高中数学求函数值域的类题型和种方法

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求函数值域的

7类题型和16种方法

一、函数值域基本知识

1.定义:在函数()y f x =中,与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。

2.确定函数的值域的原则

①当函数()y f x =用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合;

②当函数()y f x =用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合;

③当函数()y f x =用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定;

④当函数()y f x =由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。

函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。

一般地,常见函数的值域:

1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.

2.二次函数()2

0y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫

-+∞⎪⎢

⎣⎭

,当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤

--∞ ⎥⎝⎦.,

3.反比例函数()0k

y k x

=

≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.

6.正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型

题型一:一次函数()0y ax b a =+≠的值域(最值)

1、一次函数:()0y ax b a =+≠当其定义域为R ,其值域为R ;

2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值,只需分别求出()(),f m f n ,并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时,需结合函数图像来确定函数的值域。

题型二:二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域(最值)

1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,当其定义域为R 时,其值域为

()()22

4 044 04ac b y a a

ac b y a a ⎧-≥>⎪⎪⎨-⎪≤<⎪⎩

2、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间[],m n 上的值域(最值) 首先判定其对称轴2b

x a

=-

与区间[],m n 的位置关系 (1)若[],2b m n a -∈,则当0a >时,()2b

f a

-是函数的最小值,最大值为(),()f m f n 中

较大者;当0a <时,()2b

f a

-是函数的最大值,最大值为

(),()f m f n 中较小者。

(2)若[],2b

m n a

-

∉,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大(小)值。 特别提醒:

①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;

②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时,要结合图像来确函数的值域;

③当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。

例1:已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞,则()f x 的定义域为(],1-∞。 例2:已知()211f x x -=+,且()3,4x ∈-,则()f x 的值域为()1,17。 题型三:一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠=k x

k

y 的定义域为{}0x x ≠,值域为{}0y y ≠ 2、形如:cx d

y ax b

+=

+的值域: (1)若定义域为b x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭时,其值域为c y R y a ⎧

∈≠

⎨⎬⎩⎭

(2)若[],x m n ∈时,我们把原函数变形为d by

x ay c

-=-,然后利用[],x m n ∈(即x 的有界性),便可求出函数的值域。

例3:函数23321x x y -=-g 的值域为[)1,3,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U ;若[]1,2x ∈时,其值域为11,511⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

。 例4:当(]3,1x ∈--时,函数1321x y x -=

+的值域34,2⎡

⎫--⎪⎢⎣⎭

。(2)已知()312x f x x -+=-,

且[)3,2x ∈-,则()f x 的值域为6,5⎛

⎤-∞- ⎥⎝

⎦。

例5:函数2sin 13sin 2x y x -=

+的值域为[)1,3,5⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦;若3,

22x ππ

⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,其值域为12,23⎡⎫

-⎪⎢⎣⎭

。 题型四:二次分式函数22dx ex c

y ax bx c

++=++的值域

一般情况下,都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题:①检验二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或是函数无意义,都应从值域中去掉该值;②闭区间的边界值也要考查达到该值时的x 是否存在;③分子、分母必须是既约分式。

例6:2216x x y x x +-=+-;()21,,7⎛

⎤+∞⋃-∞ ⎥⎝

例7:222

1x x y x +-=-;{}1y R y ∈≠

例8:432+=x x y ;33,44⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

例9:求函数()21

1,21

x y x x x -=∈-+∞++的值域

解:由原函数变形、整理可得:()22110yx y x y +-++=

求原函数在区间()1,-+∞上的值域,即求使上述方程在()1,-+∞有实数解时系数y 的取值范围

当0y =时,解得:()11,x =∈-+∞也就是说,0y =是原函数值域中的一个值…①

当0y ≠时,上述方程要在区间()1,-+∞上有解,

即要满足()10f -<或0211

2y y ≥⎧⎪

-⎨->-⎪⎩

V 解得:108y <≤……②

综合①②得:原函数的值域为:10,8⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

题型五:

形如y ax b =+±这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题,然后求其值域。

例10:求函数x x y -+=142在[]8,1x ∈-时的值域[]4,4- 题型六:分段函数的值域:

一般分别求出每一分段上函数的值域,然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出,从图像上便可很容易地得到函数的值域。 例11:21++-=x x y [)3,+∞ 例12:241y x x =-++(],5-∞

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