泛函分析复习题

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泛函分析考试题型及答案

泛函分析考试题型及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数空间E为所有连续函数的集合，定义泛函F(u)=∫₀¹u(x)dx，则F(u)是线性的。

A. 正确B. 错误答案：A2. 每一个线性泛函都可以表示为一个内积。

A. 正确B. 错误答案：B3. 泛函分析中的“泛函”一词指的是函数的函数。

A. 正确B. 错误答案：A4. 弱收敛和强收敛是等价的。

A. 正确B. 错误答案：B5. 紧算子总是有界算子。

A. 正确B. 错误答案：A6. 每一个闭算子都是有界的。

A. 正确B. 错误答案：B7. 每一个有界线性算子都是紧算子。

A. 正确B. 错误答案：B8. 每一个线性泛函都可以用Riesz表示定理表示。

A. 正确B. 错误答案：A9. 每一个线性算子都可以分解为一个紧算子和一个有界算子的和。

A. 正确B. 错误答案：B10. 每一个线性算子都可以分解为一个有界算子和一个紧算子的和。

A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设X是赋范线性空间，如果对于X中的每一个序列{x_n}，都有‖x_n‖→0当且仅当x_n→0，则称X是______空间。

答案：完备2. 设T是线性算子，如果T(X)是X的闭子空间，则称T是______算子。

答案：闭3. 设E是Hilbert空间，如果对于每一个x∈E，都有∥Tx∥≥∥x∥，则称T是______算子。

答案：正4. 设E是Banach空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑‖x_n‖<∞当且仅当∑x_n收敛，则称E是______空间。

答案：自反5. 设E是线性空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑x_n收敛当且仅当∑‖x_n‖<∞，则称E是______空间。

答案：序列完备三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述Hahn-Banach定理的内容。

答案：Hahn-Banach定理指出，如果X是一个赋范线性空间，p是X 的一个线性子空间，f是p上的一个线性泛函，并且存在一个常数M使得对于所有x∈p，有|f(x)|≤M‖x‖，则存在X上的一个线性泛函F，使得F|p=f，并且对于所有x∈X，有|F(x)|≤M‖x‖。

泛函分析期中复习题

|K(t, s, ω1(s)) − K(t, s, ω2(s))| ≤ k||ω1 − ω2||.
证明当 |λ| 足够小时, 此方程存在唯一解 x0 ∈ C[a, b].
5. 设 {aij}(i, j = 1, 2, · · · , n) 是一组实数, 满足条件
∑n (aij − δij)2 < 1,
∫1
∫1
1
1
∥x∥1 = ( |x(t)|dt) 2 , ∥x∥2 = ( (1 + t)|x(t)|dt) 2 .
0
0
求证 ∥ · ∥1 和 ∥ · ∥2 是 C[0, 1] 中两个等价的范数.
七. Hölder 不等式和 Minkowski 不等式.
1. 判断正误.
(1) 若 1 ≤ p ≤ q, 则 lp ⊂ lq. (
∑k ∥x∥ = max x(i)(t) ,
a≤t≤b i=0
其中 x(0)(t) 表示 x(t), 求证 Ck[a, b] 成为赋范空间.
4. 设 k 是非负整数, 证明 [a, b] 上次数不超过 k 的多项式全体 Pk[a, b]
是 C[a, b] 的闭子空间.
5. 对 x(t) ∈ C[0, 1], 令
度量.
二. 可分性.
1. 判断正误.
(1) 连续函数空间 C[a, b] 是可分的. (
)
(2) [a, b] 上的多项式函数空间 P [a, b] 在度量 d(x(t), y(t)) = maxt∈[a,b] |x(t)−
y(t)| 下可分. (
)
2. 证明: lp(1 ≤ p < ∞) 是可分空间.
.
(2) 对于每个有界序列 (αn), 定义线性算子 T : lp → lp 为

泛函分析(含答案)

山东师范大学试题（时间：120分钟共100分）课程编号： 4081331 课程名称：数学分析方法适用年级： 2004学制: 四适用专业：数学与应用数学试题类别：补考考生注意事项1、全题三个大题，22个小题。

判断正确（√）与错误（×）（本题10个小题，每题3分，共30分）：1、（）距离空间X 中的序列{}n x 收敛于X x ∈*的充要条件是{}n x 的任意子列收敛于*x ；t P311 22、（）任一离散空间必是完备的；t 311 93、（）全有界集不一定可分；f 312 214、（）相对紧集的闭包是紧集； t 313 345、（）完备距离空间的闭子空间可能是完备的；f 313 296、（)X 是完备距离空间，闭X F F T ⊂→:，如果存在[)1,0∈α，使()()F y x y x Ty Tx ∈∀<,,,,ρρ，则 F x ∈∃*!使得**x Tx =；f 280 Th17、（）有界数列空间m 不是可分的；t 292 7.6.5 8、（）函相对紧集未必是有界的；f 294 系19、（）紧有界线性算子T 连续⇔T 有界； t318 Th210、（）在空间[)[]3,21,0 =X ，()y x y x -=,ρ中，[)1,0=F 是相对紧集。

f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n 11不收敛（本题共五个小题，每小题14分，共70分）：1、证明：连续函数空间[]b a C ,在范数()x f f bx a ≤≤=max 下构成一Banach 空间。

证1 显然[]b a C ,为一线性空间；2 ()()()00max 0;0max ≡⇔=⇔=≥=≤≤≤≤x f x f f x f f bx a bx a ；()()f x f x f f bx a bx a αααα===≤≤≤≤max max()()()()g f x g x f x g x f g f bx a bx a bx a +=+≤+=+≤≤≤≤≤≤max max max因而[]b a C ,为一赋范线性空间3 下证[]b a C ,的完备性设{}n f 是[]b a C ,的一基本列，及0>∀ε，0>∃N ，使得N n m >,时，有()ερ<-=n m n m f f f f ,。

泛函分析期末试题及答案

泛函分析期末试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是泛函分析的主要研究对象？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 点集答案：D2. 泛函是指将一个向量空间的元素映射到一个标量的函数。

以下哪个选项是泛函的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 函数空间的对偶空间答案：C3. 在泛函分析中，范数是一种度量向量空间中向量大小的方法。

以下哪个选项是范数的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 函数空间的对偶范数答案：B4. 下列哪个不是泛函分析中的基本定理？A. 嵌入定理B. 开铃定理C. Hahn-Banach定理D. Banach-Steinhaus定理答案：B5. 泛函分析中的内积是指满足一定条件的映射。

以下哪个选项是内积的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 内积空间答案：D二、填空题1. 完成下列范数的定义：范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。

2. 填写完整的Hahn-Banach定理的表述：设X是一个实或复数的线性空间，Y是X的一个线性子空间，f是定义在Y上的线性泛函，对于所有的y∈Y，有f(y) ≤ p(y)，其中p是X上的一个次线性泛函，且满足p(y) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，则存在一个定义在整个X上的线性泛函F，满足F(x) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，并且在Y上，F和f的限制是相等的。

三、计算题1. 对于给定的函数空间C[0,1]，计算函数f(x) = x^2在C[0,1]上的范数。

解答：根据范数的定义，范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。

(完整word版)理工大泛函分析复习题

一、（10分）设(,)d x y 为空间X 上的距离。

证明(,)(,)1(,)d x y d x y d x y =+ 也是X 上的距离。

1、求证为空间。

（其中为空间, 为空间）2、 S 是由一切序列组成的集合, 在S 中定义距离为3、 , 求证S 是一个完备的距离空间。

4、 Hilbert 空间X 中的正交投影算子为线性有界算子。

5、附加题开映射定理( ) 设都是空间, 若是一个满射, 则是开映射。

Hahn —Banach 延拓定理( ) 设是空间, 是的线性子空间, 是定义在上的有界线性泛函, 则在上必有有界线性泛函满足：()()()()()()()000012f x f x x X f f =∀∈=延拓条件；保范条件，其中00f 表示0f 在0X 上的范数。

闭图像定理( ) 设都是空间, 若是的闭线性算子, 并且是闭的, 则是连续的。

共鸣定理( ) 设是空间, 是空间, 如果, 那么存在常数 , 使得()A M A W ≤∀∈。

五、（10分）在上定义内积:（1）如果21(),6f x x x =-+求||||f ；（2）证明任一函数()g x a bx =+都正交于21()6f x x x =-+。

六、（10分）设为Hilbert 空间的闭子空间, 证明对每个必存在唯一的有0inf y Mx x x y ∈-=- 七、（15分）设 , 求证: 。

八、（15分）简答题1.试说明与中函数的差异；一、2.泛函分析也称无穷维分析, 为什么要研究无穷维分析, 试举例说明；3.Hilbert 空间是最接近有限维Euclid 空间的空间，请做简要说明。

二、在上定义内积 ,若记为中奇函数全体, 为中偶函数全体, 求证：且。

三、设为内积空间中的一个稠密子集, 且 , 证明。

在中赋予距离问是完备空间吗？为什么？设若是从的算子, 计算若是从的算子再求。

泛函分析总复习

泛函分析总复习（按与课本先后顺序排列）1、设M 是n R 中的有界闭集，映射M M T →:满足),(),(y x Ty Tx ρρ<()y x M y x ≠∈∀,,。

求证T 在M 中存在唯一的不动点。

证明：因为),(),(00x x Tx Tx ρρ<，所以0),(0),(00→⇒→Tx Tx x x ρρ。

再由三角不等式，得到),(),(),(),(0000Tx Tx x x Tx x Tx x ρρρρ+≤-。

由此可见，),()(Tx x x f defρ==在M 上连续。

因为M 是n R 中的有界闭集，所以Mx ∈∃0，使得),(m i n )(m i n )(),(000Tx x x f x f Tx x Mx Mx ρρ∈∈===。

如果0),(00=Tx x ρ，那么0x 就是不动点。

今假设0),(00>Tx x ρ。

根据假设，我们有),(min ),(),(00020Tx x Tx x x T Tx Mx ρρρ∈=<。

但是M x T Tx ∈020,，这与),(00Tx x ρ是最小值矛盾。

故0),(00=Tx x ρ，即存在不动点0x 。

不动点的唯一性是显然的。

事实上，如果存在两个不动点1x ，2x ，则从),(),(),(212121x x Tx Tx x x ρρρ<<即得矛盾。

2、对于积分方程)()()(1t y ds s x e t x s t =∈⎰-λ，其中]1,0[)(C t y ∈为一给定函数，λ为常数，1<λ，求证存在唯一解]1,0[)(C t x ∈。

证明：考虑由)()()(1t y ds s x e t x s t =∈⎰-λ),()()(10t y e ds s x e t x e tst---=-⇒⎰λ),()(),()(t y e t t x e t z t t def--===ζ则原方程等价于ds s z t t z ⎰+=1)()()(λζ。

泛函分析习题

泛函分析复习资料一、判断题（每小题4分，共20分）1、设X 是线性赋范空间，X 中的单位球是列紧集，则X 必为有限维。

( )2、距离空间中的列紧集都是可分的。

( )3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。

( )4、任何一个Hilbert 空间都有正交基。

( )5、设X 是线性赋范空间，T 是X X 的有界线性算子，若T 既是单射又是满射，则T 有逆算子。

( )二、选择题（每小题5分，共25分）1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（）.A ．10<<-≤-αα，　y x Ty Tx B.1≥-≤-αα，　y x Ty Tx C.10<<-≥-αα，　y x Ty TxD.1≥-≥-αα，　y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤3、下列关于距离空间中的点列的说法哪个是错误的（）.A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列4、巴拿赫空间X的子集空间Y为完备的充要条件是（）. A．集X是开的 B.集Y是开的C.集X是闭的D.集Y是闭的5、设(1)pl p<<+∞的共轭空间为q l，则有11p q+的值为（）.A．1- B.12C.1 D.12-三、填空题（每小题5分，共25分）1、距离空间中的每一个收敛点列都是（）。

2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。

3、1l的共轭空间是（）。

4、设X按内积空间<x,y>成为内积空间，则对于X中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。

5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。

泛函分析试题及答案

泛函分析试题及答案一、选择题1. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数对于输入变量的敏感程度？A. 泛函B. 导数C. 凸函数D. 可测函数答案：B. 导数2. 设X和Y是两个Banach空间，f:X→Y是一个线性算子。

以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是可逆的B. f是连续的C. f是紧致的D. f是自共轭的答案：B. f是连续的3. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数在每个点上的局部模式与全局模式之间的一致性？A. 可微性B. 凸性C. 全纯性D. 一致连续性答案：B. 凸性4. 设X和Y是两个赋范空间，f:X→Y是一个线性算子。

以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤C||x||B. 对于每个有界集A ⊂ X，f(A)是有界集C. f是连续的D. f是满射答案：A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤ C||x||二、填空题1. 在Hilbert空间中，内积运算满足线性性和_____________性。

答案：共轭对称性2. 设X是一个有界完备度量空间，那么X是一个____________空间。

答案：Banach空间3. 在泛函分析中，将一个函数的导数定义为其_____________。

答案：弱导数4. 设X是一个线性空间，D是X上的一个有界线性算子。

如果对于所有x和y都有⟨Dx, y⟩ = ⟨x, Dy⟩，那么D被称为______________。

答案：自伴算子三、解答题1. 请简要说明什么是范数，并给出一些范数的例子。

范数是定义在一个线性空间上的一种函数，用于衡量该空间中的向量的大小。

它满足以下三个性质：- 非负性：对于任意向量x，其范数必须大于等于0，即||x|| ≥ 0，并且当且仅当x为零向量时，范数等于0。

- 齐次性：对于任意向量x和任意实数α，有||αx|| = |α| ||x||，其中|α|表示α的绝对值。

《泛函分析》课程考试试题

《泛函分析》课程考试试题学年第学期班级时量：100分钟总分100分考试形式开卷一、判断题（以下各题中，正确的打错误打X,每题5分，共30分）.如果离散度量空间1可数，那么X 是可分空间.（）1 .赋范线性空间不是度量空间.（）.设X 是复内积空间，x, yeX,那么||x+y 『=||x 『+|| y 『的充要条件是（）82 .设/〃（p 〉0）表示满足Z ㈤"< 8的实（或复）数列X = M 的全体，对/〃中点X = ■｝ k=T 5,设7为赋范线性空间X 的子空间0（7）到赋范线性空间y 中的线性算子，那么T = sup Tx .料国.设｛&｝是Hilbert 空间X 中可数规范正交系，那么对每个XE X,成立8G£卜,哂=卜『/=1二、证明题（此题共6个小题，请任选5个小题作答，每题14分，共70分）6 .设T 是度量空间X 到X 中的压缩映射，那么对任意正整数— 7〃也是压缩映射.7 .设X 是完备度量空间，A 是X 到X 中映射，假设且那么映射A 有唯一不动点. 8 .设sup|«,J <oo,在尸中定义线性算子y = Tx, q=a£, i = l,2,…，其中 n>\x =，・・・，〃，・・・),y = (〃],%,・・・,〃〃，・・・)，那么T 是有界线性算子，且||T|| = supMn>\.设X 是实可分的Hilbert 空间，证明乃中存在一个可数的完全规范正交系｛〃｝.9 .设X 是赋范线性空间，与，九2，毛是1中3个线性无关向量，是一组数，假设对任意数彳"2，%3，有那么在X 上存在满足以下条件（1）、（2）的线性泛函（1）/（工,）=4，u = l, 2,3⑵II 小L〃心叩d(A«心，)-°“)，d(x, y) 〃心叩d(A«心，)-°“)，d(x, y) (77 f oo) 定义人定义人 XI 成为完备的赋范线性空间.k=10.设（（以=1,2,・•，是Banach空间X到赋范线性空间丫中有界线性算子，假设对每个XE X,{7>}都收敛，令笈=1的7>,证明T是X到丫中有界线性算子.。

泛函分析试卷与答案

泛函分析试卷与答案【篇一：泛函分析习题参考答案】证明：显然为空间x上的距离，试证：~d(y,x)也是xd(y,x)?1?d(y,x)上的距离。

~~d(x,y)?0,并且d(x,y)?0d(x,y)0xy。

~~d(y,x)d(x,y)d(y,x)d(x,y)；1?d(y,x)1?d(x,y)t1?1?1?t1?t的单调增加性及再者，最后，由d(x,y)?d(x,z)?d(z,y)，可得~d(x,y)d(x,z)?d(z,y)d(x,z)d(z,y)d(x,y)1?d(x,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)~~d(x,z)d(z,y)d(x,z)?d(z,y)。

1?d(x,z)1?d(z,y)、设二p?1，xn?(?1(n),?,?i(n),?)?lp，n?1,2,?，x?(?1,?,?i,?)?lp，则n??时，p??d(xn,x)i(n)??i??0的充要条件为(1)n??时，?i(n)??i，i?1,2,?；(2)0，i1存在n?0，使得i?n?1i(n)p对任何自然数n成立。

(n)(n)必要性证明：由d(x,x)?ni??i??0可知，?i??i，i?1,2,?。

i1p由x?(?1,?,?i,?)?l。

p可知，，存在n1?0，使得i?n1?1p?(n)ii?(p?i?1pi(p2，并且n?n1时，2p由此可得，i?n1?1i(n)ppppi(n)??ii????p对n?n1成立。

i?n1?1i?n1?1p对于n?1,2,?n1，存在n2?0，i?n2?1i(n)pp。

取n?max?n1,n2?，则i?n?1(n)pip对任何自然数n成立。

0，存在k?0，使得充分性证明：由条件可知，i?k?1时，k(n)pi(2ip对任何自然数n成立，并且i?k?1pi(p2。

由(n)i??i可知，存在n?0，使得n?n i?1(n)ipp，并且d(xn,x)pi?1(n)i??ipi?1k(n)i??i?pi?k?1pi(n)ipi(n)??ii?1kp(n)ppp?(i)?(i)p2?p。

泛函分析考研试题及答案

泛函分析考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项是泛函分析中线性算子的定义？A. 定义在函数空间上的映射B. 满足加法和乘法封闭性的映射C. 满足加法和乘法封闭性的线性映射D. 定义在向量空间上的映射答案：C2. 泛函分析中，紧性的定义是什么？A. 任意序列都有收敛子序列B. 任意序列都有收敛子序列，且收敛到该空间中的点C. 任意开覆盖都有有限子覆盖D. 任意闭集都是紧致的答案：B3. 下列哪个定理是泛函分析中关于线性算子的基本定理？A. 泰勒定理B. 格林定理C. 霍德尔定理D. 里斯表示定理答案：D4. 在泛函分析中，下列哪个概念用于描述空间的完备性？A. 可分性B. 完备性C. 紧性D. 连续性答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 定义在函数空间上的线性算子，如果满足______，则称其为有界算子。

答案：对于任意的x，存在常数M，使得||Tx||≤M||x||2. 希尔伯特空间中的Riesz表示定理表明，对于任意的线性泛函f，存在唯一的向量______，使得f(x)=<x,y>。

答案：y3. 线性算子的谱定义为使得______的λ的集合。

答案：(A-λI)^{-1}不存在4. 紧算子的一个重要性质是其谱中只有______点。

答案：0三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述泛函分析中弱收敛和强收敛的区别。

答案：弱收敛是指序列的泛函极限存在，即对于任意的连续线性泛函f，序列的泛函极限存在。

强收敛则要求序列在原空间中收敛，即存在极限点。

2. 请解释什么是Banach空间。

答案：Banach空间是完备的赋范线性空间，即对于空间中的任意柯西序列，都存在极限点在该空间中。

3. 什么是紧算子？请举例说明。

答案：紧算子是将任意有界集映射为相对紧集的线性算子。

例如，定义在L^2空间上的卷积算子就是紧算子。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 设线性算子A: L^2[0,1]→L^2[0,1]定义为(Af)(x)=∫₀¹f(t)dt，求A的谱。

泛函分析习题

泛函分析练习题一名词解释：1.范数与线性赋范空间2.无处稠密子集与第一纲集3.紧集与相对紧集4.开映射5.共轭算子6. 内点、内部：7. 线性算子、线性范函：8. 自然嵌入算子9. 共轭算子10. 内积与内积空间：11. 弱有界集：12. 紧算子：13. 凸集14. 有界集15. 距离16. 可分17. Cauchy列18.自反空间二、定理叙述1、压缩映射原理2. 共鸣定理3.逆算子定理4. 闭图像定理5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理6、Baire 纲定理7、开映射定理8、Riesz 表现定理三证明题：1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ=+也使X 成为度量空间。

证明：,,x y z X ∀∈显然有（1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。

（2）(,)(,)d x y d y x =（3）由1()111t f t t t ==-++，(0)t >关于t 单调递增，得(,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,)x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++(,)(,)1(,)1(,)x y y z x y y z ρρρρ≤+++(,)(,)d x y d y z =+故d 也是X 上的度量。

2，设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。

证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-⋅-已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。

故有2|(,)(,)|0n n x y x y -→即 (,)(,)n n x y x y →。

3.考虑[,]C a b 上的非线性积分方程()(,,())()bax t k t s x s ds t λϕ-=⎰其中[,],(,,)C a b k t s ϕω∈是[,][,]a b a b R ⨯⨯上的连续函数，满足1212|(,,)(,,)|||k t s k t s b ωωωω-≤-证明当||λ足够小时，此方程存在唯一解0[,]x C a b ∈。

(完整word版)泛函分析题目集

泛函分析复习题一．选择题：1. 设 },,,,{21 n e e e 是希尔伯特空间H 上的一组规范正交系，则下列论断未必正确的是 ( )A. },,,,{21 n e e e 线性无关；B. 对任何的H x ∈，都有∑∞==122|),(|n n xe x ；C. 任意两组数N a a a ,,,21 ，N b b b ,,,21 都有 ∑∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛Nn n n N n N n n n n n b a e b e a 111,；D. ()⎩⎨⎧≠==ji j i e e j i ,0,1,， ,3,2,1,=j i 。

2. 下列关于p L 空间（1≥p 且2≠p ）的论述不正确的是（）A. pL 空间是一个赋范线性空间；B. p L 空间是完备的；C. p L 空间是距离空间；D. p L 空间是希尔伯特空间。

3. 下列关于2L 空间的论述不正确的是（）A. 2L 空间是一个赋范线性空间；B. 2L 空间不一定完备的；C. 2L 空间是内积空间；D. 2L 空间是可分的。

4. 设X为一个实赋范线性空间，⋅为他上面的范数，则下面不正确的是（）A. 对任何X x ∈，都有0≥x ，B. 对任何X x ∈，R a ∈都有x a ax ||=，C. 对任何X x ∈，X y ∈，都有222y x y x +=+， D. 对任何X x ∈，X y ∈，都有y x y x +≤+。

5. 设X 为一个距离空间，下面不正确的是（）A. X 和空集φ都是开集；B. 任意多个开集的并还是开集；C. 任意多个开集的交也是开集；D. 有限多个开集的交也是开集。

6. 设X 为一个距离空间，下面不正确的是（）A. X 和空集φ都是闭集；B. 任意多个闭集的并还是闭集；C. 任意多个闭集的交也是闭集；D. 有限多个闭集的并也是闭集。

7. 下面论述正确的是（）A. 紧集不一定是有界的。

B. 紧集的子集一定是紧集。

泛函分析试题及答案

泛函分析试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间的公理之一？A. 封闭性B. 加法结合律C. 交换律D. 分配律答案：A2. 一个线性泛函在定义域内是连续的，那么它在定义域内也是：A. 有界的B. 无界的C. 可微的D. 可导的答案：A3. 紧算子一定是：A. 有界算子B. 单射算子C. 满射算子D. 可逆算子答案：A4. 希尔伯特空间中，下列哪个性质不是正交性的定义？A. 正交向量的长度不为零B. 正交向量的内积为零C. 正交向量的数量可以是无限的D. 正交向量在同一个空间中答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是巴拿赫空间，并给出一个例子。

答案：巴拿赫空间是完备的赋范线性空间，即在该空间中，任何柯西序列都收敛于该空间中的一个点。

一个典型的例子是所有连续函数构成的空间，赋予最大范数。

2. 什么是紧算子？请解释其性质。

答案：紧算子是定义在巴拿赫空间上的有界线性算子，其值域是原空间的一个闭子空间，并且是可分的。

紧算子的一个重要性质是它们将单位球面映射到一个相对紧集。

三、计算题（每题20分，共40分）1. 设线性算子A在希尔伯特空间H上定义，且满足A^*A = I，证明A是单射的。

答案：设x, y属于H，且Ax = Ay，那么A^*(Ax) = A^*(Ay)，即x = y。

因此，A是单射的。

2. 给定线性泛函f在希尔伯特空间H上定义，且满足f(x) = <x, y>，其中y是H中的一个固定向量。

证明f是连续的。

答案：由于f(x) = <x, y>，根据内积的性质，|f(x)| ≤ ||x||||y||，其中||y||是y的范数。

因此，f在H上是连续的。

四、论述题（每题20分，共20分）1. 论述希尔伯特空间中正交投影算子的性质。

答案：希尔伯特空间中的正交投影算子P具有以下性质：- P是线性的。

- P是自伴的，即P^* = P。

泛函分析考试试卷.doc

泛函分析考试试卷选择题。

1、下列说法不正确的是（）A、n维欧式空间疋是可分空间B、全体有理数集为疋的可数稠密了集C、严是不可分空间D、若X为不可数集则离散度量空间X是可分的答案：D2、设T是度量空间（X,d）到度量空间（Y, d~）的映射，那么T在xocx连续的充要条件是（）A、：1 2 3 4 51 x n—x° (n-co)时,B、当Xn—Xo (mcc)时,C、当x0—>x n (n—)时,D、当x n—Xg(n—0)时，答案:D必有TxnfTxo (n—xx) 必有Tx()—>Tx n(n—>oo)必有Txn—>Tx°(n—>oo)必有Txn- T XQ(n—0)答案：原像是X中的开集2设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y屮的线性算了，则T为有界算子的充要条件是T是X上的____ 匚答案：连续算子。

3若T为复内积空间X上有界线性算子，那么T=0的充要条件是対一切xCX有 _________________________________________________________________________ 匚答案：（Tx, x）=04有界线性算子T的共馳算子尸也是有界线性算子，并且_『11。

答案：=5设仏｝是巴拿赫空间X上的一列泛函，如果仏｝在X的每点X处有界，那么｛仏｝ _______________________________________________________________________ o_答案：一致有界B 、(A*)*=A** D 、(aA)*=aA* 3、在度量空间屮有（）A 、柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列B 、柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列C 、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列D 、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列答案:C4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是（）A 、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间B 、 L p [a, b] （p>l ）是巴拿赫空间C 、空间卩是巴拿赫空间D 、赋范线性空间的共轨空间不是巴拿赫空间答案：D5、下列对共純算子性质描述错误的是（）A 、(A+B)*=A*+B*; C^ 当 X=Y 时,(AB)*=B*A* 答案：B 二、填空题1、度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上的连续映射的充要条件为Y 中的任意开集M 为三、判断题1、自伴算子一定为正常算子，正常算子不一定是自伴算子。

泛函备考复习题

泛函备考复习题1. 如果M 为数集A 的上（下）确界，那么A 中必有数列｛x n ｝，使lim n n x M →∞=证明：（先证明M 为数集A 的上确界的情况）因为M 为数集A 的上确界，根据上确界的定义，对于0,,x A εε∀>∃∈使得x M εε>-，那么取1nε=(n =1,2,…)，这样就可得到一个的数列{}1n n x A ∞=⊂，使得1n n x M >-。

而显然有1n n x M <+，所以对于10ε∀>，取11[]N ε=，当n >N 时，有1||n x M ε-<，即lim n n x M →∞=。

同理，当M 为数集A 的下确界的情况也一样。

2. 用有限覆盖定理证明：闭区域上连续函数必定一致连续 (康托定理：闭区间[a,b]上的连续函数()f x 必定一致连续)。

证明：对0[,]x a b ∀∈，因为()f x 在0x 点连续，所以对0ε∀>，必0δ∃> (一般0(,)x δδε=)，对于适合不等式02||x x δ'-<和02||x x δ''-<的一切x '和x ''有02|()()|f x f x ε'-<和02|()()|f x f x ε''-<，于是 000022||||||||x x x x x x x x x x δδδ'''''''''-=-+-≤-+-<+=， 000022|()()||()()()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x εεε'''''''''-=-+-≤-+-<+=这就是说：[,]a b 的任何一点0x 的邻域0/2(,)O x δ（a 点有右邻域，b 点有左邻域）内任意两点x '和x ''，都有|()()|f x f x ε'''-<。

泛函分析考试题型及答案

泛函分析考试题型及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间的基本元素？A. 向量B. 线性组合C. 线性映射D. 拓扑结构答案：D2. 在希尔伯特空间中，以下哪个性质不是内积空间必须具备的？A. 正定性B. 线性C. 对称性D. 交换性答案：D3. 下列哪个定理不是泛函分析中的基本定理？A. 赫尔德不等式B. 闵可夫斯基不等式C. 贝叶斯定理D. 一致有界性原理答案：C4. 巴拿赫空间是指完备的赋范线性空间，以下哪个条件不是巴拿赫空间必须满足的？A. 线性B. 赋范C. 完备性D. 有限维答案：D5. 在泛函分析中，紧算子是指将有界集映射到相对紧集的线性算子，以下哪个性质不是紧算子必须具备的？A. 线性B. 有界性C. 紧性D. 单射性答案：D6. 下列哪个概念不是泛函分析中的拓扑概念？A. 开集B. 闭集C. 连续性D. 线性映射答案：D7. 泛函分析中，下列哪个概念与巴拿赫空间无关？A. 赋范线性空间B. 完备性C. 紧性D. 线性答案：C8. 在泛函分析中，下列哪个性质不是线性泛函必须具备的？A. 线性B. 有界性C. 单射性D. 连续性答案：C9. 下列哪个定理不是泛函分析中解决方程问题的基本定理？A. 赫尔德定理B. 拉克斯-米尔格拉姆定理C. 贝祖定理D. 弗雷德霍姆选择定理答案：C10. 在泛函分析中，下列哪个概念不是线性算子的基本性质？A. 线性B. 有界性C. 紧性D. 可逆性答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 泛函分析中的线性空间必须满足向量加法和标量乘法的______性。

答案：封闭2. 希尔伯特空间中的内积必须满足正定性、线性、对称性和______性。

答案：共轭对称3. 巴拿赫空间是完备的______线性空间。

答案：赋范4. 紧算子将有界集映射到______集。

答案：相对紧5. 巴拿赫空间中的完备性是指空间中的每个柯西序列都收敛到空间内的某个元素，这种性质也称为______性。

泛函分析试题及答案

泛函分析试题及答案### 泛函分析试题及答案#### 一、选择题（每题5分，共20分）1. 泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间的概念？A. 线性组合B. 线性映射C. 线性泛函D. 非线性变换答案：D2. 在Banach空间中，以下哪个条件不是完备性的必要条件？A. 空间中的每个Cauchy序列都收敛于空间内B. 空间是完备的C. 空间中存在一个完备的度量D. 空间中的每个有界序列都有一个收敛的子序列答案：C3. 泛函分析中，Hilbert空间的完备性是相对于哪种范数？A. 欧几里得范数B. 赋范范数C. 内积诱导的范数D. 以上都是答案：C4. 下列哪个定理不是泛函分析中的基本定理？A. Hahn-Banach定理B. Riesz表示定理C. 闭图定理D. 微积分基本定理答案：D#### 二、填空题（每题5分，共20分）1. 线性泛函在定义域上的连续性等价于其在定义域的原点处的连续性，这是基于泛函分析中的________定理。

答案：Hahn-Banach2. 在Hilbert空间中，任意两个向量的内积满足平行四边形法则，即对于任意向量\( u \)和\( v \)，有\( \|u+v\|^2 + \|u-v\|^2 =2(\|u\|^2 + \|v\|^2) \)，这是基于________定理。

答案：平行四边形3. 线性算子的谱半径公式为\( r(T) = \lim_{n \to \infty}\|T^n\|^{1/n} \)，其中\( T \)是Banach空间上的有界线性算子，这是基于________定理。

答案：Gelfand公式4. 在泛函分析中，紧算子的定义是：如果对于空间中的每一个有界序列，其在算子下的像序列都有一个收敛的子序列，则称该算子为紧算子，这是基于________定理。

答案：Arzelà-Ascoli#### 三、简答题（每题15分，共30分）1. 简述Riesz表示定理的内容及其在泛函分析中的意义。

泛函分析期末考试题库及答案

泛函分析期末考试题库及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是泛函分析中的基本概念？A. 线性空间B. 线性算子C. 微分方程D. 范数答案：C2. 希尔伯特空间中的内积满足的性质不包括以下哪一项？A. 线性B. 对称性C. 正定性D. 可逆性答案：D3. 以下哪个是紧算子的性质？A. 有界B. 可逆C. 连续D. 可微答案：A4. 以下哪个定理是泛函分析中的基本定理？A. 泰勒定理B. 格林定理C. 里斯表示定理D. 牛顿-莱布尼茨定理答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 在泛函分析中，一个线性空间的基是一组线性______的向量。

答案：无关2. 一个线性算子是______的，如果它将一个有界集映射到一个有界集。

答案：有界3. 一个线性算子是______的，如果它将一个紧集映射到一个紧集。

答案：紧4. 一个线性算子是______的，如果它在某个线性空间上是连续的。

答案：连续三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述什么是线性空间，并给出其基本性质。

答案：线性空间是一个集合，其中的元素称为向量，满足加法和数乘两种运算，并且满足加法交换律、加法结合律、数乘分配律等性质。

2. 解释什么是紧算子，并给出一个例子。

答案：紧算子是一个线性算子，它将任意有界序列映射到一个收敛序列。

例如，考虑在L^2空间上的算子K，定义为K(f)(x) =∫f(t)sin(x-t)dt，它是一个紧算子。

3. 描述什么是希尔伯特空间，并说明其与欧几里得空间的关系。

答案：希尔伯特空间是一个完备的内积空间，它允许无限维向量的存在。

希尔伯特空间是欧几里得空间的推广，其中欧几里得空间是有限维的希尔伯特空间。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性算子A: L^2(0,1) → L^2(0,1)，定义为A(f)(x) =∫₀^x f(t)dt，证明A是一个紧算子。

答案：略2. 考虑在L^2(-1,1)上的算子B，定义为B(f)(x) = xf(x)，证明B是一个有界算子，并求出其范数。

实变函数与泛函分析总复习题

第一章复习题（一）一、判断题1、大人全体构成集合。

（× ）2、小个子全体构成集合。

（× ）3、所有集合都可用列举法表示。

（× ）4、所有集合都可用描述法表示。

（√ ）5、对任意集合A ，总有A ∅⊂。

（√ ）6、()A B B A -⋃=。

（× ）7、()()A B B A B B A A -⋃=⋃=-⋃。

（√ ） 8、若B A ⊆，则()A B B A -⋃=。

（√ ）9、c A A ⋂≠∅，c A A X ⋃=，其中X 表示全集。

（× ） 10、A B B A ⨯=⨯。

（× ）11、()c c c A B A B ⋃=⋃，()c c c A B A B ⋂=⋂。

（× ）12、()()()A B C A C B C ⋃⋂=⋂⋃⋂，()()()A B C A C B C ⋂⋃=⋃⋂⋃。

（√ ） 13、若A B ，B C ，则A C 。

（√ ） 14、若A B ，则A B =，反之亦然。

（√ ）15、若12A A A =⋃，12B B B =⋃，且11A B ，22A B ，则A B 。

（× ） 16、若A B ⊆，则A B ≤。

（√ ） 17、若A B ⊆，且A B ≠，则A B <。

（× ） 18、可数集的交集必为可数集。

（× ）19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。

（√ ） 20、因整数集Z ⊂有理数集Q ，所以Q 为不可数集。

（× ） 21、()c c A A =。

（√ ）第二章复习题一、判断题1、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ=⇔P Q =。

（× ）2、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ>。

（× ）3、设123,,n P P P R ∈，则121323(,)(,)(,)P P P P P P ρρρ≥+。

（× ）4、设点P 为点集E 的内点，则P E ∈。