大连理工大学泛函分析复习题与答案

泛函分析期末复习题和答案（2005-2006年度）

此为答案 复习题在后面

1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵

2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x ，y ∈L ，以及变数λ和μ均有

λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。

3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L ，则集合x 0+L={x 0+l ，l ∈L}称为E 中一个线性流

形。

4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x ，y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0

的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。

5、 设x ，y 是线性空间E 中的两个元素，d(x ，y)为其之间的距离，它必须满足以下条件：

（1） 非负性：d(x ，y)＞0，且d(x ，y)＝0＜―――＞x=y （2） 对称性：d(x ，y)=d(y ，x)

（3） 三角不等式：d(x ，y)≤d(x ，z)+d(y ，z) for every x ，y ，z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义：

设x={x 1，x 2，…x n }T ，y={y 1y 2，…y n }T

d 2(x ，y)=(

21

||n

i

i

i x y

=-∑)1/2

d 1(x ，y)=1

||n

i i i x y =-∑

d p (x ，y) = (

1

||n

p i

i

i x y

=-∑ )1/p d ∞(x ，y)=1max ||i i i n

x y ≤≤- 6、距离空间(x ，d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ，x 0)→0(n →∞)，这时记作

0lim n

n x

x -->∞

=，

或简单地记作x n →x 0

7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0，且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||，λ为常数

（3）||x+y||≤||x||+||y||，for every x ，y ∈E

8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞

n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0，总存在自然数N ，使得当n>N ，m>N 时，均有|x m -x n |<ε，则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。

9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。

10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2（a ，b ）为定义在(a ，b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a ，b ），

2|()|b

a

f t dt

⎰

＜∞。 当

L 2（a ，b ）中内积的定义为（f ，g ）=

_____

()()b

a

f t

g t dt ⎰

(其中f(t)，g(t)∈L 2（a ，b ）)时其

为Hilbert 空间。

★ 12、算子表示一种作用，一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ⊂X ，

若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定了一个算子T ，记为y=T(x)，y 为x 的像，x 为y 的原像。

13、算子的范数：设T 为有界线性算子，则对一切x ∈D(T)，使不等式||Tx||Y ≤M||x||X 的正数M 的下确界称为T 的范数，||T||=sup||Tx||/||x||，||x||≠0。直观的理解就是||x||的最大放大率。 ★14、根据线性算子零空间的定义：对线性算子T ：E →E 1，必有T0=0，则称集合{x ∈E|Tx=0}为T 的零空间，它是E 的线性子空间，并不一定是值域E 1的子空间。 15、如果存在一正常数M ，使得对每一个x ∈D(T)，都有||Tx||Y ≤M||x||X ，则称T 为有界算子。 无界算子：设算子T ：C 1[0，1]→C[0，1]定义为：(Tx)(t)=x '(t)，则T 是线性算子，若视C 1[0，1]为C[0，1]的子空间，则T 是无界的。

16、设{T n }=L(X ，Y)，T ∈L(X ，Y)，如果对任何一个x ∈X ，均有||T n x-Tx||→0(n →∞)，则T n 弱收敛于T 。

17、L(X ，Y)是BANACH 空间。

*18、压缩映像原理又叫BANACH 不动点定理，其具体内容如下：设X 为BANACH 空间，F 为X →X 的算子，且D(F)∩R(F)≠Φ，如果x *∈X ，满足F(x *)=x *，称x *为F 的不动点。 设集合Q ⊂D(F)，如果存在常数q ∈(0，1)使得对任何x '，x ''∈Q ，有||F(x ')-F(x '')||≤q||x '-x ''||，称F 为Q 上的压缩算子，q 为压缩系。

压缩映像原理：设算子F 映BANACH 空间X 的闭子集Q 为其自身且F 为压缩算子，压缩系为q ，则算子F 在Q 内存在唯一的不动点x *，若x 0为Q 内的任意点，作序列x n+1=F(x n )，n=0，1，2，…，则{x n }∈Q ，x n →x *，而且有估计||x n -x *||≤q/(1-q)||F(x n )-F(x 0)||。简单地说即赋范空间的完备子集上压缩映射存在唯一的不动点，且该不动点可由该完备子集上的任一点作为初始值用迭代法得到。

19、设X 是实数域上的线性赋范空间，D 是X 的线性子空间，f:D →R ，如果f 满足：对任何α，β∈R ，x ，y ∈D ，f(αx+βy)=αf(x)+βf(y)，则f 是D 上的一个线性泛函，或者说由X →R 的算子为泛函。泛函f 的范数定义如下：||f||=|f|=sup|f(x)|(||x||=1)=sup(|f(x)|/||x||)(||x||≠0)=sup|f(x)|(||x||≤1)，并且有|f(x)|≤||f||×||x||。

20、定义在整个线性赋范空间X 上的所有有界线性泛函的全体构成的空间L(X ，R)称为空间X 的共轭空间，又叫对偶空间，其是完备的。

21、弱收敛：X 为线性赋范空间，{x n }⊂X ，x 0∈X ，如果对任何一个f ∈x *均有

0lim ()()n n f x f x ->∞

=，则称{x n }弱收敛于x 0。弱收敛不一定强收敛，强收敛一定弱收敛。

22、泛函的GATEAUR 微分：设X 为线性赋范空间，x 0∈X ，f(x)的x 0及其领域内有定义，如果对任意h ∈X ，极限：000

()()

lim

t f x th f x t

->+-存在，则称f(x)在x 0处对方向h 存在

GA TEAUR 导数，记为0(,)f x h δ。又称为泛函f(x)在x 0处对于方向h 的一阶变分。 23、0(,)f x h δ称为泛函f(x)在x 0处对于方向h 的一阶变分。令0()(),t f x th φ=+则

'00)

()(0)

(0)lim

(,)t t f x h t

φφφδ->-==。

24、''

'

0x x

d g g dt -

=