大连理工大学泛函分析复习题与答案

泛函分析期末复习题和答案（2005-2006年度）此为答案 复习题在后面1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x ，y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。

子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。

3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L ，则集合x 0+L={x 0+l ，l ∈L}称为E 中一个线性流形。

4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x ，y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。

5、 设x ，y 是线性空间E 中的两个元素，d(x ，y)为其之间的距离，它必须满足以下条件：（1） 非负性：d(x ，y)＞0，且d(x ，y)＝0＜―――＞x=y （2） 对称性：d(x ，y)=d(y ，x)（3） 三角不等式：d(x ，y)≤d(x ，z)+d(y ，z) for every x ，y ，z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义：设x={x 1，x 2，…x n }T ，y={y 1y 2，…y n }Td 2(x ，y)=(21||niii x y=-∑)1/2d 1(x ，y)=1||ni i i x y =-∑d p (x ，y) = (1||np iii x y=-∑ )1/p d ∞(x ，y)=1max ||i i i nx y ≤≤- 6、距离空间(x ，d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ，x 0)→0(n →∞)，这时记作0lim nn xx -->∞=，或简单地记作x n →x 07、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0，且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||，λ为常数（3）||x+y||≤||x||+||y||，for every x ，y ∈E8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0，总存在自然数N ，使得当n>N ，m>N 时，均有|x m -x n |<ε，则称序列{x n }是E 中的基本列。

若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。

线性赋范空间中的基本列不一定收敛。

9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。

10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。

11、L 2（a ，b ）为定义在(a ，b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a ，b ），2|()|baf t dt⎰＜∞。

当L 2（a ，b ）中内积的定义为（f ，g ）=_____()()baf tg t dt ⎰(其中f(t)，g(t)∈L 2（a ，b ）)时其为Hilbert 空间。

★ 12、算子表示一种作用，一种映射。

设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ⊂X ，若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定了一个算子T ，记为y=T(x)，y 为x 的像，x 为y 的原像。

13、算子的范数：设T 为有界线性算子，则对一切x ∈D(T)，使不等式||Tx||Y ≤M||x||X 的正数M 的下确界称为T 的范数，||T||=sup||Tx||/||x||，||x||≠0。

直观的理解就是||x||的最大放大率。

★14、根据线性算子零空间的定义：对线性算子T ：E →E 1，必有T0=0，则称集合{x ∈E|Tx=0}为T 的零空间，它是E 的线性子空间，并不一定是值域E 1的子空间。

15、如果存在一正常数M ，使得对每一个x ∈D(T)，都有||Tx||Y ≤M||x||X ，则称T 为有界算子。

无界算子：设算子T ：C 1[0，1]→C[0，1]定义为：(Tx)(t)=x '(t)，则T 是线性算子，若视C 1[0，1]为C[0，1]的子空间，则T 是无界的。

16、设{T n }=L(X ，Y)，T ∈L(X ，Y)，如果对任何一个x ∈X ，均有||T n x-Tx||→0(n →∞)，则T n 弱收敛于T 。

17、L(X ，Y)是BANACH 空间。

*18、压缩映像原理又叫BANACH 不动点定理，其具体内容如下：设X 为BANACH 空间，F 为X →X 的算子，且D(F)∩R(F)≠Φ，如果x *∈X ，满足F(x *)=x *，称x *为F 的不动点。

设集合Q ⊂D(F)，如果存在常数q ∈(0，1)使得对任何x '，x ''∈Q ，有||F(x ')-F(x '')||≤q||x '-x ''||，称F 为Q 上的压缩算子，q 为压缩系。

压缩映像原理：设算子F 映BANACH 空间X 的闭子集Q 为其自身且F 为压缩算子，压缩系为q ，则算子F 在Q 内存在唯一的不动点x *，若x 0为Q 内的任意点，作序列x n+1=F(x n )，n=0，1，2，…，则{x n }∈Q ，x n →x *，而且有估计||x n -x *||≤q/(1-q)||F(x n )-F(x 0)||。

简单地说即赋范空间的完备子集上压缩映射存在唯一的不动点，且该不动点可由该完备子集上的任一点作为初始值用迭代法得到。

19、设X 是实数域上的线性赋范空间，D 是X 的线性子空间，f:D →R ，如果f 满足：对任何α，β∈R ，x ，y ∈D ，f(αx+βy)=αf(x)+βf(y)，则f 是D 上的一个线性泛函，或者说由X →R 的算子为泛函。

泛函f 的范数定义如下：||f||=|f|=sup|f(x)|(||x||=1)=sup(|f(x)|/||x||)(||x||≠0)=sup|f(x)|(||x||≤1)，并且有|f(x)|≤||f||×||x||。

20、定义在整个线性赋范空间X 上的所有有界线性泛函的全体构成的空间L(X ，R)称为空间X 的共轭空间，又叫对偶空间，其是完备的。

21、弱收敛：X 为线性赋范空间，{x n }⊂X ，x 0∈X ，如果对任何一个f ∈x *均有0lim ()()n n f x f x ->∞=，则称{x n }弱收敛于x 0。

弱收敛不一定强收敛，强收敛一定弱收敛。

22、泛函的GATEAUR 微分：设X 为线性赋范空间，x 0∈X ，f(x)的x 0及其领域内有定义，如果对任意h ∈X ，极限：000()()limt f x th f x t->+-存在，则称f(x)在x 0处对方向h 存在GA TEAUR 导数，记为0(,)f x h δ。

又称为泛函f(x)在x 0处对于方向h 的一阶变分。

23、0(,)f x h δ称为泛函f(x)在x 0处对于方向h 的一阶变分。

令0()(),t f x th φ=+则'00)()(0)(0)lim(,)t t f x h tφφφδ->-==。

24、'''0x xd g g dt -=25、应变能密度：0()()ij kl kl ij ij W d εεσεε=⎰ 应变余能密度：0()ijij ij c ijW d σεσσ=⎰其关系如下图所示： σ26的本质是：有限元=瑞兹法+具有局部紧支集27、,,1[()](),()2i ij i i i ij i j j i V V S u x W dV f u dV P u ds u u σπεε-=--=+⎰⎰⎰，其中[()]u x π为系统的总势能，()ij V W dV ε⎰为应变能，后两项为外力势能，f i 为体积力分量，i P -为给定S σ边界上的外力。

最小势能原理：在所有满足边界条件(i i u u -= on S u )和必要的连续性条件的位移场中，系统的总势能最小，即对所有可能的位移，真实位移使得系统势能()u π最小。

其基本的未知函数是位移场u i ，其应该满足：(1)单值、连续，满足适当的可微性，应该满足小位移应变关系，,,1/2()ij i j j i u u ε=+。

(2)必须满足本质边界条件。

边界位移连续条件，即：i i u u -= on u S 。

推导与证明过程如下：把Π取一阶变分： δΠ=()ij i i i i ij i i i i VVs VV s ijWW dV f u dV p u ds dV f u dV P u ds σσδεδδδδεδδε∂--=--∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中：,,,,,,,(1/21/2)1/21/2[()]ij ij ij ij i j j i V V V ij ij i j ij j i ij i j ij i j ij j i VVVVWdV dV u u dV u dV u dV u dV u u dVδεσδεσδδεσδσδσδσδσδ∂==+∂=+==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰而,()()uij i j ij i j ij j i ij j i Vss s u dV u n ds n u ds n u ds σσδσδσδσδ==+⎰⎰⎰⎰由于在s u 上i i u u =为已知，则uij j i s n u ds σδ⎰=0 所以δΠ=,ij j i ij j i i i i i s VVs n u ds u dV f u dV p u ds σσσδσδδδδ---⎰⎰⎰⎰ 由δΠ=0得,0ij j i f σ+= on Ωij j i n p σ= on u S即极值点满足应力平衡条件，则其是真实的位移。

下面证明此极小值是Π的最小值： 设正确解是u i ，，其它满足位移边界条件的容许位移是u i *，则u i *=u i ，+δu i ，则 εij *=εij +δεij ，由此得到：Π*=Π+δΠ+δ2Π 其中δΠ=0，δ2Π=()ijV W dV δε⎰≥0，所以Π*≥Π，则极小值即是最小值。

证明完毕。

28、系统的总余能()()uc ciji ij j Vs W dV u n ds σσσ∏=-⎰⎰，其中第一项为系统的应变余能，第二项与给定位移有关。

最小余能原理即对满足,0ij j i f σ+= in Ω和ij j i n p σ= onu S 的应力场(满足适当的光滑性)，真实的位移场使系统的总余能最小。

其基本未知函数是应力场ij σ，对其要求为,0ij j i f σ+= in Ωij j i n p σ= on u S证明如下：对()c σ∏取一阶变分：()()uij c ij i ij j Vs ijW dV u n ds σδσδσδσσ∂∏=-∂⎰⎰，其中,,,,,1/2()()cij ij ij i j j i ij i j ij i ij j i ij j V V V V V V ij W dV dV u u dV u dV u dV u dV δσεδσδσδσδσδσσ∂==+==-∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰由高斯定理可知：,()i ij j i ij j Vsu dV u n ds δσδσ=⎰⎰ 在边界面S σ上，ij j i n p σ=是已知的，所以0ij j i n P δσδ==，则,()ui ij j i ij j V s u dV u n ds δσδσ=⎰⎰同理，由于,0ij j i f σ+=，其中f I 是给定的，所以在Ω内，,ij j δσ=0。