线性代数——行列式与克拉默法则

五. 分块矩阵的行列式
六. 排列与对换
七. Gramer( 克莱姆)法则
一. 行列式的定义
定义1. 二阶行列式定义为
a11 a12 D a11a22 a12a21 . a21 a22
二阶行列式的计算
主对角线
副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11 a21
a12
a22
(2) Laplace定理
在n阶行列式 A中, 任取k行(列)(1 k n 1), 则含在这 k行(列)中所有k阶子式与它们对应的代 数余子式的乘 积之和等于行列式A .
2 3 0 0 0 1 2 3 0 0 如A 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2

1 2 3 0 2 3 10 1 2 1 3 0 1 2 0 1 2
a31
a11 ( 1)11 M11 a12 ( 1)1 2 M12 a13 ( 1)1 3 M13
a11 A11 a12 A12 a13 A13
称M11 , M12 , M13和A11 , A12 , A13分别是 a11 , a12 , a13的余子式和代数余子式 .
其中A1 j 是a1 j ( j 1, 2, , n)的代数余子式.
an1 an2 ann
注意： (1) 行列式是一些乘积的代数和，每一项乘积都是由行 列式中位于不同行不同列的元素构成的. 1 1 1 1 ( 2) n阶行列式中共有 n! 项(C n C n1 C 2 C1 ). (3) 定义4中行列式按第一行展开，同样也可按第一列 展开，甚至按行列式中任意行或列展开. 由此可计算一些行列式. (4) 一阶行列式a a不要与绝对值记号相混 淆.
0 a22 an2 0 0 a11a22 ann ann
a11 a21 同理下三角行列式 an1
d1 0 0 0 d2 0 特别地, 对角行列式 d1d 2 d n 0 0 dn 0 0 1 0 2 0 而 不是对角行列式， n 0 0 0 0 1 n ( n 1 ) 0 2 0 且 ( 1) 2 12 n n 0 0
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
1 7 5 1 7 5 例如 6 6 2 3 5 8 , 3 5 8 6 6 2
1 7 6 6 3 5
7 1 5 2 6 6 2. 5 3 8 8
5
推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 D D, D 0. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
n kA k An . 注意与矩阵数乘运算的区别, n
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零．
证明 a11 a12 a1n
a11
a12 a1n
ai1
a i 2 a in
a i 1 a i 2 a in
k 0. kai 1 kai 2 kain a i 1 a i 2 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
性质8. Laplace定理
(1) 在n阶行列式 A中, 任取k行k列(1 k n 1), 位于这 k行k列交叉处的k 2个元素按原来的位置顺 序组成一个 k阶行列式M , 称为 A的k阶子式; 剩下的元素按原来的 位置组成一个n k阶行列式M , 称为M的余子式; 若k阶 子式M所在行的序号为 i1 , i2 , ik , 所在列的序号为 j1 , j2 , jk , 则( 1) i1 i2 ik j1 j2 jk M 叫做M的代数余子式 .
a1n ann
a21 (a2 i ka2 j ) a2 j a2 n an1 (ani kanj ) anj
性质7. 行列式按行（列）展开法则
A ,当 i j , aki Akj 0 ,当 i j; k 1
n
A ,当 i j , aik A jk 0 ,当 i j; k 1
Chapter 1(2)
行列式与克拉默法则
教学要求：
1. 了解行列式的定义和性质; 2. 掌握三阶、四阶行列式的计算法， 会计算简单的n阶行列式; 3. 了解排列与对换; 4. 会用克拉默(Gramer)法则解线性方程组.
一. 行列式的定义
二. 行列式的性质 三. 行列式的计算举例
四. 方阵乘积的行列式
二. 行列式的性质 a11 a12 a1n a11 a21 a21 a22 a2 n a12 a22 T 记 D D an1 an 2 ann a1n a2 n
a n1 an 2


ann
行列式 D T 称为行列式 D 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等.
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变．
a11 a1i a1 j a1n
例如
a21 a2 i a2 j a2 n k an1 ani anj ann
a11 ri krj
(a1i ka1 j ) a1 j
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
说明1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 考察三阶行列式如下：
a11 a12 0 a22 Example1. 证明 Dn 0 0

a1n a2 n a11a22 ann . ann
Proof.（数学归纳法）
当n 1时结论成立; 假设结论对n 1阶行列式成立 ,则
a22 a2 n Dn a11 0 a11 ( a22 ann ) a11a22 ann ann
称为元素aij的余子式, 记为M ij ; 而Aij ( 1) i j M ij 称为aij的代数余子式 .
定义4.
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 2 由n 个数组成的n 阶行列式 D
是一个算式，且 n1 a11 , n D , a A a A a A a A , n 1 1 j 1 j 11 11 12 12 1 n 1 n j 1
定义3. 代数余子式 a11 a12 a1n
a21 a22 a2 n 在 中划去元素aij 所在的第i行与第j列, an1 an2 ann
剩下的元素按原来的排法构成一个新的行列式
a11 a1 j 1 ai 11 ai 1 j 1 ai 11 ai 1 j 1 an1 anj 1 a1 j 1 a1n ai 1 j 1 ai 1n 记为 M ij , ai 1 j 1 ai 1n anj 1 ann
第i 行 第 j行
相同
an1 ann
同理 a1i A1 j a2 i A2 j ani Anj 0, ( i j ).
1 已知四阶行列式D4 3
1 7 1 1 8 0 3 5 , Aij 为行列式D4中
2 1 4 5 1 2
元素aij的代数余子式, 求A14 A24 A34 A44的值.
其一、利用行列式的性质，或通过将行列式化为 三角行列式来计算行列式的值.
3 1 301 ex 2.计算 1 2 102 2 4 199 3 1 301 2 4 199
a22 a11 a32
a11 ( 1)
a23 a21 a23 a21 a22 a12 a13 a33 a31 a33 a31 a32
11 a22
a23 a33
a32
1 3 a21
a12 ( 1)
1 2 a21
a23 a33
a31
a13 ( 1)
记为 记为
a22 a32
a11
a12
a21 a22 a31 a32
a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a32a21 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a13
a11 ( a22a33 a23a32 ) a12 ( a21a33 a23a31 ) a13 ( a32a21 a22a31 )
把 a jk 换成 a ik ( k 1,, n), 可得
a11 a1n ai1 ai1 A j 1 ain A jn ai1
当 i j 时,
ai1 A j 1 ai 2 A j 2 ain A jn 0, ( i j ).
ain ain
a11 kai 1
a12 a1n
a11
a12 a1n


kai 2 kain k a i 1 a i 2 a in a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
a n1
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．
性质5 若行列式D的某一列（行）的元素都是 两数之和: i ) a1 n a11 a12 (a1i a1
a 21 例如 D a n1
a 22 (a 2 i a 2i ) a2n a n 2 (a ni a ni ) a nn
则D等于下列两个行列式之和： i a1 n a11 a1i a1n a11 a1 a 21 a 2 i a 2 n a 21 a a2n 2i D a n1 a ni a nn a n1 a a nn ni
定义2. 三阶行列式定义为
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
三阶行列式的计算---对角线法则
a11 a12 a21 a22 a31 a32
2 3
2 3 0
2 0
1 3 0
三. 行列式的计算举例
为方便起见，引用以下符号：
i行记为ri , 交换i , j行记为ri rj , i行的k倍记为kri , i行的k倍加到j行记为kri rj . i列记为ci , 交换i , j列记为ci c j , i列的k倍记为kci , i列的k倍加到j列记为kci c j .
n
下面证明:
k 1
aik A jk ai1 A j1 ai 2 A j 2 ain A jn 0,
n
i j.
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证 把行列式 A det( aij ) 按第 j 行展开，有
a11 a1n ai1 ain
a j 1 A j 1 a jn A jn a j 1 a jn an1 ann