同位角相等,两直线平行
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∴ a∥b(同位角相等,两直线平行).
这里是运 用了公理 “同位角 相等,两直 线平行” 得到了证 实.
E
例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD 平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
证明:由证法1可得: ∠DAC=∠C (已证),
A
B
· ·C
D
∵ ∠BAC+∠B+∠C =1800 (三角形内角和定理). ∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =1800 (等量代换).
2 x 3 y 16, x 4 y 13. 3x 4 y 19, x 2 y 3;
三角形的外角
定义：
三角形的内角一边与另一边的延长线所组成的角， 叫做三角形的外角。 A
特征：
(1) 顶点在三角形的一个顶点上． C (2) 一条边是三角形内角的一边． B (3) 另一条边是三角形某条边的延长线．
∴ a∥b(内错角相等,两直线平行).
还有其它方法吗？
E
例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD 平分外角∠EAC,∠B= Baidu NhomakorabeaC. 求证:AD∥BC.
A
·D
C
B
·
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
方 法 二
∠B=∠C (已知), 1 ∴∠B= ∠EAC(等式性质). 2 ∵ AD平分 ∠EAC(已知). 1 ∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义). 2 ∴∠DAE=∠B(等量代换).
D
证明：三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个内角的和． A 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角. 2 求证： ∠1= ∠2+ ∠3 证明：∵ ∠4 +∠2+ ∠3=180° 3 41 （三角形内角和定理） C B 即∠2+ ∠3= 180°-∠4 又∵ ∠1+ ∠4= 180°(1平角= 180°) 即∠1 = 180°-∠4 ∴ ∠ 1= ∠2+ ∠3 (等量代换) D
2、（北京市海淀区，2003）如图 ，把 △ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边 形DEBC内部时， ∠A与∠1+ ∠2之间存 在着一种数量关系，试找出。
C
1 A 2 B
三角形内角和定理 ： 三角形三个内角的和等于1800。 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的 内角.
北师大版 八年级 上册（第七章）
5.三角形内角和定理（2）
六十一中 李德勇
一、课前一练
2 x 3 y 12 3x 4 y 17
3x 2 y 14, x y 3;
x y 8, 5 x 3 y 34.
x 2 y 4, 2 x y 3;
H
2 1F
E
解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的定义), ∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外 角等于和它不相邻的两个内角的和). C D
又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的定义), ∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和). 又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理). ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质).
∵∠1是△ABC的外角 ∴∠1=∠2+∠3
A 2
∠1>∠2,∠1>∠3.
B
3
41 C
D
说理格式
基本图形
想一想
已知: ∠ BAF,∠CBD, ∠ ACE是∠△ABC的三个外角. 则∠ BAF+∠CBD+∠ ACE= F
A B D
C
E
E
例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD 平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
证明：三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角． A 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角. 求证： ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
3
2
1
B
C
D
证明: ∵ ∠1 =∠2+ ∠3 （三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和） ∴ ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它 不相邻的内角.
思想方法：寻找、构造“基本图形” 法
320 1480 D 900
A
210
B
方法总结
A 2
3 B C 利用辅助线，让隐含的“基本图 B 形” 320 1480 D D 900 210 A B C 41 C
D
显形
A
积累常见图形，使它们成为你的基本图形
A
已知:国旗上的正五角星形如图所示. 求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. B
A
B
· C ·
D
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ∠B=∠C (已知), 例题是运 1 用了定理 ∴∠C= ∠EAC(等式性质). “内错角 2 相等,两直 方 ∵ AD平分 ∠EAC(已知). 线平行” 法 1 得到了证 一 ∴∠DAC=2 ∠EAC(角平分线的定义). 实. ∴∠DAC=∠C(等量代换).
∴ ∠BDC>∠A (不等式的性质).
B 已知:如图所示. 求证:(1)∠BDC>∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C. D E A
C 证明(2):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角定义), ∴ ∠BDC =∠C+∠CED(三角形的一个外角等 于和它不相邻的两个内角的和).
∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角定义),
∴ ∠DEC=∠A+ ∠B(三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个外角的和).
∴ ∠BDC=∠A+∠B+∠C (等式的性质).
实际应用:
1、 一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等 于900 , ∠B 和∠C应分别是210和320,检验工人量 得∠BDC=1480,就断定这个零件不合格.运用你学 过的三角形的有关知识说明零件不合格的理由. C
∴ a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
这里是运用了定理“同旁内角互 补,两直线平行”得到了证实.
方 法 三
方法总结
E
A
D C
E
B
寻找基本 图形
A 2 3 B 41 C D
B 已知:如图所示. 求证:(1)∠BDC>∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C. C D E
A
证明(1):延长BD与AC相交于E ∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角定义), ∴ ∠BDC>∠CED(三角形的一个外角大于和 它不相邻的任何一个外角). ∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角定义), ∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的 任何一个外角).
这里是运 用了公理 “同位角 相等,两直 线平行” 得到了证 实.
E
例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD 平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
证明:由证法1可得: ∠DAC=∠C (已证),
A
B
· ·C
D
∵ ∠BAC+∠B+∠C =1800 (三角形内角和定理). ∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =1800 (等量代换).
2 x 3 y 16, x 4 y 13. 3x 4 y 19, x 2 y 3;
三角形的外角
定义：
三角形的内角一边与另一边的延长线所组成的角， 叫做三角形的外角。 A
特征：
(1) 顶点在三角形的一个顶点上． C (2) 一条边是三角形内角的一边． B (3) 另一条边是三角形某条边的延长线．
∴ a∥b(内错角相等,两直线平行).
还有其它方法吗？
E
例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD 平分外角∠EAC,∠B= Baidu NhomakorabeaC. 求证:AD∥BC.
A
·D
C
B
·
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
方 法 二
∠B=∠C (已知), 1 ∴∠B= ∠EAC(等式性质). 2 ∵ AD平分 ∠EAC(已知). 1 ∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义). 2 ∴∠DAE=∠B(等量代换).
D
证明：三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个内角的和． A 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角. 2 求证： ∠1= ∠2+ ∠3 证明：∵ ∠4 +∠2+ ∠3=180° 3 41 （三角形内角和定理） C B 即∠2+ ∠3= 180°-∠4 又∵ ∠1+ ∠4= 180°(1平角= 180°) 即∠1 = 180°-∠4 ∴ ∠ 1= ∠2+ ∠3 (等量代换) D
2、（北京市海淀区，2003）如图 ，把 △ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边 形DEBC内部时， ∠A与∠1+ ∠2之间存 在着一种数量关系，试找出。
C
1 A 2 B
三角形内角和定理 ： 三角形三个内角的和等于1800。 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的 内角.
北师大版 八年级 上册（第七章）
5.三角形内角和定理（2）
六十一中 李德勇
一、课前一练
2 x 3 y 12 3x 4 y 17
3x 2 y 14, x y 3;
x y 8, 5 x 3 y 34.
x 2 y 4, 2 x y 3;
H
2 1F
E
解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的定义), ∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外 角等于和它不相邻的两个内角的和). C D
又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的定义), ∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和). 又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理). ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质).
∵∠1是△ABC的外角 ∴∠1=∠2+∠3
A 2
∠1>∠2,∠1>∠3.
B
3
41 C
D
说理格式
基本图形
想一想
已知: ∠ BAF,∠CBD, ∠ ACE是∠△ABC的三个外角. 则∠ BAF+∠CBD+∠ ACE= F
A B D
C
E
E
例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD 平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
证明：三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角． A 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角. 求证： ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
3
2
1
B
C
D
证明: ∵ ∠1 =∠2+ ∠3 （三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和） ∴ ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它 不相邻的内角.
思想方法：寻找、构造“基本图形” 法
320 1480 D 900
A
210
B
方法总结
A 2
3 B C 利用辅助线，让隐含的“基本图 B 形” 320 1480 D D 900 210 A B C 41 C
D
显形
A
积累常见图形，使它们成为你的基本图形
A
已知:国旗上的正五角星形如图所示. 求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. B
A
B
· C ·
D
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ∠B=∠C (已知), 例题是运 1 用了定理 ∴∠C= ∠EAC(等式性质). “内错角 2 相等,两直 方 ∵ AD平分 ∠EAC(已知). 线平行” 法 1 得到了证 一 ∴∠DAC=2 ∠EAC(角平分线的定义). 实. ∴∠DAC=∠C(等量代换).
∴ ∠BDC>∠A (不等式的性质).
B 已知:如图所示. 求证:(1)∠BDC>∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C. D E A
C 证明(2):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角定义), ∴ ∠BDC =∠C+∠CED(三角形的一个外角等 于和它不相邻的两个内角的和).
∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角定义),
∴ ∠DEC=∠A+ ∠B(三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个外角的和).
∴ ∠BDC=∠A+∠B+∠C (等式的性质).
实际应用:
1、 一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等 于900 , ∠B 和∠C应分别是210和320,检验工人量 得∠BDC=1480,就断定这个零件不合格.运用你学 过的三角形的有关知识说明零件不合格的理由. C
∴ a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
这里是运用了定理“同旁内角互 补,两直线平行”得到了证实.
方 法 三
方法总结
E
A
D C
E
B
寻找基本 图形
A 2 3 B 41 C D
B 已知:如图所示. 求证:(1)∠BDC>∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C. C D E
A
证明(1):延长BD与AC相交于E ∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角定义), ∴ ∠BDC>∠CED(三角形的一个外角大于和 它不相邻的任何一个外角). ∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角定义), ∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的 任何一个外角).