2011—高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何汇编

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编立 体 几 何一、选择题【2017,6】如图，在下列四个正方体中,A ，B 为正方体的两个顶点，M ,N ,Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中,直接AB 与平面ＭNQ 不平行的是( ）【201６,7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( ） A.17π B. 18π C. 20π D. 28π【20１６,11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ,α∥平面11CB D ,α平面ABCD m =，α平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（ )A ．3 B ．2 Ｃ．3 D ．13【2０１5，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书 中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺，高五尺,问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为1．６2立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( )A.14斛 B ．22斛 C ．3６斛 D.66斛【2015,11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r ）组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π,则ｒ=( ) B Ａ．1 Ｂ．2 C.4 Ｄ.８【2015，11】 【201４,8】 【2０13，1１】 【2012,７】【2０14，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图,则这个几何体是( )A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【2013，１1】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )．Ａ．１6＋8π B.8+8π C ．１6＋1６π D.８+１6π【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为A.6 ﻩB ．9 Ｃ．1２ ﻩD ．1５ 【2０12,8】平面α截球Ｏ的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( ）A.6π ﻩB.43πＣ.46πＤ.63π【20１1,8】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为( ）二、填空题【２0１7,16】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径．若平面SCA SCB ⊥平面，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为_____＿_．【２0１3，１5】已知Ｈ是球Ｏ的直径ＡＢ上一点，AH ∶H Ｂ=1∶2,ＡＢ⊥平面α,Ｈ为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为___＿__．【２011,１6】已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的316,则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ． 三、解答题【２01７，18】如图,在四棱锥P ABCD -中,AB ∥CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒.（1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【2016,1８】如图所示,已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ,D 在平面PAB 内的正投影为点E .连结PE 并延长交AB 于点G . (1)求证：G 是AB 的中点；(２)在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积.PABD CGE【2０15，１８】如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与B Ｄ交点,BE ⊥平面ＡBC Ｄ,(Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面B ＥD ; (Ⅱ)若∠ABC ＝120°,AE ⊥E Ｃ, 三棱锥Ｅ- A ＣD 的体积为6，求该三棱锥的侧面积．ﻬ【２0１４,19】如图,三棱柱111C B A ABC -中,侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（1）证明：;1AB C B ⊥（２)若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高．【２013,19】如图,三棱柱ABC －A １B 1C 1中，CA =CB ,A Ｂ=AA １,∠BAA １＝60°．(1）证明:ＡＢ⊥A １C ;(2）若AB =ＣB ＝２,A １Ｃ6，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积.ﻬ【２01２，19】如图，三棱柱ABC-A 1B 1C １中,侧棱垂直底面，90ACB ∠=︒，ＡC ＝BC=21AA 1，Ｄ是棱A Ａ1的中点．（1)证明:平面B ＤC 1⊥平面BDC ;(2)平面BD Ｃ1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比．【201１,18】如图所示,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,60DAB ∠=,2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． (1)证明:PA BD ⊥;(2)若1PD AD ==,求棱锥D PBC -的高．DA 11CC 1ﻬ解 析一、选择题【20１7,６】如图，在下列四个正方体中，A ,Ｂ为正方体的两个顶点,M ，N ,Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中,直接ＡＢ与平面MN Ｑ不平行的是（ )【解法】选Ａ．由B ，AB ∥MQ ，则直线ＡB ∥平面M ＮＱ；由C,ＡB ∥MQ,则直线AB ∥平面MNQ ；由D,AB ∥NQ ，则直线AB ∥平面ＭＮQ.故A 不满足，选A ．【2016，７】如图所示,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( ）. A.17π Ｂ. 18π C ． 20π D ． 28π解析:选A ． 由三视图可知,该几何体是一个球截去球的18，设球的半径为R ,则37428ππ833R ⨯=，解得2R =．该几何体的表面积等于球的表面积的78，加上3个截面的面积，每个截面是圆面的14，所以该几何体的表面积为22714π23π284S =⨯⨯+⨯⨯⨯14π3π17π=+=．故选A. 【20１6,11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ,α∥平面11CB D ,α平面ABCD m =，α平面11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为( ）3 Ｂ．22 C 3 D.13解析:选A ． 解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示.通过寻找线线平行构造出平面α,即平面AEF ,即研究AE 与AF 所成角的正弦值，易知3EAF π∠=,3故选A ．ABCDA 1B 1C 1D 1EF解法二(原理同解法一）:过平面外一点A 作平面α，并使α∥平面11CB D ，不妨将点A 变换成B ,作β使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到β，即为平面1A BD ，如图所示，即研究1A B 与BD 所成角的正弦值,易知13A BD π∠=,所以其正弦值为3.故选Ａ．D 1C 1B 1A 1DCBA【2０１5，６】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书 中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何？”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.６２立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有（ ） BA ．14斛 Ｂ．22斛 Ｃ．36斛 D ．６６斛解：设圆锥底面半径为r ，依题11623843r r ⨯⨯=⇒=,所以米堆的体积为211163203()54339⨯⨯⨯⨯=,故堆放的米约为3209÷１．６2≈2２，故选B.【20１５，１１】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π,则ｒ=( ) B A.１ B ．２ C.4 D.8 解:该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ,圆柱的高为2ｒ,其表面积为２πｒ2+πr×2r+πr 2＋2r×２r =5πr 2＋4r ２=16+2０π, 解得r ＝2，故选B.【2014,8】如图，网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的 一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）B Ａ．三棱锥 B.三棱柱 Ｃ.四棱锥 D ．四棱柱 解：几何体是一个横放着的三棱柱. 故选B【201３,１1】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．１6+8π B.8+８π Ｃ．16+1６π D．8+1６π解析：选Ａ．该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．V半圆柱＝12π×22×4=８π，V长方体＝4×2×2=１6．所以所求体积为16＋8π．故选A.【2012，7】如图,网格纸上小正方形的边长为１，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A．6 ﻩ B.9ﻩ C.１２ﻩﻩＤ.15【解析】由三视图可知,该几何体为三棱锥A-ＢCD,ﻩ底面△BCD为底边为6,高为３的等腰三角形,ﻩ侧面ABD⊥底面BＣD,ＡO⊥底面BＣD,因此此几何体的体积为11(63)3932V=⨯⨯⨯⨯=,故选择B．【２0１2，8】8.平面α截球O的球面所得圆的半径为１，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为（）Ａ．6πﻩ B．43πＣ.46πﻩﻩD.63π【解析】如图所示,由已知11O A=，12OO=,在1Rt OO A∆中,球的半径3R OA==,所以此球的体积34433V Rππ==，故选择B．【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算．【2０1１,８】在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）OB DA【解析】由几何体的正视图和侧视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形,其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形． 故选D. 二、填空题【201７,１6】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA SCB ⊥平面,SA AC =,SB BC =,三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为＿_＿＿___.【解析】取SC 的中点O ，连接,OA OB ，因为,SA AC SB BC ==，所以,OA SC OB SC ⊥⊥， 因为平面SAC ⊥平面SBC，所以OA ⊥平面SBC,设OA r =,3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=,所以31933r r =⇒=，所以球的表面积为2436r ππ=．【201３，１５】已知H 是球Ｏ的直径A Ｂ上一点，ＡH ∶HB ＝1∶2，ＡB ⊥平面α，H 为垂足，α截球Ｏ所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．答案:9π2解析:如图，设球O 的半径为R ,则AH =23R ，O Ｈ＝3R.又∵π·EH 2＝π,∴EH =１.∵在R ｔ△OE Ｈ中,R 2＝22+13R ⎛⎫ ⎪⎝⎭,∴R 2=98． ∴S 球=4πR 2=9π2.【2０１1，16】已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316,则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ． 【解析】设圆锥底面半径为r ，球的半径为R ，则由223π4π16r R =⨯,知2234r R =．根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O ,且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点,因此PB QB ⊥.设PO x '=,QO y '=,则2x y R +=. ① 又PO B BO Q ''△∽△，知22r O B xy '==. 即2234xy r R ==． ②由 及x y >可得3,22R x R y ==． 则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比为13. 故答案为13.三、解答题【2017，18】如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(２)若PA PD AB DC ===,90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83,求该四棱锥的侧面积．【解法】(1)90BAP CDP ∠=∠=︒， ∴,AB AP CD DP ⊥⊥又AB ∥CD ∴AB DP ⊥又AP ⊂平面PAD ，DP ⊂平面PAD ，且AP DP P = ∴AB ⊥平面PADAB ⊂平面PAB ,所以 平面PAB ⊥平面PAD(2）由题意：设=PA PD AB DC a === ，因为90APD ∠=︒ ,所以PAD ∆为等腰直角三角形 即=2AD a 取AD 中点E ，连接PE ,则22PE a =，PE AD ⊥． 又因为平面PAB ⊥平面PAD所以PE ⊥平面ABCD因为AB ⊥平面PAD ,AB ∥CD 所以AB ⊥AD ,CD ⊥AD 又=AB DC a =所以四边形ABCD 为矩形所以3 1121823333P ABCDV AB AD PE a a a a-====即2a=11=223+226=6+2322S⨯⨯⨯⨯⨯侧【２016，18】如图所示,已知正三棱锥P ABC-的侧面是直角三角形，6PA=，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E.连结PE并延长交AB于点G.（1)求证:G是AB的中点；（2）在题图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由）,并求四面体PDEF的体积．PABD CGE解析:(１）由题意可得ABC△为正三角形,故6PA PB PC===.因为P在平面ABC内的正投影为点D，故PD⊥平面ABC．又AB⊂平面ABC，所以AB PD⊥.因为D在平面PAB内的正投影为点E，故DE⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，所以AB DE⊥．因为AB PD⊥,AB DE⊥,PD DE D=,,PD DE⊂平面PDG,所以AB⊥平面PDG．又PG⊂平面PDG，所以AB PG⊥．因为PA PB=，所以G是AB的中点．（２)过E作EF BP∥交PA于F,则F即为所要寻找的正投影．E GCD BAP F理由如下，因为PB PA ⊥，PB EF ∥，故EF PA ⊥.同理EF PC ⊥， 又PA PC P =,,PA PC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC , 故F 即为点E 在平面PAC 内的正投影． 所以13D PEF PEF V S DE -=⋅△16PF EF DE =⋅⋅. 在PDG △中,32PG =6DG =,23PD =故由等面积法知2DE =．由勾股定理知22PE =由PEF △为等腰直角三角形知2PFEF ==，故43D PEF V -=.【201５,18】如图四边形ＡＢＣD 为菱形，G 为AC 与B Ｄ交点,ＢE ⊥平面ABCD ，(Ⅰ)证明：平面ＡEC ⊥平面BE Ｄ； （Ⅱ）若∠ＡBC ＝1２0°，A Ｅ⊥EC ， 三棱锥Ｅ- AC Ｄ 6. 解:(Ⅰ) ∵BE ⊥平面ABCD ,∴BE ⊥ＡＣ． ∵AB ＣD 为菱形,∴ BD ⊥ＡC ,∴ＡＣ⊥平面ＢE Ｄ，又AC ⊂平面AEC ,∴平面A ＥＣ⊥平面BED ． …6分 (Ⅱ)设AB=x ,在菱形ABC Ｄ中,由∠AB Ｃ＝１２0°可得， AG=GC=32x ,ＧB ＝GD ＝2x. 在R ｔΔAEC 中，可得ＥG =32x ． ∴在ＲtΔEB Ｇ为直角三角形，可得B Ｅ=22x ． …9分 ∴3116632E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==， 解得x ＝２． 由BA=B Ｄ=B Ｃ可得AE= Ｅ6∴ΔAEC 的面积为３,ΔEAD 的面积与ΔECD 5.所以三棱锥E-A ＣD 的侧面积为3+25 …1２分18． 解析 (1）因为BE ⊥平面ABCD ，所以BE AC ⊥． 又ABCD 为菱形,所以AC BD ⊥．又因为BD BE B =，BD ,BE ⊂平面BED ，所以AC ⊥平面BED ．又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED . (2)在菱形ABCD 中,取2AB BC CD AD x ====,又120ABC ∠=,所以3AG GC x ==,BG GD x ==． 在AEC △中，90AEC ∠=，所以132EG AC x ==, 所以在Rt EBG △中,222BE EG BG x =-=，所以3116622sin12023233E ACD V x x x x -=⨯⨯⋅⋅⋅==，解得1x =. 在Rt EBA △，Rt EBC △，Rt EBD △中, 可得6AE EC ED ===．所以三棱锥的侧面积112256632522S =⨯⨯⨯+⨯⨯=+侧．【2０14，19】如图，三棱柱111C B A ABC -中,侧面C C BB 11为菱形,C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（1)证明:;1AB C B ⊥(2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高． 证明:(Ⅰ)连接 BC １,则O 为B １C 与BC 1的交点，∵AO ⊥平面ＢB 1C 1C . ∴AO ⊥B 1C , …2分 因为侧面BB １C 1C 为菱形，∴BC 1⊥B 1C ,…４分 ∴BC 1⊥平面ＡBC 1,∵AB ⊂平面A ＢＣ1, 故B 1C ⊥AＢ. …６分(Ⅱ）作OD ⊥BC ，垂足为D ,连结ＡＤ,∵AO ⊥ＢC ，∴BC ⊥平面AOD , 又BC ⊂平面ＡBC ，∴平面A ＢC ⊥平面A ＯD ,交线为ＡD ，作OH ⊥ＡD ，垂足为H ,∴OH ⊥平面A ＢC . …９分∵∠C ＢB 1＝６0°，所以ΔCBB 1为等边三角形,又BC ＝1,可得ＯD 3,由于A Ｃ⊥ＡＢ１，∴11122OA B C ==，∴4AD ==,由 ＯH·AD=OD·O Ａ，可得OH=14，又O 为Ｂ１Ｃ的中点，所以点B 1到平面ＡBC 的距离为,所以三棱柱ABC-A 1B 1C 1。