ==∴2P ，1P .②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得:3(0,P -，4(0,P -.(3)当过点A 、B 的⊙E 与y 轴相切于点P 时，APB ∠最大.①当点P 在y 轴的正半轴上时，连结EA ，作EH x ⊥轴，垂足为H ，如图8.∵⊙E 与y 轴相切于点P ，∴PE OP ⊥.∵EH AB ⊥，OP OH ⊥，∴90EPO POH EHO ∠=∠=∠=︒∴四边形OPEH 是矩形，∴OP EH =，3PE OH ==，∴3EA =.∵90EHA ∠=︒，2AH =，3EA =，∴EH ==∴OP =∴P .②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得(0,P .关于动点对定线段所张的角为定值一类问题，当所张角是直角时，利用“直径所对的圆周角是直角”构造圆——直角(或垂直)与直径有着密切关系，要善于把它们联系起来处理问题.既要见直角(或垂直)想直径，又要遇直径思垂直.当所张角是锐角(想一想为何不会是钝角)时，利用圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”或其推论“同弧所对的圆周角都相等”构造圆——把所张角转化为圆心角或圆周角.最主要的是利用圆心角或圆周角确定出动点的运动轨迹，化动为静，对满足条件的动点准确地定位，再解答，这也是解决此类题的切入点、通法.。
巧作辅助圆解决问题PPT.docx
三、张角的度数为非90°的定值
例3如图5，已知半圆O的直径AB＝8，C为弧AB的中 点，P为弧BC上一动点，连接AP、CP，过点C作 CD⊥CP交AP于点D，则当点P从点B运动到点C时， 点D的运动路径长为 .
点评:张角的度数为非90°定值的问题有一定难度，而且 题型多样，涉及证明、计算、探究、画图等各种类型。
解决动态几何问题，应把握运动变化的全过程，动中觅 静，寻求其中的不变量、不变关系或特殊关系，从而发 现动点的运动路径或点与点、线与线、角与角之间的内 在联系，最终解决问题，本文所谈的构造辅助圆问题， 虽然不全是动态几何问题，但都要抓住动点到定点的距 离不变这一不变量，或几个点到同一个点的距离相等这 一特殊关系，或张角为直角或张角度数为非90°的定值 这一不变关系，以及同一线段所对的张角相等这一不变 关系，发现动点的运动路径为一个圆或一个圆弧，通过 构造辅助圆来解决问题。
例2如图3，在等腰R△ABC中，∠BAC=90º，AB=AC，BC=22，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点
A、22-2 B、5-2
C、5-1
D、3-1
二、张角为直角
点评:本题中90°张角的顶点在动，但它所在 直角三角形的斜边不动，我们只要抓住“张角 为直角”这一特征，构造辅助圆，问题便能迎 刃而解。
在近几年中考试卷中，常出现这样一类
题目，从表面上看是一个三角形或四边形问 题，用三角形或四边形的知识来解决非常困 难，甚至根本无法解决，但我们可以从已知 条件中发现蛛丝马迹，也就是发现图形中的 隐含特征，从而通过构造辅助圆，借助圆的 知识来解决问题这样的问题一般具有以下特 征:
一、到定点的距离等于定长
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点评:随着直线DE位置的变化，点M的位置也 在变化，但它一定在以点D为圆心，DA的长
巧作辅助圆解决问题
巧作辅助圆解决问题在近几年中考试卷中，常出现这样一类题目，从表面上看是一个三角形或四边形问题，用三角形或四边形的知识来解决非常困难，甚至根本无法解决，但我们可以从已知条件中发现蛛丝马迹，也就是发现图形中的隐含特征，从而通过构造辅助圆，借助圆的知识来解决问题这样的问题一般具有以下特征一、到定点的距离等于定长例1如图1，在正方形ABCD外侧作直线DE，使45°＜∠CDE＜90°，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM，其中AM交直线DE 于点N，若MN＝4，AN＝3，则正方形ABCD的边长为( )。
A. B.5C.5D.解析:如图2，连接DM，由于点C、M关于直线DE对称,故直线DE垂直平分线段CM，因而DC＝DM.四边形ABCD是正方形，故DA＝DC＝DM，即点A、C、M到点D的距离相等，根据这一特征，我们可以想到，以点D为圆心，DA的长为半径画圆，则点C、M必在⊙D上.由∠ADC＝90°，可得∠AMC＝45°.连接CN，则CN＝MN＝4，故∠MCN＝∠AMC＝45°，从而∠ANC＝90°，连接AC，我们不难求出AC＝，选D。
点评:随着直线DE位置的变化，点M的位置也在变化，但它一定在以点D为圆心，DA的长为半径的圆上，这就是运动变化中的不变关系，解决这类问题的关键是抓住“A、C、M三点到点D的距离相等”这一特征，但这个特征比较隐蔽，不容易发现，要综合考虑本题中的所有条件，而且要有一定的洞察力和解题经验.事实上，这类问题中的隐含条件往往都不是一眼就能看出来的。
二、张角为直角例2如图3，在等腰R△ABC中，∠BAC=90º，AB=AC，BC=2，点D 是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（）。
A、2-2B、C、-1D、-1解析：本题中点D在动，直径AD的大小在变，线段BD在动，点E也在动，运动变化中有不变的量吗?有！如图4，连接AE，由于AD为直径，故∠AED的大小保持不变，为直角，从而∠AEB始终为直角，∠AEB的两边经过线段AB的两个端点，我们不妨称∠AEB为线段AB所对的张角。
巧构“辅助圆”，妙解“最值”问题
巧构“辅助圆”，妙解“最值”问题作者：殷娟来源：《初中生世界·九年级》2021年第05期许多同学在圆的学习中都会通过添加垂线段、连半径、连直径等进行解题，但在解决一些较难问题时，上述方法就起不了多少作用。
而有时在图形中构造圆能获得意想不到的效果。
下面就以几道例题和同学们一起分析如何用“辅助圆”来求解“最值”问题。
一、折叠问题中的辅助圆例1 （2019·江苏宜兴一模）如图1，在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，D是BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点。
将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值是。
【解析】△DBE在折叠的过程中，满足DB=DB′，即点B′始终是在以点D为圆心，DB长为半径的圆上运动（如图2）。
点A是圆外一点，由图1可以看到AB′要取到最小值，则点A、B′、D必须共线。
在Rt△ABC和Rt△ACD中易求得AD=[27]，则AB′的最小值为AD-DB′=[27]-2。
【总结】折叠图形有“共端点、等线段”的特征，满足圆的定义。
利用这一特征构造“辅助圆”，再利用“两点之间，线段最短”的原理便能很快找到对应线段的最值。
二、直角三角形中的辅助圆例2 （2017·江苏江阴一模）如图3，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为。
【解析】由∠APB为“直角”这个特征，联想到90°角所对的弦是直径，可以构造经过A、B、P三点的⊙M（如图4），半径为1。
点P在⊙M上运动，PC的长度也随之不断变化。
我们在运动中不难发现PC所在的直线经过圆心M时，可以取到最大或最小值。
图4中，PCmin=MC-MP=[5]-1;图5中，PCmax=MC+MP=[5]+1。
【总结】直角三角形中，“定斜边、动直角顶点”的特征，满足90°的圆周角所对的弦是直径。
中考数学答题技巧：构造辅助圆_答题技巧
中考数学答题技巧：构造辅助圆_答题技巧对于在已知条件的线上找点与已知点构成一定的角的问题，如果能根据题目的题设和结论，构造出符合题意特征的辅助圆，即把题目中的固定角转化为圆的圆周角问题，就能使问题得以顺利解决，这种方法利用数形结合，使代数与几何等知识相互渗透，综合应用，它不但能较好的达到解题的目的，还有利于培养学生分析问题的能力。
请看下面的两个例题：例1：(06东营)如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线l上取一点P，使得∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是(A)3个(B)2个(C)1个(D)不存在分析：要在直线l上找点P使∠APB=30°，可以构造以AB为边作等边三角形ABO，则∠AOB=60°，然后以O为圆心，AB为半径，作圆O，如图，∠∠ABO为等边三角形∠OB∠l，∠点O到l的距离d解：此题如果以AB为边作等边∠ABO,再以点O为圆心，AB为半径作圆交直线l与点P1、P2，∠∠AOB=60°∠∠AP1B=30°，∠AP2B=30°所以满足条件的点P的个数是两个，分别为P1、P2。
例2：(06陕西)如图，矩形ABCG()与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，的顶点P在线段BD上移动，使为直角的点P的个数是【 C 】 A.0 B.1 C.2 D.3分析：要使∠APE=90°，则需要以AE为直径作圆，如果此圆与线段BD相交，有几个交点，则使∠APE为直角的点P的个数就有几个，通过作图及圆心到直线的距离可知，以AE为直径的圆与BD只有两个交点，所以使∠APE为直角的点P的个数是两个。
解：此题连接AE、AC、CE，因为矩形ABCG与矩形CDEF全等，所以Rt∠ACG∠Rt∠CEF则∠ACE=90°，所以点C为满足条件的P点之一。
取AE的中点O，然后以点O为圆心，以OA为半径作圆O，因为点O到BC的距离小于OC，所以圆O 与BD有两个交点C、P，∠AE为直径，∠∠ACE=90°，∠APE=90°。
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中考复习策略梳理——巧构“辅助圆”，最全辅助圆解题技巧!
新课程改革以来，课标对“圆”这部分的要求大大降低了，但是很多题目往往都具有“圆”的问题背景，初中数学有些问题看似与圆无关，但如果我们根据题目中的已知条件构造辅助圆，往往能起到化隐为显，化难为易，化繁为简的解题效果，那么何时构造合适的“辅助圆”，使得解题举重若轻，柳暗花明呢？
图中无圆，心中有圆，用“圆”完美解题
对于平面几何问题，学生常常想到得是构造直线型辅助线来转化条件，从而利用三角形、四边形的知识来解决，辅助线的添加就被局限在直线型，但实际上，曲线形辅助线在一些特定条件下更利于条件的集中，辅助圆是曲线形辅助线的代表，圆会让图形的条件更丰富，更容易指向问题的深层结构。
有些几何问题，从表面上看，似乎与圆无关，但如果我们能深入挖掘题目中的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果！
我们今天来学习构造辅助圆的问题：图中无圆，心中有圆，“圆”来很完美。
辅助圆解题补充：。